辽宁省营口市高级中学等2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024一2025学年度上学期期末考试高二试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第1卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合要求。） 1.已知元4∈R,下列可使非零向量a,b,c组成的集合{a,b,c成为空间的一组基底的条件是() A.b=Ac B.a,b,c两两垂直C.a=b+ucD.a+b+c=0 2.直线3x+2y+1=0与圆(x+1)2+(y-1)2=r2(r>0的位置关系是（) A.相交 B.相切 C.相离 D.与r有关 3.在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率 称为系统的可靠度，现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所示的系 统，已知当甲正常工作，且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能 正常工作，其中甲部件的可靠度为0.9，乙、丙部件的可靠度均为07， 而且甲、乙、丙互不影响，则系统的可靠度为() (第3题) A.0.441 B.0.63 C.0.819 D.0.9 4.抛物线y=4x2的准线方程是() A.=-I C.x=-1 D.y=-1 16 B.y=-I 16 5.某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和 校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有() A.14种 B.16种 C.18种 D.20种 6.已知 的展开式中，常数项为135，则a的值为() A.2 B.2或-2 C.3 D.3或-3 高二数学 共4页第1页 半广 7.《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法： 虚 甲 “半广以乘正从”，数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形 正 的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同， 从 则不同的涂色方法有（) 盈 甲 A.48种 B.96种 C.102种 D.120种 入 (第7题) 8.已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,圆C:x2+y-1)?=16与抛物线E交于A,B两点，点P 为劣弧AB上不同于A,B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线I,直线1交抛物线E于点N, 则△PFN周长的取值范围是() A.（7,9) B.(7,10) c.(8,10) D.(8,10] 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，) 9.从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用X表示所选5人中女生的 人数，用Y表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是() A.X-引 B.Y-H(14,5,8)C.E(X)<E(Y) D.E(X)+E(Y)=5 10.如果a,b分别是平面a,B的一个法向量，设a,B所成角的大小为0，以a为方向向量的直线1 与平面B所成角的大小为P,则( A.sine=sin(a,b)B.cos0=cos(a,b)C.coso=sin(a,b)D.sino=cos(a,b) 11.已知点M是圆A:(x+2)2+y2=r2(r>0)上的动点，点B为(2,0)，线段BM的垂直平分线交 直线MA于点P,点2为(-1,2)，则下列结论正确的是() A.若r=1,且圆C与圆A外切，与y轴相切，则点C的轨迹为抛物线 B.若r=3,动点P的轨迹是双曲线的右支 C.若r=4,D,E在圆A上运动，且∠DOE=90°，F为线段DE的中点，则点F的轨迹是圆 D.若r=8,动点P的轨迹是椭圆 高二数学 共4页第2页 第川卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩X近似服从正态分布N(108,σ2)， 已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在108~140之间的人数约 为 1B.已如箱圆号+后=o>b>0的焦点分别为50，心5Qe),过精圆外-一点P03刘和右 x2 项点M的直线交椭圆于另一点N,若MR∥NF,则椭圆的离心率为 14.有一种运算a0b,三个互异的数a,b,c运算时可以有不同的运算方法，如(a0b)0c,a0(b0c), (b0a0c,b0(a◇c),(b0c)~a,b0(c0a)就是其中6种不同的运算方法.设n个互异的数的不同运算 方法共有1n种，则13=一，14= (用数字作答，一空2分，二空3分). 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(本题满分13分) 已知抛物线y2=-x与过点(20)直线1相交于AB两点，点O为坐标原点. (1)求OAOB的值： (2)若△OAB的面积等于3，求直线/的一般方程. 16.(本题满分15分) 若(2x-1)”的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且(2x-1)”=a。+ax+a2x2+4x2+ …+a,x".(neN) (1)求x2的系数a2: (2)求a+a++…+a的值. 高二数学 共4页第3页 17.(本题满分15分) 某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢一庆十一拔河比赛共15个队抽签参加单淘汰制（赢 得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰)比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进 入下一轮比赛)，周二四强赛，周三半决赛，周四决赛。 (1)比赛共需进行多少场？ (2)假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为二），设一号队参加比赛场数为X, ()求随机变量X的分布列和数学期望： ()求一号队在X=3的条件下获得冠军的概率。 18.(本题满分17分) 如图，四边形ABCD是正方形，四边形AEPD是直角梯形且PD∥EA,PD⊥CD, PD⊥AD,AD=PD=2EA=2,BP,BE,PC的中点分别为F,G,H (1)画出过点F,G,H的截面（不必写出证明过程）： (2)求直线CE与平面FGH所成角的正弦值； (3)若M是(1)中过点F,G,H的截面上一点，二面角M-PE-D的 G 余弦值为5， 求满足题意的M点轨迹的长度， 3 (第18题) 19.(本题满分17分) 已知F(-2,0),F(2,0),动点P满足PF-PF=2W2, (1)求动点P的轨迹C的方程： (2)设在P点处曲线C的切线为：y=a+m,若M,N为1上两点，且满足O丽.M派=0， PF.NF=0, ()证明：N点在定直线上，并求出定直线方程： (i)是否存在点P使an∠PNF.tan PFM=2成立，若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明 理由， 高二数学 共4页第4页2024一2025学年度上学期期末考试高二试题 数学（参考答案及评分标准） 一、单选题：1-5 BACBA6-8DBC 二、多选题：9.BCD 10.AC 11.ACD 三、填空题：12.900 13.3 14.12:120 3 14.提示：三个互异的数a,b,C全排列有A种，对于一个排列，括号只有2种放置方法，所 以I3=2×A=12 四个互异的数a,b,C,d全排列有A种，对于一个排列，共有如下几种“相乘方法”： a((boc)od),ao(bo(cod)),((aob)oc)od,(ao(boc))od,(aob)o(cod), 14=5×A4=120 15.(本题满分13分) (1)解：设A(-火，)，B(-火2，)…1分 由题直线与r轴重合不满足题意，2分 设直线lx=my-2 3分 X-m-2得广4my-2=0.显然A>0.4分 y=-x 有男+⅓=-m,%=-2.6分 04-08=(-7X-)+%2=4-2=2.……… …8分 (2)分24-G+g）4w=F+8=3 …10分 解得m=.… 12分 即直线1的方程x+y+2=0或x-y+2=0 13分 注：直线不同设法中，不讨论斜率不存在扣一分. 16.(本题满分15分) 解：(1)第3项与第9项的二项式系数相等，则C-C,解得n=103分 (2x-l)“的展开式中x2项为：C(2x)(-)=180r2,…5分 答案第1页，共5页 所以a3=180.7分 (2)由(1)知，(2x-1)"的展开式中，当x=0时，a=1，…9分 因为a0,42,a4,a6,0s,a0∈(0，+∞），a,0,45,01,4y∈(-0,0）.10分 所以a+a+aHa+…+a0=a-a+a2-a3+…+ao……11分 当x=-1时，a-a+a2-4+…+a0=(-3)°=30， 13分 所以|a,l+a2+|a|+…+g=39-1… …15分 17.(本题满分15分) 解：(1)周一进行7场比赛，周二进行4场比赛，周三进行2场比赛，周四进行1场比赛， 共进行1场比赛：3分 (2)(1)易知该队抽到轮空签的概率为 1 5’4分 根据题意可知，X的取值范围是山，2,3,4}.…5分 X=0e5×2+}g×26分 X 111,14111 P(X=2)=15X2215224… 7分 nr=品 8分 141.117 PX=4)=1522*260 ..9分 因此X的分布列如下表所示 2 3 2 7 4 15 60 BX)=1×)+2x+3x 7 28 2 4 5*4 6015 10分 (i)设该队共进行了3场比赛，B该队获得冠军11分 P4n-对0 13分 1 因此PA1B)=PAnB).120-1 P(B) 216 15分 1 注：没画分布列表格扣二分，只有表格，没有前面计算，概率对了不扣分 答案第2页，共5页 18.(本题满分17分) (1) 9444分 D G (2)因为PD⊥CD,PD⊥AD,AD⊥CD,如图以DA方向为 x轴正方向，以DC方向为y轴正方向，以DP方向为z轴正 方向建立空间直角坐标系，则E(2,0,)C(0,2,0),P(0,0,2), B(2,20),可得G(2,1F0,1)H(0,11)6分 G 设平面FGH的法向量为n=(x,y,z), -x=0 2=0' n=(0,1,0),8分 G正=220，设直线CE与平面FGH成角为0，血0-msuG-号 …10分 直线CE与平面PGH所成角的正弦值为子： 11分 (3)因为M是截面FGH上一点，设M(x,1,), 设平面MPE的法向量为m=(x,y,z),M=(化-21，-)，PE=(2,0-), x(,-2+y+。-0=0令x=1,有m=0,4-元-22,2)12分 2x-z=0 且易知面PED法向量5=(0,1,0)，13分 由题三面角M-PE-D的余弦值为兰，有云 4--2z-5 V5+(4-x。-2273 5 整理得4-x。-2z。=± 2 15分 截面FGH辅图如下： 13 所以满足题意的M点轨迹为，)，(@，子之间的线段，长 3 x。+2:0- =0 2 H 度为3V5 417分 4 注：(1)只要能看出平行就给分，虚线画成实线扣一分(3) +2,-}0 Xo 其他做法数对就给分，最后结果不对，但有点(0,1，弓给15分. 答案第3页，共5页 19.(本题满分17分) 解：(1)根据题意有PF-PF=22<4=E, 1分 所以P点一定在是以F,F为焦点，实轴长为2√2的双曲线上，… 2分 又因为PF-PF=2√2>0可知PF>PF因此P点横坐标大于零，3分 P点轨迹方程为C:X2-y2=2(x>0)4分 (2)(i) -=2得0-k2-2kmx-㎡-2=0 5分 y=k x+m 因为1与曲线C相切，所以△=0，即m+0-km+2)=m+2-2X=0,m=2k2-2①…7分 此时P点坐标为是.设N化k气+四 币=（是2，受，瓜=《-2+则，因为序示0 2-2%-34(保*m=0 (m-2+2Kx,-2)+kmx+m=0,又n㎡=2K2-2① (m-2+2X6-2)+kmx+2K2-2=0,整理得(2m-2+2K-)=0所以=1 N点在定直线x=l上10分 (ii)法一：由(2)N(L,k+m),kw=-k-m=tan∠PFM …11分 k+k+m 因为PF⊥NF,所以PFM=∠PN,tan /PNF= 1-k(k+m 12分 k+k+m tan∠PF.tan∠PFM 1-k(k+m (k-m= 2k2+3km+m 2K2+36m+n2 4k2+6m+27 4}+6+2 k2+km-1 k+tkmn-(k2 m 2km+mf 21 解得：冬=0或冬=2，又因为k=0不符愿，所以点=0舍) [m=2K-2 k=-2m 解得？-8 .15分 答案第4页，共5页 k24 P点横坐标本m 2 1=4 1-1-= 7 存在点P使amP八F-amn☑PM=2成立，此时P点横坐标为4.17分 法二： tan☑PNF.tan☑PnM=IPFsin /PEM 2 FMLPF1sin☑PFM NFCOS ZPFM 2 FMLNF cos☑PM IFMrEsinPEM 2FMINFisin./NFM S-3k,-=2 SAFM 2-1 xp=4或xp=0(舍) 存在点P使nP八VF.tan☑PFM=2成立，此时P点横坐标为4.17分 注：(1)未证明直接使用二级结论，扣4分，证明后使用不扣分， (2)(3)分点给的简略，答案对的请给分，答案不对的请大家酌情给分。 答案第5页，共5页