复习09 三角恒等变换（十大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习09 三角恒等变换 知识点 1 ： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 知识点 2 ：二倍角公式 （1） （2） （3） 知识点 3 ：公式的常用变形 （1）降幂公式：；； （2）辅助角公式：，其中，， 考点01 两角和与差的正(余)弦公式 【方法点拨】（1）正用和差角公式“展开”含有特殊角的三角式,然后合并可以化简某些特殊结构的三角式； （2）含有两个角的正、余弦值的积的和或差的三角式,若不符合和差角公式结构,通过诱导公式凑为和差角公式的结构形式,然后逆用公式“合并”为一个三角式,若为特殊角则需要求值. 例1．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 例2．已知，且为第三象限角，则 . 变式1-1．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）原式． 变式1-2．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式1-3．角满足，则（   ） A． B． C． D． 考点02 两角和与差的正切公式 例3．（    ） A． B． C． D． 例4．已知锐角，满足，则 . 变式2-1．已知圆的内接四边形中，，，，则（    ） A．-3 B． C． D．3 变式2-2．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若角的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（    ） A． B． C． D．3 变式2-3．已知，则（ ） A． B． C． D． 考点03 二倍角公式的简单应用 【方法点拨】（1）二倍角正弦公式的正用；看到同角的正弦和余弦相乘，可逆用； （2）二倍角余弦公式的正用；看到同角的正弦平方或者余弦平方，可逆用 例5．已知，则 ． 例6．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（多选）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知，则 ． 变式3-3．已知，则（    ） A． B． C． D． 考点04 给角求值 例7．（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 例8．式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．化简：（    ） A． B． C． D． 变式4-2．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， . 考点05 给值求值 【方法点拨】①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; ②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及特殊角之间的关系. 例9．已知，，且，，则（   ） A． B． C． D． 例10．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．设，若，，则（　　） A． B． C． D． 变式5-3．已知，则（    ） A． B． C． D． 考点06 给值求角 【方法点拨】需根据所求角的范围合理选择三角函数 例11．设，且，则（    ） A． B． C． D． 例12．已知，则 . 变式6-1．已知，，其中，． (1)求的值； (2)求的值． 变式6-2．已知，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 变式6-3．若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 考点07 三角恒等式的证明 【方法点拨】1.构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． 例13．证明：. 例14．已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：； （2）证明：因为，， 故 ， 即. 变式7-1．求证： ． 变式7-2．求证： 变式7-3．求证：. 考点08 辅助角公式的应用 【方法点拨】辅助角公式：，其中，， 例15．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 例16．已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 变式8-1．（    ） A． B． C． D． 变式8-2．若，，则（   ） A． B． C．1 D． 变式8-3．若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 考点09 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 例17．已知函数． (1)求的最小正周期： (2)求函数取最大值时的取值集合； (3)设函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 例18．已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求的解析式，并求出取得最大值时，自变量的取值组成的集合； (2)若当时，有解，求实数的取值范围． 变式9-1．已知函数. (1)化简函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域； (3)设，，求的值. 变式9-2．已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式9-3．已知函数的一个零点为． (1)求的值及的最小正周期； (2)若对恒成立，求的最大值和的最小值． 考点10 三角恒等变换在实际问题中的应用 例19．军事上通常用密位制来度量角．狙击手为了精确命中目标，需要调整射击角度，而狙击枪上的角度单位为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如1个平角，1个周角．已知函数，将图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值用密位制可以表示为（    ）    A． B． C． D． 例20．露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布 米处.（用a，d表示） 变式10-1．（多选）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖，、是分别由、延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与相切于点，且与、分别相交于、，另两条是分别和湖岸、垂直的、（垂足均不与重合）．在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（    ） A．的范围是 B．新增步道的长度可以为 C．新增步道、长度之和可以为 D．当点为的中点时，草坪的面积为 变式10-2．大学生小王毕业后自主创业，租用开发区的一块如图所示的矩形土地，从事无公害蔬菜种植，其中米，米，他在矩形的一边上取点，在边上取点，取边的中点，建造三条小路、、（小路的宽度忽略不计）将矩形分成四个不同的区域．如图，已知，且四边形区域内种植出来的蔬菜每平方米的价值是其他三个区域种植出来的蔬菜每平方米的价值的倍． （1）设，试将四边形的面积表示成关于的函数，并指出此函数的定义域； （2）试问如何设计（即为何值时）才能使在这个矩形的土地上种植出来的蔬菜价值更高？ 变式10-3．墙上有一壁画，最高点处离地面米，最低点处离地面米，距离墙米处设有防护栏，观察者从离地面高米的处观赏它. （1）当时，观察者离墙多远时，视角最大？ （2）若，视角的正切值恒为，观察者离墙的距离应在什么范围内？ 1．（2024-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知角的终边过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024-25高一上·广西柳州·期末）已知都是锐角，，（    ）． A． B． C． D． 3．（2023-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024-25高三上·天津河西·阶段练习）下列三个关于函数的命题： ①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象； ②函数的图象关于对称； ③函数在上单调递增. 其中，真命题的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．以上皆不对 7．（2024-25高一上·广东汕头 期末）（多选）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024-25高一上·江西景德镇·期末）（多选）已知，均为锐角，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 9．（2024-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知，则 ． 10．（2024-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则 . 11．（2025高二·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点、.试在轴的正半轴（坐标原点除外）上确定一点，当C的坐标为 时.取得最大值． 12．（2023-2024学年高一上学期期末诊断测试数学试卷）已知． (1)求的值； (2)求的值． 13．（2024-25高一上·浙江杭州·期末）已知 (1)求的值； (2)若，求锐角的值. 14．（2024-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若对任意，有恒成立，求实数的取值范围； (2)求函数在区间内的零点个数． 15．（2024-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)将化成的形式，并写出的最小正周期及对称轴方程； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习09 三角恒等变换 知识点 1 ： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） 记忆口诀：“CCSS，符号改变”； （3）；（4） 记忆口诀：“SCCS，符号不变”； （5） （6） 知识点 2 ：二倍角公式 （1） （2） （3） 知识点 3 ：公式的常用变形 （1）降幂公式：；； （2）辅助角公式：，其中，， 考点01 两角和与差的正(余)弦公式 【方法点拨】（1）正用和差角公式“展开”含有特殊角的三角式,然后合并可以化简某些特殊结构的三角式； （2）含有两个角的正、余弦值的积的和或差的三角式,若不符合和差角公式结构,通过诱导公式凑为和差角公式的结构形式,然后逆用公式“合并”为一个三角式,若为特殊角则需要求值. 例1．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，则， 所以，. （2）由二倍角公式可得， ， 因此，. 例2．已知，且为第三象限角，则 . 【答案】 【详解】， 即. 又为第三象限角， . 故答案为：. 变式1-1．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）原式． 变式1-2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 所以，解得。 所以， 故选：D 变式1-3．角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，得， 即， 即，所以. 故选：D 考点02 两角和与差的正切公式 例3．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据两角和的正切公式，， 可得，即； 根据诱导公式，， 故原式. 故选：A. 例4．已知锐角，满足，则 . 【答案】 【详解】由题设， 所以，且，为锐角， 故在第二象限，其终边过点， 所以. 故答案为： 变式2-1．已知圆的内接四边形中，，，，则（    ） A．-3 B． C． D．3 【答案】A 【详解】圆的内接四边形中，，则， 在中，， 在中，， 所以． 故选：A 变式2-2．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若角的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】设旋转后的角为，则，， 所以. 故选：A. 变式2-3．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】假设，则， 则， 矛盾，所以. 由已知有， 故，而，故，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对三角函数和差公式的逆用. 考点03 二倍角公式的简单应用 【方法点拨】（1）二倍角正弦公式的正用；看到同角的正弦和余弦相乘，可逆用； （2）二倍角余弦公式的正用；看到同角的正弦平方或者余弦平方，可逆用 例5．已知，则 ． 【答案】 【详解】由， ， 有， 可得． 故答案为： 例6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴， ∴. 故选：A. 变式3-1．（多选）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A：由二倍角正弦公式可得，故选项A正确； 对于选项B：由二倍角余弦公式，故选项B不正确； 对于选项C：由两角和余弦公式 ，故选项C正确； 对于选项D：由两角差的正确公式可得： ，故选项D正确. 故选：ACD. 变式3-2．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 故． 故答案为： 变式3-3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以 . 故选：A 考点04 给角求值 例7．（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，因为， 所以，，B对； 对于C选项， ，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：BD. 例8．式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 . 故选：B. 变式4-1．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 故选：A 变式4-2．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知可得 . 故选：A. 变式4-3．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， . 【答案】2 【详解】因为，，所以， 故答案为： 考点05 给值求值 【方法点拨】①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; ②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及特殊角之间的关系. 例9．已知，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由则， ， ，可得①， ，则或， 由①可得，, ； 故选：B. 例10．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C 另解：， 所以. 故选：C 变式5-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 故选：D 变式5-2．设，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 则，即， 因此， 而，所以. 故选：A 变式5-3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，故， ． 故选：A. 考点06 给值求角 【方法点拨】需根据所求角的范围合理选择三角函数 例11．设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以，则． 故选：B. 例12．已知，则 . 【答案】 【详解】由， 得. 因为，所以当且仅当两个等号同时成立， 即且时，， 又，， 所以，所以. 故答案为： 变式6-1．已知，，其中，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，可得， 又因为，则，可得， 所以. （2）因为，则，且，可得， 所以， 可得， 又因为，可得，所以. 变式6-2．已知，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】∵和均为钝角， ∴，． ∴． 由和均为钝角，得，∴． 故选：D 变式6-3．若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，符号相同， 又，，， 由可得， 又，，， 所以，， ， 由，，得，， 故选：A． 考点07 三角恒等式的证明 【方法点拨】1.构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． 例13．证明：. 【答案】证明见解析 【详解】由题意可得： . 例14．已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：； （2）证明：因为，， 故 ， 即. 变式7-1．求证： ． 【答案】证明见解析. 【详解】证明：因. 则， . 故左边 右边. 变式7-2．求证： 【答案】证明见解析 【详解】证明：左边 右边. 变式7-3．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明： 所以原等式成立． 考点08 辅助角公式的应用 【方法点拨】辅助角公式：，其中，， 例15．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，因为，有， 有，有，故函数的值域为. 故选:C 例16．已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【答案】C 【详解】，其中， 因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 因为函数的最大值为， 所以，解得（舍去）， 所以， 因为， 所以函数图象不关于直线对称，也不关于点对称，故AB错误； 因为， 所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故C正确，D错误. 故选：C. 变式8-1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B. 变式8-2．若，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以（其中）， 得，所以，， 所以， 解得. 故选：B 变式8-3．若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 【答案】 【详解】因为 （其中）， 且函数图象关于直线对称， 所以， 整理得，解得. 故答案为： 考点09 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 例17．已知函数． (1)求的最小正周期： (2)求函数取最大值时的取值集合； (3)设函数在区间上单调递减，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以，函数的最小正周期为. （2）当时，即当时，函数取最大值， 故函数取最大值时的取值集合为. （3）当时，， 由于函数在区间上单调递减，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 例18．已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求的解析式，并求出取得最大值时，自变量的取值组成的集合； (2)若当时，有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）， 因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为． 由，解得，所以函数． 由，得， 所以函数取得最大值时，自变量的取值组成的集合为． （2）由，得，所以， 所以，若有解，则． 所以的取值范围为． 变式9-1．已知函数. (1)化简函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域； (3)设，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） . （2）当时，，则， 所以函数在区间上的值域为 . （3）因为，所以， ，，所以， 则 . 变式9-2．已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知， 若，则， 若，则， 因为，， 所以，则有，解得， 即的取值范围是. 故选：A. 变式9-3．已知函数的一个零点为． (1)求的值及的最小正周期； (2)若对恒成立，求的最大值和的最小值． 【答案】(1)，最小正周期为 (2)的最大值是；的最小值是1 【详解】（1）由题设，化简得 解得． 故 则的最小正周期为； （2）由，可得． 故得，即． 当，即时，取得最大值1； 当，即时，取得最小值． 由对恒成立，可得，且． 即的最大值是，的最小值是1． 考点10 三角恒等变换在实际问题中的应用 例19．军事上通常用密位制来度量角．狙击手为了精确命中目标，需要调整射击角度，而狙击枪上的角度单位为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如1个平角，1个周角．已知函数，将图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值用密位制可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 则， 因为的图象关于轴对称，所以， 则， 因为，所以当时，， 故的最小值用密位制可以表示为25-00． 故选：A. 例20．露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布 米处.（用a，d表示） 【答案】 【详解】如图，设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处， 则由条件可得，， 设，则，， 则 ， 当且仅当，即时，“”成立， 又因为在上为增函数， 所以坐在距离幕布米处，视角最大. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处，设，得出，，再根据两角差的正切公式化简是解决本题的关键. 变式10-1．（多选）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖，、是分别由、延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与相切于点，且与、分别相交于、，另两条是分别和湖岸、垂直的、（垂足均不与重合）．在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（    ） A．的范围是 B．新增步道的长度可以为 C．新增步道、长度之和可以为 D．当点为的中点时，草坪的面积为 【答案】BD 【解析】设，求出的取值范围，可判断A选项的正误；利用基本不等式求出的最小值，可判断B选项的正误；求出的取值范围，可判断C选项的正误；计算出草坪的面积，可判断D选项的正误. 【详解】设. 对于A选项，由题意可得，解得，A选项错误； 对于B选项，，，， ，， 所以，， 设，则， 可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 新增步道的长度可以为，B选项正确； 对于C选项，，， 所以，， ，，所以，， 所以，， 而，即新增步道、长度之和不可以为，C选项错误； 对于D选项，当为的中点时，，则，可得， 同理可得，则， 扇形的面积为， 此时，当点为的中点时，草坪的面积为，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解实际问题的解题技巧： （1）利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （2）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （3）在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 变式10-2．大学生小王毕业后自主创业，租用开发区的一块如图所示的矩形土地，从事无公害蔬菜种植，其中米，米，他在矩形的一边上取点，在边上取点，取边的中点，建造三条小路、、（小路的宽度忽略不计）将矩形分成四个不同的区域．如图，已知，且四边形区域内种植出来的蔬菜每平方米的价值是其他三个区域种植出来的蔬菜每平方米的价值的倍． （1）设，试将四边形的面积表示成关于的函数，并指出此函数的定义域； （2）试问如何设计（即为何值时）才能使在这个矩形的土地上种植出来的蔬菜价值更高？ 【答案】（1），；（2）当时，才能使在这个矩形的土地上种植出来的蔬菜价值更高. 【详解】（1）在中，，，，，， ， 在中，，，，，， ， 所以，四边形的面积为， 显然，由，， 可得，且为锐角，则，同理可得， 因此，，； （2）因为四边形区域内种植出来的蔬菜每平方米的价值是其他三个区域种植出来的蔬菜每平方米的价值的倍， 所以，使在这个矩形区域种植出来的蔬菜价值更高，只要四边形的面积最大. ， ，则，当时，即当时，四边形的面积取最大值， 此时，米， 所以，当时，这个矩形的土地上种植出来的蔬菜价值更高. 【点睛】本题考查三角函数的实际应用，求三角函数的最值，考查化归与转化思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 变式10-3．墙上有一壁画，最高点处离地面米，最低点处离地面米，距离墙米处设有防护栏，观察者从离地面高米的处观赏它. （1）当时，观察者离墙多远时，视角最大？ （2）若，视角的正切值恒为，观察者离墙的距离应在什么范围内？ 【答案】（1）当观察者离墙米处时，视角最大；（2）. 【详解】（1）当时，过作的垂线，垂足为，则，且， 设观察者离墙米，则，且，， 所以，， 当且仅当，即当时，取最大值，此时视角最大； （2）由（1）得，， ， 即， 当时，，则，解得或. ，所以，. 因此，观察者离墙的距离应在至米范围内. 【点睛】本题考查的知识要点：解直角三角形的应用，不等式组的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型． 1．（2024-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知角的终边过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得， 则. 故选：D. 2．（2024-25高一上·广西柳州·期末）已知都是锐角，，（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为锐角， 所以， 又， 所以，， 又， 所以 故选：A. 3．（2023-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， . 故选：B. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记①，②， 由得， 即，则， 又由可知，故， 故选：A． 5．（2024-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，得， 所以. 故选：D. 6．（2024-25高三上·天津河西·阶段练习）下列三个关于函数的命题： ①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象； ②函数的图象关于对称； ③函数在上单调递增. 其中，真命题的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．以上皆不对 【答案】C 【详解】对于①， ， 将函数的图象向右平移个单位得到，故①错误； 对于②，由，故图象不关于对称，故②错误； 对于③，当时，令， 由于在上单调递增， 故在上单调递增，故③正确． 故选：C. 7．（2024-25高一上·广东汕头 期末）（多选）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，A错误； ， 所以，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：BC 8．（2024-25高一上·江西景德镇·期末）（多选）已知，均为锐角，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，若，由得， 即 又为锐角，所以，故A正确 对于B选项，若，则， 由得， 所以，故B错误 对于D选项，由，得 ， 令，则，两边平方得： ， 由判别式法可得，解得，即， 又为锐角，所以的最小值为，当时，取最小值,故D正确， 对于C选项，由D选项可知，，而，所以 ，故C正确， 故选：ACD 9．（2024-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意得，， 则， 化简得，解得. 故答案为：. 10．（2024-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以，则，故， . 故答案为：. 11．（2025高二·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点、.试在轴的正半轴（坐标原点除外）上确定一点，当C的坐标为 时.取得最大值． 【答案】 【详解】设，，且，设所求点． 记，，则．显然，． 现在有． 记，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 因此，当时，取得最大值． 因为在内是增函数，所以当时，取最大值． 故所求点的坐标为． 故答案为：. 12．（2023-2024学年高一上学期期末诊断测试数学试卷）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以． （2）. 13．（2024-25高一上·浙江杭州·期末）已知 (1)求的值； (2)若，求锐角的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以 则 （2）因为，为锐角，所以， 由可得，， 因为， 所以， 所以 ． 因为为锐角，所以 14．（2024-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若对任意，有恒成立，求实数的取值范围； (2)求函数在区间内的零点个数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①一方面，有成立，即，从而； ②另一方面，当时，对有，故，从而 . 从而有恒成立，满足条件. 综合①②，可知的取值范围是； （2）令得，即，所以函数的零点为. 因为，所以，得，即，从而全部的零点为. 所以在区间内的零点个数为． 15．（2024-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)将化成的形式，并写出的最小正周期及对称轴方程； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)对称轴为直线 (2) 【详解】（1） ，由题意得的最小正周期. 由图像可知，对称轴为直线. （2）若在上单调，则， 得， 则 由，得，则， 所以. 若在上不单调， 则在上的图像上必定有一个最高点或最低点， 且在上的图像无论经过任何一个最高点或任何一个最低点， 的取值范围均相同. 假设在上的图像的最高点为，则， 当，即时，，此时取得最小值， 且最小值是.易得，则，所以. 综上，的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$