复习03 函数的概念及表示（十大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习03 函数的概念及表示 知识点 1 ：函数 1.函数的定义域、值域 在函数中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. 注意：相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． （1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． （2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如均表示相等函数. 3.函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 知识点 2 ：常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 知识点 3 ：分段函数 分段函数的概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 注意：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 考点01 函数定义的理解与辨析 【方法点拨】（1）判断对应关系是否为函数的2个条件：①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应． （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线；②在定义域内平行移动直线；③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 例1．若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】由题意知：在集合A中有两个自变量取值对应集合B中的同一个值，另一个自变量取值对应剩余的值， 从集合A中的三个元素取出2个元素，共有3种选择，从集合B中的2个元素取出1个元素，共有2种选择， 因此满足题意的函数共有个， 故选：D. 例2．设，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，在中无元素与之对应，不满足定义，A不能； 对于B，集合中的每个值，在集合中均有唯一值与之对应，符合函数的定义，B能； 对于C，当或时，对应元素，不满足定义，C不能； 对于D，当时，在中有两个元素与之对应，不满足定义，D不能. 故选：B 变式1-1．已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 变式1-2．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【详解】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误； 对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，所以y不是x的函数，故D错误. 故选：B. 变式1-3．（多选）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】结合函数定义可知集合中任意一个元素在集合中都有唯一确定的元素与之对应， 故A，B正确； 集合中7在集合中没有元素与之对应，故C错误； 集合中3在集合中有两个元素与之对应，4没有元素与之对应，故D错误. 故选：AB. 考点02 同一个函数的判断 【方法点拨】若两个函数的定义域及解析式相同，则两个函数为相同函数 例3．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【详解】对于选项A：因为， 可知两个函数的对应关系不相同，所以函数不相等，故A错误； 对于选项B：因为的定义域均为，且， 可知两个函数的对应关系和定义域均相同，所以函数相等，故B正确； 对于选项C：因为的定义域均为， 且，， 可知两个函数的对应关系和定义域均相同，所以函数相等，故C正确； 对于选项D：因为， 所以两个函数的对应关系不相同，所以函数不相等，故D错误； 故选：BC. 例4．下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， A，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数； B，因为的定义域，与的定义域相同，且，与的对应关系相同，表示同一函数； C，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数； D，因为的定义域，与的定义域相同，但，与的对应关系不同，不是同一函数. 故选：B 变式2-1．下列各组函数与的图象相同的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，它们的图象不同，A不是； 对于B，与的定义域及对应法则对应相同，它们的图象相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，函数的定义域为，它们的图象不同，C不是； 对于D，函数与函数的对应法则不同，它们的图象不同，D不是. 故选：B 变式2-2．（多选）下列各组函数中，是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．，与， 【答案】BD 【详解】对于A，定义域为，定义域为， 所以与的定义域不相同不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数与的定义域均为， 对应法则相同，故两函数是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 所以与的定义域不相同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，两个函数的值域相同定义域相同，对应法则也相同，故是同一个函数，故D正确. 故选：BD. 变式2-3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与且 C．与 D．与 【答案】B 【详解】A选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同， 故不是同一函数，A错误； B选项，的定义域为R，且的定义域为R， 且，故两函数为同一函数，B正确； C选项，两函数定义域均为R，且与对应法则不同，不是同一函数，C错误； D选项，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，不是同一函数，D错误. 故选：B 考点03 求具体函数的定义域 【方法点拨】求函数定义域的几种类型：（1）若是整式，则函数的定义域是R. （2）若是分式，则应考虑使分母不为零；（3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． 例5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，解得且， 故选：C． 例6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：D 变式3-1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，即，解得且， ∴函数的定义域为. 故选：C. 变式3-2．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】由题意可得解得或. 故答案为：. 变式3-3．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，故，共3个元素. 故选：C 考点04 求抽象函数的定义域 【方法点拨】两类抽象函数的定义域的求法： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域； （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． 例7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得， 由，解得， 故函数的定义域是， 故选：B． 例8．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 变式4-1．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，解得， 所以定义域为， 故选：D. 变式4-2．已知函数的定义域为，则函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】中，令，则， 所以中， 解得或. 故选：D. 变式4-3．若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为， 对于，有，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 考点05 由函数定义域求参数 例9．“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若函数的定义域为R， 则当，，符合要求； 当时，有，解得， 综上所述，， 故“”是“函数的定义域为R”的充要条件. 故选：C. 例10．“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意得在R上恒成立， 若，则，满足要求， 若，则只需，解得， 综上，， 由于为的真子集， 故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件. 故选：A 变式5-1．函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可知在上恒成立， 则， 所以满足题意的实数a的取值范围为. 故答案为：. 变式5-2．若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题得，解得， 函数的定义域为，故，. 故选：B 变式5-3．函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 考点06 待定系数法求解析式 【方法点拨】若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； 例11．已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 则， 可得，解得，即， 令，则， 可得， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可得在上单调递增，且当时，， 可得，即函数的值域为. 故选：B. 例12．若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 变式6-1．已知函数的数据如下表，则该函数可能的一个解析式为 . x 0 1 2 3 4 5 … 3 6 12 24 48 96 … 【答案】（答案可能不止一个） 【详解】表中数据中函数值从左到右的规律为：右侧数据为相邻左侧数据的2倍， 故可设，由可得， 故，检验符合， 另外，如果 ， 检验后也符号要求. 故答案为：（答案可能不止一个） 变式6-2．已知反比例函数的图象过点，则 ． 【答案】 【详解】设反比例函数， 由题意可得：，解得， 可得，所以. 故答案为：. 变式6-3．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A 考点07 换元法/配凑法求解析式 【方法点拨】换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数的解析式求的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出 例13．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，所以. 故选：B. 例14．若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令，则， 故， 所以. 故选：C. 变式7-1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，显然， 所以. 故选：B 变式7-2．（多选）已知定义域为，则错误的是（    ） A． B． C．， D．函数的定义域为 【答案】ABD 【详解】已知，设，则. 因为，所以. 那么，化简可得，，即，.   当时，，所以无定义，A选项错误.   当时，，所以无定义，B选项错误.   由前面的计算可知，，C选项正确.   对于函数，因为的定义域为，所以. 解不等式得，所以函数的定义域为，D选项错误. 故选：ABD. 变式7-3．函数，则 . 【答案】 【详解】令，则，所以，所以. 故答案为： 考点08 方程组法求解析式 【方法点拨】已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 例15．若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中， 用替换，可得：，解得, 故 故选：A. 例16．（多选）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令为代入计算，得到， 结合，两式联立解得. 对于A，令，则，则A正确； 对于B，令，则，则B正确； 对于C，令，则，令，则.，则C错误； 对于D，令，代入原已知式子，则，即，则D正确. 故选：ABD. 变式8-1．的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 变式8-2．（多选）若函数满足关系式，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】将代换，则，又， 所以，故，，A对，C错； ，即，B对； 根据已知关系，显然，D对. 故选：ABD 变式8-3．已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，将置换解得：， ， 设当时， 当时，， 又因为， 当时，取得最大值，，即函数最大值为， 故选：B. 考点09 分段函数求值与求参 【方法点拨】已知函数值，求自变量的值时，要分类讨论自变量的取值范围，将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解 例17．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 例18．设函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】根据题意，, 由，得，则， 从而，解得. 故选:B． 变式9-1．已知函数式则 . 【答案】0 【详解】已知函数， 所以， 则. 故答案为： 0. 变式9-2．已知函数则（    ） A．0 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】易知，， ， 即可得.     故选：A 变式9-3．已知函数 若，则 ． 【答案】0或 【详解】当时，，因为，所以； 当时，， 令，即，解得， 当时，令，解得； 当时，令，解得， 故答案为：0或 考点10 解分段函数不等式 【方法点拨】研究分段函数要牢牢抓住的2个要点：①分段研究．在每一段上研究函数；②合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体． 例19．已知函数若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，， 因为，则当时，，解得，故； 当时，，解得，故， 综上可知，的取值范围为． 故选：B 例20．设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：， 当时，，解得或，所以. 当时，，解得，所以. 综上所述：不等式的解集为：. 故选：A 变式10-1．设函数，则 ，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】第一空，． 第二空，当时，由，得， 当时，由，得． 所以的取值范围为． 故答案为：； 变式10-2．已知，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，； 当时，． 因此． 故选：A． 变式10-3．设函数 (1)若求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当，，即，解得（不符题意舍去）； 当，，解得. 故当时，或 （2）由于，则； 当，，即，整理得，结合，解得； 当，，即，解得. 于是的解集为 1．（2024-25高一上·山东潍坊·阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】A选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，不合题意； B选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域为，符合题意； C选项，此图表示的不是函数图象，不符合题意； D选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域不是，不符合题意. 故选：B 2．（2024-25高一上·北京东城·期末）下列函数中，与函数有相同图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数定义域为,值域为, 对于A：定义域为,值域为相同有相同图象,A选项正确； 对于B：定义域为,定义域不同没有相同图象，B错误； 对于C：值域为,值域不同没有相同图象，C错误； 对于D：定义域为,定义域不同没有相同图象，D错误； 故选：A. 3．（2024-25高一上·重庆·期中）函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，即， 代入，可得，故. 故选：A. 4．（2024-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数，则的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．0 【答案】B 【详解】易知， 所以. 故选：B. 5．（2024-25高一上·山东·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．的定义域为R D．的值域为 【答案】D 【详解】因为函数，所以，故选项A错误； 若，则或，解得或，故选项B错误； 根据分段函数的定义知，函数的定义域为，故选项C错误； 当时，；当时，； 所以分段函数的性质得，函数的值域为，故选项D正确. 故选：D. 6．（2024-25高一上·上海·阶段练习）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域为， 所以对任意的恒成立， 当时，不等式变形为，解得，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 所以，解得， 综上所述：函数的定义域为，则的取值范围； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故A错误； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故B错误； 所以是函数的定义域为的一个充分不必要条件，故C正确； 所以是函数的定义域为的一个充要条件，故D错误. 故选：C. 7．（2024-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【详解】对于A，函数中，，解得或，即的定义域为， 函数中，，解得，的定义域为，A不是； 对于B，，且与的定义域都为，B是； 对于C，当时，；当时，；又当时，， 因此，函数与的定义域相同，对应法则相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，D不是. 故选：BC 8．（2024-25高一上·湖南湘潭·阶段练习）已知函数，则，则m的值可以是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】CD 【详解】因为， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：或. 故选：CD. 9．（2024-25高一上·河南驻马店·期末）已知，若，则 . 【答案】或 【详解】当时，，得（正值舍去）， 当时，，得（负值舍去）， 所以或. 故答案为：或 10．（2024-25高一上·河北衡水·期中）已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，单调递增，此时， 当时，单调递增，此时， 要使对于任意实数，均存在，使得，则的值域为, 故，解得， 故答案为： 11．（2024-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，定义集合到的函数除以3的余数，例如，，则函数的图象与的图象的交点为 . 【答案】 【详解】设， 设，，，则， 设两函数交点为，则或1或2. ①当时，令， 则，方程无解，即此时两图象不相交； ②当时，令，即解得，或. 当时，，而，即此时两函数图象不相交； 当时，，且，故是两函数图象的交点； ③当时，令，即， 此时，解得，方程无自然数解，即此时两函数图象也不相交. 综上所述，是两函数图象的唯一交点. 故答案为：. 12．（2024-25高一上·广东广州·期中）已知函数. (1)点在的图像上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【答案】(1)不在； (2)； (3)． 【详解】（1），所以点不在的图像上； （2）； （3），解得． 13．（2024-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【答案】(1)，， (2)或1或 (3)图象见解析， 【详解】（1）因为， 所以，， . （2）当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. （3）函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 14．（2024-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3). 【详解】（1）依题意，，而, 所以. （2）当时，，解得，不合题意； 当时，，即，而，则； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. （3）由，得或或， 解得或或或, 所以实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习03 函数的概念及表示 知识点 1 ：函数 1.函数的定义域、值域 在函数中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. 注意：相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． （1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． （2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如均表示相等函数. 3.函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 知识点 2 ：常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 知识点 3 ：分段函数 分段函数的概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 注意：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 考点01 函数定义的理解与辨析 【方法点拨】（1）判断对应关系是否为函数的2个条件：①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应． （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线；②在定义域内平行移动直线；③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 例1．若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 例2．设，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 变式1-2．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 变式1-3．（多选）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 考点02 同一个函数的判断 【方法点拨】若两个函数的定义域及解析式相同，则两个函数为相同函数 例3．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例4．下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．下列各组函数与的图象相同的是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式2-2．（多选）下列各组函数中，是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．，与， 变式2-3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与且 C．与 D．与 考点03 求具体函数的定义域 【方法点拨】求函数定义域的几种类型：（1）若是整式，则函数的定义域是R. （2）若是分式，则应考虑使分母不为零；（3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． 例5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．函数的定义域是 ． 变式3-3．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点04 求抽象函数的定义域 【方法点拨】两类抽象函数的定义域的求法： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域； （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． 例7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例8．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知函数的定义域为，则函数定义域为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 考点05 由函数定义域求参数 例9．“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例10．“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-1．函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 变式5-2．若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式5-3．函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 考点06 待定系数法求解析式 【方法点拨】若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； 例11．已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 例12．若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 变式6-1．已知函数的数据如下表，则该函数可能的一个解析式为 . x 0 1 2 3 4 5 … 3 6 12 24 48 96 … 变式6-2．已知反比例函数的图象过点，则 ． 【答案】 【详解】设反比例函数， 由题意可得：，解得， 可得，所以. 故答案为：. 变式6-3．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 考点07 换元法/配凑法求解析式 【方法点拨】换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数的解析式求的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出 例13．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 例14．若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 变式7-1．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式7-2．（多选）已知定义域为，则错误的是（    ） A． B． C．， D．函数的定义域为 变式7-3．函数，则 . 考点08 方程组法求解析式 【方法点拨】已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 例15．若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 例16．（多选）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 变式8-1．的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式8-2．（多选）若函数满足关系式，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式8-3．已知函数的定义域为R，且，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 考点09 分段函数求值与求参 【方法点拨】已知函数值，求自变量的值时，要分类讨论自变量的取值范围，将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解 例17．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 例18．设函数，若，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 变式9-1．已知函数式则 . 变式9-2．已知函数则（    ） A．0 B．5 C． D． 变式9-3．已知函数 若，则 ． 考点10 解分段函数不等式 【方法点拨】研究分段函数要牢牢抓住的2个要点：①分段研究．在每一段上研究函数；②合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体． 例19．已知函数若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例20．设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式10-1．设函数，则 ，若，则的取值范围是 ． 变式10-2．已知，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式10-3．设函数 (1)若求实数的值； (2)求不等式的解集. 1．（2024-25高一上·山东潍坊·阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（2024-25高一上·北京东城·期末）下列函数中，与函数有相同图象的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024-25高一上·重庆·期中）函数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数，则的值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．0 5．（2024-25高一上·山东·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．的定义域为R D．的值域为 6．（2024-25高一上·上海·阶段练习）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2024-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（2024-25高一上·湖南湘潭·阶段练习）已知函数，则，则m的值可以是（    ） A．2 B． C．3 D． 9．（2024-25高一上·河南驻马店·期末）已知，若，则 . 10．（2024-25高一上·河北衡水·期中）已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是 ． 11．（2024-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，定义集合到的函数除以3的余数，例如，，则函数的图象与的图象的交点为 . 12．（2024-25高一上·广东广州·期中）已知函数. (1)点在的图像上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 13．（2024-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 14．（2024-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$