精品解析：辽宁省辽阳市灯塔市第一初级中学2024--2025学年九年级上学期数学期末调研卷

2024－2025学年九年数学上册期末测试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 如图是一根空心方管，它俯视图是（    ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程是一元二次方程，那么（　　） A. m＝±3 B. m＝3 C. m＝﹣3 D. m＝9 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 从三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在反比例函数的图象上的概率为 (　　) A. B. C. 1 D. 5. 在ABC中， ，则ABC一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 一个密闭不透明的盒子里有若干个红球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计红球的个数，小强向其中放入20个白球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球500次，其中50次摸到白球，估计盒中大约有红球（ ） A. 150 B. 180 C. 200 D. 220 7. 如图，，AF与BE交于点G，若，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 1 8. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的两个顶点B、C均在第一象限，以点为位似中心，在y轴左侧作的位似图形，与的位似比为1：2若点C的纵坐标是m，则其对应点E的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共15分) 11. 若关于x一元二次方程有实数根，则k的取值范围是____． 12. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____． 13. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度为_____． 14. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AD与BC相交于点E,则的值等于___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，将沿直线翻折后得到，若反比例函数的图象经过点，则_____． 三、解答题 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人； （2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数； （3）若该校共有学生人，选择乐器的学生大约有多少人？ （4）通过了解，喜爱“航模”的学生中有名男生和名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这个人中随机选取人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的人恰好是名男生和名女生的概率． 18. 如图， 在 中， 以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线，交于点D，过点D作交于点E，交于点F ． （1）求证：四边形为菱形； （2）当， 时，求菱形的周长和面积． 19. 如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） （1）求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． （2）求建筑物的高度． 20. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，两点，交x轴于点E，若． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出的x的取值范围_____． 22. 在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接． （1）特例发现：如图1，当，落在直线上时， ①求证：； ②填空：的值为______； （2）类比探究：如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．探究值（用含的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用：在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长． 23. 【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点A、B、C，连接，设， ，则我们把称为点A到点C关于点B的“度比坐标”，把称为点C到点A关于点B的“度比坐标”． 【迁移运用】如图，在y轴的右侧，直角绕原点O按顺时针方向旋转，的两边分别与函数，的图象交于A，B两点． （1）如图1，若点A到点B关于点O“度比坐标”为，求双曲线的解析式； （2）如图2，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，连接交x轴于点C，点C到点A关于点O的“度比坐标”为，； ①点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为，连接，求m的值及四边形的面积； ②将直线向右平移，分别交于点E，交于点F，问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年九年数学上册期末测试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 如图是一根空心方管，它的俯视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图中的俯视图，正确理解俯视图的概念是解答本题的关键．俯视图是从物体的上面看所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．根据俯视图的概念，即可得到答案． 【详解】俯视图如图所示： 故选：B． 2. 关于x的方程是一元二次方程，那么（　　） A. m＝±3 B. m＝3 C. m＝﹣3 D. m＝9 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用一元二次方程定义可得m2-7=2，且m-3≠0，再解出m的值即可． 【详解】解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0， 解得：m=-3. 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】设，代入代数式化简即可． 【详解】解：设， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，正确掌握设未知数的方法求值化简是解题的关键． 4. 从三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在反比例函数的图象上的概率为 (　　) A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质和列表法与树状图法求概率．画树状图，共有6个等可能的结果，其中该点在反比例函数图象上的结果有2个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有6个等可能的结果，其中在反比例函数的图象上的结果有和共2个， ∴该点在坐标轴上的概率为． 故选：A． 5. 在ABC中， ，则ABC一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ABC一定是等腰直角三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解． 6. 一个密闭不透明的盒子里有若干个红球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计红球的个数，小强向其中放入20个白球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球500次，其中50次摸到白球，估计盒中大约有红球（ ） A. 150 B. 180 C. 200 D. 220 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，可根据“白球数量÷红白球总数=白球所占比例”来列等量关系式，其中“红白球总数=红球个数+白球个数”，“白球所占比例=随机摸到白球的次数÷总共摸球的次数” 【详解】设盒子里有红球x个， 解得： 经检验得是方程的解 答：盒中大约有红球180个 故选：B 7. 如图，，AF与BE交于点G，若，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解定理的意思． 8. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9 【答案】A 【解析】 【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心． ∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 10. 如图，的两个顶点B、C均在第一象限，以点为位似中心，在y轴左侧作的位似图形，与的位似比为1：2若点C的纵坐标是m，则其对应点E的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点C的纵坐标为m，然后表示出AC、EA的纵坐标的距离，再根据位似比列式计算即可； 【详解】设点C的纵坐标为m，则A、C间的纵坐标的长度为， ∵△ABC放大到原来的2倍得到△ADE， ∴E、A间的纵坐标的长度为, ∴点E的纵坐标为； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了位似变换，坐标与图形的性质，准确分析计算是解题的关键． 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共15分) 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．先根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】 解：根据题意得， 解得， 即的取值范围是． 故答案为：． 12. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可． 【详解】解：∵DEAC，CEBD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8， ∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10， ∴平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 13. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度为_____． 【答案】米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，∽，根据其相似比即可求解． 【详解】如图， ， ∽， ， ， 解得：（米）． 故答案：米． 14. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AD与BC相交于点E,则的值等于___________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵在Rt△ACB中∠B=45°，∴AB=AC，∵在Rt△ACD中，∠D=30°，∴CD==AC，∴=．故答案为． 考点：相似三角形的判定与性质． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，将沿直线翻折后得到，若反比例函数的图象经过点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由A（-1，0），B（0，2），可知OA，OB，由折叠得OA=AC=1，OB=BC=2，要求k的值只要求出点C的坐标即可，因此过点C作垂线，构造相似三角形，得出线段之间的关系，设合适的未知数，在直角三角形中由勾股定理，解出未知数，进而确定点C的坐标，最终求出k的值． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，与的延长线相交于点， 由折叠得：， 易证，， 设，则 在中，由勾股定理得：， 即：，解得：舍去）； ， 代入得，， 故答案为 【点睛】本题考查了折叠得性质、相似三角形的性质、勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征等知识，由于综合利用的知识较多，本题有一定的难度． 三、解答题 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先根据分式的混合运算顺序及运算法则化简代数式，再利用特殊角的三角函数值求得x的值，代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 17. 某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人； （2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数； （3）若该校共有学生人，选择乐器的学生大约有多少人？ （4）通过了解，喜爱“航模”的学生中有名男生和名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这个人中随机选取人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的人恰好是名男生和名女生的概率． 【答案】（1） （2）补图见解析， （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，列表法或树状图求概率，熟练掌握统计图的特征和求概率的方法是解题的关键． （1）根据摄影的人数和所占的百分比即可求出抽取的总人数； （2）用总人数减去其他兴趣小组的人数求出航模的人数，从而补全统计图；用乘以“航模”所占的百分比即可得出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数； （3）利用样本估计总体即可求出； （3）先列表或画树状图，再利用概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：由“摄影”人，占被调查总人数的， 则本次被调查的学生有：（人）； 故答案为：； 小问2详解】 解：航模的人数有：（人）， 补全条形统计图如图： 则“航模”所对应的圆心角的度数是：； 【小问3详解】 解：选择乐器的学生大约有（人）， 答：若该校共有学生人，选择乐器的学生大约有人； 【小问4详解】 解：设两名男生分别为男，男，两名女生分别为女，女，列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 共有种等可能结果，其中是名男生和名女生的情况有种， 则所选的人恰好是名男生和名女生的概率是． 18. 如图， 在 中， 以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线，交于点D，过点D作交于点E，交于点F ． （1）求证：四边形为菱形； （2）当， 时，求菱形的周长和面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）菱形的周长为，菱形的面积为． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明即可； （2）设，证明，可得，再进一步解答即可． 【小问1详解】 证明：∵过点D作交于点E，交于点F， ∴四边形为平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵，， ， ∴， ∵四边形为菱形， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的作图的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键． 19. 如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） （1）求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． （2）求建筑物的高度． 【答案】（1）10米 （2）约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过作，根据比例设，结合勾股定理求出，即可得到答案； （2）延长角的水平边交于则，由勾股定理求出，设，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过作， ∵的坡比， 设， ∴在中，， ∴， ∴； 答：小李从斜坡走到处高度上升了10米． 【小问2详解】 解：延长角的水平边交于则， 在中，， 设， 在中，， ， ∵四边形是矩形， ， 又∵， 中，， ， ， ， 答：建筑物的高度为米． 20. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．列出方程求解即可； （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（舍）． 答：年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： ， 整理得：， 解得：，． ∵售价不超过20元， ∴． 答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，两点，交x轴于点E，若． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积； （3）直接写出的x的取值范围_____． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； （2）四边形的面积为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质． （1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去的面积求解； （3）根据图象，找到反比例函数的图处于一次函数图象上方的自变量的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：将代入中， ， 反比例函数的解析式为； 过点D作轴，过点C作轴， ∵， ， ， ， 将代入中， ， 解得：， C点坐标为， 将，代入中， 可得， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线OC的解析式为， 由，设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， E点坐标为， ， 在中，当时，， 解得：， A点坐标为， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵，， ∴当或时，反比例函数的图处于一次函数图象上方， ∴的x的取值范围是或． 故答案为：或． 22. 在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接． （1）特例发现：如图1，当，落在直线上时， ①求证：； ②填空：的值为______； （2）类比探究：如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程； （3）拓展运用：在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②1；（2），见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据折叠性质证明即可；②当，证明，即可得出的值； （2）延长交于点，根据折叠性质证明，即可得出结论； （3）由（2）可知，设，则，，，可得，再由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）①证明：延长交于点． 由折叠得． ∴． ∵， ∴． ②当，即时， 可知AC=BC， 在和中， ， ∴(AAS)， ∴， ∴． 故答案为：1； （2）解：． 理由：延长交于点， 由折叠得． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：由折叠得，， ∵是的中点， ∴， ∴，，， 由（2）知， ∴， ， 是的中点， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题为三角形综合题，考查折叠的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据折叠性质找到角度之间的关系是解题的关键． 23. 【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点A、B、C，连接，设， ，则我们把称为点A到点C关于点B的“度比坐标”，把称为点C到点A关于点B的“度比坐标”． 【迁移运用】如图，在y轴的右侧，直角绕原点O按顺时针方向旋转，的两边分别与函数，的图象交于A，B两点． （1）如图1，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，求双曲线的解析式； （2）如图2，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，连接交x轴于点C，点C到点A关于点O的“度比坐标”为，； ①点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为，连接，求m的值及四边形的面积； ②将直线向右平移，分别交于点E，交于点F，问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N，证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质求出的面积，进而求出比例系数即可； （2）按照（1）的方法求出反比例函数解析式，再求出点C和点A坐标，①根据点D到点A关于点O的“度比坐标”求出点D坐标即可；②根据表示出平移后与反比例函数交点坐标，代入反比例函数解析式即可． 【小问1详解】 解：过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∴， ∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A在图象上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， 过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为H、G， 类似（1）的方法可知，且相似比是1， ∴，， ∴反比例函数解析式为， ∵点C到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴， ∴， ∵， ∴，， 则点A坐标为，点B坐标为， 由点A坐标和点B坐标求得直线的解析式为， 当时，， ， 点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴，， 过点D作的垂线，垂足为L， ∴， ∵， ∴，， 四边形的面积为， ②存在某一位置使； 过点E、点F作x轴的垂线，垂足分别为Q、R， 因为直线向右平移，分别交于点E，交于点F， 所以， 设，则，，，，， ，， ， ∴， 解得，，（舍去）， ， 所以点E坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数和新定义，解题关键是准确理解“度比坐标”，熟练运用反比例函数的性质和相似三角形的性质求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $