2024-2025学年八年级下册题型技巧培优系列（人教版）《二次根式》有附加条件的二次根式的化简求值八大题型解题技巧

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《二次根式》 有附加条件的二次根式的化简求值八大题型解题技巧 知识要点归纳 二次根式化简求值是本章的重点，其主要依据是二次根式的性质和二次根式的运算法则。 知识点1.性质 （1）≥0（a≥0） （2）（）2=a（a≥0） （3） （4）积的算术平方根性质 （5）商的算术平方根性质 知识点2 法则 （1）二次根式乘法法则 ，二次根式乘法法则逆用 （2）二次根式除法法则，二次根式除法法则逆用 （3）二次根式的加法法则:二次根式相加，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 由二次根式定义中的限制条件求值】 【例1-1】．已知，为实数，且满足． （1）　 　，　 　； （2）求的值． 【例1-2】． 已知 为奇数， 且 ， 求 的值． 解题技巧 由二次根式的定义，被开方数是非负数转化成不等式问题，确定字母的取值范围。根据二次根式性质化简求值。 【变式1-1】． 已知实数 满足 ， 求 的值． 【变式1-2】． 已知x，y是实数，且满足y<＋＋，化简：－(x－2＋)2. 【变式1-3】． 已知，求的值． 【变式1-4】．先化简，再求值：，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）先化简，再求值：，其中a＝﹣2024． 【变式1-5】．已知实数x，y满足关系式，求的值． 【题型2 由方程给出的条件的二次根式化简求值】 【例2-1】．已知a，b，c满足|a-|++(c-)2=0. （1）求a，b，c的值. （2）试问以a，b，c为边能否构成三角形?若能，求出其周长；若不能，请说明理由. 【例2-2】．运算能力] 已知实数 满足 ， 求 的值. 解题技巧 由二次根式的定义，被开方数是非负数转化成不等式问题，确定字母的取值范围。再由方程的解确定字母的取值范围，在字母求值范围内根据二次根式性质化简求值。 【变式2-1】．已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根 （1）求（m+5﹣）﹣的值 （2）求+的值． 【变式2-2】．已知，求的值. 【变式2-3】．．已知，求的值. 【变式2-4】．．若，且x为奇数，求的值. 【题型3 由不等式给出的条件的二次根式化简求值】 【例3-1】．如果最简二次根式与能进行合并．且，化简：． 【例3-2】．已知的三边之长分别为2、5、m，则等于( ) A. B. C.10 D.4 解题技巧 由不等式的取值范围，结合二次根式的性质2=│a│ 转化成绝对值问题，利用所给出的取值范围利用绝对值性质去绝对值符号，进行化简求值 【变式3-1】．已知，则化简的结果是( ) A.4 B. C.-4 D. 【变式3-2】．若,化简：( ) A. B. C.a D. 【变式3-3】．已知，则化简的结果是_________. 【题型4 由数轴给出的条件的二次根式化简求值】 【例4-1】． （1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：. （2） 若的整数部分为a，小数部分为b，写出a，b的值，并计算的值. 【例4-2】．若实数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 且，化简． 解题技巧 根据数轴上的点的位置确定每个二次根式的字母的取值范围，利用二次根式性质2=│a│ 转化为绝对值问题，利用绝对值性质去掉绝对值符号，进行化简。 【变式4-1】．已知实数，的对应点在数轴上的位置如图所示． （1） 判断正负，用“”“”填空：　 　0，　 　0． （2）化简： 【变式4-2】．．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 【变式4-3】．实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简：a－ － ＋ . 【变式4-4】．．已知a，b在数轴上位置如图，化简 ． 【题型5 结合分式、整式的二次根式化简求值】 【例5-1】．先化简，再求值：，其中 【例5-2】．已知. （1）求的值； （2）化简并求值：. 解题技巧 按整式、分式的运算顺序运算法则进行化简，再代入所给的二次根式求值。 【变式5-1】． 先化简， 再求值： ， 其中． 【变式5-2】．先化简，再求值：，． 【变式5-3】．先化简，再求值：，其中，． 【变式5-4】．先化简，再求值： ，其中 【题型6 结合无理数的整数部分、分数部分的二次根式化简求值】 【例6-1】．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题： （1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【例6-2】． 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，王英举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖王英真聪明，肯定了她的说法．现请你根据王英的说法解答下列问题： （1）请表示出的小数部分； （2）若a为的小数部分，b为的整数部分，求的值； （3）已知，其中x是一个正整数，，求的值． 解题技巧 先由无理数的大小估值确定整数部分，再由小数部分=原数-整数部分来确定小数部分。 【变式6-1】．． 数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是　 　． （2）为的小数部分，为的整数部分，求的值． （3）已知，其中是一个正整数，，求的值． 【变式6-2】．．已知的整数部分是m，小数部分是n． （1）写出m的值； （2）求的值． 【变式6-3】．已知a是6﹣ 的小数部分，b是 的小数部分，c是（ ﹣2）﹣1的整数部分，求a2c﹣b2c的值？ 【题型7 特定结构的二次根式化简求值】 【例7-1】． 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）. 【例7-2】． （1）已知x=2+，y=2-，求的值； （2）已知a=，b=，求a2-3ab+b2的值 解题技巧 对于对称式首先求a+b、a-b、ab的值，再代入求值。 【变式7-1】．已知，求下列式子的值： （1）． （2）． 【变式7-2】．已知，，求下列各式的值： （1）a2-b2 （2）a2- ab+b2 【变式7-3】．已知，，求代数式的值． 【变式7-4】．已知，求的值． 【题型8 整体代入的二次根式化简求值】 【例8-1】已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）计算： ； （3）比较与的大小，并说明理由． 【例8-2】．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 解：∵， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题， （1）化简：． （2）若，求的值， 解题技巧 根据所给条件与所求式子的关系整体代入求值 【变式8-1】．．已知，求的值． 【变式8-2】．已知,则________. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《二次根式》 有附加条件的二次根式的化简求值八大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 二次根式化简求值是本章的重点，其主要依据是二次根式的性质和二次根式的运算法则。 知识点1.性质 （1）≥0（a≥0） （2）（）2=a（a≥0） （3） （4）积的算术平方根性质 （5）商的算术平方根性质 知识点2 法则 （1）二次根式乘法法则 ，二次根式乘法法则逆用 （2）二次根式除法法则，二次根式除法法则逆用 （3）二次根式的加法法则:二次根式相加，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 由二次根式定义中的限制条件求值】 【例1-1】．已知，为实数，且满足． （1）　 　，　 　； （2）求的值． 【答案】（1）2；5 （2）解：当，时， 原式． 【知识点】二次根式有意义的条件；实数的混合运算（含开方） 【解析】【解答】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2；5； 【分析】（）由二次根式的被开方数不能为负数，得且，即可得出，然后代入即可求出的值； （）把的值代入即可求解； 【例1-2】． 已知 为奇数， 且 ， 求 的值． 【答案】解： 解得6≤x＜9. 又∵x为奇数，∴x=7 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值 【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，进而得到x的取值，再根据奇数得到x=7，从而代入计算即可求解。 解题技巧 由二次根式的定义，被开方数是非负数转化成不等式问题，确定字母的取值范围。根据二次根式性质化简求值。 【变式1-1】． 已知实数 满足 ， 求 的值． 【答案】解： ∴原方程可化为 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值；实数的绝对值 【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意得到x的取值，进而化简绝对值，再根据题意化简二次根式即可求解。 【变式1-2】． 已知x，y是实数，且满足y<＋＋，化简：－(x－2＋)2. 【答案】解：∵有意义， ∴x≥2且x≤2，即x=2，此时y＜； ∴ =|y﹣2|﹣2 =2﹣y﹣2 =﹣y． 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值；实数的绝对值 【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得x=2，进而求得y＜，再据此化简二次根式，即可求得. 【变式1-3】． 已知，求的值． 【答案】解：∵ ∴，，， 解得， 则 【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性 【解析】【分析】先根据分式的值为0和有意义得到条件以及二次根式和绝对值的非负性得到，，， 从而求得x，y的值，将x，y的值代入 进行计算从而求解. 【变式1-4】．先化简，再求值：，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）先化简，再求值：，其中a＝﹣2024． 【答案】（1）小亮 （2）＝﹣a（a＜0） （3）解：原式＝ ＝a+ ＝a+2（3﹣a） ＝6﹣a， 将a＝﹣2024代入， 原式＝6+2024＝2030． 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值 【解析】【解答】解： (1) 小亮的解法是错误的； 故答案为：小亮. (2) 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝﹣a（a＜0）. 故答案为：＝﹣a（a＜0）​​​​​​​. (3)解：原式＝ ＝a+ ＝a+2（3﹣a） ＝6﹣a， 当a＝﹣2024时， 原式＝6+2024＝2030． 【分析】（1）观察小亮、小芳的解法，找出有错误的一位； （2）根据错误分析出错误的原因； ​​​​​​​（3）先将式子化简，再代入求值. 【变式1-5】．已知实数x，y满足关系式，求的值． 【答案】解：∵，， ∴且， ∴， ∴， ∴ .​​​​​​ 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值 【解析】【分析】根据，，求得x=3，于是可得y=-2.先计算分式除法，再把x，y代入运算. 【题型2 由方程给出的条件的二次根式化简求值】 【例2-1】．已知a，b，c满足|a-|++(c-)2=0. （1）求a，b，c的值. （2）试问以a，b，c为边能否构成三角形?若能，求出其周长；若不能，请说明理由. 【答案】（1）解：∵b2-10b+25=(b-5)2，=3， ∴|a-|++(c-3)2=0， ∴a-=0，b-5=0，c-3=0， ∴a==2，b=5，c=3. （2）解：以a，b，c为边能构成三角形. ∵a=2，b=5，c=3， ∴c-a<b<a+c， ∴能构成三角形，其周长为 2+5+3=5+5. 【知识点】二次根式的混合运算；三角形三边关系；求代数式的值-化简代入求值 【解析】【分析】(1)绝对值，根式，平方，三者所得结果都是非负值，要使题目所给等式结果为0，则三者的取值都只能为0，由此可分别求出 a，b，c的值；(2)利用三角形三边长度的关系，即可判断以a，b，c为边能构成三角形，继而可求出其周长。 【例2-2】．运算能力] 已知实数 满足 ， 求 的值. 【答案】解：∵ ， ∴， 解得： ∴原式=. 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值 【解析】【分析】根据非负数的性质，先列出关于a，b的二元一次方程组，求得a，b的值，然后再把原式进行化简，再代入数值计算即可解答． 解题技巧 由二次根式的定义，被开方数是非负数转化成不等式问题，确定字母的取值范围。再由方程的解确定字母的取值范围，在字母求值范围内根据二次根式性质化简求值。 【变式2-1】．已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根 （1）求（m+5﹣）﹣的值 （2）求+的值． 【答案】解：（1） 原式=•﹣ =﹣ =﹣6﹣2m﹣ = ∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根， ∴m2+3m+1=0， ∴原式=0； （2）∵m＜0，n＜0， ∴+=﹣m﹣n=+=（）， ∵m+n=﹣3，mn=1， ∴原式=9﹣2=7． 【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【分析】（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值； （2）根据m和n小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算． 【变式2-2】．已知，求的值. 答案： 解析：将取倒数得， ， . 【变式2-3】．．已知，求的值. 答案： 解析：因为， 所以， 所以， 所以， 所以，，， 所以，，， 所以. 【变式2-4】．．若，且x为奇数，求的值. 答案： 解析：， ，， 解得：， x为奇数， ， 【题型3 由不等式给出的条件的二次根式化简求值】 【例3-1】．如果最简二次根式与能进行合并．且，化简：． 【答案】解：∵最简二次根式与能进行合并 ∴， 解得． ∵， ∴， 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式的性质与化简；最简二次根式 【解析】【分析】由于最简二次根式与能进行合并，可知被开方数相同，据此求出a值，从而得出x的范围，再根据绝对值及二次根式的性质化简即可. 12．当x的取值范围是不等式组 的解时，试化简： . 【答案】解：解不等式组得 <x≦2，所以原式=2x-1+3-x-x=2 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；合并同类项法则及应用 【解析】【分析】首先解不等式组得出x的取值范围，然后在x的取值范围内根据二次根式的性质化简，最后按整式加减法法则运算即可。 【例3-2】．已知的三边之长分别为2、5、m，则等于( ) A. B. C.10 D.4 答案：A 解析：的三边之长分别为2、5、m， 即 ， 故选：A. 解题技巧 由不等式的取值范围，结合二次根式的性质2=│a│ 转化成绝对值问题，利用所给出的取值范围利用绝对值性质去绝对值符号，进行化简求值 【变式3-1】．已知，则化简的结果是( ) A.4 B. C.-4 D. 答案：A 解析：，，，. 故选A. 【变式3-2】．若,化简：( ) A. B. C.a D. 答案：A 6．若，化简______. 答案：1 解析：， . 故答案为：1. 【变式3-3】．已知，则化简的结果是_________. 答案： 解析：当时，. 【题型4 由数轴给出的条件的二次根式化简求值】 【例4-1】． （1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：. （2） 若的整数部分为a，小数部分为b，写出a，b的值，并计算的值. 【答案】（1）解：观察数轴可得： 所以 因此. （2）解：∵， ∴ ∴ =-2（-2） =+2-2+4 =6-． ∴​​​​​​​ 【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值；判断数轴上未知数的数量关系 【解析】【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，二次根式混合运算顺序和运算法则，数轴的应用． （1）先观察数轴可得：，据此可判断被开方数的符号：，再通过根式的性质进行化简，取绝对值可求出答案. （2）先根据，可求出出a、b的值：，代入，化简后可求出答案． 【例4-2】．若实数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 且，化简． 【答案】解：由实数a、b、c在数轴上的位置可得： a＜c＜0＜b，且，， ∴a+b=0，c-a＞0， ∴原式=-a+0-(c-a）-2（-c) =-a-c+a+2c =c 【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系 【解析】【分析】根据实数a、b、c在数轴上的位置可得：a＜c＜0＜b，且，，则a+b=0，c-a＞0，然后根据二次根式的性质和绝对值的非负性并结合合并同类项法则计算即可求解． 解题技巧 根据数轴上的点的位置确定每个二次根式的字母的取值范围，利用二次根式性质2=│a│ 转化为绝对值问题，利用绝对值性质去掉绝对值符号，进行化简。 【变式4-1】．已知实数，的对应点在数轴上的位置如图所示． （1） 判断正负，用“”“”填空：　 　0，　 　0． （2）化简： 【答案】（1）＞；＞ （2）解：-b+3 【知识点】无理数在数轴上表示；整式的混合运算；算术平方根的性质（双重非负性）；实数的绝对值 【解析】【解答】解：（1）由数轴得：，且， ，， 故答案为：；． （2）由数轴得： ，且， 原式 【分析】（1）先根据数轴得到，且，进而即比较大小； （2）根据数轴结合题意化简绝对值，进而根据整式的加减运算即可求解。 【变式4-2】．．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】解：从数轴上实数a、b的位置，得到： ﹣1＜a＜0＜b＜1， ∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0， ∴原式＝|a+1|﹣|b﹣1|﹣|a﹣b|＝a+1+b﹣1+a﹣b＝2a. 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简 【解析】【分析】先观察数轴上实数a、b的位置，得到数轴上实数a、b的范围，再进行求解即可得到答案. 【变式4-3】．实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简：a－ － ＋ . 【答案】解：从数轴可知a＜0＜b， ∴a－ － ＋ ＝a－(－a)－b－(a－b)＝a＋a－b－a＋b＝a. 【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简 【解析】【分析】根据数轴得出a＜0＜b，|a|＜|b|，求出a-b＜0，a+b＞0，根据绝对值和二次根式的性质求出即可. 【变式4-4】．．已知a，b在数轴上位置如图，化简 ． 【答案】解：由a，b在数轴上的位置可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴ =﹣（a+b）+a﹣b+a﹣b =a﹣3b． 【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值 【解析】【分析】本题利用实数与数轴的关系，判断a+b、a﹣b的符号，利用 =|a|， =|b|进行计算． 【题型5 结合分式、整式的二次根式化简求值】 【例5-1】．先化简，再求值：，其中 【答案】解：原式 当时，原式 【知识点】分式的化简求值；二次根式的性质与化简 【解析】【分析】先根据分式减法法则计算括号内的，再运用二次根式除法法则计算，即可化简，然后把代入化简式计算即可． 【例5-2】．已知. （1）求的值； （2）化简并求值：. 【答案】（1）解：， ，. （2）解：， ，. 原式. 【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；分式的化简求值-直接代入 【解析】【分析】（1）利用分母有理化化简a，再求出a-2的值，将原式化为（a-2）2，然后代入计算即可. （2）利用分式的约分及二次根式的性质将原式化简，然后将a值代入计算即可. 解题技巧 按整式、分式的运算顺序运算法则进行化简，再代入所给的二次根式求值。 【变式5-1】． 先化简， 再求值： ， 其中． 【答案】解： ， 将代入得： 原式 ． 【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入 【解析】【分析】先将被除式的分子、分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算乘法约分化简，最后代入x的值，分子、分母分别合并后，再进行分母有理化即可. 【变式5-2】．先化简，再求值：，． 【答案】解：原式 ， 当时，原式 【知识点】分式的化简求值；分母有理化 【解析】【分析】先进行通分计算括号，再因式分解的同时将除法转化为乘法，化到最简，最后将x的值代入计算并分母有理化即可求解. 【变式5-3】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 因为，； 所以原式 【知识点】分式的化简求值；分母有理化 【解析】【分析】根据分式的混合运算法则，完全平方公式，平方差公式，进行化简，再代入、的值，即可求解。 【变式5-4】．先化简，再求值： ，其中 【答案】解： ； ∵ ， ， 则， ， 故原式. 【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算 【解析】【分析】先根据分式的混合运算化简原式，结合题意求出a2+b2或 a2-b2的值，代入即可求解. 【题型6 结合无理数的整数部分、分数部分的二次根式化简求值】 【例6-1】．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题： （1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】（1）4； （2）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是5，小数部分， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的整数部分， ∴． 【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；不等式的性质 【解析】【解答】解：（1）∵ ∴ ∴的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； 【分析】（1）先根据无理数的大小估值得到：进而即可求解； （2）根据无理数的大小估值及不等式性质计算得到：，，进而将其代入计算即可. 【例6-2】． 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，王英举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖王英真聪明，肯定了她的说法．现请你根据王英的说法解答下列问题： （1）请表示出的小数部分； （2）若a为的小数部分，b为的整数部分，求的值； （3）已知，其中x是一个正整数，，求的值． 【答案】（1）解：， ， 的小数部分是； （2）解：， ， ∴， ， ， ． ； （3）解：∵ ∴ ∴ ∵x是一个正整数，， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∴， ∴． 【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）估算出的取值范围可得答案； （2）估算出和的取值范围，可得、的值，然后代入计算即可． （3）估算出的取值范围，求出x和y的值，最后代入计算即可． 解题技巧 先由无理数的大小估值确定整数部分，再由小数部分=原数-整数部分来确定小数部分。 【变式6-1】．． 数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是　 　． （2）为的小数部分，为的整数部分，求的值． （3）已知，其中是一个正整数，，求的值． 【答案】（1）3 （2）解：为的小数部分，为的整数部分， ，， ； （3）解：，其中是一个正整数，， ，， ． 【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：【分析】（1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意得出，b=2，再代入求解即可； （3）先估算的整数部分，进而确定x、y的值，然后代入计算即可． 【变式6-2】．．已知的整数部分是m，小数部分是n． （1）写出m的值； （2）求的值． 【答案】（1）解：∵， ∴， 又∵的整数部分是m，小数部分是n， ∴m=3. （2）解：由（1）可知m=3，， ∴． 【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）因为，所以可分别得出m、n的值，即可得到答案； （2）根据题意，分别把m、n的值代入代数式进行计算； 【变式6-3】．已知a是6﹣ 的小数部分，b是 的小数部分，c是（ ﹣2）﹣1的整数部分，求a2c﹣b2c的值？ 【答案】解：根据题意得：a=6﹣ ﹣3=3﹣ ，b= ﹣4= ﹣2， =﹣2﹣ ，即c=﹣3， 则原式=﹣3（3﹣ + ﹣2）（3﹣ ﹣ +2）=﹣15+6 【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值 【解析】【分析】根据题意确定出a，b，c的值，代入原式计算即可得到结果． 