5.2.1 等差数列-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

即a,-a1=1-1 6.解析当n=1时，a1=S=2-2=2; 当n≥2时，a,=S.-S.-1=(2+-2)-(2°-2)=2. 又图为4，-3，所以a.-1-1十a,-4 检验：当n=1时，a1■2，所以a.=2” （②)图为a1n平24，所以会-n2 答案a,=2 a。n十2' 随堂巩固促应用 所以=1,=2， 、=,2=2,,一干1n≥2). 1D因为a=1+号所以a,=又a=1+片 a 以上式子累得=号××号×…××“× n-11 n 号所以4-受又4-1+日受所以a-2 号异D 2 2.Ba=2-2十1=3，a,=9-6十1=4，所以可猜想a =十1. 因为4，=2，所以a,一n(n十D 4 3.解析S,=2"+1,a1=S,=2+1=3,∴.a1十a,= [答案](1)4-1 S,-a1=2+1-3=6. (2)a,=(n+ 答案6 跟踪训练 3.解析由题意知a:一a1=1,a1一a=1,…a,一a。-1=1 4解折在数列1a,}中，4=2，品-m≥2，a∈ (n≥2)， N), 以上各式相加，得a,-a1=1+1十…十1=n-1. 3 2 色，.4"·2-号×9XX2X所以 as a:as a 因为a=1,所以a,=n(n≥2). =9,则a,=9×2=18. 又a1=1也满足a,=n, 答案18 所以数列{a,}的通项公式为a,=n(n∈N). 5.2等差数列 答案n 4.解析易知a,≠0，由a+1=2a,(n∈N°)，可得，=2， 5.2.1等差数列 所以当≥2时品-2。 第1课时等差数列的定义 所以2=8×9曰X…×9×4=2X2×…×2X2 al a,1 d-2 a41 【。-1》个 自主学习探新知 =21,所以a,=2-1(n≥2). 知识点一 因为当n=1时，a1=1也满足a.=2-1, 1.2同一个常数da+1一a,=d公差 所以数列{a,}的通项公式为a.=2" 2.a1+(n-1)d 答案21 微判断 探究三 (1)/(2)×(3)× [例3][解](1)当n=1时，a1=S,=7: 知识点二 当n≥2时，a.=S-S.-t=(2m+3m+2)-[2(n-1) a,+(n-l)d=nd+(a1-d)(1)da1-d(2)d 十3(n-1)十2]=4n十1. 微思考 又a1=7不符合上式， [提示](0，+o∞). f7,n=1, 互动探究解疑难 所以a.= (4n+1,n≥2. 探究一 (2)当n=1时，a=S=2: [例1门[解析](1)设等差数列{a,》的公差为d, 当m≥2时，a,=5,-S-1=(3”-1)-(3"-1-1)=2× 南题高可知.8十d。解件8 3-1,显然a1=2符合上式， l2a1+10d-32, d=3. (2)数列{a,}中，由a*1=a,十3，得a:-a,=3, 所以a,=2X3-(n∈N+). 则数列{a,}是公差d=3的等差数到， 跟踪训练 于是得a.=a1十(n一1)d=3n十2. 5.解析由题意，n=1时，a1=S,一1； 由a,=20,即3m十2=20，解得n=6,所以n等于6. n≥2时，S-=2-1-(n-1),则a,=S.-S-1=(2” n)-2-1+(n-1)=21-1,于是，a,= 1,n=1, 12-1-1,n≥2。 六片以数到公六}是等基数到因为。=1 /1,n=1, 答案a.-{2-1,n>2 号所以- 一，=z·周此1一1是（≥2）所以数 a.a。-t 3 列{仔}是以1为省项，受为公差的等羞数列，所以士=可 a. ②)由1)如6=，所以6=。与=nm∈N), +号-》-空，周北a-名 解得a,=1+1, [答案](C(2D8品 所以{a,的通项公式为a,=1+（m∈N). n 跟踪训练 探究三 1.B设等差数列的公差为d,则由已知得a= 2d= [例3][解]方法一由等差数列a,=a,十(n一1)d列 ---2，得a=-号-2=- 方程组 a1+10d=-26, a1+50d=54, 2.C设数列{a.)的公差为d,则a,-a2=2d=2,d=1,所 解得/只=一46， d=2. 以a,=a1+7d=8. ∴a1.=-46+13×2=-20. 3.解析设等差数列{a,}的公差为d,由题意可知，a2< .∴.a.=-46+(n-1)×2=2n-48. a1d<a1,即a十d<a1d<a1十2d,图为a>0,所以可取 令a.≥0，即2n-48≥0→n>24. a1=3,d=2,满足不等式，则数列的通项公式为a,=2n 从第25项开始，各项为正数 +1. 方法二等差数列{a,}的首项为a1,公差为d,且a 答案2m十1（答案不唯一） =-26,a1=54, 探究二 a:一at=40d=80,所以d=2, [例2][解](1)证明：由题意，数列{a.》满足S+1=2 则a,=a,+(n-11)d=-26+(n-11)×2=2n-48. .a4=2×14-48=-20. 令a.≥0，即2n-48≥0→n≥24. 可得5-1=1-发-8， 从第25项开始，各项为正数 跟踪训练 1 S. 5.解设数列{a.}的公差为d, 则a=a1u十(60-15)d=8+45d, 所以受1 1 1 所以4-2行8-将-言 又由=所以s=2， 所以au=a+(75-60)d=20+15×毫-24. 所以数列{怎}表宗有项为2，公是为1的等送数到。 随堂巩固促应用 1.ABD根据等差数列的定义，可得对于A,满足4一1= (2)由数列{S}表示首项为2，公差为1的等差 7一4=10一7=3（常数），所以是等差数列：对于B,满足 1g4一lg2=lg8-1g4=lg16-lg8=1g2(常数)，所以 数列， 是等差数列：对于C,因为2一2≠2一2≠2一2，不 可得s与=2+(n一1)X1=n+1,所以S,n十中市十1， 满足等差数列的定义，所以不是等差数列：对于D,满足 8-10=6一8=4-6=2-4=一2（常数），所以是等差 当≥2时，可得 数列， a,=5.-5=+1-(+1)=D 2.D图为{a.}为等差数列，a1=1,aa4=0, 周为S=是，可得4，=S=号不造合上式 所以a2a,=(a1+d)(a1+3d)=(1+d)(1+3d)=0,所 以d=-1或一3 1 所以数列{a,}的通项公式为 3.解析由题可知从第1圈到第9圈石板数形成差数 3 2n=1, 列{a},且首项a=9,公差d=9, a. 1 则第6圈的石板数为a,=9+5×9=54. n(n十1)，n≥2. 答案54 跟踪训练 4.解析数列{a,}为等差数列，设公差为d,a,=4,am 4.解(1)证明：因为a,=2-1,所以a1=2- =2a a-1 a. 则/4-a,+6d-4, 则6-6a1厂。.白=2114用 1 1 a+18d=2(a+8d), 解得a=1,d= a。 所以a,=a,+(n-1)Xd=1+”1=n十1， 2 2 4.-1 ,71, 所以数列的通项公式为口，=”门 2 所以伍，是首项为6一21，公差为1的等差蓑到， 答聚《-安 ∴.5a,=450..a5=90..a,+ag=2a=180. 第2课时等差数列的性质 [答案](1)35(2)180 跟踪训练 自主学习探新知 2.Ca十a,+a=12,∴.3a,=12,则a,=4. 知识点一 又a1十a,=a1十a,=a十as=2a4, 等差 故a1十a2+…+a,=7a,=28. 微思考 3.A数列x,a,a2y和x,山6by各自都成等差数列， [提示]插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a …y=x十3(a2-a),y=x+4(b2-b),.3(a-a1）=4 2 :a,二4=4 知识点二 (b,-心6，-63 1.2d pd+qd' 探究三 5.递增递减 [例3][解]设从第一年起，第n年的利润为a。万元， 微练习 则a1=200,a+1-a.=-20(n∈N+), 1.Ca十a,=a3十as=10. .每年的利润构成一个等差数列{a,}, 2.C因为(a+1十a+)-(a,十a+)=(a+1-a.)十(a+ 从而a,=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220 -a+)=2d,所以数列a1十a3,a2十a1,a,十as,…是公 一20m. 差为2d的等差数列. 若a,<0,则该公司经销这一产品将亏损. 互动探究解疑难 ∴.由a,=220-20n0,得n>11, 探究一 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损。 [例1][解](1)因为-1，a,b,c,7成等差数列，所以b 跟踪训练 是-1与7的等差中项，则6=二1十7=3.又a是-1与 4.B设女子每天的织布数构成的数列为{a,),由题设可 知{a,}为等差数列，且a1=5,a=1,所以公差d= 3的等差中项，所以a=一1，+3=1 2 与=-0故au=4+1-1×()=5-号 1-5 又〔是3与7的等差中项，所以c=37=5. 2 一曾故选B 所以该数列为一1,1,3,5,7. 随堂巩固促应用 （②运明：因为公行二成等是数列片以 =1+1 1.B设p,g的等差中项为a,则有2a=p十g= 1一十 a 5-2 即2ac=b(a+c). √5-2=2√5，所以a=√5，即，q的等差中项为5. 固为 b+c atb c(b+c)+a(a+b) 2.B由等差数列的性质，得a十a,=a,十as,因为a1=2, a ac a3十a5=10,所以a,=8,故选B. c+a'+b(a+c)_a2+c2+2ac_2(a十c)3_2(a+c) 3.A数列{an)是等差数列，a1一a,=d(常数). ac ac b(a+c) b 对于A,b+1一6.=a,一a1=一d,正确：对于B不一定 所以叶c,a十9，a十也成等差数列. a b 正确，如an=n,则b=a=n,显然不是等差数列：对于 跟踪训练 C,DWa,及上不一定有意义，故选A a. 1.解析因为8，a,2,b,c是等差数列， 4.解析。a十a,=2aaa十2as十a.=4a,=120, 8+2=2a, a=5, 所以a+6=2×2,得b=-1, ∴.a,=30..2a,-ao=(a,十ao)-ao=a,=30. 答案30 2十c=2b, c=-4, 答案5一1一4 5.2.2等差数列的前n项和 探究二 [例2][解析](1)方法一设数列{a.,{6,)的公差分别 为d1,d1, 第1课时等差数列的前n项和公式 因为a1+b=(a+2d1)+(6+2d)=(41+6)+2(d1+ 4)=7+2(d,+d)=21, 自主学习探新知 所以d十d=7, 知识点 所以a+6=(a+b)+2(d,+d)=21+2×7=35. n(a,十a.） 方法二致列(a,,(b.)都是等差数列， na+u(n 1d 2 2 数列{a,十b,}也构成等差数列， 微练习 .2(a+6)=(a+6)+(a+b) 1,解析因为a1=19,a1o=1,所以前10项的和为S。= 2×21=7+a+6,a,+6=35, (2),a1+a1+a5+a6+a,=450, 19+1×10=100. 2 由等差数列的性质知a十a,=a,十a,=2a, 答案100 5第五章数列 5.2 等差数列 5.2.1等差数列 第1课时等差数列的定义 [学习任务] 1,理解等差数列、等差中项的概念.掌握等差数列的证明方法， 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一等差数列的定义和通项公式 知识点二从函数角度认识等差数列{a.} 1.等差数列的定义 若数列{a.}是等差数列，首项为a1,公 一般地，如果数列{a.}从第 项 差为d,则an=f(n)= 起，每一项与它的前一项之差都等于 (1)点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)上，这 ,即 恒成立， 条直线的斜率为 ,在y轴上的截距为 则称{a.}为等差数列，其中d称为等差数列 的 (2)这些点的横坐标每增加1，函数值就增 2.等差数列的通项公式 加 以a1为首项，d为公差的等差数列{a。》 飞微思考 的通项公式为a.= [思考]若等差数列{an}是递增数列，那么 赵微判断 其公差d的取值范围是什么？ 判断正误（正确的画“√”，错误的画“X”). (1)数列4,4,4，…是等差数列. () (2)数列{a.}的通项公式为an= 1,n=1, 则{a.}是等差数列.( n十1，n≥2， (3)若一个数列从第2项起每一项与它的前 一项的差都是常数，则这个数列是等差 数列. () 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一等差数列的通项公式及应用 (2)已知数列{a.}满足a1=5,aw+1=an十3， 若a.=20,则n等于 [例1](1)在等差数列{a.}中，a3=7,as十a A.3 B.4C.5 D.6 =32,则{a.}的公差d= ( 2 (3)数列(a,}中，a1=1,a=号，且n≥2时， A.5 B.4 C.3 D.2 有十-则 7 》高中数学·选择性必修第三册(RJB) -川规律方法川 川规律方法川 等差数列通项公式的求法与应用技巧 判断或证明等差数列的方法 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所 (1)定义法 以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差 at1-a,=d(n∈N,)或a,-a.-1=d(n≥2，n∈ 即可. N,)曰数列{a,)是等差数列. (2)等差数列{a.》的通项公式a,=a1十(n一1)d (2)通项公式法 中共含有四个参数，即a1,d,n,a,如果知道了其中的 袋列{a,}的通项公式形如a,一pn+q(p,q为常 任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这 数)曰数列{a,)为等差数列. 一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一” 注意：(1)通项公式法不能作为证明 (3)通项公式可变形为a.=dn十(a1一d). (2)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必 是等差数列：要否定一个数列是等差数列，只要说明其 口跟踪训练 中连续三项不成等差数列即可， 1.等差数列，一一…的第4项为 5 (3)当n≥2时，a+1一a,=d(d为常数)，无法说明 数列{a}是等差数列，因为a一a1不一定等于d 口跟踪训练 A-号 B-号 4.已知数列{a,}中，a1=2,a.=2-1（m≥2， c D-8 2.等差数列{an}中，a1=1,a1一a2=2,则ag= neN),设么=aaeN) (1)求证：数列{b.}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. A.6 B.7 C.8 D.9 3.若一个等差数列{a.}满足：①每项均为正整 数：②首项与公差的积大于该数列的第二项 且小于第三项，写出一个满足条件的数列的 通项公式a.= 探究二等差数列的判定与证明 [例2]设S.为数列{a.}的前n项和，且S =S4=2- .1 ①)证明：数列是等差数列： (2)求数列{a.}的通项公式， 8 第五章数列 探究三an=a.十(n一m)d的应用 川规律方法川 [例3]已知等差数列{a.}的首项为a1,公差 灵活利用等差数列通项公式的变形及推广，可以 减少运算.令m一1，a.-a。十(n一m)d即变为a.一a 为d,且a1=-26,a1=54,求a1的值.你 十(n一1)d,可以减少记忆负担. 能判断该数列从第几项开始为正数吗？ 跟踪训练 5.已知{an}为等差数列，a15=8,a6o=20, 求a75 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是( 块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从 A.1,4,7,10 B.Ig 2,1g 4,1g 8,1g 16 第二圈开始，每一圈比前一圈多9块共有9 C.2,2°，23,22 D.10,8,6,4,2 圈，则第六圈的石板块数是 2.在等差数列{an}中，若a1=1,a2a,=0,则公 差d= A.1 B号 c D-1或-号 4.等差数列{an}中，a,=4,a1n=2ag,则{an}的 3.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所 通项公式为 以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关 的设计.例如，北京天坛圆丘的底面由扇环 提宗请完成《素能提升训练》训练三 形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一 第2课时等差数列的性质 [学习任务] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质简化计算， 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一等差中项的概念 差数列的定义可知A一x=y一A,因此A 如果x,A,y是 数列，那么称 =x十y 2 A为x与y的等差中项，根据等差中项与等 9 》高中数学·选择性必修第三册(RJB) 赵微思考 3.下标性质：一般地，如果{a.》是等差数列，而 [思考]在下列所给的两个数之间，插人一 且正整数s,l,p,q满足s十t=p十q,则a,十 个什么数后三个数就会成为一个等差数列： a,=a。十a。.特别地，如果2s=p十q,则2a (1)2,4:(2)-1,5;(3)0,0:(4)a,b. =ap十ag 4.在等差数列中每隔相同的项数选出一项，按 原来的顺序排成一列，仍然是一个等差 数列. 5.等差数列{a.}的公差为d,则d>0曰{an}为 数列； d<0台{an}为 数列：d=0白{an}为 知识点二等差数列的性质 常数列. 1.若{an},{bn}分别是公差为d,d的等差数 赵微练习 列，则有 1.在等差数列{an}中，ag十as=10,则a1十a7 数列 结论 等于 () {c+a.} 公差为d的等差数列(c为任一常数) A.5 B.8 {ca,} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) C.10 D.14 公差为 的等差数列(k为常数，k la.Fa.t ∈N.) 2.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,am组成 公差为 的等差数列(p,9为 一个新的数列a1十a3a2十a4,a十a5,,下 {pa.十gb. 常数) 列说法正确的是 () 2.等差数列的项的对称性 A.新数列不是等差数列 在有穷等差数列中，与首末两项“等距 B.新数列是公差为d的等差数列 离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1 C.新数列是公差为2d的等差数列 十an=a2十a。-1=ag十am-2=…. D.新数列是公差为3d的等差数列 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一等差中项及应用 川规律方法川 [例1](1)在一1与7之间顺次插入三个数 若4，A,b成等差数列，则A=a中，反之，由A 2 a,b,c,使这五个数成等差数列，求此数列. 生宁色可得到@，A,b成等差数列，所以@，Ab成等老 (2)已知。言，成等差数列求证：由 数列白A=a十b 2 a十c,a十也也成等差数列. bc 口跟踪训练 1.已知数列8，a,2,b,c是等差数列，则a,b,c 的值分别为 探究二等差数列的性质及应用 [例2](1)设数列{a},{b.}都是等差数列. 若a1+b1=7,ag+b3=21,则a5+b= 10 第五章数列 (2)已知{an}为等差数列，a3十a,十a,十ae十 也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经 a,=450,求a2十ag的值为 销这一产品将亏损？ 川规律方法 (1)利用通项公式时，如果只有一个等式条作，可 通过消元把所有的量用同一个量表示， (2)本题的成解主要用到了等差数列的以下性质： 若m十n=p十g,则an十a,=a,十a, 对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相 加，否则不一定成立.例如，as≠a,十a,但a。十a,=a 十asia,十aa≠an,但a,十an=2an 跟踪训练 川规律方法川 2.如果等差数列{a.}中，a十a,十a=12,那么 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根器题 a1十ag十…+a,等于 ( 目条件寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加 A.14 B.21 或减少时，则这组数成等差数列， C.28 D.35 口跟踪训练 3.已知x≠y,数列x,a1,a2,y与x,b1,b2,by 4.《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的 都是等差数列，则：二。的值是 数学名著，书中有如下问题：“今有女不善 b2-b1 织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今 A号 R 三十织迄…”其大意为：有一女子不善于 c 织布，每天比前一天少织同样多的布，第一 天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完 探究三等差数列的实际应用 …则该女子第11天织布 ( [例3]某公司经销一种数码产品，第一年可 获利200万元，从第二年起由于市场竞争方 A尺 B罗尺 面的原因，其利润每年比上一年减少20万 元，按照这一规律，如果公司不开发新产品， C D. 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1 1.已知万—295-2，则pg的等差 3.已知等差数列{a.},则使数列{bn}一定为等 差数列的是 () 中项为 ( A.b=-a B.b=az A号 B.√5 C.bn=√an C.2 D.4 n&-日 2.在等差数列{an}中，a1=2,ag十a5=10,则 4.在等差数列{a.}中，已知a2十2ag十a14= a,= ( 120,则2ag一a1o的值为 A.5 B.8 C.10 D.14 提示请完成《素能提升训练》训练四 11