精品解析：江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷

2024年“三新”协同教研共同体高二联考 数学试卷 命题：江西师大附中 陈选明 萍乡中学 王丽英 审题：鹰潭一中 熊冬辉 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第五章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程即可得解. 【详解】抛物线的标准方程为， 则抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：C 2. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程得直线斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】由直线可知斜率， 所以直线的倾斜角为， 故选：A． 3. 已知向量，，且在上的投影数量为，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由投影数量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量在上的投影数量为， 所以， 故选：B． 4. 三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有庐山未被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出从四大名山中任选一个旅游的方法，再求四大名山中仅有庐山未被选中的方法数，则两者相除的概率. 【详解】三名同学均从四大名山中任选一个旅游的方法数为，其中仅有庐山未被选中的方法数为，所以仅有庐山未被选中的概率. 故答案选：C． 5. 在正方体中，，其中，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定在四边形内及边界（不含，）运动．再证明为直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求得此角． 【详解】因为在正方体中，， 所以，所以点在四边形内及边界（不含，）运动． 在正方形中，设对角线与的交点为， 由平面，平面，得，又， ，平面，所以平面 所以为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，则，所以在中，有， 故选：D． 6. 已知直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线l恒过的定点，然后由几何性质知直线的斜率为0时，弦最短，进而利用弦长公式求解即可. 【详解】可知直线恒过定点， 由于，故点P在圆内； 圆的圆心，半径， 直线的斜率， 圆心到直线l的距离为d，当直线的斜率为0时，d取最大值1，此时弦最短， 所以， 故选：C． 7. 已知为坐标原点，点在双曲线上，点，分别在双曲线的两条渐近线上，且，若与的面积之积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 或 C. 2 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】先利用点到直线的距离公式求出点到两渐近线的距离之积，然后结合三角形面积之积列方程得，即可求解离心率. 【详解】设点到渐近线，的距离分别为，， 则， 所以与的面积之积为， 即，所以或，则双曲线的离心率为或， 故选：B． 8. 在等腰直角中，，是所在平面内的一点，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，写出、、坐标，根据向量的坐标运算表示出，得到点的轨迹为圆，求出圆心到点的距离减去半径即可求解最小值. 【详解】 以为原点建立平面直角坐标系如图， 则，,，设， 则，，， 所以， 故， 即，整理得：， 所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 则. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】按照乙安排在周一和乙不安排在周一分类讨论求解判断CD，先求出所有的排法，然后排除甲排在周一及乙排在周三的情况求解判断B，先求出周一不安排甲的排法数,再排除乙排在周三的情况求解判断A. 【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法． 当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法； 当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确． （2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法， 其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的， 故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ） A. 直线的方程为 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可知为线段的中点，由抛物线的定义且可求得，即可判断C；在中求出即可判断D；求出，可得线的斜率，从而得出直线的方程，即可判断A；取线段中点，过作轴于，可求得，即可判断B． 【详解】抛物线的焦点，准线，， 如图，因为，所以为线段的中点，， 过作准线的垂线，垂足为，与轴交于，则， 由抛物线的定义可知，，得，故C正确； 在中，有，得，故D错误； ，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即或，故A错误； 取线段中点，过作轴于， 则， 所以，即线段中点到轴的距离等于， 则以线段为直径的圆与轴相切，故B正确． 故选：BC． 11. 已知正方体的棱长为2，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，的最小值为 B. 当，时，过点，，的截面面积为 C. 当，且时，点的轨迹的长度为 D. 当，时，三棱锥的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】首先分别分析个各选项中M点所处的位置，即可依次结合图形、求点面距离的向量法、锥体体积公式判断各个选项正误. 【详解】以为坐标系原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 故， 对于选项A，由题， 故点坐标为，故在线段上， 沿将平面翻折使得平面与平面处于同一平面内（如图所示）， 连接，易得，所以，故A错误； 对于选项B，由题， 故点坐标为，故为的中点，取的中点，如图所示， 则，又，所以， 所以平面即为过点，，的截面， 易知此截面为等腰梯形，如图所示，其高为， 故其面积为，故B正确； 对于选项C，由空间向量基本定理可知，在平面内， 由上得， 设平面的法向量为，则， 取，则， 则点到平面的距离为， 又，所以在平面以为半径的圆上， 由等面积法可知正的内切圆半径为， 所以的轨迹为三段圆弧，其长度一定小于圆的周长，故C错误； 对于选项D，由题， 故点坐标为，故在上， 故，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平面与直线的位置关系，将问题转化为直线的方向向量与平面法向量平行，利用空间向量平行的坐标表示列式计算即可求解. 【详解】因为，所以与平行． 对于两个平行向量和， 根据向量平行的性质，有，解得，， 所以. 故答案为：3 13. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 【答案】14 【解析】 【分析】根据给定条件按三位数中是否有0分类，再利用排列组合应用问题列式计算得解. 【详解】将这些“凸数”分为两类：①含数字0，则0一定在个位上，有种； ②不含数字0，则有种， 所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为. 故答案为：14 14. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，过点且与轴垂直的直线交椭圆于点，若，直线与直线的交点在轴上，则椭圆的离心率为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】设直线与直线的交点为，利用相似三角形可得，，由此解出的关系代入离心率公式即可. 【详解】如图，设直线与直线的交点为， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以，即， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的中心为坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点A作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件可设方程为，然后根据离心率求出即可得. （2）根据点到直线的距离求出，根据勾股定理得，然后根据面积公式求解即可 【小问1详解】 由双曲线过点，可设方程为， 则，得， 双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 根据双曲线的对称性，不妨取一条渐近线， 有，， 的面积． 16. 按要求完成下列问题： （1）从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，试判断与的大小关系，并证明你的结论； （2）若，求的值． 【答案】（1），证明： 由题，，， 则 ． （2）或2021. 【解析】 【分析】（1）利用组合数的计算公式证明即可； （2）利用第一问的结论及组合数的性质计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 原式 ， 所以或2021. 17. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． （3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：在图1的等腰直角中，为的中点，则， 所以在图2中，有，， 又，平面，所以平面， 又平面，可得； 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为正三角形，因为为的中点，所以， 又平面， 可得平面，又平面 所以． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据三角形性质以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得结论； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法计算可得结果； 方法二：根据二面角定义作出二面角的平面角，即可求出二面角的余弦值； （3）方法一：设，利用线面角的向量表示计算可得当时，满足题意； 方法二：根据题意作出直线与平面所成角的平面角，计算可知当时，满足题意. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 以为原点，，所在直线分别为，轴，在平面内过点作垂直于轴 的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易知，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 可得平面的一个法向量为， 所以， 即二面角的余弦值为． 方法二： 作于，于，连接，如下图所示： 因为平面，平面，所以． 因为平面，所以平面． 平面，故, 因为，平面MNH，故平面MNH， 所以即为二面角的平面角． 在中，，，所以，． 在中，，，所以， 所以， 可得． 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为． 方法一： 易知，， 设，则， 平面的一个法向量为． 依题意可得， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时． 方法二： 作于，如下图所示： 由（1）知平面，又平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角． 在中，由余弦定理可得， 所以． 设，则，， 所以，解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 18. 已知抛物线上一点，过点作圆的两条切线，与抛物线分别交于、两点． （1）当时，求的面积； （2）证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，求出直线、的方程，分别将这两切线方程与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，可得出直线的方程，求出以及圆心到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）设、，写出直线、的方程，根据直线、均与圆相切，利用圆心到直线、的距离等于圆的半径可得出直线的方程，进而可求得直线所过定点的坐标. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以，解得， 则抛物线的方程为． 当时，直线为圆的一条切线，不妨设直线为直线，则． 设直线的方程为，即． 因为直线为圆的切线，所以，解得， 则的方程为． 由得． 设，则，解得，所以，则． 又因为，所以直线的方程为，即， 则， 又点到直线的距离为， 所以. 【小问2详解】 设、，若直线的斜率存在，则斜率为， 所以直线的方程为，化简得．① 直线的斜率不存在时也满足①式． 因为直线为圆的切线，所以． 两边平方展开化简得．② 又因为点在抛物线上，所以， 代入②式化简得， 同理可得， 所以直线的方程为， 整理得． 由得，所以直线过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19. 在平面直角坐标系中，定义：为，两点间的“曼哈顿距离”． （1）已知，，求的取值范围． （2）我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为4的点的轨迹记为． ①求轨迹上的动点与直线上的动点的“曼哈顿距离”的最小值． ②若多边形的顶点都在同一个椭圆上，我们将这个椭圆称为该多边形的外接椭圆，轨迹的外接椭圆为．若，，，这四个点均在椭圆上，直线过椭圆的右焦点，且满足，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）①2；② 【解析】 【分析】（1）根据，即可去绝对值，进而作出图象，结合图象即可求解最值， （2）①根据，作出图象，结合图象可得，即可求解最值，②联立直线与椭圆方程，得韦达定理，进而根据面积公式得，代入韦达定理化简，结合基本不等式即可求解最值. 【小问1详解】 设点，则， 则当，时，有；当，时，有； 当，时，有；当，时，有． 作出图象，故的轨迹如图所示， 当位于四边形的四个顶点时，此时取最大值为2， 当位于四边形每条边的中点时，此时取最小值为， 则的取值范围为． 【小问2详解】 ①设到两定点，的“曼哈顿距离”之和为4的点为，则的方程为，即． 故时，， 当时，， 当时，， 画出的图象，其为六边形，如图所示． 作与直线平行且过六边形的左顶点的直线，易得此直线方程为，在直线上任取一点，以为中心作曼哈顿正方形交直线于， 设，，由，得，解得， 所以， 所以轨迹上的动点到与直线上的点的“曼哈顿距离”的最小值为2． ②由题意可设椭圆的方程为， 将点代入此方程得，所以椭圆的方程为． 因为，所以四边形为平行四边形． 设直线，，， 由得，则 所以四边形的面积， 其中， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年“三新”协同教研共同体高二联考 数学试卷 命题：江西师大附中 陈选明 萍乡中学 王丽英 审题：鹰潭一中 熊冬辉 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第五章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且在上的投影数量为，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有庐山未被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，，其中，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知为坐标原点，点在双曲线上，点，分别在双曲线的两条渐近线上，且，若与的面积之积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 或 C. 2 D. 2或 8. 在等腰直角中，，是所在平面内的一点，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ） A. 直线的方程为 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. D. 11. 已知正方体的棱长为2，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当，时，的最小值为 B. 当，时，过点，，的截面面积为 C. 当，且时，点的轨迹的长度为 D. 当，时，三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若，则________． 13. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 14. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，过点且与轴垂直的直线交椭圆于点，若，直线与直线的交点在轴上，则椭圆的离心率为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的中心为坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点A作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，求的面积． 16. 按要求完成下列问题： （1）从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，试判断与的大小关系，并证明你的结论； （2）若，求的值． 17. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． （3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 18. 已知抛物线上一点，过点作圆的两条切线，与抛物线分别交于、两点． （1）当时，求的面积； （2）证明：直线过定点． 19. 在平面直角坐标系中，定义：为，两点间的“曼哈顿距离”． （1）已知，，求的取值范围． （2）我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为4的点的轨迹记为． ①求轨迹上的动点与直线上的动点的“曼哈顿距离”的最小值． ②若多边形的顶点都在同一个椭圆上，我们将这个椭圆称为该多边形的外接椭圆，轨迹的外接椭圆为．若，，，这四个点均在椭圆上，直线过椭圆的右焦点，且满足，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $