5.1.2 数列中的递推-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

(2)当q=3时，4=3，显然一81不是此数列中的项： 验证当n=1时上式成立 当q=-3时，0，=(-3)°.令(-3)=一81，无解， .an=2n,n∈N. ,一81不是此数列中的项。 答案2n.n∈N 探究四 互动探究解疑难 [例4幻[解] 若a,是数列(4，}所有项中的最大值， 探究一 a+2()≥(m+D(0) [例1][解]a,=1a.1= 2a. ,+2 则 a.≥.1 +2(偏)≥a+3(品) 2 4,十23 6a9释7 2a. a= 2x号 1 a,+22 由于n∈N,.n=7成n=8. 32 2 此时，共最大值a=a,=9x(品) 2a 跟踪训练 a+2 4.解①因为a.=f-21+20=(。-)广-3到 2+2 可知对术柏方程为”一号 2a a,= 以是 a,+2 3 又∈N,故n=10或n=11时，a。有最小值，其最小值 为102-21×10+20=-90. 收孩数列的精5项穷1号，宁号宁 (2)由(1)知，对于效列{a,}有：a>a2>…>aw=d< 跟踪训练 a1<…, 1.Aa1=1,a2=2,a.十a,1+a+:=1. 故数列{a}没有最大项. ∴a,=1-a1-ag=1-1-2=-2, 随堂巩固促应用 a,=1-a-a=1-(-2)-2=1, 1,C第一项为正数，B,D中求出第一项均为负数，排除， 4。=1-a.-a,=1-1-(-2)=2, 而A,C均满足a1=2,A中a:=-5,a,=8,排除A.C 中满足a,=-5,a,=9,a,=-14,故选C. 由此推理可得数列{a是一个周期为3的周期数列，所 2.B由题设2n十1=17可得n=8,故17是这个数列的 以aga=43=一2. 第8项. 3B因为高？温然随者的游大：设-月 1 解析由2+2，分别取n=12,3可得a:=2士 a 8=2+1 ,=2+1 是递增的，故a。是递减的，则数列a。是递减数列. .B根%是意0=3d-28=3(口一营)-1g 又由n∈N,则n=5时，a,取得最小值，故选B 答案号 探究二 5.1.2数列中的递推 [例2】[解析](1)为a+1=“,十n+ 自主学习探新知 知识点一 ”n十7 11 1.相邻两项两项以上 则a.一a-4=n-1n 2.a.-1n数列 11 微思考 4,一4：n-2' [提示]不一定，例如2精确到1.0.1,0.01,0.001.…的 11 不足近似值构成的数列：1,1.4,1,41,1.414，…，没有递推 4+449 公式. 11 知识点二 1.a1十a十a+…十a. 2.a1十a:十a十…十a。-1S.-i十a 微练习 所以a,一a,-1十a,-1一a.-:十4-一a-十…十a一4十4 解析：S,=m十1，当1=1时4，=S,=2, 11 1 当n≥2时a。=S。-S.1=n2+n-[(n一1)+(n-1)] =2n+ +1- 1 2 即a,-4,=1- 6.解析当n=1时，a1=S,=2-2=2: n 当n≥2时，a.=5,-5-1=(2+1-2)-(2*-2)=2 又周为,=3,所以a.=1-+a,=4- 检验：当n=1时a=2,所以an=2. (2》国为a一n十24所以2=n 答案a.=2 a,n十2 随堂巩固促应用 所以4=号·0=ann≥2 1.D因为a1十=亏，所以a,=3又a=1+上三 d n一1 景所以4，=受又4=1+士受所以4=2 ”-1= 2 2.Ba:=2-2+1=3,a=9-6+1=4,所以可猜想a n十1n(H+1) =m十1. 因为4=2，所以a,=n(十 4 3.解析S.=2"十1，.a,=S,=2十1=3，.a2十a= S-a,=2+1-3=6. [答案](1)4-1 (2)a,=n(n+1） 答案6 跟踪训练 3.解析由题意知a:一a,=1,d一a=1,…,a,一a。-1=1 4解折在数到a,中，a=2马a≥2，n∈ (n≥2)， N), 以上各式相加，得4，一4，=1十1十…十1=n一1. 2 …2-8×X义是所以 dx a:do 《一1》 因为a,=1,所以4，=n(n≥2). =9,则4n=9×2=18. 又a=1也满足a.=n, 答案18 所以数列{a,}的通项公式为a.=n(n∈N). 5.2等差数列 答案n 4.解析易知a,≠0，由a,+1=2a,(n∈N),可得“1=2， a。 5.2.1等差数列 所以当≥2时品=2 第1课时等差数列的定义 所以8=8×8X…××9=2X2×…X2X2 al aa: aa 1每-1个 自主学习探新知 =2-,所以a,=2-(n≥2). 知识点一 因为当n=1时，a1=1也满足a,=2, L.2同一个常数da+t一a.=d公差 所以数列{a,}的通项公式为a,=2 2.a+(n-1)d 答案2” 微判断 探究三 (1)√(2)×(3)× [例3][解](1)当n=1时，a=S=7: 知识点二 当n≥2时，8，=S.-S.-1=(2n+3n十2)-[2(n-1) a,+(n-1)d=d+(a,-d)(1)da,-d(2)d +3(n-1)+2]=4n+1. 微思考 又“，=7不特合上式， [提示](0，十o∞). /7,2=1, 互动探究解疑难 所以a= 4n+1,n≥2， 探究一 (2)当n=1时，a,=S,=2: [例1][解析](1)设等差数列{a,)的公差为d, 当n≥2时，4.=S.-S。-,=(3"-1)-(3”1-1)=2× 由题意可知， 8+24-7。解得 12a,+10d=32, 1d=3. 3,显然a,=2符合上式， (2)数列{a,}中，由a,t=a,+3,得a+1一a,=3, 所以a=2×3"(n∈N) 则数列{a,}是公差d=3的等差致列， 跟踪训练 于是得a.=a,十(n-1)d=3n+2. 5.解析由题意，n=1时，a,=S,=1: 由a.=20,脚3n十2=20，解得n=6,所以n等于6. n≥2时.S-,=21-(n-1),则a,=S.-5.-1=(2” (3)因为≥2时，有1十上=2，即1-1=上 m)-21+(n-1)=21-1,于是a,= 1,n=1, 12-1-1.n≥2. ,所以数到日}是等差数列.周为0=14 a.- 1,n=1, 答案a.={21-1,n≥2 a44。-1 3事高中数学·选择性必修第三册(RJB) 川规律方法川 (2)数列{a,}有没有最大项？若有，求出最 (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数 大项，若没有，说明理由。 的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性，最大 值，最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或 其有限子集{1,2，…，m这一条件， (2)可以利用不等式组 a,≥'找到数列的最 a.≥d.+1 大项：利用不等式组口a'我到数列的最小项 la,≤a+ 跟踪训练 4.已知数列{4n)的通项公式为an=n2一21n +20. (1)n为何值时，a。有最小值？并求出最 小值： 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.数列2，一5,9，一14，…的一个通项公式可 3.已知数列{a,的通项公式为a,一2m”,按 以是 () () A.an=(-1)"1(3n-1) 项的变化趋势，该数列是 A.递增数列 B.递减数列 B.a.=(-1)"(3n-1) C.摆动数列 D.常数列 C.a,=(-1)-1n(n十3) 4.设数列a.=3n2一28n,则数列的最小项是 D.a,=(-1)n(n+3) () 2 A.第4项 B.第5项 2.已知数列3,5,7,9，…，(2n十1)，则17是这 C.第6项 D.第7项 个数列的 A.第7项 B.第8项 提示请完成《素能提升训练》训练一 C.第9项 D.第10项 5.1.2 数列中的递推 [学习任务] 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式. 3.了解数列的函数特性. 第五章数列 自主学习探新知 暖前预习双基藻实 知识点一 数列的递推公式 己微思考 1.数列的递推公式 [思考]所有数列都有递推公式吗？ 如果已知数列的首项（或前几项），且数 列的 或 的关系都可 以用一个公式来表示，则称这个公式为数列 知识点二数列的前n项和 的递推关系（也称递推公式或递归公式）， 1.一般地，给定数列{an},称Sn= 2.数列的通项公式与递推公式的区别与联系 为数列{am}的前n项和， 2.一般地，如果数列{an}的前n项和为Sm,那 递推公式 通项公式 么当n≥2，有S.-1= 表示a.与它的前一项 表示a.与 ,Sn=a1十a2十ag十…十am-1十aw… 区别 (或前几项) 间的关系 所以S。= ,因此a. 之间的关系 S,=1, Sn-S.-1n≥2. (1)都是表示 的一种方法 联系 (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项 赵微练习 公式 已知数列{am}的前n项和为S.=n2十n,则 互动探究解疑难 要点归结单难突骏 探究一 由递推公式求数列的项 川规律方法川 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式 [例1门已知数列{a.)的第1项a,=1,以后 中各部分的关系，依次代入计算即可，另外，解答这类 问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整 的各项由公式a。42给出，试写出这 理成用前面的项表示后面的项的形式：若知道的是未 项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项 个数列的前5项. 的形式 口跟踪训练 1.已知数列{an}中，a1=1,a2=2,an十am+1十 a+2=1,n∈N”,则ag2g= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.在数列(a,中，a=1,a1=2+,则4， 探究二 由数列的递推公式求通项公式 [例2](1)在数列{a.}中，a1=3,an+1=a.十 n(m十万，则通项公式a,= 5 》高中数学·选择性必修第三册(RJB) (2)已知数列{a,}的项满足a+1一n十24 (2)S.=3"-1. a1=2,则数列{a.}的通项公式为 规律方法 由递推公式求通项公式的技巧 (1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要 问题之一，是高考考查的热点，累加法、系来法，选代法 是解决这类问题的常用技巧， (2)当a,一a。=f(n)且满足一定条年时，常用a =(a。-a.-)+(a-1-a,-2)+…十(a:一a,)+a1来 求. (3)当“。=f(m)且满足一定条件时，常用a, - 川规律方法 a.a-1..4.…a,来求a 由S.求通项公式a,的步骤 (1)当1=1时，d1=S,: ☑跟踪训练 (2)当n≥2时，根器S.写出S.t,化筒a。=S S.-1t 3.设数列{a.}满足a1=1,且aw+1一a。=1(n∈ (3)如果41也满足当n≥2时.a,=S.一S.-,的通 N),则数列{an}的通项公式为an= 项公式，那么数列{a,}的通项公式为a。=S。-S.1:否 则数列(a.}的通项公式要分段表示为a。= 4.已知数列{an}中，a1-1,aw+1=2a.（n∈ S,n=1, N·),则数列{a.}的通项公式为a.= S.-S。-n≥2 ☑跟踪训练 探究三由S.求a 5.数列{an}的前n项和为S.,S。=2-n(n∈ [例3]已知S。是数列{a.}的前n项和，根据 N),则{a}的通项公式为 条件求am 6.已知数列{an}的前n项和为S.,且Sn=2"+ (1)S.=2n+3n+2: 2,则数列{4.}的通项公式为 随堂巩固促应用 验证反偏迁移运用 1.已知数列{a,)满足a+1=1十1，且a,= 8 A.4m=n-1 B.a.=n+1 C.a=n D.a.=n+2 则a1= 3.已知数列{am}的前n项和S.=2”+1,则a: A号 B.1 十a3= c号 D.2 4.在数列{am}中，a1=2, 2.设数列{an}满足a+1=a一nan十1，a1=2, ∈N”),则a=一 通过求a2,a:猜想a。的一个通项公式为 ( 提示请完成《素能提升训练》训练二 6