精品解析：吉林省长春市汽开区2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题

汽开区2024—2025学年度第一学期期末核心素养调研 九年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是( ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 如图，是的直径，点在上．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某小区一块草坪离边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿修了一条小路，已知米，新修小路与的夹角，则小路的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与的延长线交于点，并与是角器所在半圆相切于点．已知点在直尺上对应的刻度分别为和，点在量角器上对应的外圈刻度为则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数（m为常数）的图象经过点、，则、的大小关系是（） A. B. C. D. 与m的值有关 7. 下表中列出了二次函数的一些对应值，则方程的一个解的范围是（ ） … 0 1 … … 1 1 … A. B. C. D. 8. 如图，在中，．半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 10. 在某一时刻，测得高为竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为______． 11. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则面积为______． 12. 斛是中国古代的一种量器．据《汉书·律历志》记载：“斛底，方而圜（）其外，旁有庣（）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为九尺（即尺），“庞旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为尺），则此斛底面的正方形的边长为______尺．（结果用最简根式表示） 13. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点、平移后的对应点分别为点、．若图中的阴影部分图形的面积为，则新函数的表达式为______． 14. 如图，点在以为直径的半圆上运动（点在点左侧，点不与点重合），于点平分，交于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②是等腰三角形； ③当，时，的面积为； ④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 寒假期间，班级开展社会实践，小红和小旗从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加服务活动，请用画树状图（或列表）的方法，求两人恰好选择同一场馆的概率． 17. 某网店月份盈利元，月份盈利元，且从月到月，每个月盈利的增长率相同，求这两个月每个月盈利的增长率． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点、． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）求这条抛物线的开口方向和顶点坐标． 19. 如图，是的直径，弦交于点H，延长到点E，连接交于点F，连接、、，． （1）求证：； （2）若，则的长为 ． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连结，使； （2）在图②中的边上确定一点，连结，使； （3）在图③中边上确定一点，边BC上确定一点，连结、、，使的周长最小． 21. 从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度与小球的运动时间之间的函数关系式是． （1）求小球落回地面时对应的值； （2）求小球运动中离地面的最大高度； （3）某科学小组在研究小球运动过程中，汇总小组成员得出的结论如下： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度不能达到； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 上述结论中，正确结论的序号为 ． 22. 在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【问题背景】如图①，在中，，是外一点，且，求的度数，若以点为圆心，线段长为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而容易得到的度数为 ． 【深入探究】如图②，在矩形中，，为矩形内一点，且，求的最小值． 下面是小明的部分解题过程： 解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点为圆心，线段长为半径作． ∵点为矩形内一点，且， ∴点在的劣弧上运动． 连接，交于点，此时，最小． 在中， ， ， ， 过点作于点，交延长线于点， ． 请你补全余下的解题过程． 【拓展应用】如图③，某小区绿化工程计划打造一片四边形绿地，其中．，，为了美化环境，要求四边形的面积尽可能大，则绿化区域面积的最大值为 ． 23. 如图，在中，于点D，M为的中点．点P从点D出发，沿方向向终点A运动，在边上的速度为每秒3个单位长度，在边上的速度为每秒5个单位长度．连接、．设点P的运动时间为． （1）的值为 ； （2）用含t的代数式表示的长； （3）当点B、P、M三点不共线时，以为邻边构造平行四边形． ①当为矩形时，求t的值； ②当被的一边分成面积比为两部分时，直接写出t的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为，作直线．点是抛物线上的一个动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴的垂线，与直线交于点，点关于直线的对称点为，连结、．设点的横坐标为． （1）求点、、、的坐标； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，的取值范围为 ； （4）连结，当与相似时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汽开区2024—2025学年度第一学期期末核心素养调研 九年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）并根据情况选用适当的方法求解即可． 【详解】解：， ∴． 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是( ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，把抛物线的二次项系数和一次项系数代入顶点横坐标公式计算即得到对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是 故选：A． 3. 如图，是的直径，点在上．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，掌握同圆中等弧所对的圆心角相等，同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半是解题关键．连接，根据弧、弦、圆心角的关系可知，再根据圆周角定理可知． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． 故选B． 4. 如图，某小区的一块草坪离边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿修了一条小路，已知米，新修小路与的夹角，则小路的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意利用余弦的定义即可得解．掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：，，， ∴（米）， ∴小路的长为米． 故选：D． 5. 将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与的延长线交于点，并与是角器所在半圆相切于点．已知点在直尺上对应的刻度分别为和，点在量角器上对应的外圈刻度为则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，如图所示，，，先根据切线的性质得到，再由含的直角三角形性质得到，最后根据弧长公式计算的长度． 【详解】解：连接，如图所示： ，， 与半圆相切于点， ， ， 在中，，则， ， 设，则， 由勾股定理可得， ，解得，则， 的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径、含的直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，熟记切线性质、三角函数及弧长公式是解决问题的关键． 6. 已知二次函数（m为常数）的图象经过点、，则、的大小关系是（） A. B. C. D. 与m的值有关 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，再根据两点与对称轴的关系即可解决问题． 【详解】解：（m为常数）的对称轴为直线， 点在对称轴的两侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 二次函数的图象开口向上， 故选：A． 7. 下表中列出了二次函数的一些对应值，则方程的一个解的范围是（ ） … 0 1 … … 1 1 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，确定二次函数的对称轴为直线，根据函数的增减性解答即可．解题的关键是确定图象的开口方向、对称轴以及负解的取值范围． 【详解】解：由表格数据可知，随的增大先增大后减小， ∴该二次函数的图象开口向下， ∵当时，；当时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，；当时，， ∴一元二次方程有一负解，且， ∴根据对称性可知：一元二次方程的一个正数解的范围为． 故选：C． 8. 如图，在中，．的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到时，线段最短是关键． 连接，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接． ∵是的切线， ∴； ∴， ∴当时，线段最短， ∴的长最短， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】根据题意得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10. 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影是解题的关键．设这栋楼的高度为，根据题意可列出关于x的方程，求解即可． 【详解】解：设这栋楼的高度为， 根据题意有：， 解得：， 故这栋楼的高度为． 故答案为：． 11. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是求出点、点和点的坐标．根据抛物线，可以求得点、点和点的坐标，然后即可得到和的长度，最后计算的面积即可． 【详解】解：抛物线， 当时，；当时，或， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 故答案为：8． 12. 斛是中国古代的一种量器．据《汉书·律历志》记载：“斛底，方而圜（）其外，旁有庣（）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为九尺（即尺），“庞旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为尺），则此斛底面的正方形的边长为______尺．（结果用最简根式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形外接圆的性质，的圆周角所对的弦是直径，三角函数的应用，根据正方形性质确定，，为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径，求出，问题得解．解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径． 【详解】解：如图，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为直径，， 由题意得， ∴， ∴（尺）， ∴此斛底面的正方形的边长为尺． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点、平移后的对应点分别为点、．若图中的阴影部分图形的面积为，则新函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，求二次函数的解析式，连接，，则，进而得出的长，进一步得出结果．解题的关键是将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点、平移后的对应点分别为点、， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵图中的阴影部分图形的面积为，且、， ∴， ∴， 即函数的图象沿轴向上平移了个单位， ∴新函数的表达式为：，即． 故答案为：． 14. 如图，点在以为直径的半圆上运动（点在点左侧，点不与点重合），于点平分，交于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②是等腰三角形； ③当，时，的面积为； ④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先由直径所对的圆周角是直角得到，再由得到，从而确定①正确；由①的推理过程及平分，得到，再由对顶角相等，等量代换即可确定，由等腰三角形的判定即可确定②正确；由，作出图形，得到，，由含的直角三角形性质及勾股定理求出相关线段长，再由等边三角形的判定得到是等边三角形，再由角平分线及三角函数进而求出等边三角形边长，过点作，垂足为，如图所示，求出的高即可得到其面积；由相似三角形的判定得到，由相似性质确定即可得到答案． 【详解】解：是的直径， ，则， ， ，则， ，故①正确； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，即为等腰三角形，故②正确； ，如图所示： ，， 在中，，，则， 由勾股定理可得， 由②知等腰三角形，由①知， ，即等边三角形， 平分， ， 在中，，，则， ， 过点作，垂足为，如图所示： ， 在中，，则， ，故③正确； 如图所示： 平分， ， ， ， ， 由①可知， 在中，，故④错误； 综上所述，正确结论的序号有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查几何综合，综合性特别强，难度很大，涉及圆周角定理、互余、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积公式及相似三角的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质，根据所要求解的问题，准确构造辅助线是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的乘法，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】 ． 16. 寒假期间，班级开展社会实践，小红和小旗从“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆中随机选择一个参加服务活动，请用画树状图（或列表）的方法，求两人恰好选择同一场馆的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图，共有个等可能的结果，小红和小旗恰好选择同一场馆的结果有个，再由概率公式求解即可．解题的关键是理解：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或的概率． 【详解】解：图书馆、博物馆、科技馆分别用、、表示， 画树状图如图： 共有个等可能的结果，小红和小旗恰好选择同一场馆的结果有个， ∴两人恰好选择同一场馆的概率为， 答：两人恰好选择同一场馆的概率为． 17. 某网店月份盈利元，月份盈利元，且从月到月，每个月盈利的增长率相同，求这两个月每个月盈利的增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，设这两个月每个月盈利的增长率为，根据“某网店月份盈利元，月份盈利元”列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这两个月每个月盈利的增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两个月每个月盈利的增长率为． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点、． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）求这条抛物线的开口方向和顶点坐标． 【答案】（1） （2）抛物线开口向上，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是掌握：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）把点和点坐标代入得关于、的方程组，然后解方程组即可； （2）先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得：， ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为； 【小问2详解】 由（1）知：抛物线解析式的二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴抛物线顶点坐标为． 19. 如图，是的直径，弦交于点H，延长到点E，连接交于点F，连接、、，． （1）求证：； （2）若，则的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理得出，根据直角三角形的性质以及等量代换求出，从而得出，即可得证； （2）根据垂径定理以及圆周角定理得出，证明，再根据相似三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）． 故答案为： 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连结，使； （2）在图②中的边上确定一点，连结，使； （3）在图③中的边上确定一点，边BC上确定一点，连结、、，使的周长最小． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接交于点即可； （2）取格点，连接交于点即可； （3）取格点，连接交于点；取格点，连接；取格点，连接；取格点、，连接，，，交于点；连接，分别交、于点、，连接，即可． 【小问1详解】 解：取格点，连接交于点，取格点、，连接、、、， ∵如图是的正方形网格， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点即为所作； 【小问2详解】 取格点，连接交于点，取格点、，连接、、、， ∵如图是的正方形网格， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则点即为所作； 【小问3详解】 取格点，连接交于点；取格点，连接；取格点，连接；取格点、，连接，，，交于点；连接，分别交、于点、，连接，， 由（1）知：，由（2）知：， ∵如图是的正方形网格， ∴，分别为由四个小正方形拼成的正方形的对角线且点，正方形的中心， ∴， ∵， ∴， ∴点和点关于对称， ∴， 又∵垂直平分， ∴点和点关于对称， ∴， ∴， 此时的周长最小，最小值为的长， 则点点、即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理，垂直平分线的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 21. 从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度与小球的运动时间之间的函数关系式是． （1）求小球落回地面时对应的值； （2）求小球运动中离地面的最大高度； （3）某科学小组在研究小球运动过程中，汇总小组成员得出的结论如下： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度不能达到； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 上述结论中，正确结论的序号为 ． 【答案】（1） （2） （3）②③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）当时，得，求解即可； （2）将化为顶点式，可得结论； （3）根据（1）可判断①；根据（2）可判断②；分别求出当、时对应的的值，再进行比较即可判断③； 正确理解题意，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴小球落回地面时对应的值为； 【小问2详解】 ∵， ∴小球运动中离地面的最大高度为； 【小问3详解】 ①由（1）知：小球从抛出到落地需要，故此结论错误； ②由（2）知：小球运动中离地面的最大高度为， ∴小球运动中的高度不能达到，故此结论正确； ③当时，得：， 当时，得：， ∵， ∴小球运动时的高度小于运动时的高度，故此结论正确， 综上所述，正确结论的序号为②③． 故答案为：②③． 22. 在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【问题背景】如图①，在中，，是外一点，且，求的度数，若以点为圆心，线段长为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而容易得到的度数为 ． 【深入探究】如图②，在矩形中，，为矩形内一点，且，求的最小值． 下面是小明的部分解题过程： 解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点为圆心，线段长为半径作． ∵点为矩形内一点，且， ∴点在的劣弧上运动． 连接，交于点，此时，最小． 在中， ， ， ， 过点作于点，交延长线于点， ． 请你补全余下的解题过程． 【拓展应用】如图③，某小区绿化工程计划打造一片四边形绿地，其中．，，为了美化环境，要求四边形的面积尽可能大，则绿化区域面积的最大值为 ． 【答案】问题背景：；深入探究：补全过程见解析；拓展应用： 【解析】 【分析】问题背景：由可得三点共，根据圆周角定理，即可求出答案． 深入探究：根据小明的解答思路，先通过的长度由正方形的性质求出和的长度，继而得到的长度，再通过勾股定理在中求出的长度，最后由求出的最小值． 拓展应用：先通过解直角三角形求出的面积，然后确定点的轨迹在以点为圆心的圆弧上，再由切线的性质求出的边上的高的最大值的长度，进而求出面积的最大值，最后由求出答案． 【详解】解：问题背景：， 三点共， 和分别是所对应的圆心角和圆周角， ， 故答案为：； 深入探究：补全余下的解题过程如下： 等腰直角三角形， 四边形为正方形，， 在中，，，则， ， ； 拓展应用：连接，过点作，为垂足，如图所示： 在中，，，则为确定的大小和形状，其面积为定值， ， ， ， 由可知，要使四边形的面积尽可能大，就需要尽可能大，而的边为定值，其对角，依据辅助圆模型-定弦定角，点的轨迹在的外接圆圆弧上运动，如图所示： 即求出面积的最大值就找到使四边形面积最大值的点， 以为边作等边三角形，根据圆周角定理，则，则的外接圆圆心为点；过点作的平行线，当与圆弧相切时，只有一个交点，此时直线到的距离最大，即面积最大；连接，交于点，如图所示： 由切线的性质得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆综合，综合性强、难度较大，涉及圆的基本性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系、辅助圆模型-定弦定角、解直角三角形、等边三角形的性质、切线性质、平行线性质及三角形面积公式等知识点，通过辅助圆定弦定角模型求出动点的轨迹是解答本题的关键． 23. 如图，在中，于点D，M为的中点．点P从点D出发，沿方向向终点A运动，在边上的速度为每秒3个单位长度，在边上的速度为每秒5个单位长度．连接、．设点P的运动时间为． （1）的值为 ； （2）用含t的代数式表示的长； （3）当点B、P、M三点不共线时，以为邻边构造平行四边形． ①当为矩形时，求t的值； ②当被的一边分成面积比为两部分时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解，再利用正切的定义求解即可； （2）当点P在边上运动时，且，当点P在边上运动，即时，再进一步解答即可； （3）①ⅰ当点P在边上运动，即时，如图，当点P在边上运动，即时，再结合相似三角形的性质可得结论； （4）当点P在边上运动，即时，如图，此时被的边分成面积比为的两部分，不合题意；当点P在边上运动，且位于直线下方时，如图，记与的交点为，连接，当为的中点时，则把的面积分为的两部分；延长交的延长线于，过作于，如图，当过的中点时，连接，则把的面积分为的两部分；延长交于，过，作的平行线，，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当点P在边上运动时，且， ∴； 当点P在边上运动，即时，． 综上可知； 【小问3详解】 解：①分类讨论：ⅰ当点P在边上运动，即时，如图， ∵M为的中点， ∴． ∵为矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ⅱ当点P在边上运动，即时， 由于此时，所以此情况不成立． 综上可知，当为矩形时，； ②分类讨论：ⅰ当点P在边上运动，即时，如图， ∴此时被的边分成面积比为的两部分，不合题意； ⅱ当点P在边上运动，且位于直线下方时，如图，记与的交点为，连接， 当为的中点时，则把的面积分为的两部分； 延长交的延长线于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴是的中位线， ∴， ∴， 解得：， 如图，当过的中点时，连接，则把的面积分为的两部分； 延长交于，过，作的平行线，， ∴，，垂足记， 同理可得：，， 同理可得：，为中位线，为的中位线， ∴，， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，矩形，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为，作直线．点是抛物线上的一个动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴的垂线，与直线交于点，点关于直线的对称点为，连结、．设点的横坐标为． （1）求点、、、的坐标； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，的取值范围为 ； （4）连结，当与相似时，直接写出的值． 【答案】（1），，， （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）分别令和求出对应的的值和的值可得点、、的坐标，根据抛物线的解析式可得点的坐标； （2）设直线的解析式为，将点，代入，得到关于，的方程组，求解即可； （3）结合图形分情况讨论求解即可； （4）设交轴于点，抛物线对称轴交轴于点，得，，，根据对称的性质及等腰三角形三线合一性质得，，，根据相似三角形的性质得，推出①，根据点的横坐标为，得，，继而得到，，推出，分情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，与轴交于点， 当时，得：， 解得：，， 当时，得：， ∴，，， 由得顶点； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：如图， ∵点在抛物线对称轴的左侧，点的横坐标为， ∴， 当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小； 当时，内部不含抛物线的点，不符合题意； 当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大； 综上所述，的取值范围为或； 【小问4详解】 解：设交轴于点，抛物线对称轴交轴于点， ∵过点作轴的垂线，与直线交于点， ∴，，， ∵点与点关于直线对称， ∴，, ∴， ∵，关于抛物线的对称轴对称， ∴，， ∴，， ∵与相似， ∴， ∴，即①， ∵点的横坐标为，轴，，， ∴，， ∴，， 代入①得：， 当时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图像与性质，待定系数法确定函数解析式，对称的性质，等腰三角形三线合一性质，相似三角形性质，一元二次方程的应用等知识点．利用分类讨论的思想和方程的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$