预习05 向量的坐标表示及应用（十大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习05 向量的坐标表示及应用 知识点 1 ：平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 知识点 2 ：平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 知识点 3 ：平面向量的数量积的坐标运算 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: （3）向量的模:设,则 （4）两点间的距离公式:若,则 （5）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则 考点01 向量的坐标表示 【方法点拨】（1）求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标； （2）求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标. 【例1】已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 【变式1-2】若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，，将绕O点逆时针旋转弧度得到，则点B的坐标为 ． 考点02 向量线性运算坐标表示 【方法点拨】（1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 【例3】已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 【例4】向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 【变式2-1】（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，、、，如果，那么的坐标为 . 【变式2-3】已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 考点3 线段的定比分点计算 【例5】已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【例6】已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【变式3-1】已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为 . 【变式3-3】已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ． 考点04 由坐标判断向量是否共线 【方法点拨】利用向量共线的坐标表达式直接求解. 【例7】（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【例8】已知符号）（表示不平行，向量，.设命题，，则（    ） A．，，且为真命题 B．，，且为真命题 C．，，且为假命题 D．，，且为假命题 【变式4-1】已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【变式4-2】下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-3】已知空间四点,,和,求证:四边形是梯形. 考点05 由向量共线(平行)求参数 【例9】已知向量若，则m等于（   ） A． B． C． D． 【例10】已知平面直角坐标系中，，，，若，则的坐标为：（     ）. A． B． C． D． 【变式5-1】已知向量，，若与平行，则（   ） A． B．6 C． D． 【变式5-2】已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（    ） A． B． C．1 D． 考点06 由坐标解决三点共线问题 【方法点拨】（1）三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的；（2）利用向量平行证明三点共线需分两步完成:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点 【例11】已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 【例12】若三点，，在同一条直线上，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式6-1】若三点（）共线，则 . 【变式6-2】已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【变式6-3】某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中三点恰好共线，则（    ） A． B． C． D． 考点07 向量数量积的坐标表示 【方法点拨】进行向量的数量积运算的两条途径:（1）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;（2）先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. 【例13】如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则 ， ． 【例14】已知向量，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式7-1】已知，若则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【变式7-2】已知向量，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点08 利用坐标解决向量垂直 【方法点拨】 【例15】已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例16】已知向量，，若与垂直，则的值为（   ） A． B．0 C． D．2 【变式8-1】已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．2 【变式8-2】已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 【变式8-3】在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为和，，． (1)若与夹角为，求； (2)若点是线段的中点，且与垂直，求实数的值． 考点09 利用坐标求向量的模长 【方法点拨】若,则,于是有 【例17】已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【例18】已知平面向量，且，则 ． 【变式9-1】已知向量，，若，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【变式9-2】已知向量，满足，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式9-3】已知为坐标原点，，，，若为直线OC上一动点，当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 考点10 利用坐标求向量的夹角 【方法点拨】利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤： （1）利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；（2）利用计算出这两个向量的模；（3）由公式直接求出的值；（4）在内,由的值求角 【例19】已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例20】已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【变式10-3】设向量，则的最小值为 . 1．（2024高三·全国·专题练习）已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2023-24高三上·广东汕头·阶段练习）若向量，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2023-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 7．（2023-24高一下·辽宁·开学考试）（多选）如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24高三上·宁夏银川·阶段练习）（多选）已知向量，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D． 9．（2024高三·全国·专题练习）已知点，则满足的的坐标为 . 10．（2023-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知向量，，，，则的取值范围是 . 11．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 12．（2023-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 13．（2023-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 14．（2023-24高三上·江苏淮安·期中）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 15．（2023-24高一下·北京延庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，且，P是线段AB上的动点． (1)用，表示和； (2)当P是线段AB上的中点时，求，的坐标和； (3)设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习05 向量的坐标表示及应用 知识点 1 ：平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 知识点 2 ：平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 知识点 3 ：平面向量的数量积的坐标运算 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: （3）向量的模:设,则 （4）两点间的距离公式:若,则 （5）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则 考点01 向量的坐标表示 【方法点拨】（1）求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标； （2）求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标. 【例1】已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 【例2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 【变式1-1】如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 【答案】(1)，. (2)， 【详解】（1）因为 所以， . （2）设，因为M为中点，、， 所以，所以. 设，则， 由得， 即所以即. 【变式1-2】若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    令顶点的坐标为，又 所以， 如图易知，在平行四边形中， 所以，解得，所以顶点的坐标为， 故选：A. 【变式1-3】已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，，将绕O点逆时针旋转弧度得到，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题意， 所以与x轴夹角正弦值为，故， 所以由题意与x轴夹角为， 又， 所以. 故答案为：. 考点02 向量线性运算坐标表示 【方法点拨】（1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 【例3】已知点，，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，由定比分点公式得， 所以，即, 所以， 故选:C 【例4】向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 【答案】 【详解】如图，将平移至相同起点，且，，并构建直角坐标系xOy， 若每个单元格长为1，则. 又， 所以， 即可得 所以. 故答案为：. 【变式2-1】（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 【变式2-2】在中，、、，如果，那么的坐标为 . 【答案】 【详解】设， 由、、， 则、、， 又， 所以， 解得， 即， 故答案为：. 【变式2-3】已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 考点3 线段的定比分点计算 【例5】已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 【例6】已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： 【变式3-1】已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 【变式3-2】已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为 . 【答案】 【详解】点在线段的延长线上，且， ， ,,,． 所以点P的坐标为. 故答案为：. 【变式3-3】已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ． 【答案】/ 【详解】因为P是线段靠近的一个四等分点， 所以，设， 则有， 故答案为： 考点04 由坐标判断向量是否共线 【方法点拨】利用向量共线的坐标表达式直接求解. 【例7】（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】要使平面中两个向量作为基底， 必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A正确； 对于B，由，B正确； 对于D，由，D正确； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C错误. 故选：ABD 【例8】已知符号）（表示不平行，向量，.设命题，，则（    ） A．，，且为真命题 B．，，且为真命题 C．，，且为假命题 D．，，且为假命题 【答案】A 【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 则，，排除BD； 而向量，，当时，，即， 因此为真命题，排除C，A正确. 故选：A 【变式4-1】已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【答案】(1)， (2)共线 【详解】（1）依题意得，． 设， 由，可知， 即解得 点的坐标为 由，可知， 即解得 点的坐标为． （2）由（1）可知， 又， ， 故与共线． 【变式4-2】下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，所以不共线，A错误； 对于B，，所以共线，B正确； 对于C，，所以不共线，C错误； 对于D，，所以不共线，D错误. 故选：B 【变式4-3】已知空间四点,,和,求证:四边形是梯形. 【答案】证明见解析 【详解】依题意有, 同理,,, 因为,所以, 则,且, 又与不共线, 所以四边形是梯形. 考点05 由向量共线(平行)求参数 【例9】已知向量若，则m等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，又，， 所以，解得. 故选：A. 【例10】已知平面直角坐标系中，，，，若，则的坐标为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， ，所以， 故. 故选：B． 【变式5-1】已知向量，，若与平行，则（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【详解】由向量，，可得，， 由与平行，可得：，解得：， 故选：C. 【变式5-2】已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，，此时，所以； 若，由向量共线定理，得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式5-3】已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为， ． 假设三点共线，则，即． 所以只要，则三点即可构成三角形. 故选：C 考点06 由坐标解决三点共线问题 【方法点拨】（1）三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的；（2）利用向量平行证明三点共线需分两步完成:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点 【例11】已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】根据题意，， 则，若三点共线，则， 则有，变形可得. 故选：A 【例12】若三点，，在同一条直线上，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为、、三点共线，所以， 又因为，， 所以，解得. 故选：C. 【变式6-1】若三点（）共线，则 . 【答案】/ 【详解】因为三点共线， 所以，， 所以，即，又， 所以，所以. 故答案为： 【变式6-2】已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【变式6-3】某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中三点恰好共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知：，，， 所以， ， 因为三点恰好共线， 所以， 所以， 解得. 故选：C. 考点07 向量数量积的坐标表示 【方法点拨】进行向量的数量积运算的两条途径:（1）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;（2）先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. 【例13】如图所示，规定每个小方格的边长是1，又已知向量，则 ， ． 【答案】 0 3 【详解】 不妨以的起点为原点建立如图所示坐标系， 由图可得，，， 则，. 故答案为：0；3. 【例14】已知向量，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【详解】，， ， . 故选：B. 【变式7-1】已知，若则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 【变式7-2】已知向量，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知， 因为，所以，即， 因为，所以． 故选：B. 【变式7-3】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在线段上，且， . 又为线段上一点，若与的面积相等， ，为的中点. 如图，建立平面直角坐标系，则，，，，， ，， . 故选：D. 考点08 利用坐标解决向量垂直 【方法点拨】 【例15】已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，， 若，则， 解得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 【例16】已知向量，，若与垂直，则的值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】因为且与垂直， 故，故， 故选：A 【变式8-1】已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意，则， 得，，所以， 所以. 故选：B 【变式8-2】已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为两向量共线，是单位向量， 所以设， 得到解得或 得或. （2）因为与垂直， 所以，而， 即， 解得. 【变式8-3】在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为和，，． (1)若与夹角为，求； (2)若点是线段的中点，且与垂直，求实数的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，，，则， ，， 所以. （2）由（1）知，，， 由向量与垂直，得， 则，解得 所以实数的值为. 考点09 利用坐标求向量的模长 【方法点拨】若,则,于是有 【例17】已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以. 故选：D. 【例18】已知平面向量，且，则 ． 【答案】5 【详解】由，得， 即，解得， 所以，则， 所以. 故答案为：5. 【变式9-1】已知向量，，若，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【详解】向量，， 因为，所以，解得， 所以，所以， 故选：A 【变式9-2】已知向量，满足，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 则，所以， 所以. 故选：C. 【变式9-3】已知为坐标原点，，，，若为直线OC上一动点，当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，设，则， 所以， 当且仅当时，取得最小值，此时， 所以，即，故A正确. 故选：A 考点10 利用坐标求向量的夹角 【方法点拨】利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤： （1）利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；（2）利用计算出这两个向量的模；（3）由公式直接求出的值；（4）在内,由的值求角 【例19】已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 【例20】已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 【变式10-1】已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以在上的投影向量为， 故，则，， 所以与夹角的余弦值为． 故选：A 【变式10-2】已知，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】向量，，， 由，得，即， 因此，所以. 故选：C 【变式10-3】设向量，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】，令，则， 所以， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 1．（2024高三·全国·专题练习）已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 因此与同方向的单位向量为， 故选：A 2．（2024高三·全国·专题练习）已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由向量的减法得：，则，， 设，则，， 由，得，解得， 所以. 故选：A. 3．（2023-24高三上·广东汕头·阶段练习）若向量，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由得，， 所以. 故选：C. 4．（2023-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到 ， 设，则， 解得，即. 故选：C. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得， 所以，，则， 所以，在上的投影向量为 . 故选：C. 6．（2024高三·全国·专题练习）在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 【答案】A 【详解】在中，，，为内的一点， 建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，， 对于选项A：若为的重心，则，，则， 所以， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项A不正确； 对于选项B：若为的外心，其必在直线上， 所以，故选项B正确； 对于选项C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项C正确； 对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，即选项D正确. 故选：A. 7．（2023-24高一下·辽宁·开学考试）（多选）如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， 则，则. 故，，，故， 解得，故，，， 故选： AB. 8．（2023-24高三上·宁夏银川·阶段练习）（多选）已知向量，，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D． 【答案】BD 【详解】A选项：由，则，则， 即，A选项错误； B选项：由，则，则， 即，B选项正确； C选项：由，则，则， 即与的夹角为，C选项错误； D选项：由已知，则， 即，则，D选项正确； 故选：BD. 9．（2024高三·全国·专题练习）已知点，则满足的的坐标为 . 【答案】 【详解】设的坐标为，且，， 因为，可得， 可得， 所以的坐标为. 故答案为： 10．（2023-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知向量，，，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图，设，则，， 由题意，设向量与夹角为，直线与轴正半轴夹角为， 则，则， 因为，，则，即， 又，则. 故答案为：. 11．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，知， 因为，， 所以 ， 所以向量在向量上的投影向量为 ； 若，则， 以为原点建立空间直角坐标系，则， 设，则，， 所以，， 所以，， 所以， 是关于的开口向上，对称轴为的二次函数， 当时，取得最小值. 故答案为：； 12．（2023-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【答案】，、，证明见解析 【详解】因为、、， 所以，，， 因为，所以，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 13．（2023-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）因为向量，所以， 由得，解得，所以. 又，所以. （2）设向量与向量的夹角为， 因为，则， 又，所以， 即向量与向量的夹角是. 14．（2023-24高三上·江苏淮安·期中）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 设，所以， 所以，所以 （2）因为，，三点共线，， 所以设， 又，所以，所以， 又 所以. 15．（2023-24高一下·北京延庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，且，P是线段AB上的动点． (1)用，表示和； (2)当P是线段AB上的中点时，求，的坐标和； (3)设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，. (2) (3)不存在，理由见解析. 【详解】（1）因为,且, 所以,即,, 所以 （2）当为线段的中点时，， 所以, 所以 所以. （3）假设存在满足题意的, 则 则 所以, ， 所以, 故, 整理得,, 方程显然无根, 即不存在实数使得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$