5.1.1 数列的概念-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教B版2019）

第五章 数列 5.1 数列基础 5.1.1数列的概念 [学习任务] 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法，掌握数列的分类，了解数列的单调性 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项. 3.会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式， 自主学习探新知 课前颜习双基落实 知识点一数列的概念 为an的序号，其中n为正整数，即n 1.按照 排列的一列数称为数列.数 ∈N,),称为数列的通项.此时，一般将整个数 列简记为 列中的每一个数都称为这个数列的 2.一般地，如果数列的 ,各项依次称为这个数列的第1项（或 a。与n之间的 关系可以用 来表示，其中f(n)是 ),第2项…，组成数列的数的个 关于n的不含其他未知数的表达式，则称上 数称为数列的 述关系式为这个数列的一个 2.一般地，项数 的数列称为有穷数 赵微练习 列，项数 的数列称为无穷数列.有 2 穷数列的最后一项一般也称为这个数列的 1.若数列的通项公式为a,=十1：则该数列 的第5项为 () 赵微判断 判断正误（正确的画“√”，错误的画“X”). A司 (1)1,1,1,1是一个数列. ( c D品 (2)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}. 2.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式 是 (3)1,2,3,4与4,3,2,1表示同一个数列. 知识点三数列与函数的关系 1.数列与函数的关系 知识点二数列的通项 事实上，数列{an}可以看成定义域为 1.数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,a。, 的子集的函数，数列中的数就是自 …,其中a表示数列的第 项（也称 变量从小到大依次取 时对应的 ●高中数学·选择性必修第三册(RJB) 函数值，而数列的通项公式也就是相应函数 赵微思考 的 这就提示我们，数列也可以用 [思考]如何判断一个数列是递增数列还 平面直角坐标系中的 来直观地 是递减数列？ 表示 2.数列的单调性 从第2项起，每一项都 它的前一项 递增数列 的数列 从第2项起，每一项都 它的前一项 递减数列 的数列 常数列 各项都 的数列 摆动数列a,与a-1的大小不确定 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一 数列的概念与分类 (3)7,7,7,7,… [例1]已知下列数列： 4)1,111 3'9'27'81… (1)0,0,0,0,0,0: (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 (2)0,-1,2,-3,4,-5,… (6)0,-1,2,-3,4,-5,…. 02号” n ,…； (4)1,0.2,0.22,0.23,…5 (5)0,-1,0,…,c0s2元，… 其中，有穷数列是 ,无穷数列是 递增数列是 ,递减数列是 探究二 由数列的前几项求通项公式 一，常数列是 ,摆动数列是 [例2]写出下列数列的一个通项公式： .(填序号) 2号8 25 川规律方法川 判新给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需 (2)9,99,999,9999,…; 观察数列是有限项还是无限项，若数列含有限项，则是 有穷数列，否划为无穷数列。而判断数列的单调性，则 爵要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关 1 1 11 系，若满足a.<a+1,则是递增数列；若满是a,>a+1 (4)-1X2'2X3’一3X4'4X5… 对是递减数列：若满足a。=a+1,则是常数列；若a,与 a+的大小不确定时，则是摆动数列. 口跟踪训练 1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数 列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？ 哪些是常数列？ (1)1,0.84,0.84,0.843,… (2)2,4,6,8,10,…: 2 第五章数列 川规律方法川 川规律方法 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等 数列的通项公式给出了第n项4。与它的位置序 (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变 号n之间的关系，只要用序号代替公式中的程，就可以 化部分的规律与对应序号间的函数解析式， 求出数列的相应项. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对 (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 值，再用（一1）”或（一1）处理符号. 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于m的 (4)对于周期数列，可考思拆成几个简单数列之和 方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项：若方程 的形式，或者利用周期函数，如三角函数等 无解成解不是正整数，则不是该数列的一项。 跟踪训练 。跟踪训练 2.写出下列数列的一个通项公式. 3.已知数列{an}的通项公式为an=g,n∈ 1)1,234 N+,且a4-a2=72. 3456… (1)求实数q的值； (2②10,30507… 1 (2)判断一81是否为此数列中的项. (3)0.8,0.88,0.888,…; 0日言-立… 探究四数列的单调性及应用 [例41已知数列a,a,=(n+2品).间：当 n为何值时，a,取得最大值？并求出最大值 探究三数列通项公式的应用 [例3]已知数列{a.}的通项公式为an=n(n十2). (1)求这个数列的第10项、第15项及第 21项； (2)判断440是不是这个数列中的项，222呢？ 如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 3 》高中数学·选择性必修第三册(RJB) 川规律方法川 (2)数列{a.}有没有最大项？若有，求出最 (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数 大项，若没有，说明理由。 的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大 值、最小值等，此时要注意数列的定义城为正整数集或 其有限子集{1,2，，n}这一条件. (2)可以利用不等式组 a,≥'找到数列的最 aw≥a.t 大项：利用不等式组口a'找到数列的最小项。 la,≤a+d 跟踪训练 4.已知数列{a.}的通项公式为a.=n2-21n +20. (1)n为何值时，a.有最小值？并求出最 小值： 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.数列2，一5,9，一14，…的一个通项公式可 3.已知数列{a.}的通项公式为a. 以是 2n-1,按 A.an=(-1)-1(3n-1) 项的变化趋势，该数列是 () A.递增数列 B.递减数列 B.an=(-1)(3n-1) C.摆动数列 D.常数列 C.a.=(-1)-1n(n十3) 2 4.设数列a。=3n2一28n,则数列的最小项是 D.a.=(-1)n(n+3) () 2 A.第4项 B.第5项 2.已知数列3,5,7,9，…，(2n+1),则17是这 C.第6项 D.第7项 个数列的 ( A.第7项 B.第8项 提示、，请完成《素能提升训练》训练一 C.第9项 D.第10项 5.1.2 数列中的递推 [学习任务] 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项， 2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式. 3.了解数列的函数特性. 4同步课堂讲义 第五章 数 列 (2)各项加1后,变为10,100,1000,10000,.,此数列的 通项公式为10”,可得原数列的通项公式为a.-10”-1. (3)因为1-1+2--2+,3-3+ 5.1 数列基础 #4104. 5.1.1 数列的概念 所以该数列的一个通项公式为a.-n十 1+1 自主学习探新知 知识点一 (4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的 1.一定次序 项 首项 项数 积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项 2.有限 无限 末项 公式是a.-(-1)1 n(n1 微判断 跟踪训练 ( (2)x (3)x 2.解(1)由所给数列可写成4.. 知识点二 1.nn(a.) 2.第n项a.一f(n)通项公式 微练习 (2)由题设数列的奇偶项的规律,得原数列的一个通项 [0,n2,Z. 2.解析 通过观察数列中数据的特征可得第”项数等于 2的n次方加1,即a.-2+1,n后N. 答案 a.-2“+1,n后N. (3)由原数列可写成。( 1-10),。 1-). 知识点三 8(1).. 1.正整数集 正整数值 解析式 点 2.大于 小于 相等 .原数列的一个通项公式为a.-8(1-1o). 微思考 [提示](1)按定义判断:若a:a.,则{a.)是递增数 列;若aa.,则a.是递减数列. (2)利用函数f(n)在(0,十o)上的单调性判断 ×33(-1)“×34. 互动探究解疑难 探究一 [例1] [解析](1)是常数列且是有穷数列; (2)是无穷摆动数列; (3)是无穷增数列(因为”-1-1-); 探究三 [例3][解](1)由题可知,数列(a.)的通项公式为a。一 (4)是无穷递减数列; (5)是无穷摆动数列. n(n十2). [答案](1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1) 则数列的第10项为;a。-10x(10+2)-10x12-12 0 (2)(5) 第15项为;a-15X(15+2)-15x17-255 跟踪训练 第21项为:a.-21x(21+2)-21×23-483 1.解(5)是有穷数列;(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列; (2)令a.-440=n(n十2),解得n-20. (2)是递增数列;(1)(4)(5)是递减数列;(3)是常数列. 所以440是这个数列中的项,是第20项 探究二 令a.=222-n(n十2),解得n- 223-1,不是整数, [例2] [解](1)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将 故222不是这个数列中的项. 各项都统一分数再观:#,162...所以它# 149 1625 跟踪训练 的一个通项公式为a.一(nN). 3.解 $(1)由题意知 -^{-72,则q-9或^=-8(含$$$ 去).'.q-士3. _ (2)当q-3时,a.-3”.显然一81不是此数列中的项; 验证当”一1时上式成立。 当q=-3时,a.-(-3)”.令(-3)--81,无解, 'a.-2n,nN. .一81不是此数列中的项. 答案 2n.nN. 探究四 互动探究解疑难 [例4] [解] 若a.是数列(a.)所有项中的最大值, 探究一 [例1][解]“:-1,a--2' (n+2)();>(n+1)()” 2a. a.a. (n+2)();(n+3)()“, [9(n+2)>10(n+1)解得7<n<8. 副 (10(n+2)一9(n+3), 由于nN',.',n-7或n-8 此时,其最大值a,-ax-9×(1)。 跟踪训练 4.解(1)因为a.-n}-21n+20-(~-21)-31. 又nN.,故n-10或n-11时,a.有最小值,其最小值 为10-21×10+20--90. 故该数列的前5项为1,. (2)由(1)知,对于数列(a.)有:a>a.>a。=a 跟踪训练 a.... 1.A 'a-1,a=2,a.+a+a,=1, 故数列a.)没有最大项, 'a-1-a-a=1-1-2--2, 随堂巩固促应用 a-1-a-a-1-(-2)-2-1, 1.C 第一项为正数,B,D中求出第一项均为负数,排除, a=1-a-a=1-1-(-2)-2, 而A,C均满足a-2,A中a--5,a-8,排除A,C ...._. 中满足a.--5,a.-9,a.--14,故选C. 由此推理可得数列a是一个周期为3的周期数列,所 2.B 由题设2n十1-17可得n-8,故17是这个数列的 以a-a。--2. 第8项. 2.解析 由a,-2+1,分别取nn-1,2,3可得a-2+ n --1 , d: -#~ 是递增的,故a.是递减的,则数列a.是递减数列. 又a-1.a:-3,a:-7,a:- 二 17} 又由nN。,则n-5时,a.取得最小值,故选B. 探究二 5.1.2 数列中的递推 [例2][解析](1)因为a-a.+n十1]) 自主学习探新知 即a.-a.-1-1 知识点一 1.相邻两项 两项以上 2.a.一n数列 微思考 a:-△_--_3-2 [提示] 不一定,例如v2精确到1,0.1,0.01,0.001,...的 11 不足近似值构成的数列:1,1.4,1.41,1.414,..1,没有递推 .... 公式. --# 知识点二 1.a.+a:+a.+..+a. --1-. 2.a.+a十a:+.+a-1 s_.十a. 微练习 所以a.-a,+a-,-a:十a_,-a,十.+a-a+a: 解析 .S-n+n,..当n=1时.a-S-2. 当n2时,a.=S-S=n+n-[(n-1)+(n-1)] #-# -2n. 2