【题型7 特定结构的二次根式化简求值】 【例7-1】． 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）解：∵， ∴，， ∴ ＝ = （2）解： 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简 【解析】【分析】（1）先根据二次根式的加法法则和乘法法则求得 ，，再利用完全平方公式将原式变形为，然后整体代入计算即可； （2）先利用完全平方公式将原式变形为，再把 ，，整体代入计算即可. 【例7-2】． （1）已知x=2+，y=2-，求的值； （2）已知a=，b=，求a2-3ab+b2的值 【答案】（1）解：∵x=2+，y=2-， ∴x+y=4，x-y=2 ，xy=(2+)(2-)=22-()2=4-3=1， ∴ （2）解：∵a=，b= ∴a=，b= ∴ a2- 3ab+b2=(a-b)2-ab=(+1-+1)2-(+1)( -1)=4-1=3. 【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）先根据二次根式的加减法法则及乘法法则分别求得x+y与x-y，xy，再将通分计算异分母分式减法后将分式的分子分解因式，最后整体代入计算即可； （2）先根据分母有理数将已知中的a，b化简，再将待求式子利用配方变形为(a-b)2-ab，最后代入求值. 解题技巧 对于对称式首先求a+b、a-b、ab的值，再代入求值。 【变式7-1】．已知，求下列式子的值： （1）． （2）． 【答案】（1）解：原式=， ∵， ∴原式= =. （2）解：原式= = =. 【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值；求代数式的值-化简代入求值 【解析】【分析】（1）先提取公因式ab，得到原式为，最后把代入计算即可求解； （2）直接把代入计算即可求解. 【变式7-2】．已知，，求下列各式的值： （1）a2-b2 （2）a2- ab+b2 【答案】（1）解：a2-b2=（a+ b）（a﹣b） =（3++ 3﹣）（3+﹣3+） =6×2 =12 （2）解：a2- ab+b2=（a+ b）2﹣3 ab =（3++ 3﹣）2﹣3（3+）（3﹣） =62﹣3（9﹣7） =36-6 =30 【知识点】因式分解的应用；二次根式的混合运算；配方法的应用 【解析】【分析】（1）利用平方差公式将待求式子分解因式，然后将a、b的值代入分别合并后，利用二次根式的乘法法则计算可得答案； （2）利用配方法将待求式子变形为（a+ b）2﹣3 ab，然后将a、b的值代入计算可得答案. 【变式7-3】．已知，，求代数式的值． 【答案】解： 当时， 原式＝ 【知识点】二次根式的化简求值 【解析】【分析】先把所求式子变形，再将，的值代入，计算求解即可． 【变式7-4】．已知，求的值． 【答案】解： 【知识点】二次根式的混合运算；配方法的应用 【解析】【分析】观察 ，与完全平方式十分相似，考虑在完全平方式上加上xy凑成，代入已知条件计算. 【题型8 整体代入的二次根式化简求值】 【例8-1】已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）计算： ； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴，即a2-4a+4=5， ∴a2-4a=1 ∴3a2-12a-1=3（a2-4a）-1=3×1-1=2； （2） （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：（2） ． 故答案为：； 【分析】（1）先求a的值，再根据完全平方公式求得a2-4a=1，然后整体代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）先比较与的大小，再进行分母有理化，即可作出结论． 【例8-2】．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 解：∵， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题， （1）化简：． （2）若，求的值， 【答案】（1）解：原式． （2）解：． ∵， ∴原式． 【知识点】整式的混合运算；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）根据例子进行分母有理化的操作，进而即可化简； （2）先根据整式的混合运算结合题意得到，进而将a化简，从而代入即可求解. 解题技巧 根据所给条件与所求式子的关系整体代入求值 【变式8-1】．．已知，求的值． 【答案】解：， ，， 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值 【解析】【分析】根据二次根式的减法法则及乘法法则求出和的值，然后利用完全平方公式恒等变形，将待求式子变形为a2+b2=(a-b)2+2ab，进而整体代入即可计算求解. 【变式8-2】．已知,则________. 答案： 解析:当时,, 方程的解不是, 两边都除以x,得:, 则, 两边平方,得:, , ,即, ,故答案为:. 学科网（北京）股份有限公司 $$