2025届中考数学复习专题03：圆的综合训练【9大题型】

2025届中考复习 2025届中考复习专题03:圆的综合训练 总览 题型解读 【题型1】 圆中利用勾股求线段长 1 【题型2】 求圆中阴影面积 4 【题型3】 圆与三角函数 6 【题型4】 圆中截长补短构造手拉手模型 10 【题型5】 圆与相似 14 【题型6】 圆中的动点问题 18 【题型7】 圆中的探究性问题 23 【题型8】 圆的综合性问题 28 【题型9】 圆中的定值问题 34 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 圆中利用勾股求线段长 【例题1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：；(2)若，，求的半径． 【巩固练习1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：；(2)若，，求的半径． 【巩固练习2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分；(2)如果，，求的半径． 【巩固练习3】（2024·广东中山·三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，， (1)求证：是切线；(2)求；(3)求的值． 【巩固练习4】（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在中，且点E为的中点，的平分线交于点M，点O在上，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点M，交于点G，交于点F． (1)求证：为的切线；(2)当时，求的半径； (3)试探究线段和之间的数量关系． 【题型2】 求圆中阴影面积 【例题1】（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【例题2】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【巩固练习2】（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【巩固练习3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 【巩固练习4】（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． (1)填空： °；(2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 【题型3】 圆与三角函数 【例题1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【例题2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，为直径，平分交于点，交于点，连接交于点，连接．    (1)求证：；(2)若，，求和的长． 【例题3】（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． (1)求证：与相切；(2)若，求的长． 【巩固练习1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【巩固练习2】（2024·重庆·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ． 【巩固练习3】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．    (1)求证：是的切线；(2)求的长． 【巩固练习4】（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E． (1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，，求的长． 【巩固练习5】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的直径． 【巩固练习6】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，，O为上一点，F是上一点，经过点A，F的交于点E，并且切于点D，连接交于点．    (1)求证：；(2)若，，求的长． 【巩固练习7】（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线；(2)若，，求的半径． 【题型4】 圆中截长补短构造手拉手模型 【例题1】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【巩固练习1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，在⊙O中AB=AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC，∠BAC=120° （1）若AC=4，求⊙O的半径;（2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。 【巩固练习3】在的内接四边形中，AB=6,AD=10，∠BAD=60°，点为弧的中点，则的长是　　． 【巩固练习4】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 【题型5】 圆与相似 【例题1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线；(2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【例题2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得． (1)求证：是的切线；(2)若，求的长． 【例题3】（2024·重庆·中考真题）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ． 【巩固练习1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ． 【巩固练习2】（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数．(2)求证：①；②． 【巩固练习3】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 【巩固练习4】（2024·四川泸州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F． (1)求证：；(2)过点C作于点G，若，，求的长． 【巩固练习5】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，求和的长． 【巩固练习6】（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值． 【题型6】 圆中的动点问题 【例题1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【例题2】2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 【巩固练习1】（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【巩固练习2】（2024·云南昆明·一模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为． (1)求证：是的切线； (2)当时，求证：； (3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【巩固练习3】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【巩固练习4】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，． 【初步认识】 （1）①求证：； ②若，求的值． 【特值探究】 （2）若，，，求长； 【逆向思考】 （3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由． 【题型7】 圆中的探究性问题 【例题1】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【巩固练习1】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 【巩固练习2】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【巩固练习3】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，． 【初步认识】 （1）①求证：； ②若，求的值． 【特值探究】 （2）若，，，求长； 【逆向思考】 （3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由． 【巩固练习4】（2024·山东滨州·模拟预测）【问题探究】 如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积； 【问题解决】 如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由． 【题型8】 圆的综合性问题 【例题1】（2024·贵州·中考真题）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． (1)写出图中一个与相等的角：______；(2)求证：； (3)若，，求的长． 【例题2】（2024·四川广安·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，点D为的中点，过点的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N，且．   (1)求证：是的切线；(2)求证：； (3)当时，求的长． 【例题3】（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长；②求的半径． 【例题3】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接． ①求证：是的切线；②若，，求的半径． 【巩固练习1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线．(2)求证：．(3)若，，求的长． 【巩固练习2】（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线；(2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：；(2)求证：；(3)若，．求的值． 【巩固练习4】（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 【巩固练习5】（2024·广东中山·模拟预测）如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，． (1)求的半径r的长度；(2)求 (3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值 【巩固练习6】（2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，， (1)求证：是的切线； (2)若点P是上的一点，连接． ①求的值；②若为的角平分线，求的长． 【巩固练习7】（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【题型9】 圆中的定值问题 【例题1】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知是的弦，点、是上的两个点，交于点，连结，． (1)求证：点是的中点． (2)若，求的值． (3)若，则的值是否为定值？如果是，请求出其值；如果不是，请说明理由． 【例题2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数；(2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 【巩固练习1】（浙江杭州·二模）如图，，是的两条直径，AB⊥CD，点E是上一动点（点E不与B，D重合），，分别交，G，连接．设的半径为r，． ​ (1) （用含α的代数式表示）； (2)当时，求证：； (3)判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【巩固练习2】（2024·广东珠海·模拟预测）如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于两点，交轴于两点，点为劣弧上一个动点，且． (1)如图1，连结，取中点，连结，则的最大值为________； (2)如图2，连接．若平分交于点，求的长； (3)如图3，连接，当点运动时（不与两点重合），求证：为定值，并求出这个定值． 【巩固练习3】已知内接于． (1)如图1，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，试探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，试证明：； (3)如图3，作的角平分线交圆于点，若点为劣弧上一动点，连接，过点作于点，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【巩固练习4】（2024·广东佛山·二模）综合运用 如图，直线与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为，点P是线段上一点且点P与点O不重合．过A、O、P三点的圆与直线交于点D．连接交圆于点E． (1)求的度数； (2)当和相似时，求点P的坐标； (3)设点P的横坐标为m，的值是定值吗？若是，求出该定值；若不是，用含m的式子表示． 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$2025 届中考复习 1 / 39 2025 届中考复习专题 03:圆的综合训练 【题型 1】 圆中利用勾股求线段长 ............................................................................................ 1 【题型 2】 求圆中阴影面积 ........................................................................................................ 4 【题型 3】 圆与三角函数 ............................................................................................................ 6 【题型 4】 圆中截长补短构造手拉手模型 .............................................................................. 10 【题型 5】 圆与相似 .................................................................................................................. 14 【题型 6】 圆中的动点问题 ...................................................................................................... 18 【题型 7】 圆中的探究性问题 .................................................................................................. 23 【题型 8】 圆的综合性问题 ...................................................................................................... 28 【题型 9】 圆中的定值问题 ...................................................................................................... 34 【题型 1】 圆中利用勾股求线段长 【例题 1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在 ABD△ 中， AB BD ， O为 ABD△ 的外接圆，BE 为 O的切线， AC 为 O的直径，连接DC 并延长交 BE 于点 E． (1)求证：DE BE ；(2)若 5 6AB  ， 5BE  ，求 O的半径． 总览 题型解读 题型汇编 知识梳理与常考题型 2025 届中考复习 2 / 39 【巩固练习 1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图， ABC 中， 90ACB  ，点O为 AC 边上一点， 以点O为圆心，OC 为半径作圆与 AB 相切于点D，连接CD． (1)求证： 2ABC ACD   ；(2)若 8AC  ， 6BC  ，求 O的半径． 【巩固练习 2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线 l与 O相切于点D， AB 为 O的直径，过 点A 作 AE l 于点E ，延长 AB交直线 l于点C ． (1)求证： AD平分 CAE ；(2)如果 1BC  ， 3DC  ，求 O的半径． 2025 届中考复习 3 / 39 【巩固练习3】（2024·广东中山·三模）如图，已知以Rt ABC△ 的边 AB 为直径作 ABC 的外接圆 O， B 的平分线 BE 交 AC 于D，交 O于 E ，过E 作EF AC∥ 交BA的延长线于 . 1F AF  ， 2EF  ， (1)求证：EF 是 O切线；(2)求sin F ；(3)求BD的值． 【巩固练习 4】（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在 ABC 中，AE BC 且点 E为BC的中点， ABC 的平分线 BM 交 AE于点 M，点 O在 AB上，以点 O为圆心，OB的长为半径的圆经过点 M，交BC于 点 G，交 AB于点 F． (1)求证： AE为 O的切线；(2)当 8 12BC AC ， 时，求 O的半径； (3)试探究线段EM BG、 和 BF 之间的数量关系． 2025 届中考复习 4 / 39 【题型 2】 求圆中阴影面积 【例题 1】（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形 ABCD中， 2, 120AB B   ，点 O是对角线 AC 的中点，以点 O为圆心，OA长为半径作圆心角为60的扇形OEF ，点 D在扇形OEF 内，则图中阴 影部分的面积为（ ） A． π 3 2 4  B． 3 π 4  C． π 1 2 4  D．无法确定 【例题 2】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O的一个直径端 点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为 2，则阴影部分的面积是（ ） A． 4 3 3   B． 4 3  C． 2 3 3   D． 4 3 3 4 【巩固练习 1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形 ABCD中， 4AB  ， 2AD  ．以点A 为圆 心， AD长为半径作弧交 AB于点E ，再以 AB 为直径作半圆，与DE 交于点F ，则图中阴影部分的 面积为 ． 2025 届中考复习 5 / 39 【巩固练习 2】（2024·宁夏·中考真题）如图， O是 ABC 的外接圆，AB 为直径，点D是 ABC 的 内心，连接 AD并延长交 O于点E ，过点E 作 O的切线交 AB 的延长线于点F ． (1)求证：BC EF∥ ； (2)连接CE，若 O的半径为 2， 1 sin 2 AEC  ，求阴影部分的面积（结果用含 π的式子表示）． 【巩固练习 3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图， ABC 内接于 O， AB 为 O的直径， CD AB 于点 D，将 CDB△ 沿BC所在的直线翻折，得到 CEB，点 D的对应点为 E，延长EC 交BA 的延长线于点 F． (1)求证：CF 是 O的切线；(2)若 2 sin 2 CFB  ， 8AB  ，求图中阴影部分的面积． 2025 届中考复习 6 / 39 【巩固练习 4】（2024·广东惠州·三模）如图， ABC 是 O的内接三角形，AB 是 O的直径， 30A  ， 4BC  ，弦CD AB 于 F ，点E 是 AB 延长线上一点，且 AF EF ，连接DE ． (1)填空： BCD  °；(2)判断DE 与 O的位置关系，并说明理由； (3)取CB的中点M ，连接DM ，求图中阴影部分的面积． 【题型 3】 圆与三角函数 【例题 1】（2024·山东青岛·中考真题）如图， ABC 中，BA BC ，以BC为直径的半圆 O分别交 AB AC， 于点 D，E，过点 E作半圆 O的切线，交 AB 于点M，交BC的延长线于点 N．若 10ON  ， 3 cos 5 ABC  ，则半径OC 的长为 ． 2025 届中考复习 7 / 39 【例题 2】（2024·四川成都·模拟预测）如图， O是 ABC 的外接圆，AB 为直径，BD平分 ABC 交 O于点D，交 AC 于点E ，连接OD交 AC 于点F ，连接CD． (1)求证：OD AC ；(2)若 2OF  ， 4 cos 5 OBD  ，求EF 和CD的长． 【例题 3】（2024·山东济南·中考真题）如图， ,AB CD为 O的直径，点 E 在BD上，连接 ,AE DE， 点G 在BD的延长线上， , 45AB AG EAD EDB    ． (1)求证： AG与 O相切；(2)若 1 4 5,sin 3 BG DAE   ，求DE 的长． 2025 届中考复习 8 / 39 【巩固练习 1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB 是 O的直径，AH 是 O的切线，点C 为 O 上任意一点，点D为 AC 的中点，连接BD交 AC 于点E ，延长BD与 AH 相交于点F ，若 1DF  ， 1 tan 2 B  ，则 AE的长为 ． 【巩固练习 2】（2024·重庆·中考真题）如图，AB 是 O的直径，BC是 O的切线，点 B 为切点．连 接 AC 交 O于点D，点E 是 O上一点，连接 BE ，DE ，过点A 作 AF BE∥ 交BD的延长线于点 F ．若 5BC  ， 3CD  ， F ADE  ，则 AB的长度是 ；DF 的长度是 ． 【巩固练习 3】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在 O中， AB 是直径，CD是弦，且 AB CD ， 垂足为E ， 20AB  ， 12CD  ，在BA的延长线上取一点F ，连接CF ，使 2FCD B   ． (1)求证：CF 是 O的切线；(2)求EF 的长． 2025 届中考复习 9 / 39 【巩固练习 4】（2024·西藏·中考真题）如图，AB 是 O的直径，C，D是 O上两点，连接 AC ，BC， CO平分 ACD ，CE DB ，交DB延长线于点 E． (1)求证：CE是 O的切线；(2)若 O的半径为 5， 3 sin 5 D  ，求BD的长． 【巩固练习 5】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知 ABC 内接于 O，AB 是 O的直径， BAC 的平分线交 O于点D，过点D作DE AC ，交 AC 的延长线于点E ，连接BD CD， ． (1)求证：DE 是 O的切线；(2)若 1CE  ， 1 sin 3 BAD  ，求 O的直径． 【巩固练习 6】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在Rt ABC△ 中， 90C  ，O为 AB 上一点，F 是 AC 上一点，经过点 A，F的 O交 AB 于点 E，并且 O切BC于点 D，连接 AD交OF 于点G ． (1)求证： 2AD AB AF  ；(2)若 8BE  ， 5 sin 13 B  ，求 AD的长． 2025 届中考复习 10 / 39 【巩固练习 7】（2024·四川广元·中考真题）如图，在 ABC 中，AC BC ， 90ACB  ， O经过 A、C两点，交 AB于点 D，CO的延长线交 AB 于点 F，DE CF∥ 交BC于点 E． (1)求证：DE 为 O的切线；(2)若 4AC  ， tan 2CFD  ，求 O的半径． 【题型 4】 圆中截长补短构造手拉手模型 【例题 1】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形 ABCD内接于 O， 60ABC  ， 45BAC CAD   ， 2AB AD  ，则 O的半径是（ ） A． 6 3 B． 2 2 3 C． 3 2 D． 2 2 2025 届中考复习 11 / 39 【例题 2】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可 以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知 ABC ，CA CB ， O是 ABC 的外接圆，点D在 O上（ AD BD ），连接𝐴𝐷、𝐵𝐷、 𝐶𝐷． 【特殊化感知】 （1）如图 1，若 60ACB  ，点D在 AO延长线上，则 AD BD 与𝐶𝐷的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图 2，若 60ACB  ，点C 、D在𝐴𝐵同侧，判断 AD BD 与𝐶𝐷的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若 ACB   ，直接写出𝐴𝐷、𝐵𝐷、𝐶𝐷满足的数量关系．（用含 的式子表示） 2025 届中考复习 12 / 39 【巩固练习 1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图， ABC 内接于 O，BC为 O的直径， AD平分 BAC 交 O于D．则 AB AC AD  的值为（ ） A． 2 B． 3 C．2 2 D．2 3 【巩固练习 2】如图，在⊙O 中 AB=AC，点 D 是 ⌒ CMB上一动点（点 D 不与 C、B 重合）连接 DA、 DB、DC，∠BAC=120° （1）若AC=4，求⊙O的半径;（2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。 【巩固练习 3】在 的内接四边形 中，AB=6,AD=10，∠BAD=60°，点 为弧 的中点， 则 的长是 ． O M D C BA O ABCD C BD AC D O C B A 2025 届中考复习 13 / 39 【巩固练习 4】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 如图 1，点A ， B ， P 均在 O上，若 90AOB  ，则锐角 APB 的大小为____ ； 【深入探究】 如图 2，小聪遇到这样一个问题： O是等边三角形 ABC的外接圆，点 P 在 AC 上（点 P 不与点 ,A C 重合），连接PA， PB，PC．求证：PB PA PC  ；小聪发现，延长PA至点E ，使 AE PC ，连 接 BE ，通过证明 PBC EBA≌ ．可推得 PBE△ 是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路 完成证明过程． 【启发应用】 如图 3， O是 ABC 的外接圆， 90ABC  ， AB BC ，点 P 在 O上，且点 P 与点 B 在 AC 的两 侧，连接PA， PB，PC，若 2 2PB PA ，则 PB PC 的值为______． 2025 届中考复习 14 / 39 【题型 5】 圆与相似 【例题 1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知 AB是 O的直径，AC 是 O的弦，点D在 O外， 延长DC ， AB相交于点E ，过点D作DF AB 于点F ，交 AC 于点G ，DG DC ． (1)求证：DE 是 O的切线；(2)若 O的半径为 6，点F 为线段OA的中点， 8CE  ，求DF 的长． 【例题 2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图， ABC 内接于 O， AB 为 O的直径，点 D为 O上 一点，BC BD ，延长BA至 E，使得 ADE CBA  ． (1)求证：ED是 O的切线；(2)若 1 4, tan 2 BO CBA   ，求ED的长． 2025 届中考复习 15 / 39 【例题 3】（2024·重庆·中考真题）如图，以 AB 为直径的 O与 AC 相切于点A ，以 AC 为边作平行 四边形 ACDE ，点 D、E均在 O上，DE 与 AB 交于点F ，连接CE，与 O交于点G ，连接DG．若 10, 8AB DE  ，则 AF  ．DG  ． 【巩固练习 1】（2024·四川眉山·中考真题）如图， ABC 内接于 O，点O在 AB 上，AD平分 BAC 交 O于D，连接BD．若 10AB  ， 2 5BD  ，则BC的长为 ． 【巩固练习 2】（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形 ABCD中，AD AC ADC BAD  ， ， 延长 AD至点 E，使 AE AC ，延长BA至点 F，连结EF ，使 AFE ADC  ． (1)若 60AFE  ，CD为直径，求 ABD 的度数．(2)求证：①EF BC∥ ；②EF BD ． 2025 届中考复习 16 / 39 【巩固练习 3】（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt ABC△ 中， 90C  ，D为斜边 AB 上一点， 以BD为直径作 O，交 AC 于E ， F 两点，连接 BE ， BF ，DF ． (1)求证：BC DF BF CE   ； (2)若 A CBF  ， tan 5BFC  ， 4 5AF  ，求CF 的长和 O的直径． 【巩固练习 4】（2024·四川泸州·中考真题）如图， ABC 是 O的内接三角形， AB 是 O的直径， 过点 B作 O的切线与 AC 的延长线交于点 D，点 E在 O上， AC CE ，CE交 AB 于点 F． (1)求证： CAE D  ；(2)过点 C作CG AB 于点 G，若 3OA  ， 3 2BD  ，求 FG 的长． 2025 届中考复习 17 / 39 【巩固练习 5】（2024·四川宜宾·中考真题）如图， ABC 内接于 O， 10AB AC  ，过点 A作 AE BC∥ ，交 O的直径BD的延长线于点 E，连接CD． (1)求证： AE是 O的切线；(2)若 1 tan 2 ABE  ，求CD和DE 的长． 【巩固练习 6】（2024·四川凉山·中考真题）如图，AB 是 O的直径，点C 在 O上，AD平分 BAC 交 O于点D，过点D的直线DE AC ，交 AC 的延长线于点E ，交 AB 的延长线于点F ． (1)求证：EF 是 O的切线； (2)连接EO并延长，分别交 O于 ,M N 两点，交 AD于点G ，若 O的半径为2 30F ， ，求 GM GN 的值． 2025 届中考复习 18 / 39 【题型 6】 圆中的动点问题 【例题 1】（2024·江苏南通·中考真题）如图， ABC 中， 3AB  ， 4AC  ， 5BC  ， A与BC相切 于点 D． (1)求图中阴影部分的面积； (2)设 A上有一动点 P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长． 【例题 2】2024·山东日照·中考真题）如图 1， AB为 O的直径， 12,AB C 是 O上异于 ,A B的任 一点，连接 ,AC BC ，过点 A作射线 ,AD AC D 为射线 AD上一点，连接CD． 【特例感知】 （1）若 6BC  ．则 AC _______． （2）若点 ,C D在直线 AB 同侧，且 ADC B  ，求证：四边形 ABCD是平行四边形； 【深入探究】 若在点 C运动过程中，始终有 tan 3ADC  ，连接OD． （3）如图 2，当CD与 O相切时，求OD的长度； （4）求OD长度的取值范围． 2025 届中考复习 19 / 39 【巩固练习 1】（2024·四川德阳·中考真题）已知 O的半径为 5，B C、 是 O上两定点，点A 是 O 上一动点，且 60 ,BAC BAC    的平分线交 O于点D． (1)证明：点D为 BC 上一定点； (2)过点D作BC的平行线交 AB 的延长线于点F ． ①判断DF 与 O的位置关系，并说明理由； ②若 ABC 为锐角三角形，求DF 的取值范围． 2025 届中考复习 20 / 39 【巩固练习 2】（2024·云南昆明·一模）如图， ,AB CD是 O的两条直径，且 AB CD ，点 E是BD上 一动点（不与点 B，D重合），连接DE 并延长交 AB的延长线于点 F，点 P在 AF 上，且 1 2  ， 连接 ,AE CE分别交 ,OD OB于点 M，N，连接 AC ，设 O的半径为10． (1)求证：PE是 O的切线； (2)当 15DCE  时，求证： 2AM ME ； (3)在点 E的移动过程中，判断CN CE 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2025 届中考复习 21 / 39 【巩固练习 3】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边 形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图 1，四边形 ABCD是圆美四边形， A 是美角． ① A 的度数为_________ ； ②连接BD，若 O的半径为 5，求线段BD的长； 【拓展提升】 （2）如图 2，已知四边形 ABCD是圆美四边形， BAD 是美角，连接CA，若CA平分 BCD ，若 O 的半径为 6，求BC CD 的最大值是多少？ 2025 届中考复习 22 / 39 【巩固练习 4】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形 ABCD内接于 O， AC 为 O的一条定直径， AE BD 于点 F．设 AD x ，CD y ， ADE   ． 【初步认识】 （1）①求证： ABE ACD∽△ △ ； ②若 1 9 ABE ACD S S △ △ ，求sin 的值． 【特值探究】 （2）若 5x  ， 10y  ， 3 sin 5   ，求BD长； 【逆向思考】 （3）点 D为 O上 AC 右侧的任意一点，总有 2AD CD BD  成立，试判断 ABC 的形状并说明 理由． 2025 届中考复习 23 / 39 【题型 7】 圆中的探究性问题 【例题 1】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了 O的内接等腰三角形 ABC，AB AC ．并在BC边上任取一点D（不与点 B ，C 重合）， 连接 AD，然后将 ABD△ 绕点A 逆时针旋转得到 ACE△ ．如图① 小明发现：CE与 O的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接DE ，与 AC 相交于点 F ．如图②，小明又发现：当 ABC 确定时，线段CF 的长存在最大值． 请求出当 3 10AB  ． 6BC  时，CF 长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比 :CD DB与点F 分线段𝐷𝐸所成的比 :DF FE始 终相等．请予以证明． 2025 届中考复习 24 / 39 【巩固练习 1】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 如图 1，点A ， B ， P 均在 O上，若 90AOB  ，则锐角 APB 的大小为____ ； 【深入探究】 如图 2，小聪遇到这样一个问题： O是等边三角形 ABC的外接圆，点 P 在 AC 上（点 P 不与点 ,A C 重合），连接PA， PB，PC．求证：PB PA PC  ；小聪发现，延长PA至点E ，使 AE PC ，连 接 BE ，通过证明 PBC EBA≌ ．可推得 PBE△ 是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路 完成证明过程． 【启发应用】 如图 3， O是 ABC 的外接圆， 90ABC  ， AB BC ，点 P 在 O上，且点 P 与点 B 在 AC 的两 侧，连接PA， PB，PC，若 2 2PB PA ，则 PB PC 的值为______． 2025 届中考复习 25 / 39 【巩固练习 2】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边 形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图 1，四边形 ABCD是圆美四边形， A 是美角． ① A 的度数为_________ ； ②连接BD，若 O的半径为 5，求线段BD的长； 【拓展提升】 （2）如图 2，已知四边形 ABCD是圆美四边形， BAD 是美角，连接CA，若CA平分 BCD ，若 O 的半径为 6，求BC CD 的最大值是多少？ 2025 届中考复习 26 / 39 【巩固练习 3】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形 ABCD内接于 O， AC 为 O的一条定直径， AE BD 于点 F．设 AD x ，CD y ， ADE   ． 【初步认识】 （1）①求证： ABE ACD∽△ △ ； ②若 1 9 ABE ACD S S △ △ ，求sin 的值． 【特值探究】 （2）若 5x  ， 10y  ， 3 sin 5   ，求BD长； 【逆向思考】 （3）点 D为 O上 AC 右侧的任意一点，总有 2AD CD BD  成立，试判断 ABC 的形状并说明 理由． 2025 届中考复习 27 / 39 【巩固练习 4】（2024·山东滨州·模拟预测）【问题探究】 如图1， O为 ABC 的外接圆，AB 是直径，AC BC ，点D是直径 AB 左侧的圆上一点，连接DA， DB，DC ，将 ACD绕点C 逆时针旋转得到 BCE ，若 4CD  ，求四边形 ADBC 的面积； 【问题解决】 如图2， O为等边 ABC 的外接圆，半径为2，点D在弧 AB上运动（不与点A ，B 重合）．连接DA， DB，DC ．设线段DC 的长为 x ，四边形 ADBC 的面积为S．求S与 x 的函数关系式，S是否有最大 值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由． 2025 届中考复习 28 / 39 【题型 8】 圆的综合性问题 【例题 1】（2024·贵州·中考真题）如图，𝐴𝐵为半圆 O的直径，点 F在半圆上，点 P在𝐴𝐵的延长线 上，PC与半圆相切于点 C，与OF 的延长线相交于点 D， AC 与OF 相交于点 E，DC DE ． (1)写出图中一个与 DEC 相等的角：______；(2)求证：OD AB ； (3)若 2OA OE ， 2DF  ，求PB的长． 【例题 2】（2024·四川广安·模拟预测）如图，四边形 ABCD内接于 O AB， 为 O的直径，点 D为 AC 的中点，过点D的直线 l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点 N，且 90BNM  ． (1)求证：MN 是 O的切线；(2)求证： 2AD AB CN  ； (3)当 3 6 sin 3 AB DCA  ， 时，求 AM 的长． 2025 届中考复习 29 / 39 【例题 3】（2024·内蒙古·中考真题）如图， ACD内接于 O，直径𝐴𝐵交𝐶𝐷于点G ，过点D作射线 DF ，使得 ADF ACD，延长DC 交过点 B 的切线于点E ，连接BC． (1)求证：DF 是 O的切线； (2)若 8 3 3 3 CD CG BE CE  ， ． ①求𝐷𝐸的长；②求 O的半径． 【例题 3】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，AB 是 O的直径，AC 是一条弦，点D是 AC 的中点， DN AB 于点E ，交 AC 于点F ，连结DB交 AC 于点G ． (1)求证： AF DF ； (2)延长GD至点M ，使DM DG ，连接 AM ． ①求证： AM 是 O的切线；②若 6DG  ， 5DF  ，求 O的半径． 2025 届中考复习 30 / 39 【巩固练习 1】（2024·四川巴中·中考真题）如图， ABC 内接于 O，点D为BC 的中点，连接 AD BD、 ， BE 平分 ABC 交 AD于点E ，过点D作DF BC∥ 交 AC 的延长线于点F ． (1)求证：DF 是 O的切线．(2)求证：BD ED ．(3)若 5DE  ， 4CF  ，求 AB 的长． 【巩固练习 2】（2024·四川雅安·中考真题）如图，AB 是 O的直径，点 C是 O上的一点，点 P是 BA延长线上的一点，连接 AC ， PCA B  ． (1)求证：PC是 O的切线；(2)若 1 sin 2 B  ，求证： AC AP ； (3)若CD AB 于 D， 4PA  ， 6BD  ，求 AD的长． 2025届中考复习 2025届中考复习专题03:圆的综合训练 总览 题型解读 【题型1】 圆中利用勾股求线段长 1 【题型2】 求圆中阴影面积 9 【题型3】 圆与三角函数 16 【题型4】 圆中截长补短构造手拉手模型 31 【题型5】 圆与相似 42 【题型6】 圆中的动点问题 57 【题型7】 圆中的探究性问题 70 【题型8】 圆的综合性问题 80 【题型9】 圆中的定值问题 101 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 圆中利用勾股求线段长 【例题1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质： （1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （2）由（1）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：；即：的半径为． 【巩固练习1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得，∴半径的长为3 【巩固练习2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【巩固练习3】（2024·广东中山·三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，，    (1)求证：是切线； (2)求； (3)求的值． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】（1）连接，圆周角定理结合角平分线，推出，直径所对的圆周角是直角，得到，进而得到，根据，得到，即可得证； （2）先证明，得到，求出的长，进而求出的长，求出的长，再利用正弦的定义进行求解即可； （3），得到，设，，勾股定理求出的值，推出，进而得到，求出的长，设，，勾股定理求出的值，即可． 【详解】（1）证明：连接，   是的平分线， ． ， ． ．          ， ，      ．        ， ． 在上， 是的切线． （2）解：， ． ， 又， ．   又， ． ． ，， ，则． ，则=2.5． ， ． （3）解：， ． 设，， ， ，即． ． ． ． ． ， ． ． ． 在中，设，， ，即 ， ∴= 【巩固练习4】（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在中，且点E为的中点，的平分线交于点M，点O在上，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点M，交于点G，交于点F． (1)求证：为的切线； (2)当时，求的半径； (3)试探究线段和之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为3 (3) 【分析】（1）连接，由是的平分线，得，从而，即可得是的切线； （2）设的半径为由为中点，得，根据，有，即，即可得； （3）过作于，先证明四边形是矩形，得，又，有中，，即得． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，如图： ∵为中点， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 即圆的半径为3； （3）解：过作于，如图： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， 即． 【题型2】 求圆中阴影面积 【例题1】（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【例题2】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 【巩固练习1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积． 设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，， ∴， ∴以为直径作半圆时，圆心为点， 设弓形，连接，，即，如图： ∴为等边三角形， ∴， 故阴影部分面积为， 代入数值可得 【巩固练习2】（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算． （1）连接，交于点G，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数的定义得到，求得，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， 又为的直径， ， 又为的切线且为的半径， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ， ． 【巩固练习3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线； （2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∵是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习4】（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． (1)填空： °； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)30 (2)与相切，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到结论； （2）连接，根据垂径定理得到，，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （3）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据三角形中位线定理得到，，求得，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：弦于，是的直径， ， ， 故答案为：30； （2）解：与相切， 理由如下： 连接，如图所示： 弦于，是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （3）解：是的直径， ， ，， ， ， 连接，如图所示： 点是的中点， ， ， 是的中位线， ，， ， ， ， 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积． 【题型3】 圆与三角函数 【例题1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6 【例题2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，为直径，平分交于点，交于点，连接交于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】（1）连接，，根据平分，得出，根据，得出垂直平分，即可得出答案； （2）根据中位线的性质得出，根据三角函数得出，求出，根据，设，则，得出，，根据， 得出，根据勾股定理求出；即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示：    ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， 即； （2）解：∵， ∴，， ∵为直径，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵同理可得：，， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∴，， ∴； ∵，， ∴． 【例题3】（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． (1)求证：与相切；(2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：所对的弧是同弧 ， ， ， 即， 为直径， ， ， ， ， ， 与相切． （2）解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 【巩固练习1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【巩固练习2】（2024·重庆·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 在中，； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 【巩固练习3】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．    (1)求证：是的切线；(2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是直径，是弦，且， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【巩固练习4】（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E． (1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理得出，证明，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，解直角三角形得出，证明，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习5】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； （）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解； 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的直径为． 【巩固练习6】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，，O为上一点，F是上一点，经过点A，F的交于点E，并且切于点D，连接交于点．    (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由切线的性质判及已知条件得出，根据平行线的性质结合等腰三角形的性质，即可得出；先判断出，再判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论； （2）连接，在中，根据勾股定理可得的长度用和表示，进而得，设圆的半径为，由的值，利用锐角三角函数定义求出的值，由直径所对的圆周角为直角，得到与平行得到，进而求出的长，再根据（1）的结论可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，，，    ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知，， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知， ∴． 【巩固练习7】（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据，可得，问题得证； （2）过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质有，结合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根据，设半径为r，即有，问题得解． 【详解】（1）证明：连接． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线． （2）过点C作于点H， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， 设半径为r，∴， ∴． 【题型4】 圆中截长补短构造手拉手模型 【例题1】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【例题2】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【巩固练习1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅助线为解题的关键． 作辅助线如图，先证明，，从而可以得到旋转后的图形，再证明是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴绕点逆时针旋转，则三点共线，如图所示 ∴， ∵由旋转可知， ∴， ∴在等腰直角三角形中，， ∴． 【巩固练习2】如图，在⊙O中AB=AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC， ∠BAC=120° （1）若AC=4，求⊙O的半径;（2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。 【解析】方法一:如图1,截取DF=DB,作AG⊥DC，易知△黄≌△蓝→CG=FG, ∴DC+DB=2DG=AG=AD 方法二:如图2，作AG⊥DG,AH⊥DB,易知△黄≌△蓝(HL)→GC=BH ∴DC+ DB=2DG=AG=AD 方法三:如图3,DC至点G，使AG=AD,易证△黄≌△蓝(SAS)→GC=BD ∴DC+ DB=DG =AD 【巩固练习3】在的内接四边形中，AB=6,AD=10，∠BAD=60°，点为弧的中点，则的长是　　． 【解答】 解法一、、、、四点共圆，， ， ，平分， ， 如图，将绕点逆时针旋转得， 则，，， ， 、、三点共线， 过作于， ， ， 在中，； 解法二、如图，过作于，于， 则， 点为弧的中点， ， ，， ，， ， 、、、四点共圆， ， 在和中 ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ，， ， ， 解得：， 即， ，故答案为． 【巩固练习4】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 【答案】初步感知：45；深入探究：证明见解析；启发应用： 【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得； 深入探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证； 启发应用：延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得． 【详解】解：初步感知：∵点，，均在上，， ∴， 故答案为：45． 深入探究：延长至点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由圆周角定理得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 启发应用：如图，延长至点，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5】 圆与相似 【例题1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线；(2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证； （2）由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； （2）解：如（1）图，， 又，， ， ， 的半径为6，， ， ，即， 又点为线段的中点， ， ， ， ． 【例题2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，易得，圆周角定理得到，进而得到，证明，推出，进而得到，即可得证； （2）等角的三角函数相等，得到，证明，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵， ∴， 由（1）知：， ∴， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即：， 解得：（舍去）或， ∴ 【例题3】（2024·重庆·中考真题）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ． 【答案】 8 【分析】连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，根据四边形为平行四边形，得出，，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，求出；证明，得出，求出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出． 【详解】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示： ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 【巩固练习1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，交于， 是的直径， ，， 平分， ， 又∵， ∴， ， ， ，， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【巩固练习2】（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【巩固练习3】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 【答案】(1)见详解； (2)，． 【分析】（1）先证明，然后利用对应边成比例，即可证明； （2）利用，知道，从而推出，结合，知道，推出，接下来证明，那么有，即，不妨设，代入求得的长度，不妨设，在和中利用勾股定理求得和的长度，最后利用，求得的长度，然后再利用勾股定理求得的长度． 【详解】（1）是的直径 又 （2）由（1）可知， 不妨设，那么 ， 不妨设，那么 在中，，， 在中，， 的直径是． 【巩固练习4】（2024·四川泸州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F． (1)求证：； (2)过点C作于点G，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质推出，则，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，，据此即可证明； （2）由勾股定理得，利用等面积法求出，则，同理可得，则，进而得到；如图所示，过点C作于H，则，证明，求出，则；设，则，证明，推出，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 如图所示，过点C作于H，则， 由（1）可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去），∴． 【巩固练习5】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论； （2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得． 【详解】（1）证明：延长交于点F，连接， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的角平分线， ∵， ∴，且平分线段， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， 设， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 【巩固练习6】（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线得到，根据平行线的性质得，即可证明； （2）连接，先解，求得，，则，，可证明，由，得，故，证明，即可得到． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径 ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴在中，， 由勾股定理得： ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型6】 圆中的动点问题 【例题1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 【例题2】 【例题3】（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 【答案】（1）   （2）证明见解析  （3）   （4） 【分析】（1）根据直径性质得到，,根据，，运用勾股定理可得； （2）根据．，得到．得到，结合， 得到，得到，得到四边形是平行四边形； （3）连接．根据，得到，，根据切线性质得到，．得到，．得到，得到，运用勾股定理得； （4）过点A作射线，使，连接．得到，，根据．，可得，根据，得到，得，得到．根据，得到，即得． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴, ∵，， ∴ 故答案为：； （2）证明：∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，连接． ∵在中，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 又∵， ∴ ∴． ∴， 在中，， ∴在中，； （4）解：如图，过点A作，使，连接． 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【巩固练习1】（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①与相切，理由见解析；②的取值范围为． 【分析】（1）由的平分线交于点，，可得，结合是上两定点，可得结论； （2）①如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论； ②分情况讨论：如图，当时，可得；如图，连接，当，可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，， ∴， ∴， ∵是上两定点， ∴点为的中点，是一定点； （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； ②如图，当时， ∴为直径，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； 如图，连接，当， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当为锐角三角形，的取值范围为． 【巩固练习2】（2024·云南昆明·一模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为． (1)求证：是的切线； (2)当时，求证：； (3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是定值，为200 【分析】（1）连接，由直径所对圆周角是直角可得，则，由，可知，根据，可得，进而可证得，即可证明结论； （2）由圆周角定理可知，进而可得，，再证明，结合含的直角三角形即可求解； （3）证明，得到即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴， 则， 又∵， ∴， ∴； （3）是定值，为200，理由如下： ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，为200． 【巩固练习3】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【巩固练习4】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，． 【初步认识】 （1）①求证：； ②若，求的值． 【特值探究】 （2）若，，，求长； 【逆向思考】 （3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由． 【答案】（1）①详见解析；②；（2）10；（3）是等腰直角三角形，详见解析 【分析】（1）①证明，，从而证明即可； ②运用相似三角形面积比等于相似比的平方，即为相似比，从而得解； （2）先利用，求出，再用勾股定理求，利用相似三角形的性质可求出，再利用得解； （3）同（2）法求出，再利用，得到，再根据x、y的任意性，即与x、y无关，得到，从而得到，继而证明，由此得解． 【详解】（1）①证明：为的直径， ， 于点F， ， ②， 中， （2）中，，，， ∴，， 由（1）可知：，， ，即， （3）是等腰直角三角形．理由如下： 中，， 由（1）可知：， ，即 ， ， ， 由题意知，上式对于任意x、y上式恒成立， 且， ， 锐角 中，， 为的直径， ， 是等腰直角三角形． 【题型7】 圆中的探究性问题 【例题1】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【答案】操作发现：与相切；实践探究：；问题解决：见解析 【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论； 实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解； 问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：， 得到，根据，易证，得到，即可证明结论． 【详解】操作发现： 解：连接并延长交于点M，连接， 是直径， ， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 是的半径， 与相切； 实践探究： 解： 由旋转的性质得：， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； 问题解决： 证明：过点E作交于点N， 由旋转的性质知：， ， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ， ． 【巩固练习1】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____； 【深入探究】 如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程． 【启发应用】 如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______． 【答案】初步感知：45；深入探究：证明见解析；启发应用： 【分析】初步感知：根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得； 深入探究：先根据圆周角定理可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证； 启发应用：延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，设，则，利用勾股定理可得，根据线段和差可得，由此即可得． 【详解】解：初步感知：∵点，，均在上，， ∴， 故答案为：45． 深入探究：延长至点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由圆周角定理得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴． 启发应用：如图，延长至点，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【巩固练习2】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【巩固练习3】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，． 【初步认识】 （1）①求证：； ②若，求的值． 【特值探究】 （2）若，，，求长； 【逆向思考】 （3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由． 【答案】（1）①详见解析；②；（2）10；（3）是等腰直角三角形，详见解析 【分析】（1）①证明，，从而证明即可； ②运用相似三角形面积比等于相似比的平方，即为相似比，从而得解； （2）先利用，求出，再用勾股定理求，利用相似三角形的性质可求出，再利用得解； （3）同（2）法求出，再利用，得到，再根据x、y的任意性，即与x、y无关，得到，从而得到，继而证明，由此得解． 【详解】（1）①证明：为的直径， ， 于点F， ， ②， 中， （2）中，，，， ∴，， 由（1）可知：，， ，即， （3）是等腰直角三角形．理由如下： 中，， 由（1）可知：， ，即 ， ， ， 由题意知，上式对于任意x、y上式恒成立， 且， ， 锐角 中，， 为的直径， ， 是等腰直角三角形． 【巩固练习4】（2024·山东滨州·模拟预测）【问题探究】 如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积； 【问题解决】 如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由． 【答案】【问题探究】；【问题解决】，当时，有最大值，． 【分析】问题探究：由旋转的性质可得，得到，，，由圆内接四边形的性质得，即得，即得点、点、点三点共线，又由圆周角定理得，即可得，得到为等腰直角三角形，最后根据即可求解； 问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到，同理可得点，点，点三点共线，又由，，可得是等边三角形，进而根据 可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：问题探究：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点、点、点三点共线，   ∵是直径， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点，点，点三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 当时，有最大值，． 【题型8】 圆的综合性问题 【例题1】（2024·贵州·中考真题）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． (1)写出图中一个与相等的角：______； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）利用等边对等角可得出，即可求解； （2）连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证； （3）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：连接， ， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 【例题2】（2024·四川广安·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，点D为的中点，过点的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N，且．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线． （1）连接交于点，根据垂径定理的推论可得半径，利用平行线的判定定理可得，得出半径，再运用切线的判定定理即可证得结论； （2）连接，可证得，得出，再由，即可证得结论； （3）连接交于点，连接，利用解直角三角形可得，利用勾股定理可得，再证明四边形是矩形，得出，由垂径定理可得，再根据勾股定理求得，运用相似三角形的性质和判定即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接交于点，如图，    ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又是的半径， ∴是的切线； （2）证明：连接，如图，   为的直径， ， ∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接交于点，连接，如图，    由（1）（2）得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， 即， ． 【例题3】（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②． 【分析】（）连接，则，可得，由可得，进而由等腰三角形的性质可得，得到，即可求证； （）①证明得到，据此即可求解；②由①可得，进而得，，利用勾股定理得，再证明，得到，即可得，求出即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：①∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的半径为． 【例题3】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接． ①求证：是的切线； ②若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②的半径为． 