精品解析：广东省深圳市福田区2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题

2024年初三年级期末质量检测 数学（12月） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，共24分） 1. 从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图．根据观察方向即可求解． 【详解】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形 且两个长方形在左侧位置对齐 故选：A 2. 数据显示2022年末南昌市常住人口约654万人，654万可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．且n比原来的整数位数少1． 根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：654万. 故选：B. 3. 如图，直线，射线AB分别交直线a，b于点B，C，点D在直线a上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：∵a∥b， ∴∠1=∠DBC=50°， ∵∠DBC=∠A+∠2，∠A=30°， ∴∠2=20°， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 5，3．1 B. 5，，1 C. 2，，1 D. 5，1， 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次项系数，一次项系数及常数项的定义得到结果即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，，1． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 5. 八年级学生去距学校s千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了1小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的m倍，设骑车同学的速度为x千米/小时，则可列方程（　　） A. =+1 B. -=1 C. =+1 D. =1 【答案】A 【解析】 【分析】设骑车同学的速度为x千米/小时，则汽车的速度为mx千米/小时，根据时间=路程÷速度结合骑车的同学比乘车的同学多用1小时，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】设骑车同学的速度为x千米/小时，则汽车的速度为mx千米/小时， 根据题意得：=+1． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6. 如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据，得到答案． 【详解】解：∵是边上的垂直平分线，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7. 小明从家骑共享单车去体育场锻炼一会儿后，又步行原路返回，途中在早餐店用餐，如图表示小明离家的距离y（千米）与离家的时间t（分）之间的函数关系，则下列说法错误的是（　　） A. 体育场离小明家4千米 B. 小明从体育场到早餐店的平均速度千米/小时 C. 小明吃早餐用了分钟 D. 小明从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 【答案】D 【解析】 【分析】根据观察函数图象的纵坐标，判断A，根据观察函数图象的横坐标，可判断C，根据观察纵坐标、横坐标，可得路程与时间，根据路程除以时间，可得答案． 详解】解：A．由纵坐标看出体育场离小明家4千米，说法正确，不符合题意； B．由纵坐标看出早餐店距体育场千米，由横坐标看出从体育场到早餐店的时间为分钟，所以平均速度为千米/小时，说法正确，不符合题意； C．由横坐标看出吃早餐的时间为分钟，说法正确，不符合题意； D．由横坐标看出小明从早餐店回家的时间为分钟，由纵坐标看出小明从早餐店回家的距离为2千米，所以平均速度为千米/小时，说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程；就能够通过图象得到函数问题的相应解决，需注意计算单位的统一． 8. 如图，在4×4的方格纸中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上，每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述，正确的是（ ） A. △ABC的三边都是有理数 B. △ABC是等腰三角形 C. △ABC的面积为6.5 D. △ABC是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再求出的结果和三角形的面积判断即可 【详解】解：由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝， A、AB和BC边为无理数，AC边为有理数，故本选项不符合题意； B、AB、AC、BC都不相等，不是等腰三角形，故本选项不符合题意； C、△ABC面积为4×4−×3×4−×1×4−×1×3＝6.5，故本选项符合题意； D、AB2＋BC2≠AC2，不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积和勾股定理，能根据勾股定理求出三边的长度是解此题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共5小题，共15分） 9. 若2x＝3y，且x≠0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质求出，变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：∵2x=3y，且x≠0， ∴两边除以2y得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键． 10. 已知，，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：2． 11. 如图，电路图上有三个开关，，，和两个小灯泡，，随机闭合开关，，，中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．正确画出树状图是解题的关键． 先画出树状图，得到所有的等可能的结果数，再找到能让灯泡发光的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果数为2， ∴能让灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 12. 如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边和等边，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、OC．现给出以下结论：①；②；③CO平分；④．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明ACD与BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，根据对顶角与三角形内角和可证②正确，利用反证法可证③不正确，在OA上截取OH=OC，连结CH，过C作CF⊥OA于F，CG⊥BE于G，先证∠CAP=∠CBQ，再证△AFC≌△BGC（AAS），可证△OHC为等边三角形，再证△AHC≌△BOC（SAS），得出AH=BO可证④正确． 【详解】解：∵等边ABC和等边CDE， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB， 即∠ACD＝∠BCE， 在ACD与BCE中， ， ∴ACD≌BCE（SAS）， ∴AD＝BE，故①正确； ∴∠CAD=∠CBE， ∵∠APC=∠BPO， ∴∠AOB=180°-∠CBE-∠BPO=180°-∠CAD-∠APC=∠ACP=60°， ∴，故②正确； ∵ACD≌BCE（已证）， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证）， ∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°， ∴∠ACB＝∠BCQ＝60°， 在ACP与BCQ中， ， ∴ACP≌BCQ（ASA）， ∴AP＝BQ，CP=CQ， ∴△CPQ为等边三角形 ∴∠CPQ＝60°， ∴∠ACB＝∠CPQ， ∴PQ∥AE， 假设OC平分 ∴∠PCO=∠QCO=30°， ∵CP=CQ， ∴OC⊥PQ，OC平分PQ， ∴OP=OQ， ∴CO平分∠POQ， ∵∠AOB=60°， ∴∠POQ=180°-∠AOB=120° ∴∠POC=∠QOC=60°， ∵∠BCA=∠DCE=60°，∠OCA=∠BCA+∠OCP=∠DCE+∠OCQ=90°， 在△AOC和△EOC中， ， ∴△AOC≌△EOC（ASA）， ∴AC=EC， ∵题中没有AC=EC条件， 为此只有AC=EC时CO平分， 故③不正确； 在OA上截取OH=OC，连结CH，过C作CF⊥OA于F，CG⊥BE于G， ∴∠AFC=∠BGC=90°， ∵ACP≌BCQ， ∴∠CAP=∠CBQ， 在△AFC和△BGC中， ， ∴△AFC≌△BGC（AAS）， ∴CF=CG， ∵CF⊥OA，CG⊥BE， ∴CO平分∠AOE， ∵∠AOB=60°， ∴∠AOE=180°-∠AOB=180°-60°=120°， ∴∠HOC=∠EOC=60°， ∴△OHC为等边三角形， ∴CH=CO，∠HCO=60°， ∴∠ACH+∠HCB=60°，∠HCB+∠BCO=60°， ∴∠ACH=∠BCO， 在△AHC和△BOC中， ， ∴△AHC≌△BOC（SAS）， ∴AH=BO， ∴AO=AH+HO=BO+OC， 故④正确． 综上所述，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，需要多次证明三角形全等，反证法，综合性较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键． 13. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，等式右边是通常加法、减法及乘法运算，比如： （1）的值为______． （2）化简的结果为______． （3）若的值大于13，则x的取值范围为____________． 【答案】 ①. 22 ②. ③. 【解析】 【分析】（1）根据新定义的运算直接计算即可； （2）根据新定义的运算列式，然后利用整式的运算法则进行计算即可； （3）根据新定义的运算得出不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：（1）由题意得：， 故答案为：22； （2） ， 故答案为：； （3）∵的值大于13，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的运算，整式的运算，解一元一次不等式，正确理解新定义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 先化简，再求值：，请在0、±1、±2中选一个你喜欢的数字求值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 由分式有意义的条件可知a不能取±2，0，﹣1， ∴当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件及分式运算，根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简是解题关键． 15. 为了解某区2015年七年级学生的体育测试情况，随机抽取了该区若干名七年级学生的体育测试成绩等级，绘制如图统计图（不完整）： 请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量　 　，“A等级”对应扇形的圆心角度数为　 　； （2）请补全条形统计图； （3）该区约10000名七年级学生，根据抽样调查结果，请估计其中体育测试成绩为“D等级”的学生人数． 【答案】（1）200，108° （2）见解析 （3）500名 【解析】 【分析】（1）根据调查学生总人数＝成绩为“D等级”的学生人数÷“D等级”的学生人数占样本总数的百分比，“A等级”对应扇形的圆心角度数“A等级”的学生人数占样本总数的百分比即可解答； （2）根据各等级学生人数=调查的学生总人数×各等级对应所占的百分比求解，并在条形统计图中表示出来即可解答； （3）根据本次调查中体育测试成绩为“D等级”学生人数所占百分比为，从而根据样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的样本容量：（名），“A等级”对应扇形的圆心角度数为． 故答案为：200，． 【小问2详解】 解：B等级的人数为（名），C等级的人数为：（名）． 如图： ． 【小问3详解】 解：体育测试成绩为“D等级”的学生人数为（名）． 【点睛】本题主要考查了样本、条形统计图、扇形统计图、样本估计总体等知识点，从统计图上获取相关信息是解题的关键． 16. 如图，在ABC中，是上的点，，，分别是，的中点，，，求，的长． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据题意及等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，在中，，可得，从而，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ，是的中点， ， 是的中点， ， 又， ， 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，勾股定理和直角三角形斜边上的中线等，掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线等性质是解题的关键． 17. 如图，已知斜坡长为60米，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡． （1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物距离A处30米远（即为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即）为，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】（1） 米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查是解直角三角形——仰俯角问题，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数求出所需长度是解题关键． （1）由题意可得，米，，利用锐角三角函数，分别求出米，米，再得出，进而得到米，即可求出平台的长； （2）在中，利用锐角三角函数，求出米，米，进而得出米，证明四边形是矩形，得到米，米，进而得出米，再利用锐角三角函数，求出米，即可求出建筑物的高度． 【小问1详解】 解：米，中点， 米， 由题意可知，，， ， 在中，米，， 米，米， 斜坡的坡角为，即， ， 米， 米； 【小问2详解】 解：在中，米，， 米，米， 米， 米， 由（1）可知，米，米， 米， ，，， ， 四边形是矩形， 米，米， 米， 在中，，米， 米， 米． 18. 数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为______； x … 0 2 4 5 … y … m 0 1 3 4 4 3 2 … （3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______； （4）画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）画图象见解析；时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 （4）时，x的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据描点法画函数图象，根据图象的变化趋势，可得答案； （4）根据图象，可得答案． 【小问1详解】 解：当时，分母都不为0， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画出函数的图象如图： ； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 故答案为：时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【小问4详解】 解：画出函数的图象，如上图， 观察图象，时，x的取值范围或． 