精品解析：河北省省级联考2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集和补集定义计算即可. 【详解】由题.， 故. 故选：B. 2. 在的二项展开式中，的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可． 【详解】根据题意，的二项展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的二项展开式中，含的项为，所以系数为5. 故选：A． 3. 已知等比数列的前n项积为，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，结合等比数列下标和性质即可求出. 【详解】根据题意，等比数列的前n项积为， 则，所以. 故选：B． 4. 已知圆被直线所截，则截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由已知圆方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出弦长. 【详解】根据题意，圆，可变形为， 所以圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 故选：D． 5. 设函数，已知，，且的最小值为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，正弦函数中，，，由正弦函数的图象和性质可得的最小值为，这个最小值就是函数周期的，进而可得中的最小值为，是函数周期的，则可求出. 【详解】根据题意，在正弦函数中，，， 则的最小值为，又， 因为函数，已知，， 且的最小值为，所以， 所以函数的最小正周期为，所以，解得. 故选：C． 6. 已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用消元，再结合对数运算，即可得解. 【详解】根据题意，，，两式相除可得，， 所以，可得， 故选:D． 7. 已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【详解】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 8. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，令，可得为奇函数，则的图象关于点中心对称，可得，由可得， 利用导数确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】根据题意，函数， 所以， 令， 则，所以为奇函数， 所以的图象关于点中心对称，所以， 由，可得， 所以， 由， 则， 所以函数单调递减， 由可得，， 即，解得，实数a的取值范围是. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：令，证得为奇函数，可得的图象关于点中心对称，由可得，再利用导数确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则z的虚部为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由已知可得，则复数不确定，即可判断；对于B，设由于，可得，即可判断；对于C，由于，可得，即可判断；对于D，由， 可得在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆，由表示单位圆上的点与点的距离，即可求得的范围，即可判断. 【详解】根据题意，对于选项A，设，由于， 所以，则复数不确定，故选项A不正确； 对于选项B，设，由于， 可得，则，故选项B正确； 对于选项C，设，由于， 所以，则，所以，，故选项C正确； 对于选项D，设，由于，所以， 所以在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆， 因为表示单位圆上的点与点的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以，故选项D正确. 故选：BCD． 10. 已知正数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式判断AB，由不等式的性质判断C，结合二次函数性质判断D. 【详解】对于选项A，由于正数a，b满足， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故选项A正确； 对于选项B，由于正数a，b满足， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故选项B不正确； 对于选项C，由于正数a，b满足， 所以，，可得，，并且， 所以，故选项C正确； 对于选项D，由于正数a，b满足， 所以，，可得，，并且， 所以， 所以当， 所以，故选项D不正确， 故选：AC. 11. 已知抛物线C：，直线l：，O为坐标原点；若，两点在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 抛物线C的准线方程为 C. 若直线l与抛物线C交于P，Q两点，则 D. 若直线l与抛物线C交于P，Q两点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】两点坐标代入解方程组求得，可判断AB，设，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，代入中计算判断C，利用焦点弦长公式结合基本不等式求得最小值判断D． 【详解】根据题意，对于选项A，因为，是抛物线C：上的两点， 所以则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，故选项A不正确； 对于选项B，可得抛物线C的方程为，故抛物线C的准线方程为，故选项B正确； 对于选项C，可得抛物线C的焦点坐标为，又因为直线l的方程为， 所以直线l过抛物线C的焦点，联立得， 必有，设，，则，， ，故选项C正确； 对于选项D，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故选项D正确， 故选：BCD． 【点睛】结论点睛：抛物线的焦点弦性质，抛物线方程为，是抛物线的过焦点为的弦，，则 （1）； （2），； （3）直线的倾斜角为，则； （4）． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知公差大于0的等差数列满足，，则数列的前8项和为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式的基本量运算求得，再求得，然后由等差数列的求和公式求. 【详解】设等差数列的公差为d，则． 由可得，． 又，则，故，又，则， 所以，因此数列的前8项和． 故答案为：8. 13. 在边长为2的等边三角形中，点D为边的中点，点P在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设点，可得，由，可得，设，，利用辅助角公式可得，即可求得的最大值． 【详解】 已知等边三角形的边长为2，点D为边的中点， 如图，建立直角坐标系，则，，， 设点，则，， 则， 又因为，所以， 设，， 则， 所以的最大值为． 故答案为：． 14. 最近全国各地的旅游十分火爆，某旅游公司根据市场调研的情况推出了A，B两个旅游路线方案，通过实践发现，选择方案A旅游路线与选择方案B旅游路线的游客比为3:1，该公司为了激励大家消费，设立优惠项目，即选择方案A旅游路线优惠200元，选择方案B旅游路线优惠100元（每位游客的选择相互独立），已知旅游公司的总优惠金额恰为的概率为，，则的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】记当时，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为，分析出关系式，凑配出等比数列，利用等比数列求得通项公式． 【详解】根据题意，当时，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为， 优惠金额恰为，则是优惠金额恰为时再有一个人选择方案或优惠金额恰为再有一个人选择方案， 所以，设， 令，则，即，解得或． ①当时，可得， 所以为以为首项，以为公比的等比数列， 根据题意，，，，所以可得， ，，…，，叠加可得 ， 故，，也符合该式， 故. ②当时，可得， 所以，即， 而， 则为以为首项，为公比的等比数列， 所以，．综上，，． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B为钝角，，． （1）求角B； （2）若过B作BH垂直AC于点H，求BH的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式变形后得，再根据正弦定理可得结论； （2）利用三角形面积公式得，然后由余弦定理求得的最大值即可得结论． 【小问1详解】 由可得，， 因为角B为钝角，所以，所以，即， 根据正弦定理可得，因为，所以， 又角B为钝角，所以． 【小问2详解】 根据题意可知，，可得， 根据余弦定理可得，，即， 可得，可得， 当且仅当时等号成立，所以BH的最大值为． 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点E在线段上，满足，点F为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 取点M为的中点，连接， 因为点F为的中点，所以，， 又因为，， 又，则， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取点M为的中点，连接，由已知可证得四边形为平行四边形，则，即可证得平面； （2）由已知可得平面平面，进而平面，则直线与平面所成角为，设，则，可得，即可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，则利用向量法求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以平面平面， 又，平面平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，则， 因为，又， 所以，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 在（2）的条件下，以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，过点A作平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，所以， 设平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知点，分别为椭圆C：的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且满足直线PA与直线PB的斜率之积为． （1）求椭圆C的离心率； （2）若，直线与椭圆C的另一个交点为Q，且直线与直线相交于点M，O为坐标原点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，由，利用斜率公式可得，进而可得，即可求得椭圆C的离心率； （2）由已知可得椭圆C的方程为，设，设出直线和直线的方程，设直线PQ：，可得，联立，化简后，由韦达定理可得，代入，可得，又直线的斜率不能为0，所以点M不取，可得点M的轨迹为，所以的取值范围为． 【小问1详解】 由题知，，， 设点，由，可得， 又，即，所以， 所以， 所以，即，则， 故椭圆C的离心率． 【小问2详解】 由（1）可得，又因为，可得，所以，，， 则椭圆C的方程为，则，， 设，直线的方程为：， 直线的方程为：， 联立，两式相除可得， 即， 设直线PQ：，所以，， 代入可得， 联立，整理得， ， 所以， 所以，即， 所以， 则，解得， 当直线的斜率为0时，与重合，不满足题意，所以点M不取， 可得点M的轨迹为，所以的取值范围为． 18. 已知函数，，． （1）若，函数在上单调递减，求实数a的取值范围； （2）若，，求函数在上的零点个数． 【答案】（1） （2）函数在上两个零点． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，题意得出在上恒成立，转化为，在上恒成立，再引入函数求出函数的最值得参数范围； （2）求出，令，再求导，由的单调性确定的零点的存在性,从而得的正负，确定即的单调性，然后再确定的零点的存在性，得出的正负，确定的单调性，然后确定的零点的存在性（零点的存在性需与零点存在定理结合）． 【小问1详解】 当时，，， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，可得， 令，在上，，， 所以在上的最小值为， 所以实数a的取值范围为． 【小问2详解】 当，时，，可得， ，设， 则，易知在上单调递增， 又，，所以，使得， 在上,在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，，使得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，由得，， 又因为，所以，使得， 综上，函数在上有，0两个零点． 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点问题，方法是利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理得出零点的存在性．为此可能需要对导函数（或其中部分函数）进行再一次的求导，以确定单调性、正负性． 19. 已知有限数列满足，若给定一个正整数k，在数列中存在一项或一些连续项的和为i，其中i的值可以取遍中的所有元素，则称数列为k级可分解数列． （1）数列3，1，2是否为4级可分解数列？是否为5级可分解数列？请说明理由； （2）若有限数列为8级可分解数列，则数列的项数最少为多少？ （3）若有限数列为20级可分解数列，且，判断数列的项数是否最少为6项，请说明理由． 【答案】（1）该数列为4级可分解数列，不是5级可分解数列，理由如下： 数列，，，因此，，，， 所以该数列为4级可分解数列； 由于没有连续的项的和为5，所以不是5级可分解数列. （2）最少为4； （3）不是，理由如下： 由（2）得，，则， 当时，的数列组合至多可表示组， 又，则其中必有负数的项， 从而中的一项或一些连续项的和可表示1~20及那个负数（恰21组）， 这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小， 同时中没有两数相同，设那个负数为， 则所有数之和大于等于，，解得， 取，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个， 由（仅一种方式），得与2相邻，若不在两端，在第2，3，4，5之一的位置， 不妨设为“x，，2，______，______，______”的形式（其他形式同理）， 若，则（有2种结果相同，方式矛盾），则， 同理，因此在一端，不妨为“，2，A，B，C，D”的形式， 若，则（有2种结果相同，矛盾）；若，同理不行； 若，则（有2种结果相同，矛盾），从而，由于， 由表法唯一知3，4不相邻，则只能，2，6，3，5，4或，2，6，4，5，3，这2种情形， 若，2，6，3，5，4，则，矛盾；若，2，6，4，5，3，则，矛盾， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用4级可分解数列和5级可分解数列定义分别判断. （2）设数列共k项，利用8级可分解数列的定义建立不等式求出的范围，再构造数列说明能取到最小值. （3）由（2）求出20级可分解数列的最少项数，再确定其中的项及位置，再按元素位次情况分别讨论判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由有限数列为8级可分解数列，得至少有8组数列组合，分别等于1，2，3，…，8， 设该有限数列共k项，则数列组合中一个元素的共k种；数列组合中两个连续元素的共种； 数列组合中三个连续元素的共种；…；数列组合中k个连续元素的共1种， 因此，则，而，解得， 当k取最小值4时，构造数列为1，4，1，2，此数列，，，， 因此，，，，，，，， 即存在成立满足题意，所以数列的项数最少为4. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第2问，利用给定的定义探讨8级可分解数列的最少项数，再构造数列确保能取得值是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在的二项展开式中，的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 3. 已知等比数列的前n项积为，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 已知圆被直线所截，则截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 设函数，已知，，且的最小值为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则z的虚部为 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知正数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线C：，直线l：，O为坐标原点；若，两点在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 抛物线C的准线方程为 C. 若直线l与抛物线C交于P，Q两点，则 D. 若直线l与抛物线C交于P，Q两点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知公差大于0的等差数列满足，，则数列的前8项和为______． 13. 在边长为2的等边三角形中，点D为边的中点，点P在三角形所在的平面内，且满足，则的最大值为______． 14. 最近全国各地的旅游十分火爆，某旅游公司根据市场调研的情况推出了A，B两个旅游路线方案，通过实践发现，选择方案A旅游路线与选择方案B旅游路线的游客比为3:1，该公司为了激励大家消费，设立优惠项目，即选择方案A旅游路线优惠200元，选择方案B旅游路线优惠100元（每位游客的选择相互独立），已知旅游公司的总优惠金额恰为的概率为，，则的关系式为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B为钝角，，． （1）求角B； （2）若过B作BH垂直AC于点H，求BH的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点E在线段上，满足，点F为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知点，分别为椭圆C：的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且满足直线PA与直线PB的斜率之积为． （1）求椭圆C的离心率； （2）若，直线与椭圆C的另一个交点为Q，且直线与直线相交于点M，O为坐标原点，求的取值范围． 18. 已知函数，，． （1）若，函数在上单调递减，求实数a的取值范围； （2）若，，求函数在上的零点个数． 19. 已知有限数列满足，若给定一个正整数k，在数列中存在一项或一些连续项的和为i，其中i的值可以取遍中的所有元素，则称数列为k级可分解数列． （1）数列3，1，2是否为4级可分解数列？是否为5级可分解数列？请说明理由； （2）若有限数列为8级可分解数列，则数列的项数最少为多少？ （3）若有限数列为20级可分解数列，且，判断数列的项数是否最少为6项，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $