专题1.9 直角三角形的边角关系（挑战综合压轴题分类专题）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.9 直角三角形的边角关系（挑战综合压轴题分类专题）（专项练习） 【综合解答题】 【题型1】特殊角三角函数相关运算（4题）........................................................................1 【题型2】四边形中与解直角三角形相关运算（3题）.........................................................1 【题型3】反比例函数与解直角三角形相关运算（3题）.....................................................2 【题型4】解直角三角形的应用——方位角与仰角俯角问题（3题）..................................3 【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡比与其他问题（3题）......................................5 【压轴填空选择题】 【题型6】求折叠中函数值或线段长（3题）.......................................................................7 【题型7】求旋转中的函数值或线段长（3题）....................................................................7 【题型8】求平移中的函数值或线段长（3题）...................................................................8 【题型9】利用三角函数求最值（3题）...............................................................................9 【压轴解答题】 【题型10】压轴解答题（3题）..........................................................................................10 【综合解答题】 【题型1】特殊角三角函数相关运算（4题） 【1-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【1-2】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2) 【1-3】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）计算： (1) (2) 【1-4】(1) (2) 【题型2】四边形中与解直角三角形相关运算（3题） 【2-1】（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【2-2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图1，在正方形中，是上异于的点， (1)当时，求证： (2)若是的中点，且，求的值． (3)在如图2的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于，则的值等于_____． 【2-3】（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，矩形的对角线相交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的周长为，则的长为__________． 【题型3】反比例函数与解直角三角形相关运算（3题） 【3-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点是上的一点，反比例函数（）的图象经过点D，交于点C，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)当，时，求的面积． 【3-2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．   (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【3-3】（2024·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，正方形的顶点A，B分别落在y轴和x轴上． (1)求k，n的值； (2)求的正切值． 【题型4】解直角三角形的应用——方位角与仰角俯角问题（3题） 【4-1】（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 【4-2】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【4-3】（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为，点A，B，C，D都在同一平面上． (1)求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）； (2)求教学楼的高度（结果精确到）（参考数据：，，，）． 【4-4】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰（即的长度为），由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点、、、、在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（参考数据：，， (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟． 【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡比与其他问题（3题） 【5-1】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°．（参考数据：，，，） (1)求坡顶B到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）． 【5-2】（23-24九年级上·四川资阳·期末）为了践行“绿水清山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了寻找古树的活动．如图，古树直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端B点出发，沿水平方向行走了30米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架的高度为0.8米．在点E处测得古树顶端A点的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡的坡度．（参考数据：，，） (1)求斜坡的高； (2)求古树的高．（结果保留一位小数） 【5-3】（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度： (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【5-4】（2024九年级上·全国·专题练习）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面． (1)当水桶在井里时，，求此时支点到小竹竿的距离（结果精确到）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【压轴填空选择题】 【题型6】求折叠中函数值或线段长（3题） 【6-1】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在矩形中，点E是边上一点，将延折叠，使点D的对应点F为恰好落到边上，若，则（   ） A． B． C． D． 【6-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，点E、F分别在边上．将矩形沿折叠，使点B的对应点落在边上，得到四边形．若，，则 ． 【6-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上．将矩形沿折叠，使点B的对应点落在边上，得到四边形．若，，则的长为 ． 【题型7】求旋转中的函数值或线段长（3题） 【7-1】（2023·江苏无锡·二模）如图，在中，，，点D的坐标是，，将旋转到的位置，点C在上，则旋转中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【7-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，为锐角且．P是边上的一动点，绕点P按逆时针方向旋转90°交延长线于点D，则的长 ． 【7-3】（2024·上海杨浦·一模）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 ． 【题型8】求平移中的函数值或线段长（3题） 【8-1】（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形中， 点 E 为 边上一点，连接，过点 B 作的垂线，交于点F，平移线段得线段，且恰过的中点O，连接，已知 且 则的长为（   ） A．3 B．8 C．4 D．6 【8-2】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角尺如图放置，其中，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角尺沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【8-3】（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为 ． 【题型9】利用三角函数求最值（3题） 【9-1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，与是四边形的对角线，，已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【9-2】（辽宁省部分学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）在菱形中，E为线段中点，连接，当线段的中垂线过线段时，假设，当m取最小值，n取最大值时， ． 【9-3】（2023·四川达州·模拟预测）如图，中，，点是边上一动点，连接，过点作于点．则的最大值是 ． 【题型10】压轴解答题（3题） 【10-1】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，点为边上一动点（不与点、重合），联结，过点作，分别交、于点、，设，． (1)当时，求的值； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，在边上取点，联结，分别交、于点、．当时，请直接写出的长． 【10-2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）阅读下面材料． 小明遇到这样一个问题： 如图，在四边形中，，，，，求的长． 小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题： (1)请直接写出的长为_______； (2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长． (3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长． 【10-3】（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，已知正方形，点P是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点F． (1) ； (2)连接． ①当时，求的值； ②如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.9 直角三角形的边角关系（挑战综合压轴题分类专题）（专项练习） 【综合解答题】 【题型1】特殊角三角函数相关运算（4题）.......................................................................1 【题型2】四边形中与解直角三角形相关运算（3题）........................................................4 【题型3】反比例函数与解直角三角形相关运算（3题）....................................................8 【题型4】解直角三角形的应用——方位角与仰角俯角问题（3题）................................12 【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡比与其他问题（3题）....................................17 【压轴填空选择题】 【题型6】求折叠中函数值或线段长（3题）.....................................................................23 【题型7】求旋转中的函数值或线段长（3题）.................................................................27 【题型8】求平移中的函数值或线段长（3题）.................................................................32 【题型9】利用三角函数求最值（3题）............................................................................37 【压轴解答题】 【题型10】压轴解答题（3题）........................................................................................41 【综合解答题】 【题型1】特殊角三角函数相关运算（4题） 【1-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算． （1）将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂、绝对值、二次根式的运算法则化简计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式、绝对值的运算法则化简计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【1-2】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算相反数、零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式，乘方，负整数指数幂，再计算加减法即可． 解：（1）解： ； （2）解： 【1-3】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先将特殊角的三角形函数值代入，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【1-4】(1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用二次根式的性质，特殊角的三角函数，负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果； （2）原式利用零指数幂，负整数指数幂，绝对值及特殊角的三角函数值，进行计算即可得到结果． 解：（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 【题型2】四边形中与解直角三角形相关运算（3题） 【2-1】（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 解：（1）证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 【2-2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图1，在正方形中，是上异于的点， (1)当时，求证： (2)若是的中点，且，求的值． (3)在如图2的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于，则的值等于_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与解直角三角形，第（1）题运用正方形的性质，根据题目中角的关系，得到两个三角形相似，第（2）小题用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值；第（3）题关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用利用三角函数的定义解答． （1）证明，结合，可证明； （2）根据，延长相交于T，得到等腰，连接点T和的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出的正切． （3）根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得的值． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 又， ∴； （2）解：如图，延长交的延长线于T，设的中点为E，连，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，① 令则，，， 代入①中得：， 解方程得：（舍去），． ∴， ∴． （3）解：如图所示，连接， 则， ∴， 设每个小正方形的边长为a， 则， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， 即， 故答案为：3． 【2-3】（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，矩形的对角线相交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的周长为，则的长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）首先由，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出，确定，再由正切函数设，利用勾股定理求解即可． 解：（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵菱形的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴即， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：12． 【题型3】反比例函数与解直角三角形相关运算（3题） 【3-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点是上的一点，反比例函数（）的图象经过点D，交于点C，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)当，时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质；求得点的坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得函数关系式； （2）求得点的坐标，进而求得点的坐标，然后根据即可求得结果． 解：（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为：； （2）在中，，， ， ， 将代入，得， ， ． 【3-2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且．   (1)求反比例函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标．从而可求的值； （2）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置，进而即可求解． 此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，难度中等． 解：（1）解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． （2）解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示：    此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 【3-3】（2024·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，正方形的顶点A，B分别落在y轴和x轴上． (1)求k，n的值； (2)求的正切值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入，可求，则，将代入，可求； （2）如图，作轴于，证明，则，，根据，求解作答即可． 解：（1）解：将代入得，， 解得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴，； （2）解：如图，作轴于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴的正切值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切．熟练掌握一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 【题型4】解直角三角形的应用——方位角与仰角俯角问题（3题） 【4-1】（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 【答案】C，D间的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，利用方向角的定义求得，，，证明是等腰直角三角形，在中，求得的长，再证明，，在中，利用三角函数的定义即可求解． 解：作于点， 由题意得，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，， 在中，，， 在中，， 答：C，D间的距离为． 【4-2】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)千米 (2)甲选择的路线比较近 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）过点B作于E，先求出，再解得到千米，进一步解即可得到千米； （2）过点C作于D，先解得到千米，则千米，再得到千米，千米，最后解 得到千米，千米，即可得到千米，千米，据此可得答案． 解：（1）解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴， 在中，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴的长度约为千米； （2）解：如图所示，过点C作于D，    在中，千米， ∴千米， 在中，千米， 千米， 在中，， ∴千米， 千米， ∴千米，千米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 【4-3】（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为，点A，B，C，D都在同一平面上． (1)求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）； (2)求教学楼的高度（结果精确到）（参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，确定目标线段与直角三角形各边之间的和差关系是解题关键． （1）根据，进而根据线段的和差关系，即可求解； （2）过点C作，垂足为F，在中，求出，进而根据线段的和差关系，即可求解． 解：（1）解：在中，，， ， ， ， 此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度为； （2）解：过点C作，垂足为F， 由题意得：，，， ， 在中，， ． ， 教学楼的高度约为． 【4-4】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰（即的长度为），由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点、、、、在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（参考数据：，， (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题； （1）过点作于，则四边形是矩形，在中，利用含的直角三角形的性质求得的值，结合山高即可求出的值； （2）在中，求得的长，再计算段和段所用时间和即得出答案． 熟练掌握锐角三角函数解直角三角形，路程与速度和时间的关系是解题关键． 解：（1）解：如图，过点作于， 则四边形是矩形， 由山底处先步行到达处，山坡的坡角为，的长度为， ，， 在中，， ， ， 答：登山缆车上升的高度； （2）解：在中，，，， ， ， 答：从山底处到达山顶处大约需要． 【题型5】解直角三角形的应用——坡度坡比与其他问题（3题） 【5-1】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为45°，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为74°．（参考数据：，，，） (1)求坡顶B到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）． 【答案】(1)15米 (2)古搭的高度约为29米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，掌握锐角三角函数的定义． （1）根据坡度得到，设，则，勾股定理求出的值即可； （2）延长交于点G，则，四边形为矩形，在中，得到，列出算式，求解即可． 解：（1）解：由题意，得，， ， 设，则 ， ， ， ， ， （米）； 答：坡顶B到地面的距离的长为15米； （2）解：延长交于点G，则，四边形为矩形， ∴，， ， ， ， ， ； 在中，， ， ，， ， ， （米）． 答：古搭的高度约为29米． 【5-2】（23-24九年级上·四川资阳·期末）为了践行“绿水清山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了寻找古树的活动．如图，古树直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端B点出发，沿水平方向行走了30米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架的高度为0.8米．在点E处测得古树顶端A点的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡的坡度．（参考数据：，，） (1)求斜坡的高； (2)求古树的高．（结果保留一位小数） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点作与点， 延长交于，根据斜坡的坡度可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出与的长，故可得出结论； （2）由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出结论． 解：（1）解：过点作与点， 延长交于， ∵斜坡的坡度米， ∴设米， 则米， 在中， ，即， 解得， 米， 米， 答：斜坡的高为米； （2）解：， ∴四边形是矩形， 米，米， 米，米， 在中， ， 米， 米， 答： 古树的高AB约为米． 【5-3】（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度： (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 解：（1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 【5-4】（2024九年级上·全国·专题练习）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面． (1)当水桶在井里时，，求此时支点到小竹竿的距离（结果精确到）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)约为米 (2)约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题关键． （1）过点作，垂足为，先求出，再在中，解直角三角形即可得； （2）过点作，垂足为，设交于点，先求出，再在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，最后利用求解即可得． 解：（1）解：如图，过点作，垂足为， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， 在中，（米）， 答：此时支点到小竹竿的距离约为米． （2）解：如图，过点作，垂足为，设交于点， 由题意得：，，米， ∵， ∴， 在中，米， 由（1）可知，在中，米， ∴（米）， 答：点上升的高度约为米． 【压轴填空选择题】 【题型6】求折叠中函数值或线段长（3题） 【6-1】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在矩形中，点E是边上一点，将延折叠，使点D的对应点F为恰好落到边上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解直角三角形．根据题意设，，则，由翻折变换可知，，，证明，推出，，在中，由勾股定理求得，进一步计算即可求解． 解：∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， 设，，则， 由翻折变换可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴，， ∴， 故选：A． 【6-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，点E、F分别在边上．将矩形沿折叠，使点B的对应点落在边上，得到四边形．若，，则 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点A作交于G，连接交于H，设交于M，可证明四边形是平行四边形，得到，由折叠的性质可得，证明，推出；再证明，得到，设，则，则，在中，由勾股定理得，解方程求出，，则． 解：如图所示，过点A作交于G，连接交于H，设交于M， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质与判定等等，通过证明是解题的关键． 【6-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上．将矩形沿折叠，使点B的对应点落在边上，得到四边形．若，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】如图所示，过点A作交于G，连接交于H，设交于M，可证明四边形是平行四边形，得到，由折叠的性质可得，证明，推出；再证明，得到，设，则，则，在中，由勾股定理得，解方程求出，，则，即可得到． 解：如图所示，过点A作交于G，连接交于H，设交于M， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质与判定等等，通过证明是解题的关键． 【题型7】求旋转中的函数值或线段长（3题） 【7-1】（2023·江苏无锡·二模）如图，在中，，，点D的坐标是，，将旋转到的位置，点C在上，则旋转中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设旋转中心为点P，连接，过点P作轴于点F，过点P作于H，并延长交x轴于G，如图，根据题意得：的垂直平分线的交点即为旋转中心点P，再由点在上，可得，并求出的长，解直角三角形求出的长，进而利用勾股定理求出的长，再求出的长即可得到答案． 解：设旋转中心为点P，连接，过点P作轴于点F，过点P作于H，并延长交x轴于G，如图，      根据题意得：的垂直平分线的交点即为旋转中心点P， ∵点在上， ∴点P到的距离相等，都是，即， ∴， ∵ ∴， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∵，即， ∴， ∴点P的坐标为 故选 D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转，解直角三角形，勾股定理等等，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置是解题的关键． 【7-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，为锐角且．P是边上的一动点，绕点P按逆时针方向旋转90°交延长线于点D，则的长 ． 【答案】 【分析】过点作，过点作，根据三角函数值求出，勾股定理求出证明，得到，证明，求出的数量关系，利用，求出的长，进而求出的长即可． 解：过点作，过点作，则： ∵，， ∴， ∴，， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等和相似三角形． 【7-3】（2024·上海杨浦·一模）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过点A作于点M，则，设则，根据旋转的性质，得，则，证明三点共线，再证明，延长二线交于点，接着即可． 解：过点A作于点M，菱形， 则， 设则，连接， 根据旋转的性质，菱形，得， ，，，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于点， ∵菱形， ∴， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵ ∴重合，G，D，F三点共线， 延长二线交于点， 则， ∵ ∴， ∴， 解得， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，勾股定理，旋转性质，等腰三角形的三线合一行，三角形相似的判断和性质，熟练掌握菱形的性质，三角函数，三角形相似的判定是解题的关键． 【题型8】求平移中的函数值或线段长（3题） 【8-1】（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形中， 点 E 为 边上一点，连接，过点 B 作的垂线，交于点F，平移线段得线段，且恰过的中点O，连接，已知 且 则的长为（   ） A．3 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明得，由平移性质可得，，从而，设，，求出，在中利用勾股定理求出x的值即可求解． 解：∵， ∴． ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ． 由平移性质可得，， ，． 又∵点O 为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴． 在中， 设，， ∴． 在中， ， ∴ 解得 (负值舍去)． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，平移的性质，以及线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【8-2】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角尺如图放置，其中，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角尺沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点D．根据勾股定理可求出．再结合含角的直角三角形的性质可求出，进而可求出，得出，即说明，可求出，最后可求出，即得出双曲线解析式为，令，求出x的值即得出平移后点A的坐标为，最后可得出平移后点C的坐标为． 解：过点作轴于点D． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 设双曲线解析式为，则， 解得：， ∴双曲线解析式为． 将直角三角尺沿轴正方向平移，即点A纵坐标不变，即， 将代入，则， 解得：， ∴平移后点A的坐标为， ∴平移后， ∴平移后点C的坐标为． 故选：C． 【点睛】此题考查坐标与图形的变化—平移，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质．正确作出辅助线是解题关键． 【8-3】（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为 ． 【答案】或． 【分析】分两种情况：①如图1，，②如图2，，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应a的值． 解：①如图1，，延长交于G，过点作，交的延长线于H， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，即， 设，， ∴， 由平移得：， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即，   ∴， ∴； ②如图2，，延长交于M，则， ∴， 由平移得：，， 同理设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 综上，a的值是或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论． 【题型9】利用三角函数求最值（3题） 【9-1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，与是四边形的对角线，，已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，过点C作，使，连接，证明得，进而得，再由勾股定理得，再根据三角形三边关系得（当点E位于上时，等号成立），即可得出结论． 解：如图，过点C作，使，连接， ∴， ∴，即， 又∵， ， ， ∴， 在中，， 在中，由三边关系，得（当点E位于上时，等号成立）， 故的最大值． 故选：A． 【9-2】（辽宁省部分学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）在菱形中，E为线段中点，连接，当线段的中垂线过线段时，假设，当m取最小值，n取最大值时， ． 【答案】 【分析】分两种情况，当的中垂线恰好经过点A时，当的中垂线恰好经过点D时，求出的值即可得到答案． 解：如图1所示，当的中垂线恰好经过点A时，连接，过点A作于G，设的中点为F，连接， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，当的中垂线恰好经过点D时，连接与交于O，连接，过点A作交延长线于G，设菱形的边长为，F是中点， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知当当的中垂线恰好经过点D时，最小，当的中垂线恰好经过点A时，最大， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，正确画出两种临界的情况的图形是解题的关键． 【9-3】（2023·四川达州·模拟预测）如图，中，，点是边上一动点，连接，过点作于点．则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由可得，即得，，设，可得，在中由三角函数可得，，得到，进而得到，即得，可知当时，取最大值，据此即可求解，熟练掌握三角函数的之间的运算关系是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴ ， 当时，取最大值， ∴的最大值， 故答案为：． 【题型10】压轴解答题（3题） 【10-1】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，点为边上一动点（不与点、重合），联结，过点作，分别交、于点、，设，． (1)当时，求的值； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当时，在边上取点，联结，分别交、于点、．当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用转化的思想思考问题，只要证明即可； （2）作于，于．利用面积法解决问题即可； （3）当，作于．设，想办法求出的值，再利用相似三角形的性质证明即可解决问题． 解：（1）解：， ， ，， ， ， ，， ， ； （2）解：如图1，作于，于． 则四边形是矩形． ， ， ∵， ． （3）解：如图2，作于．设． ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ，即， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合题、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 【10-2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）阅读下面材料． 小明遇到这样一个问题： 如图，在四边形中，，，，，求的长． 小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题： (1)请直接写出的长为_______； (2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长． (3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)． 【分析】（1）延长与相交于点，解直角三角形，得出的长，那么，再解直角三角形，即可求出； （2）过点作于，交于，过作于顶，由，，，得四边形是矩形，，从而，，，进而利用解直角三角形即可求得，，从而即可得解； （3）延长与相交于点．由，得出，那么，．设，则，，．在中，由，得出，求出，那么，，，再利用勾股定理即可求出． 解：（1）解：如图，延长与相交于点， ∵，， ∴．， ∴， ∴． 在中， ∵，，， ∴． 故答案为：； （2）解：如图，过点作于，交于，过作于顶， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长与相交于点． ∵， ∴， ∴，． 设，则，，． 在中，． ∵， ∴，即， ∴． 经检验是所列方程的解，且符合题意， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，度直角三角形的性质，等角对等边，矩形的判定及性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【10-3】（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，已知正方形，点P是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点F． (1) ； (2)连接． ①当时，求的值； ②如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1)； (2)①2；②或． 【分析】（1）由正方形的性质得，则，所以，，则，所以； （2）①作于点G，可证明，得，作于点H，可证明，则，因为，所以，则； ②分两种情况讨论，一是，可推导出，作于点L，可证明，所以，可求得，在上取一点K，连接，使，所以，，则 ；二是，可证明点E在上，证明，得，可证明，则，所以． 解：（1）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：①如图1，作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的值是2． ②如图2，是等腰三角形，且，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点L，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在上取一点K，连接，使，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，是等腰三角形，且，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E在正方形的对角线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的正切值为或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$