第05讲 分式方程（1个知识点+7大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（沪教版）

第05讲 分式方程（1个知识点+7大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 列分式方程 题型二 解分式方程 题型三 分式方程无解问题 题型四 分式方程的定义 题型五 分式方程的实际应用 题型六 分式方程的新定义运算 题型七 根据分式方程解的情况求值 知识点01 分式方程 1.可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 【核心考点一 列分式方程】 【例1】（24-25八年级下·全国·期末）某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树，甲班植70棵树所用的时间与乙班植50棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项． 【详解】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树，根据题意，得： ， 故选：A 【例2】（2024八年级下·上海·专题练习）[传统文化]（襄阳中考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，则所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，则慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，根据“快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里”，列出方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里， ， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）机器人“哈德”和“撒旦”搬运原料，已知“撒旦”比“哈德”每小时多搬运，且“撒旦”搬运所用时间与“哈德”搬运所用时间相同．设“哈德”每小时搬运原料，依题，可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据型机器人搬运所用的时间与型机器人搬运所用的时间相等，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设“哈德”型机器人每小时搬运，则“撒旦”型机器人每小时搬运， 由题意可得， 故答案为：． 【例4】（2024·江苏镇江·模拟预测）阅读下列材料： 方程 的解是； 方程的解是； 方程的解是；… 根据上述结论，写出一个解为的分式方程 ． 【答案】 【分析】本题考查根据分式方程的特点与解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征． 由具体的分式方程发现左右两边分母之差为1，再结合方程的解构建方程即可． 【详解】∵方程 的解是， 方程的解是， 方程的解是， …； ∴解是的方程为， ∴解是的方程为． 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么x满足怎样的分式方程？ 【答案】． 【分析】关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积． 【详解】解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：． 由题意得：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 【核心考点二 解分式方程】 【例1】（23-24八年级下·上海长宁·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，掌握用换元法解分式方程是关键．用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法． 设，将方程变形后整体代换计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设， 根据题中所设可得原方程变形为． 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·上海金山·期末）用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，按照题意要求进行即可． 【详解】解：设，则原方程化为：， 方程两边同乘以y并整理得：， 故选：D． 【例3】（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，体现了整体思想．设，则，进而将原方程变为，再去分母即可． 【详解】解：设，则， 原方程可变为：， 两边都乘以得，， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键；先换元得到，再去分母整理即可． 【详解】解：设， 原方程可化为：， 去分母得，即， 故答案为：． 【例5】（2024·上海嘉定·二模）解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 【核心考点三 分式方程无解问题】 【例1】（23-24八年级下·上海·单元测试）下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程判断即可． 【详解】A、分式方程有无解的情况，故该选项错误； B、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； C、分式方程中，分母中一定含有未知数，故该选项正确； D、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·全国·期末）若分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解确定参数，用含字母的代数表示出是解题的关键． 根据题意求出方程无解时的值，代入得出的值． 【详解】解：解：去分母得：， 分式方程无解， 则， 故选：A． 【例3】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）如果方程有增根，那么m的值等于 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：. ①让最简公分母为0确定增根；. ②化分式方程为整式方程；. ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】方程两边都乘，得， ∵原方程有增根，. ∴最简公分母，解得，. 当时，．. 故答案为1. 【例4】（23-24八年级下·上海普陀·期末）如果方程有增根，那么增根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，最简公分母为零是解题关键．根据分式方程的最简公分母为零，可得分式方程的增根． 【详解】解：方程的最简公分母是， 依题意，，解得：， ∴分式方程的增根是， 故答案为：． 【例5】（2024八年级下·上海·专题练习）当k为何值时，方程+＝2有增根？ 【答案】 【分析】将分式方程去分母为：x﹣2﹣k＝2（x﹣3），若分式方程有增根，则x﹣3＝0，即x＝3，将x＝3代入整式方程即可求出结果． 【详解】解：分式方程变形得：﹣＝2， 去分母得：x﹣2﹣k＝2（x﹣3）， ∵分式方程有增根， ∴x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入整式方程得： k＝1． ∴当k=1时，方程有增根． 【点睛】本题主要考查的是分式方程中增根的运算，掌握其运算方法是解题的关键． 【核心考点四 分式方程的定义】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程． 故分式方程有1个， 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．逐项分析解答即可． 【详解】解：A、 ，当时，就不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、是分式方程，故该选项不符合题意； C、可以变形为，是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、 可以变形为，是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的特点：只含有一个未知数，未知数的最高次数是，是整式方程． 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．根据观察，可发现规律：第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，可得答案． 【详解】解：由一列方程如下排列： 的解是， 的解是， 的解是， 得第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2， 解是的方程：， 故答案为：． 【例4】（2024八年级·全国·专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】①是整式方程，故①不符合题意； ②是整式方程，故②不符合题意； ③是整式方程，故③不符合题意； ④是分式方程，故④符合题意； ⑤是分式方程，故⑤符合题意； ⑥是分式方程，故⑥符合题意； ⑦是分式方程，故⑦符合题意； ⑧是整式方程，故⑧不符合题意； ⑨是分式方程，故⑨符合题意； 故答案为：④⑤⑥⑦⑨． 【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 【答案】（1）（2）是分式方程 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程， 故（1）（2）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程． 【核心考点五 分式方程的实际应用】 【例1】（23-24八年级下·上海·课后作业）A、B两地相距80千米，甲由A地去B地，1小时后，乙用1.5倍的速度从A地出发追甲，追到B地时，甲已早到20分钟，则甲的速度为（ ） A．40千米/小时 B．45千米/小时 C．50千米/小时 D．60千米/小时 【答案】A 【分析】设甲的速度是x千米/小时，B的速度是1.5x千米/小时，根据甲、乙行驶相等距离而时间不同可列分式方程求解． 【详解】设甲的速度是x千米/小时，B的速度是1.5x千米/小时， 解得x=40， 经检验x=40是分式方程的解. 即甲的速度40千米/小时. 故选A. 【点睛】考查分式方程的应用，弄清题意，找出等量关系，是解决问题的关键，列分式方程解应用的一般步骤：审、设、列、解、验、答. 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x人加工A零件，由题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设安排x人加工A零件,加工B零件的是26-x, ，所以选A. 【例3】（23-24八年级下·山东青岛·单元测试）某项工作由甲、乙两人合做需6天完成，若甲单独做需15天完成，乙单独做需x天完成，则可得方程为 ． 【答案】 【分析】要求的未知量是工作效率，有工作时间，一定是根据工作总量来列等量关系的．关键描述语是：“甲、乙两人合做需6天完成”；等量关系为：甲6天的工作量+乙6天的工作量=1． 【详解】甲6天的工作量为：,乙6天的工作量为：.所列方程为：. 故答案为. 【点睛】考查分式方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键. 【例4】（23-24八年级下·山东·课后作业）振兴化肥厂原计划x天生产150吨化肥，由于采用新技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成计划．列出关于的方程 . 【答案】 【分析】根据原计划x天生产150吨化肥，由于采用新技术，每天增加生产3吨，提前2天完成计划，可列出方程． 【详解】设原计划x天生产150吨化肥，根据题意得 , 故答案为:. 【点睛】考查分式方程的实际应用，关键是以工作效率为等量关系列方程. 【例5】（23-24八年级下·上海·期中）5G手机的下载速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度． 【答案】100MB/秒 【分析】设5G手机的下载速度是xMB/秒，则4G下载速度是（x-95）MB/秒，根据“5G比4G要快190秒”列出方程，求解即可． 【详解】解：设5G手机的下载速度是xMB/秒，则4G下载速度是（x-95）MB/秒， 由题意得：， 解得：（舍去）， 经检验，是原方程的根， ∴5G手机的下载速度是100MB/秒． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 【核心考点六 分式方程的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·上海奉贤）定义运算“”：，若，则的值为(    ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据定义运算的法则进行求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 解得． 经检验，符合题意，是分式方程的解． 当时， ， ． 解得． 经检验，符合题意，是分式方程的解． 故选D． 【点睛】本题考查定义新运算：正确理解新运算的运算法则是解题的关键． 【例2】（2024·河南平顶山·二模）定义运算，如：．则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得出方程1+=，再解分式方程，求出其解即可． 【详解】解：由题意，得 1+=， ∴， 解得：x=， 经检验，x=是方程的根， 故选：D． 【点睛】本题考查新定义和解分式方程，理解定义和求解分式方程是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·上海青浦·期中）对于实数，，定义一种新运算“θ”为：，例如：，则的解是 ． 【答案】/ 【分析】利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：∵， ∴，即， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解是， 故答案为： 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【例4】（24-25八年级下·上海闵行·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题目中的新定义，理解公式并利用公式将已知条件转化为方程，最后得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴经检验：是分式方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题有理数的混合运算，解分式方程，注意检验，解答本题的关键是根据新运算列出方程． 【例5】（24-25八年级下·上海嘉定·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”． ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， ①的答案是； 当，时， 分式方程，解得， ， ②的答案是； 故答案为：；； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，解得， ， ， 解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 【核心考点七 根据分式方程解的情况求值】 【例1】（24-25八年级下·上海静安·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握分式方程的解，解一元一次不等式，是解题的关键．解分式方程，得到含有m的方程的解，根据“方程的解是正数”，结合分式方程的分母不等于零，得到关于m的不等式，解之即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵方程的解是正数， ∴， 解不等式得：， 综上可知：且，故C正确． 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·上海青浦·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，结合，且为整数，为整数，得出可取，，，即可得解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∵，且为整数，为整数， ∴ ∴可取，，， ∴的可能取值的和为， 故选：B． 【例3】（2024八年级下·上海·专题练习）如果关于的方程有增根，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．将方程化为整式方程得：，再将增根代入即可得到答案． 【详解】解：将方程化为整式方程得：， 原方程有增根， ，即， 把代入得： ， 解得； 故答案为：． 【例4】（辽宁省抚顺市等2地2024-2025学年八年级下学期12月月考数学试题）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 【例5】（24-25八年级下·上海宝山·期中）（1）解方程：； （2）若关于x的方程有增根，试求k的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）先根据解分式方程的方法得到，再根据方程有增根可得，代入计算即可求解． 【详解】解：（1） 去分母，得： 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：． （2） 方程可化为， ∵方程有增根， ∴， ， 故． 【变式训练1 列分式方程】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期中）某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买购数量，还能剩元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中表示的意义是（   ） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的表示篮球的数量，方程②中的表示篮球的单价 D．方程①中的表示篮球的单价，方程②中的表示篮球的数量 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程．根据所列方程，结合“单价总价数量”，进行分析即可求解． 【详解】解：∵甲商店购买篮球消费满元，送两个篮球，在甲商店购买，正好能用元经费买够数量， 乙商店有促销活动，篮球单价打七折，在乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩元， ∴在甲商店购买需花费元，在甲商店购买篮球的数量比需要的数量少个， 在乙商店购买需花费元，篮球的单价是原价的七折， 若方程①中的表示篮球的数量， 则表示在乙商店购买篮球的单价，表示在甲商店购买篮球的单价， 根据乙商店篮球的单价是原价的七折，即可列出方程； 方程②中的表示篮球的单价， 则表示在甲商店购买篮球的数量，表示在乙商店购买篮球的数量， 根据篮球的数量是固定的，即可列出方程． 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果延迟8天完成 C．每天比原计划多铺设15米．结果延迟8天完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果提前8天完成 【答案】A 【分析】根据题意和题目中的方程，可以写出“”表示的缺失的条件．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，由已知分式方程可以得到需要补充的内容． 【详解】解：∵某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道米，则可得方程， ∴根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充“每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成”， 故选：A． 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）为美化校园、某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗，设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为 ． 【答案】两人每小时共种植7颗花苗 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确分析所列方程是解题的关键；根据方程知，乙每小时种植颗花苗，则两人每小时种植花苗的和为7，因此可补上缺失的条件． 【详解】解：方程知，乙每小时种植颗花苗，则两人每小时种植花苗数的和为， 故应补上条件：两人每小时共种植7颗花苗； 故答案为：两人每小时共种植7颗花苗． 4．（2024·上海·模拟预测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求这两次分钱的人数．答：（1）第一次分钱有 人；（2）第二次分钱有 人． 【答案】 2 8 【分析】本题考查分式方程解决应用问题，根据第二次每人所得与第一次相同列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设第一次有个人分，则第二次有个人分，由题意可得， ， 解得：，即， 故答案为：2，8． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期中）一辆轿车原计划从甲地匀速行驶到距离千米的乙地，出发后小时内按原计划的速度行驶，小时后以原计划速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前小时到达，求原计划的行驶速度． 【答案】千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，能够根据等量关系列出分式方程是解答本题的关键． 根据速度改变后的时间原计划的时间列出分式方程即可解答． 【详解】解：设原计划的速度为千米/小时， 出发小时行驶千米，剩余千米， 小时后行驶速度为千米/小时，因为结果比原计划提前小时到达， 可列方程：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 原计划的行驶速度是千米/小时． 【变式训练2 解分式方程】 1．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）方程的解为（    ） A． B． C．或－1 D．无解 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，根据分式方程的解法步骤求解即可． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 即， 解得，， ∵时，，时，， ∴原方程的解为， 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）对于两个不相等的数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程解为（   ） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中注意进行分类讨论． 根据新定义可得：若，则；若，则，分别求出，即可． 【详解】解：根据新定义可得： 若，即，则， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去； 若，即，则， ∴， 解得， 经检验为分式方程的解， ∵， ∴符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）阅读资料： 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； …… 按此规律，使等式成立的m的值为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了利用规律解分式方程，根据已知所得出的规律将等式化为，即可求解． 【详解】解： 或， 解得：或． 故答案：10或． 5．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 【变式训练3 分式方程无解问题】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．﹣1 【答案】A 【分析】先把分式方程化为整式方程，整理得，因为方程无解，则，即，解出，即可作答．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容． 【详解】解：方程去分母， 得：， 解得：， ∵关于x的方程无解， ∴当时分母为0，方程无解， 即， 得， 故选：A． 2．（23-24八年级下·全国·期末）“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∵原方程无解， ∴， ∴． 丹丹： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得, ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． 下列说法正确的是（    ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人的答案合起来也不完整 D．两人的答案合起来才完整 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．先化简分式方程为，根据题意可得为增根或，分别求出对应的的值即可． 【详解】解：去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 关于x的方程无解， ∴为增根或， 当，解得， 此时，解得； 当，解得； 综上所述：的值为3或4， 故选：D． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： 去分母得： ①由分式方程无解，得到 即， 当时，，解得 当，去分母后的整式方程无解，解得， 故m的值为或2． 故答案为：或2． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）已知关于的方程． （1）当 时，此方程的解为； （2）当 时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，k的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查含参数的分式方程，熟练掌握解分式方程以及根据分式方程解的情况确定分式方程中的参数的方法是解题的关键． （1）先化简分式方程为，将代入求解即可； （2）当时可产生增根，即时，代入求解即可； （3）结合解为正数且没有增根，得且，求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并，得：， 系数化为1，得：， （1）∵方程的解为：， ∴，解得：， 故答案为：； （2）∵方程会产生增根， ∴， ∴， ∴， 解得： 故答案为：； （3）∵方程的解是正数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 5．（2024·宁夏银川·三模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项、合并同类项，得…………第三步 解得…………第四步 经检验：是原分式方程的解…………第五步 (1)上面的解题过程从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)上面解题过程的第五步是检验分式方程是否产生增根，增根指的是（文字叙述） (3)请你帮这个同学正确解答这个分式方程． 【答案】(1)一，去分母时忘记符号（负号） (2)满足整式方程，使最简公分母为0的解，即为分式方程的增根 (3)见详解 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的方法是解题的关键． （1）根据去分母的方法即可判定； （2）根据解分式方程的方法，增根的概念即可求解； （3）运用解分式方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母得，， ∴第一步开始出错，出错的原因是去分母时忘记符号（负号）； 故答案为：一，去分母时忘记符号（负号）； （2）解：增根：满足整式方程，使最简公分母为0的解，即为分式方程的增根； （3）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，原分式方程的分母， ∴原分式方程无解． 【变式训练4 分式方程的定义】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可，正确理解分式方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，含有分式，是分式方程，符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．或是分式方程的解 C．若分式的值为0，则的值2或者 D．解分式方程时一定会出现增根 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识．利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决． 【详解】解：A．是分式方程，故A正确； B．时，，即分母为0，故或不是分式方程的解 ，故B错误； C．当时，，因此若分式的值为0，则的值2，故C错误； D．解分式方程时不一定会出现增根，故D错误． 故选：A． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨ 【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程． ∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨． 故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨． 【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程． 5．（2024八年级下·陕西·专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由． 【答案】③④⑤⑦,详见解析 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程； 方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 方程⑨属于无理方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【变式训练5 分式方程的实际应用】 1．（23-24八年级下·山东威海·期中）某工厂原计划完成120个零件，每天生产x个，采用新技术后，每天可多生产2个零件，结果提前3天完成．可列方程(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得原计划完成任务所需天数为,实际完成所需天数为,所以=+3. 故选B. 2．（23-24八年级下·河北承德·期末）某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（  ） A．每天比原计划多铺设米，结果提前天先成 B．每天比原计划少铺设米，结果延期天完成 C．每天比原计划少铺设米，结果延期天完成 D．每天比原计划多铺设米，结果提前天完成 【答案】A 【分析】由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成．此题得解． 【详解】解：∵利用工作时间列出方程： ， ∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，明确题意，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题的关键． 3．（2024·浙江温州·一模）A与B两位同学进行跳绳比赛，在相同时间内，A同学跳了110个，B同学跳了100个.如果B同学比A同学每分钟少跳10个.若设A同学每分钟跳绳x个，则可列方程为 . 【答案】 【分析】设A同学每分钟跳绳x个，则B同学每分钟跳绳x-10个，根据时间相同的等量关系列出方程即可 【详解】设A同学每分钟跳绳x个，则B同学每分钟跳绳x-10个， ∵跳绳的时间相同， ∴， 故答案为 【点睛】本题考查列分式方程，根据已知条件，找出等量关系是解题关键. 4．（2024·四川宜宾·一模）“五一”期间，一批九年级同学包租一辆面包车前去竹海游览，面包车的租金为300元，出发时，又增加了4名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了20元车费．若设参加游览的同学一共有x人，为求x，可列方程 ． 【答案】 ﹣=20． 【详解】原有的同学每人分担的车费应该为，而实际每人分担的车费为，方程应该表示为：﹣=20． 故答案是：﹣=20． 5．（23-24八年级下·河南新乡·期中）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元？ (1)请根据题意按甲、乙两位同学所设未知数的不同列出合适的方程． ①甲同学：“设B型玩具的单价为a元”，则甲所列方程是_________， ②乙同学：“设A型玩具的数量为b个”，则乙所列方程是_________； (2)从以上甲、乙两种方法中，选择其中一种给出完整的解答． 【答案】(1)①；②； (2)见解析． 【分析】（1）题中存在两种数量关系，其一是两种玩具数量之间的关系，另一种是两种玩具单价之间的关系，依据此两种数量便可列出合适的方程． （2）从甲乙两种方法中择其一解答，本质是解一元一次的分式方程，继而解答题中另外未知的量便可完整解答． 【详解】（1）①设B型玩具的单价为元， 由于A型玩具的单价是B型玩具单价的1.6倍， 故A型玩具的单价是元， 因为用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个， 所以可列得方程：； ②设A型玩具的数量为b个， 用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个， 故B型玩具的数量是个， A型玩具的单价是B型玩具单价的1.6倍， 所以可列得方程：． （2）答案一： 解：选择甲所列方程： 设B型玩具的单价为a元， 由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 即B型玩具的单价为5元， 因为A型玩具的单价是B型玩具单价的1.6倍， 故， 即A型玩具单价是8元， 答：A型玩具单价是8元，B型玩具的单价为5元． 答案二： 解：选择乙所列方程： 设A型玩具的数量为b个， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 即A型玩具的数量为65个， 所以A型玩具的单价为：元， 因为A型玩具的单价是B型玩具单价的1.6倍， 所以B型玩具的单价为：元． 答：A型玩具的单价为8元，B型玩具的单价为5元． 【变式训练6 分式方程的新定义运算】 1．（24-25八年级下·上海长宁·期中）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：依题意，得：，所以，原方程化为：＝－1， 即：＝1，解得：x＝5． 考点：应用新知识解决问题 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）在正数范围内定义一种运算“”，其规则为，如.根据这个规则，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义的法则，可知，再解分式方程即可得出答案. 【详解】根据新定义的规则可知，即，两边同乘-2x得，-2+1=-2x，即-1=-2x，解得，检验，当时，-2x≠0，所以是原方程的解，故答案选D. 【点睛】本题考查的是对新定义的理解和解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键. 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）定义新运算，规定．方程＝的解为 ． 【答案】无解 【分析】根据定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵． ∴， ∵＝， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴方程无解． 故答案为：无解． 【点睛】本题考查了新定义运算，单项式除以单项式，解分式方程，理解新定义是解题的关键． 4．（2024·上海嘉定·三模）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2． （1）max{2，5}＝ ； （2）若max{﹣12，（一1）2}＝，则x＝ ． 【答案】 5 【分析】（1）根据题目所给的新定义，比较两个数的大小即可得出答案； （2）根据题意，将式子化为分式方程，按照解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴max{2，5}＝5， 故答案为：5； （2）∵，， ∴max{﹣12，（一1）2}=1， ∴，解得：x=， 经检验，x=是分式方程的解， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，理解题意，明白新定义的内容，掌握分式方程的解法是解题的关键． 5．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√； (2)； (3)或 【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可； 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，方程无解，故①的答案是×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案是√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 【变式训练7 根据分式方程解的情况求值】 1．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出的值即可．此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解： 去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0的未知数的值）代入，解得值即可． 【详解】解：∵的公分母是 ∴ ∴ ∴ 方程两边同时乘上 得 把分别代入 得出（舍去）；，则 ∴分式方程的增根是 故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的； 若分式方程无解，则 ∴ 则或 故C是正确的； 故选：A 3．（2024八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程的解与方程的解相同，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是解分式方程，求出第二个分式方程的解，代入第一个方程求出a的值即可． 【详解】解：方程， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 把代入得：， 去分母整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故答案为：2． 4．（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，分式的解是非负数是指该分式方程有解，且解为非负数，正确理解该意义是解答的关键．根据分式方程的解法求出解，根据分式方程的解为非负数进行解答即可． 【详解】解：将关于的分式方程两边都乘以得， 解得， ∵分式方程的解是非负数， ∴当时，， 且， 解得且， 综上所述，的取值范围为，． 故答案为：且． 5．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知关于的方程： (1)当为何值时，原方程无解； (2)当为何值时，原方程的解为负数． 【答案】(1)当或或时，原方程无解． (2)当且时，原方程的解为负数． 【分析】本题考查的知识点是解分式方程、分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值、解不等式，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件． （1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为，据此进行解答； （2）通过解分式方程得到的值，然后根据已知条件列出关于的不等式，通过解不等式可以求得的值． 【详解】（1）解：方程两边同乘以得：      解得：， 原方程无解， 或或 当或或时，原方程无解． （2）解：原方程的解为负数 且 当且且时，原方程的解为负数． 当且时，原方程的解为负数． 1．（23-24八年级下·上海青浦·期末）用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程，把原方程变为，把代入后整理即可得到答案. 【详解】解： 由得，， 设， 可化为，， ∴ ∴ 故选：D 2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）设，为实数，定义如下一种新运算：，若关于的方程无解，则的值是（    ） A．4 B．－3 C．4或－3 D．4或3 【答案】D 【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原方程为：， 去分母得： ax=12+3x-9， 移项，合并同类项得： （a-3）x=3， 解得：， ∵关于x的方程无解， ∴原方程有增根3或a-3=0， ∴或a-3=0， 解得：解得：a=4或a=3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并熟练应用是解题的关键． 3．（2024·山东泰安·一模）我市为实行土地灌溉高效节水计划，增加高效节水灌溉面积，决定新建用水管道60000米，为使管道能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.5 倍，结果提前20天完成任务．问原计划每天修管道多少米？若设原计划每天修管道x 米，根据题意列出方程得（　　） A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣=1.5 D．﹣=20 【答案】D 【详解】分析：设原计划每天修管道x 米，则计划所用的时间为天，实际所用的时间为，根据计划所用的时间比实际所用的时间多20天即可列出分式方程． 详解：设原计划每天修管道x 米，则计划所用的时间为天，实际所用的时间为， 根据题意得：－＝20． 故选D． 点睛：本题主要考查了如何由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出等量关系是列出方程的关键． 4．（23-24八年级下·全国·期中）从，这个数中，任意抽一个数，记为，若数使关于的不等式组 的解集为，且关于的分式方程 有整数解，则所有符合条件的的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程的综合运用，掌握求一元一次不等式组的解集，分式方程求解的方法是解题的关键． 根据不等式的性质，先解不等式组，再根据取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法得到不等式的解集，再根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项、合并同类项、系数化为1，检验根”得到分式方法的解，由解的情况求参数即可求解． 【详解】解：不等式组 解①得，， 解②得， ∵不等式组的解集为， ∴， 分式方程 ， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，，， 系数化为1得，， ∵分式方程有整数解，且，， ∴从，这个数中，任意抽一个数，记为， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，所有符合条件的的数为，共4个， 故选：D ． 5．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， 雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ， 整理得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 故选：B． 6．（23-24八年级下·浙江·单元测试）当 时，方程无解． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，熟悉掌握分式方程无解的含义是解题的关键． 去分母后，根据无解时的取值情况运算求解即可． 【详解】解：对进行去分母可得：， 整理可得：， ∵当时，此分式方程无解， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于实数a，b，定义一种新运算“”为：，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的新定义运算和解分式方程．根据新定义得到，解方程并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 8．（24-25八年级下·重庆·期中）关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，掌握相应的计算方法是关键． 先解不等式组，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出的值，即可解答． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：； ， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为非负整数，且 ∴且的偶数， 又∵ ∴，0 ∴符合条件的整数的值之和为． 故答案为：2． 9．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）阅读资料： 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； …… 按此规律，使等式成立的m的值为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了利用规律解分式方程，根据已知所得出的规律将等式化为，即可求解． 【详解】解： 或， 解得：或． 故答案：10或． 10．（23-24八年级下·江西上饶·期末）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务，若设原计划每天修建道路xm,则根据题意可列方程为 . 【答案】 【详解】试题解析：设原计划每天修建道路x m，则实际每天修建道路为（1+20%）x m，根据采用新的施工方式，提前2天完成任务，列出方程为： 11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．将原方程变形为，设，则原方程变为，解得：，，分情况：当时，当时，分别求出，即可求解． 【详解】解： 设， 原式为：， ， ， 或， ，， 当时， 即， ， ， ， 或， ，； 当时， 即， ， ， ， 或， ，； 综上所述，方程的解为，，，． 12．（23-24八年级下·上海·期末）若关于x的方程无解，求实数的值． 【答案】或或 【分析】方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，根据分式方程无解可得或或的表达式中分母为0，再代入的表达式中即可求出的值． 【详解】解：方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 当时，此方程无解，原分式方程也无解，解得：， 当时， 原分式方程无解， ， 或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的特点，并能分情况进行讨论是解题的关键． 13．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）某项工程，甲、乙两队合作6天可以完成.若甲队单独做4天后，剩下的工程由乙队单独做9天才能完成.问：甲、乙两队单独完成这项工程，各需要多少天？ 【答案】甲单独完成此项工程需要10天，乙单独完成此项工程需要15天． 【详解】试题分析：可以设甲、乙单独完成此项工程各自需要x，y天，根据甲、乙两人合作，6天可以完成；甲独做4天后，剩下的由乙做，还需9天才能完成，即可列方程组求得x，y的值； 试题解析：设甲、乙单独完成此项工程各自需要x，y天， 根据题意得： ，解得： 经检验是方程组的解． 答：甲单独完成此项工程需要10天，乙单独完成此项工程需要15天． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确理解题目中的相等关系，理解工作时间、工作量、工作效率之间的关系是解题关键． 14．（23-24八年级下·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可； （2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可； （3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， ∴是关于的分式方程的“方程数对”； ②当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， 故不是关于的分式方程的“方程数对”， 故答案为：①； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 解得； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键． 15．（2024·湖南邵阳·二模）随着科技与经济的发展，中国廉价劳动力的优势开始逐渐消失，而作为新兴领域的机器人产业则迅速崛起，机器人自动化线的市场也越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式，某化工厂要在规定时间内搬运1200千元化工原料．现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用的时间与B型机器人搬运600千克所用的时间相等． （1）两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （2）该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，A型机器人又有了新的搬运任务，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．求：A型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成． 【答案】（1）A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运90千克化工原料;（2）A型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成． 【详解】分析：（1）设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，根据A型机器人搬运900千克所用的时间与B型机器人搬运600千克所用的时间相等建立方程求出其解就可以得出结论． （2）设A型机器人工作t小时，根据这批化工原料在11小时内全部搬运完毕列出不等式并解答． 详解：（1）设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料， 根据题意，得 ， 解得x=60． 经检验，x=60是所列方程的解． 当x=60时，x+60=90． 答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运90千克化工原料； （2）设A型机器人工作t小时， 根据题意，得1200-90t≤60×11， 解得t≥6． 答：A型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成． 点睛：本题考查了列分时方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等建立方程是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 分式方程（1个知识点+7大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 列分式方程 题型二 解分式方程 题型三 分式方程无解问题 题型四 分式方程的定义 题型五 分式方程的实际应用 题型六 分式方程的新定义运算 题型七 根据分式方程解的情况求值 知识点01 分式方程 1.可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 【核心考点一 列分式方程】 【例1】（24-25八年级下·全国·期末）某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2024八年级下·上海·专题练习）[传统文化]（襄阳中考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，则所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）机器人“哈德”和“撒旦”搬运原料，已知“撒旦”比“哈德”每小时多搬运，且“撒旦”搬运所用时间与“哈德”搬运所用时间相同．设“哈德”每小时搬运原料，依题，可列方程为 ． 【例4】（2024·江苏镇江·模拟预测）阅读下列材料： 方程 的解是； 方程的解是； 方程的解是；… 根据上述结论，写出一个解为的分式方程 ． 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么x满足怎样的分式方程？ 【核心考点二 解分式方程】 【例1】（23-24八年级下·上海长宁·期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海金山·期末）用换元法解分式方程时，设，那么原方程化成整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 【例4】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 ． 【例5】（2024·上海嘉定·二模）解分式方程： 【核心考点三 分式方程无解问题】 【例1】（23-24八年级下·上海·单元测试）下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 【例2】（23-24八年级下·全国·期末）若分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）如果方程有增根，那么m的值等于 ． 【例4】（23-24八年级下·上海普陀·期末）如果方程有增根，那么增根是 ． 【例5】（2024八年级下·上海·专题练习）当k为何值时，方程+＝2有增根？ 【核心考点四 分式方程的定义】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【例4】（2024八年级·全国·专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 【核心考点五 分式方程的实际应用】 【例1】（23-24八年级下·上海·课后作业）A、B两地相距80千米，甲由A地去B地，1小时后，乙用1.5倍的速度从A地出发追甲，追到B地时，甲已早到20分钟，则甲的速度为（ ） A．40千米/小时 B．45千米/小时 C．50千米/小时 D．60千米/小时 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x人加工A零件，由题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·山东青岛·单元测试）某项工作由甲、乙两人合做需6天完成，若甲单独做需15天完成，乙单独做需x天完成，则可得方程为 ． 【例4】（23-24八年级下·山东·课后作业）振兴化肥厂原计划x天生产150吨化肥，由于采用新技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成计划．列出关于的方程 . 【例5】（23-24八年级下·上海·期中）5G手机的下载速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度． 【核心考点六 分式方程的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·上海奉贤）定义运算“”：，若，则的值为(    ) A． B． C． D．或 【例2】（2024·河南平顶山·二模）定义运算，如：．则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·上海青浦·期中）对于实数，，定义一种新运算“θ”为：，例如：，则的解是 ． 【例4】（24-25八年级下·上海闵行·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为 ． 【例5】（24-25八年级下·上海嘉定·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”． ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【核心考点七 根据分式方程解的情况求值】 【例1】（24-25八年级下·上海静安·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【例2】（23-24八年级下·上海青浦·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【例3】（2024八年级下·上海·专题练习）如果关于的方程有增根，那么 ． 【例4】（辽宁省抚顺市等2地2024-2025学年八年级下学期12月月考数学试题）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【例5】（24-25八年级下·上海宝山·期中）（1）解方程：； （2）若关于x的方程有增根，试求k的值． 【变式训练1 列分式方程】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期中）某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买购数量，还能剩元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中表示的意义是（   ） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的表示篮球的数量，方程②中的表示篮球的单价 D．方程①中的表示篮球的单价，方程②中的表示篮球的数量 2．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果延迟8天完成 C．每天比原计划多铺设15米．结果延迟8天完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果提前8天完成 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）为美化校园、某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗，设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为 ． 4．（2024·上海·模拟预测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求这两次分钱的人数．答：（1）第一次分钱有 人；（2）第二次分钱有 人． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期中）一辆轿车原计划从甲地匀速行驶到距离千米的乙地，出发后小时内按原计划的速度行驶，小时后以原计划速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前小时到达，求原计划的行驶速度． 【变式训练2 解分式方程】 1．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）方程的解为（    ） A． B． C．或－1 D．无解 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）对于两个不相等的数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程解为（   ） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）已知，则 ． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）阅读资料： 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； …… 按此规律，使等式成立的m的值为 ． 5．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【变式训练3 分式方程无解问题】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．﹣1 2．（23-24八年级下·全国·期末）“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∵原方程无解， ∴， ∴． 丹丹： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得, ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． 下列说法正确的是（    ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人的答案合起来也不完整 D．两人的答案合起来才完整 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）已知关于的方程． （1）当 时，此方程的解为； （2）当 时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，k的取值范围是 ． 5．（2024·宁夏银川·三模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项、合并同类项，得…………第三步 解得…………第四步 经检验：是原分式方程的解…………第五步 (1)上面的解题过程从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)上面解题过程的第五步是检验分式方程是否产生增根，增根指的是（文字叙述） (3)请你帮这个同学正确解答这个分式方程． 【变式训练4 分式方程的定义】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．或是分式方程的解 C．若分式的值为0，则的值2或者 D．解分式方程时一定会出现增根 3．（23-24八年级下·河南郑州·期末）请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 5．（2024八年级下·陕西·专题练习）在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由． 【变式训练5 分式方程的实际应用】 1．（23-24八年级下·山东威海·期中）某工厂原计划完成120个零件，每天生产x个，采用新技术后，每天可多生产2个零件，结果提前3天完成．可列方程(　　) A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北承德·期末）某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（  ） A．每天比原计划多铺设米，结果提前天先成 B．每天比原计划少铺设米，结果延期天完成 C．每天比原计划少铺设米，结果延期天完成 D．每天比原计划多铺设米，结果提前天完成 3．（2024·浙江温州·一模）A与B两位同学进行跳绳比赛，在相同时间内，A同学跳了110个，B同学跳了100个.如果B同学比A同学每分钟少跳10个.若设A同学每分钟跳绳x个，则可列方程为 . 4．（2024·四川宜宾·一模）“五一”期间，一批九年级同学包租一辆面包车前去竹海游览，面包车的租金为300元，出发时，又增加了4名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了20元车费．若设参加游览的同学一共有x人，为求x，可列方程 ． 5．（23-24八年级下·河南新乡·期中）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元？ (1)请根据题意按甲、乙两位同学所设未知数的不同列出合适的方程． ①甲同学：“设B型玩具的单价为a元”，则甲所列方程是_________， ②乙同学：“设A型玩具的数量为b个”，则乙所列方程是_________； (2)从以上甲、乙两种方法中，选择其中一种给出完整的解答． 【变式训练6 分式方程的新定义运算】 1．（24-25八年级下·上海长宁·期中）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）在正数范围内定义一种运算“”，其规则为，如.根据这个规则，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）定义新运算，规定．方程＝的解为 ． 4．（2024·上海嘉定·三模）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2． （1）max{2，5}＝ ； （2）若max{﹣12，（一1）2}＝，则x＝ ． 5．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 【变式训练7 根据分式方程解的情况求值】 1．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．3 D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 3．（2024八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程的解与方程的解相同，则 ． 4．（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 5．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知关于的方程： (1)当为何值时，原方程无解； (2)当为何值时，原方程的解为负数． 1．（23-24八年级下·上海青浦·期末）用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）设，为实数，定义如下一种新运算：，若关于的方程无解，则的值是（    ） A．4 B．－3 C．4或－3 D．4或3 3．（2024·山东泰安·一模）我市为实行土地灌溉高效节水计划，增加高效节水灌溉面积，决定新建用水管道60000米，为使管道能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.5 倍，结果提前20天完成任务．问原计划每天修管道多少米？若设原计划每天修管道x 米，根据题意列出方程得（　　） A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣=1.5 D．﹣=20 4．（23-24八年级下·全国·期中）从，这个数中，任意抽一个数，记为，若数使关于的不等式组 的解集为，且关于的分式方程 有整数解，则所有符合条件的的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到）（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·浙江·单元测试）当 时，方程无解． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于实数a，b，定义一种新运算“”为：，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 8．（24-25八年级下·重庆·期中）关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 9．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）阅读资料： 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； …… 按此规律，使等式成立的m的值为 ． 10．（23-24八年级下·江西上饶·期末）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务，若设原计划每天修建道路xm,则根据题意可列方程为 . 11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程：． 12．（23-24八年级下·上海·期末）若关于x的方程无解，求实数的值． 13．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）某项工程，甲、乙两队合作6天可以完成.若甲队单独做4天后，剩下的工程由乙队单独做9天才能完成.问：甲、乙两队单独完成这项工程，各需要多少天？ 14．（23-24八年级下·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 15．（2024·湖南邵阳·二模）随着科技与经济的发展，中国廉价劳动力的优势开始逐渐消失，而作为新兴领域的机器人产业则迅速崛起，机器人自动化线的市场也越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式，某化工厂要在规定时间内搬运1200千元化工原料．现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用的时间与B型机器人搬运600千克所用的时间相等． （1）两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （2）该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，A型机器人又有了新的搬运任务，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．求：A型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成． 学科网（北京）股份有限公司 $$