【点睛】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数y1＝3x的图象经过点D，反比例函数的图象经过点D，且与边BC交于点E，连接OE，已知AB＝3． （1）点D的坐标是 ； （2）求tan∠EOB的值； （3）观察图象，请直接写出满足y2＞3的x的取值范围； （4）连接DE，在x轴上取一点P，使，过点P作PQ垂直x轴，交双曲线于点Q，请直接写出线段PQ的长． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或 【解析】 【分析】（1）根据D点纵坐标为3，代入正比例函数即可求解； （2）求出EB，根据正切的性质即可求解； （3）根据函数图象即可直接求解； （4）分当点P在线段AB上时和当点P在线段AB的延长线时，分别求出AP的长，故可求解． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长AB=3 ∴AD=3 ∵D点在正比例函数y1＝3x上 设D（x，3），代入y1＝3x得3=3x 解得x=1 ∴D 故答案为：； （2）∵反比例函数的图象经过点D， ∴k=1×3=3 ∴ ∵E点的横坐标为1+3=4 ∴E（4，y），代入得到EB= ∴tan∠EOB= （3）如图，根据图象可得＞3时，图象在直线y=3的上方， ∴x的取值为0＜x＜1 （4）当点P在线段AB上时，如图1，设AP=m，则PB=3-m ∵S△PDE=S梯形ABED-S△ADP-S△PBE= == 解得m=3 ∴OP=1+3=4 ∴点P（4，0） 当x=4时， ∴Q（4，） ∴PQ= 当点P在线段AB的延长线时，如图2，设AP=m，则PB=m-3 ∵S△PDE=S△ADP-S梯形ABED-S△PBE= == 解m=5 ∴OP=1+5=6 ∴点P（6，0） 当x=6时， ∴Q（6，） ∴PQ= 综上，PQ的长为或． 【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合、解直角三角形，解题的关键是熟知待定系数法的应用、正切的性质． 20. 实际问题： 某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模： 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究： 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： （1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表① 所取的2个整数 1，2 1，3， 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表② 所取的2个整数 1，2 1，3， 1，4 2，3 2，4 3，4 2个整数之和 3 4 5 5 6 7 如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果． （3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． （4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． 探究二： （1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． （2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． 探究三： 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果． 归纳结论： 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果． 问题解决： 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额． 拓展延伸： （1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程） （2）从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果． 【答案】探究一：（3）；（4）（，为整数）；探究二：（1）（2） ；探究三：归纳结论： （为整数，且，＜＜）；问题解决：；拓展延伸：（1）个或个；（2）． 【解析】 【分析】探究一： （3）根据（1）（2）的提示列表，可得答案； （4）仔细观察（1）（2）（3）的结果，归纳出规律，从而可得答案； 探究二： （1）仿探究一的方法列表可得答案； （2）由前面的探究概括出规律即可得到答案； 探究三： 根据探究一，探究二，归纳出从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数的和的结果数， 再根据上面探究归纳出从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和的结果数； 问题解决： 利用前面的探究计算出这5张奖券和的最小值与最大值，从而可得答案； 拓展延伸： （1）直接利用前面的探究规律，列方程求解即可， （2）找到与问题等价的模型，直接利用规律得到答案． 【详解】解：探究一： （3）如下表： 取的2个整数 2个整数之和 所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果． （4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是 所以一共有种． 探究二： （1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表： 取的3个整数 1,2,3 1,2,4 1,3,4 2,3,4 3个整数之和 6 7 8 9 从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种， （2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数， 这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12, 所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种， 从而从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数， 这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是 所以一共有种， 探究三： 从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是， 所以这4个整数之和一共有5种， 从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是， 所以这4个整数之和一共有9种， 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数， 这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是， 所以一共有 种不同的结果． 归纳结论： 由探究一，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种． 探究二，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种， 探究三，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 种不同的结果． 从而可得： 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果． 问题解决： 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数）， 一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490， 共有种不同的优惠金额． 拓展延伸： （1） 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果． 当 有 或 或 从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果． （2）由探究可知：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，等同于从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数， 所以：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果． 【点睛】本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握自主探究的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初三年级期末质量检测 数学（12月） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，共24分） 1. 从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（　　） A. B. C D. 2. 数据显示2022年末南昌市常住人口约654万人，654万可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，射线AB分别交直线a，b于点B，C，点D在直线a上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 5，3．1 B. 5，，1 C. 2，，1 D. 5，1， 5. 八年级学生去距学校s千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了1小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的m倍，设骑车同学的速度为x千米/小时，则可列方程（　　） A. =+1 B. -=1 C. =+1 D. =1 6. 如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点E，交边于点D，若的长为9cm，的长为6cm，则的长为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 7. 小明从家骑共享单车去体育场锻炼一会儿后，又步行原路返回，途中在早餐店用餐，如图表示小明离家的距离y（千米）与离家的时间t（分）之间的函数关系，则下列说法错误的是（　　） A. 体育场离小明家4千米 B. 小明从体育场到早餐店的平均速度千米/小时 C. 小明吃早餐用了分钟 D. 小明从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 8. 如图，在4×4的方格纸中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上，每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述，正确的是（ ） A. △ABC的三边都是有理数 B. △ABC是等腰三角形 C. △ABC的面积为6.5 D. △ABC是直角三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共5小题，共15分） 9. 若2x＝3y，且x≠0，则的值为_____． 10. 已知，，则x的值为______． 11. 如图，电路图上有三个开关，，，和两个小灯泡，，随机闭合开关，，，中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 12. 如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边和等边，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、OC．现给出以下结论：①；②；③CO平分；④．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） 13. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： （1）的值为______． （2）化简结果为______． （3）若的值大于13，则x的取值范围为____________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 先化简，再求值：，请在0、±1、±2中选一个你喜欢的数字求值． 15. 为了解某区2015年七年级学生的体育测试情况，随机抽取了该区若干名七年级学生的体育测试成绩等级，绘制如图统计图（不完整）： 请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量　 　，“A等级”对应扇形的圆心角度数为　 　； （2）请补全条形统计图； （3）该区约10000名七年级学生，根据抽样调查结果，请估计其中体育测试成绩为“D等级”的学生人数． 16. 如图，在ABC中，是上的点，，，分别是，的中点，，，求，的长． 17. 如图，已知斜坡长为60米，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线平台和一条新的斜坡． （1）若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物距离A处30米远（即为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即）为，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，求建筑物的高度．（结果保留根号） 18. 数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为______； x … 0 2 4 5 … y … m 0 1 3 4 4 3 2 … （3）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______； （4）画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数y1＝3x的图象经过点D，反比例函数的图象经过点D，且与边BC交于点E，连接OE，已知AB＝3． （1）点D的坐标是 ； （2）求tan∠EOB的值； （3）观察图象，请直接写出满足y2＞3的x的取值范围； （4）连接DE，在x轴上取一点P，使，过点P作PQ垂直x轴，交双曲线于点Q，请直接写出线段PQ的长． 20. 实际问题： 某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模： 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究： 我们采取一般问题特殊化策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： （1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表① 所取的2个整数 1，2 1，3， 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表② 所取的2个整数 1，2 1，3， 1，4 2，3 2，4 3，4 2个整数之和 3 4 5 5 6 7 如表②，所取2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果． （3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． （4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果． 探究二： （1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． （2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． 探究三： 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果． 归纳结论： 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果． 问题解决： 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额． 拓展延伸： （1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程） （2）从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $