精品解析：湖北省武汉市问津教育联合体2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

问津教育联合体2027届高一12月联考 数学试卷 考试时间：2024年12月19日上午8：00——10：00试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合,，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知的定义域是，求函数的定义域（ ） A. [−1，5] B. [2，5] C. [−7，5] D. [−2，10] 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 20 B. 16 C. 8 D. 4 6. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列对应关系是集合A到集合的函数的为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 下列不等式中不一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设函数，若关于x的方程有四个不同的解，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简：_________． 13. 已知幂函数的图象过原点，则_________． 14. 有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围”，甲同学给出了如下解答：由，解得．所以，实数a的取值范围是．乙同学却认为不正确．甲乙两位同学讨论后，发现上述解答确实不正确．那么实数的取值范围正确的是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 16. 已知函数，. （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围. 17. 已知函数（且），且． （1）求的解析式： （2）若函数在上的最小值为0，求的值． 18. 2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式； （2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润． 19. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 问津教育联合体2027届高一12月联考 数学试卷 考试时间：2024年12月19日上午8：00——10：00试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题， 则其否定为. 故选:B 2. 设集合,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念可得答案. 【详解】. 故选：B 3. 已知的定义域是，求函数的定义域（ ） A. [−1，5] B. [2，5] C. [−7，5] D. [−2，10] 【答案】B 【解析】 【分析】 根据的定义域可得，根据抽象函数定义域求法可得：，即可求得答案. 【详解】因为的定义域是， 所以，即可得： ， 所以，即函数的定义域为[2，5]， 故选：B 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】由解得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 20 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 解得或（舍去），可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为16. 故选：B. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数性质得出函数在上单调性，再由偶函数性质变形不等式，然后由单调性化简后求解． 【详解】函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，则在上单调递减， 化为，即，解得或， 故选：D． 7. 若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数单调性及不等式恒成立，将问题化为在上恒成立，即可求参数范围. 【详解】由题设，即，则对任意恒成立， 所以在上恒成立，只需， 对于，其在上单调递增，则，所以. 故选：C 8. 若，，，则、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法、换底公式、基本不等式可得出、、的大小关系. 【详解】因为 ，即， ，即，因此，. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列对应关系是集合A到集合的函数的为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数定义逐项分析判断即可． 【详解】根据函数定义，集合A中的每一个元素，对应集合中唯一元素． 对于选项A：符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确； 对于选项B：A中有元素0，在对应关系下，不在集合B中，不是函数，故B错误； 对于选项C：A中任意元素，在对应关系下，都在集合B中，是从A到B的函数，故C正确； 对于选项D：符合函数的定义，是从A到B的函数，故D正确； 故选：ACD． 10. 下列不等式中不一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一分析判断即可． 【详解】对于A：若，，则，故A不一定成立； 对于B：由，得， ∴，则，故B一定成立； 对于C：由，若得； 若得；故C不一定成立； 对于D：由，得， ∴，则，故D一定不成立； 故选：AC. 11. 设函数，若关于x的方程有四个不同的解，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据题意得到，，且，再逐项判断. 【详解】解：作出函数的图象，如图所示： 因为方程有四个不同的解，且， 所以，，且， 则， 因为，所以，则即， 所以，则， 因为，所以等号不成立，则， 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简：_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算法则、对数的换底公式求解可得答案． 【详解】. 故答案为：. 13. 已知幂函数的图象过原点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【详解】因为幂函数的图象过原点，则，解得. 故答案为：. 14. 有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围”，甲同学给出了如下解答：由，解得．所以，实数a的取值范围是．乙同学却认为不正确．甲乙两位同学讨论后，发现上述解答确实不正确．那么实数的取值范围正确的是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论时，函数为一次函数，解得零点后可知满足题意； 时，函数为二次函数，分别在和两种情况下，求得恰有一个零点时的值，进而得到结果. 【详解】上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论和两种情况；而时，在区间内的零点可能不是“变号零点” 正确解答如下： （1）当时， 令得：，解得： ∴当时，在内恰有一个零点. （2）当时， ①若，即，则函数的图象与轴交于点 是内的唯一零点 ②若，即 则i.，解得：且 ii.当，即时，，解得：， 是内的唯一零点 iii.当时，即时，，解得：， 是内的唯一零点 综上可得，的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由补集和交集的运算求解即可； （2）由并集的运算求解即可； 【小问1详解】 当时，， ， 所以. 【小问2详解】 若，所以，则解得； 或 所以a的取值范围为. 16. 已知函数，. （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案； （2）对进行分类讨论，利用二次函数的对称轴与区间的关系列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 解得：，所以不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，在上单调递减，不符合题意； 当时，要使在区间上不单调， 其对称轴要满足，即，解得：， 综上所述，的取值范围是. 17. 已知函数（且），且． （1）求的解析式： （2）若函数在上的最小值为0，求的值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）代入条件，即可求解； （2）首先根据（1）的结果，换元，利用二次函数的单调性，求最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，解得或， 当时，， 当， 所以． 【小问2详解】 ． 令 ，设， 则 因为，所以，， 则 ，所以在单调递增，                  所以， 因为函数在上单调递增，所以．         因为在上的最小值为0，所以，解得． 综上，的值为6． 18. 2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式； （2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润． 【答案】（1） （2）产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案. 【小问1详解】 由题意得当时，， 当时，， 所以, 【小问2详解】 由（1）得当时，， 当时，， 当时， ，当且仅当，即时等号成立， ， 时，，， 时，即2024年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 19. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 【答案】（1）是“不动点”函数，不动点是和2； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义列出方程，求解方程即可； （2）根据新定义列出方程，求解方程即可得； （3）设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答． 【小问1详解】 设是的不动点，则，所以，解得或， 所以是“不动点”函数，不动点是和2； 【小问2详解】 因为a是的次不动点，所以，显然，解得； 【小问3详解】 设分别是在上的不动点和次不动点，且唯一， 由得，即，， 令，显然在上单调递增，所以，， 所以， 由得：，即，， 时， 综上，， 所以的范围是． 【点睛】思路点睛：本题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，然后进行转化、抽象为相应的数学问题进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $