训练2 数列中的递推-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

训练二 数列中的递推 7.已知数列{an}的前n项和S=n2一8，则通项 基础练了现固应用 公式an L.已知在数列{an}中，a1=2,a+1=a.十n(n∈ :8.分别写出下列数列的一个递推公式，并求 N),则a,的值为 各数列的第6项. A.5 B.6 (1)13,31,49,67,… C.7 D.8 (2)1,3,7,15,… 2.已知数列{an}的前n项和S。=n一2n,则 a:十a1s等于 () A.36 B.35 C.34 D.33 3.已知数列{an}中，a1=1,a2=2,且aar+2 =an+1(n∈N+),则a22z的值为() A.2 B.1 c D号 9.已知数列{a.},a1=1,以后各项由a。= 4.已知数列{a.}的前n项和为S。,若au+2= 一an,且a1=1,a2=2,则S22=（) a-十nD0≥2)给出. A.0 B.1 (1)写出数列{an}的前5项； C.2 D.3 (2)求数列{a}的通项公式 5.分形儿何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗 特在20世纪70年代创立的一门新的数学 学科，它的创立为解决众多传统科学领域 的难题提供了全新的思路.按照如图1所示 的分形规律可得如图2所示的一个树形图. 若记图2中第n行黑圈的个数为an,则a。= () 第1行 第2行 第3行 图1 图2 A.55 B.58 C.60 D.62 6.数列1,3,6,10,15，…的递推公式可以是 am=am-1十 (n∈N,n≥2).又a1o =55,则a12= 3 》高中数学·选择性必修第三册(RJB) 能力练/斌移海用 创新练素能路优 10.已知数列{4.}，an=a"十m(a<0,n∈ 14.求下列数列的通项公式 N),满足a1=2,a2=4,则a3= (1)已知{a.}满足a1=0,am+1=am十n,求 数列{an的一个通项公式（已知1十2十 11.数列{an}满足：a1十3a2十5a4十…十(21-1) a.=(n-1)·3+1+3(n∈N'),则数列 +n=a安： {a.}的通项公式a,= (2)已知数列(a,)满足a,=1,“中= 12.设{a.}是首项为1的正项数列，且(n十1) a+1一a+aw+iam=0(n=1,2,3,…),则 n十2，求数列{a,的一个通项公式。 数列{a.}的通项公式为 13.已知数列{an}满足a1=1,a.=aw-1十 1 =(n≥2)，求an /n+1+素能提升训练 训练一数列的概念 3 0<3m+1<1, 1.D依题意，a1=2×2-2=2,a=3×3-1=8,则aa ∴.0<a,<1.即数列中的各项都在区间(0,1)内. =2×8=16,所以aa1的值是16. 1 1 10.A对于0，令a=mm十220>n=10,易知最大 2.AD对于A,由数列的通项公式以及n∈N·可知，数列 的图象是一群孤立的点，故选项A正确：对于B,由于两 项为第1项.①正确：对于②，数列2，√5,2√2，√ 个数列中的数裤列的次序不同，因此不是同一数列，故 …变为2,5，√⑧，T,…→√3X1-1,√3X2-I, 选项B婚误1对于C,当通项公式为an干时a=号 √/3X3-1,√3X4-1…→a=√3n-1.②正确：对于 ③，a.=kn-5,且ag=11→k=2→a.=2n-5→a1,= ≠号，不特合题意，故选项C错误：对于D,载列宁，， 29.③正确；对于④，由a+1一a,=3>0,易知④正确. 11.D方法一由{a,}是递增数列且a,=n+n, …是递减数列，故选项D正确。 得a+1-an=(n+1)'+入(n+1)-(m2+n)=2n+1十 3.B4m=202sin2022红=2022sin(2xX505+x) A>0对n∈N”恒成立，所以>[-(2n+1)],即> 2 -3. =2022sinr=0. 方法二由（口，是递增数列得一合<受，解得入> 4.C对于A,令a.=1-3n,则a1=-2,a2=-5,不合题 意；对于B,令a=3”-2+2,则a1=-5,a2=一7，不合 -3. 题意：对于C,令a.=2”-n,则a,+1一a,=2+1-2"-1= 12.ca,=+2m+18-++12=n+1+17 n+1 n+1 n十1' 2"一1>0，符合题意；对于D,令a.=(一3)”，则a1=一3， 令4=m十1，t∈N,≥2，函数0)=+1（≥2》在 a1=一27，不合题意， 5.AD当n=1时，cosn+1)x=c0sx=-1,故C不正 2 ■7处有最小值，因为：为正整数，且f(4)=4十12 4 确：当=2时，c0s受=c0s=-1,排除B1当n=3n =婴<f5)=5+号-号所以a的最小项的位 =4时，经验算，A,D均正确，由周期可知A,D正确， 故选AD. _1+a. 13.解(1)由题意可得，a.=n2-5n十4. 6.解析图为a1-2,a=3,所以4=-2，a, 由n2-5m十4<0，解得1<n<4. -弓a,=之a=3,所以a,}是周期为4的周期数列， 又n∈N,.n=2或n=3. 数列{a}中有2项是负数。 则4m=0a4,=4=一子 e:a=t-5+4=(。-）-号aeN, 答案一日 当n=2或n=3时，a,取得最小值，为a=a,=一2 7.a,=3n(答案不唯一，比如a,=3×2-,a,=n+2,…) 1解当=1时一2所以a- 8.解(1)观察可知，a,=一2(n-1). n十1n 3 (2现察可知a料 所以a+1-a,=2n+52m十3(2m+52m+3)>0, 故数列{a,}是递增数列. (3)观察可知，a,=一1卫 (2)若数列{a,}是递减数列，则a+1-a,<0恒成立， n2 kn十kkn 3k 9.解设fm)=9m=9m+2_3m-1)(3m-2_3m-2 即a+4一a,-别+52n+3一(2m+52m+3<0位 9m°-1 (3n-1)(3n+1)3n+1 成立. 令m=10,得第10装a=f10)-器 因为(2n十5)(2n十3)>0，所以必有3k0,故k<0. 即实数k的取值范围为（一∞，0）. （②)个号-器得9加=30，此方程无运基数解，所 训练二数列中的递推 以器不是孩数到中的项。 1.D因为a=2,a+1=a.十n, 3m=2-3at13=1-3m有 所以a2=a1十1=2+1=3， (3)证明：a,一3+13m+1 3 a,=a,+2=3+2=5, 又n∈N”, a:=a1+3=5+3=8. 36 2.Ca,=S-S,=2*-2×2-(1-2×1)=1, 1 a1.=Sa-S,=182-2×18-(172-2×17)=33. (2)由a.=a-十nn-d …a十aw=34. 1 得a,-a-1n(n-n≥2)， 3.C因为a.a+a=a+i(n∈N+), 由a1=1,a2=2,得a=2, ∴.a=(an-a-1)+(a.-1-a.-)+…+(a-a)+(a 由a2=2,a3=2,得a,=1, -a1)+a1 由6=2a=1,得a,=安 D十a-a-++2+2+1 1 由a,=1a,=号，得a,= -()+(2)+…+(侵)+ 由4-a-得a,=1, 1 (1-）+1=-0+1+1=2-是-2元2aeN,). 1 由a,=2a,=1,得a=2, a折化-÷◆ 由此推理可得数列(a,}是一个周期为6的周期数列， .a,=(-1)°+3，.a,=(-1)3+3=2. 1 所以a2a=au6x+6=a6=2 答案2 4.D由a+2=一a,得a+=一a+2=a.,所以数列{a.} 11.解析当n=1时，a,=3;当n>2时，由a1十3a,十5a,十… 是周期为4的数列，所以由a1=1,a1=2得a,=一1，a +(2-3)a-,+(2n-1)a=(n-1)·31+3,得a,+3a =-2,所以a1十a:十a十a,=0,所以S=(a1十a:十 十5as十…+(2n一3)·a.-1=(n-2)·3”+3,两式相减得 a1十a,)×505+a1十a1=3,故选D. (2m-1Da.=(n-1)·3+1+3-[(n-2)·3”+3]=(2n- 5.A已知a.表示第n行中的黑图个数，设b表示第n 1)·3”,所以a=3”,又a1=3,所以a.=3 行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一 答案3 黑两个圈，一个黑图产生下一行的一个白圈2个黑圈， 12.解析(n十1)a21-na十a+1an=0, a+1=2a,+b,b+1=a,+b .(at1+a,)[(n+1)at1-a,]=0. 又a1=0,b1=1: a4=1,b2=1: 又a>0,a+1十a>0. a,=2×1+1=3,6,=1+1=2: 六(n+1Dat-a,=0即4=n a=2×3+2=8,b,=3+2=5: a,n+1 a=2×8+5=21,b,=8+5=13: a1 az as a,=221十13=55，故选A. 6.解析由已知可得，a2一a1=2,a1一a:=3,a,一a=4,a5 -又4=1a=克 一a,=5,所以递推公式可以写成a,=a。-:十n(n∈N+,n ≥2).所以4e=a1十12=ao十11+12=78. 答案。-日 答案n78 7.解析数列前n项和S,=n2-8,n∈N,n=1时，a1= 13.解因为an=a.-1十 1 n+I+√m (n≥2)， S=-7: 1 =√n+I-√m. n≥2时，a,=S.-S.-1=n-8-[(n-1)2-8]=2m-1. 所以a,一a-im干可+ -7,n=1, 则它的透项公式为a,={2m-1,n≥2. 所以a.=(a,一a,-1)+(a.1-a.-)十…+(a2-a)+ a1=(√n+I-m)+(wm-√m-I)+…+(3-√2) 1-7,n=1, 答案a,-{2m-1,n≥2 +1=√m+I-√2+1. 8.解(1)由41-41=31-13=18,41-41=49-31=18， 又4，=1也符合上式， a,-a1=67-49=18, 所以a,=√n+I-√2+1，n∈N. 故可得，造推公式为a,=a.-1十18(n≥2)， 14.解(1)a1一a.=n, .a5=67+18=85,a6=a十18=103. a2-a1=1,as-a=2,a4-a3=3,,a.-a.-1=n (2)由a-a1=2,a,-a,=4=2,a4-a,=8=2', 1.将以上(n一1)个等式相加，得 所以a.一a.-1=2(n≥2)， (a2-a1)+(a-a)+(a,-a)+…十(a,-a-1)=1 a:=a,+2°=31，as=a,+2=63. +2+3++(n-1), 9,解1a=1a=a,十2☆号a,=4十32号 1 1 5 即a,-a=1+2+…+(m-1)=n1)n 2 17 19 a,=a+4x34a=a,+5x4-5 a=0.a=nD(nEN). 2 37 (2)a1=n十2 等差数列{an》的通项公式a,=n十1. a。n 答案n十1（答案不唯一） …82=是×号×号×…× a-1 a1 8解(1)由题意，知a十(5-1Dd=-1, a,+(8-1)d=2, ×, 解得/0一5， ld=1. 则2=n(m+1) a 2 (2)由题意，知 a十a,+6-Dd=12解得8 又a=1,a,=nt+2 la1+(4-1)d=7, 1d=2. 2 .an=1+2(n-1)=2m-1. 而a1=1也适合上式， .a,=2×9-1=17. a.-nn十1) 9.解 2 明：由品+1可得品-2 训练三 等差数列的定义 六数列侣}是以1为首项，2为公送的等差数到。 1.D依题意，a十a,=a1十d十a十4d=4,代入a1=3, ②知1+a-1Dx2=2a-1a,=点 得d=号所以a,=a+(m-1)d=号+a-1D×号 10.D'点(a,,√a,1)在直线x-y-5=0,∴√a -√a-=3,又√a,=√3，{√a,}是以√3为首项， 号0-号个a=35,解得n=53. 2. 3为公差的等差数列，√a,=3+(n一1)×√5= 2.ABD1,2,3显然成等菱数列，但是1,4,9显然不成等 √3m,即a=3n2..a=3×52=75,故选D. 差数列，因此A项不正确：0,0,0显然成等差数列，但是 11.A由题意可知，1,5,11,21,37,61，…，的差的数列为 loga,log2b,log:c这三个式子没有意义，因此B项不 4,6,10,16,24,…,则这个数列的差组成的数列为：2， 正确：因为a,b,c成等差数列，所以2b=a十c,因为2(b 4,6,8,…,是一个等差数列，设原数列的第7项为x, +2)-(a+2+c+2)=2b-a-c=0,所以a+2,b+2,c 则x一61=24十10，解得x=95.所以原数列的第7项 十2成等差数列，因此C项正确；1,2,3显然成等差数 为95，故选A. 列，但是2°=2,2=4,2=8，显然2,2,2不成等差数 12.D根据题意，数列{a.}是首项为a,公差为1的等差 列，周此D项不正确.故选ABD. 数列，所以a,=n十a一1，由于数列6，)满足6=1十a a。 3.B:x一1，x十1,2x十3是等差数列的前3项， ,.x十1一(x一1)=2x十3一(x十1)，解得x=0. 十1，所以>对任意的nEN都成主，故数到 a. .a1-x-1=-1,a2=1a-3,.d=2, {a,}单调递增，且满足as<0,a,>0.所 ∴.a.=-1+十2(n-1)=2n-3. 4.C周为a+1=a.-号，所以a,}是以15为首项，-号 2 ate 解得-5<a<-4. 为公差的等差数列.所以a,=15十(m-1)·(-号）验证 13.证明aa1=2a.-1,a1-2a。-1 a。 可知aa=号au=-号甲aau=一号<0， a1-1-2a。-1-1-1 a. a 5.C设等差数列{an}的公差为d,若a,十a>0,a十a= 1 a,十d+a:十d=(a1+a)+2d,由于d正负不确定，因 “aa,a+1. 而a:十a,符号不确定，故选项A错误；若a十a,<0,a 十a2=a,十a-d=(a1+a)-d,由于d正负不确定，周 “a-1. 而a1十a符号不确定，故选项B错误：若0<a,<a2,可 最到马是等差数列，温首须为1，公差为1 知a1>0,d0,a2>0,a>0,∴ag-a1a=(a1十d)2- a(a+2d)=d>0,∴.a>√aa,故选项C正骑：若a, 小7中aa中 0,则(aa)(a一a)=d(-d)=-d≤0，故选项D错误 14.解方法一设等差教列{a,》的前三项分别为a1,a2: 6.解析设等差数列{a,}的公差为d,因为a=9,a,十ag =10,所以a,十a,=2a1+4d=18十4d=10,解得d= a,依题意，得 a1+a2十a=18, a:a,=66, -2.所以数列{a.}的公差为一2. /3a+3d=18, 答案一2 a(a1+d)(a,+2d)=66. 7.解析设等差数列(a,}的为d,则a1十a:一a=a十a1 十d-a1-2d=a:-d=1,不妨令d=1,则a=2,此时 ld=5. 38