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论； （2）①证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解，，结合，可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：①∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【巩固练习1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论； （2）证明，，结合，，再进一步可得结论； （3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案； 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，且OD是的半径， ∴DF是的切线； （2）证明：∵点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴，经检验，符合题意 【巩固练习2】（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可； （2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可； （3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设， 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得，（舍去）， 故． 【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：；(2)求证：；(3)若，．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证； （2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到， ∴， ∵为的直径，是切线， ∴， ∴； （2）解：∵是切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （3）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【巩固练习4】（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：与相切； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可； （2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论； （3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴过圆心， ∵， ∴， 而为半径， ∴为的切线； （3）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设半径为， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【巩固练习5】（2024·广东中山·模拟预测）如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，． (1)求的半径r的长度； (2)求 (3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值 【答案】(1)5 (2) (3)16 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）只要证明，求出即可； （3）由，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，连接， ， ， 在中， ，， ∴ ， ． （2）解：如图1中，连接． ，是直径， ， ， ， ， ． （3）解：如图2中，连接． 是直径， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ． 【巩固练习6】（2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，， (1)求证：是的切线； (2)若点P是上的一点，连接． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据，证明，再根据圆周角定理得出，即可证明，即可证明； （2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到； ②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解． 本题考查圆的综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ． ， ， ， ， 为的直径， ， ， 是的切线； （2）解：①如图，连接， 是的中点， ， ， 为的直径， ， ， ， ． ， 设的半径为，则， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， ， ， ． ②如图，过点作交于点， ， ，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 【巩固练习7】（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)30 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； （2）解：， 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【题型9】 圆中的定值问题 【例题1】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知是的弦，点、是上的两个点，交于点，连结，． (1)求证：点是的中点． (2)若，求的值． (3)若，则的值是否为定值？如果是，请求出其值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的外角的性质以及已知条件，得出，即可得证； （2）过点作交的延长线于点，得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出，进而证明，即可求解； （3）连接，，C交于，过点作交的延长线于点，根据已知得出，证明得出，由（2）可得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， 又， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， （3）解：结论：，的值不变． 理由：如图，连接，，C交于，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴,，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴． 【例题2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 【答案】(1) (2)7 (3)①；②的值是定值96． 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）延长到点F使，首先证明出是等边三角形，求出，然后证明出，即可得到； （3）①首先由（2）可得，，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为；当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可； ②延长到点F使，过点A作，由（2）得，是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，进一步得到，然后结合，代入得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴ ∵四边形内接于 ∴； （2）如图所示，延长到点F使， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴ ∴； （3）①由（2）可得， ∵点P在劣弧上运动 ∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度 ∵是等边三角形 ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为； 当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示， ∴此时是的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，负值舍去 ∴的最大值为8 ∴的最大值为8； ∴的值的取值范围是； ②如图所示，延长到点F使，过点A作 由（2）得，是等边三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ． ∴的值是定值96． 【巩固练习1】（浙江杭州·二模）如图，，是的两条直径，AB⊥CD，点E是上一动点（点E不与B，D重合），，分别交，G，连接．设的半径为r，． ​ (1) （用含α的代数式表示）； (2)当时，求证：； (3)判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)是定值， 【分析】（1）由题意得出，再由三角形的内角和即可解答； （2）连接，由（1）可得，，再说明，由，可得； （3）是定值，，由，得出即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ∴， ， ∴， , 故答案为：． （2）解：证明：连接OE， ∵． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：是定值，， 由题意知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 【巩固练习2】（2024·广东珠海·模拟预测）如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于两点，交轴于两点，点为劣弧上一个动点，且． (1)如图1，连结，取中点，连结，则的最大值为________； (2)如图2，连接．若平分交于点，求的长； (3)如图3，连接，当点运动时（不与两点重合），求证：为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)2 (2) (3)见解析， 【分析】（1）由于直径，根据垂径定理可以得到是的中点，要求最大值即求最大值，当为直径时，有最大值，即可得到答案； （2）根据垂径定理得到，证明，由（1）得，即可得到答案； （3）将绕A点顺时针旋转至，得到，证明，过A作于G，则，根据勾股定理证明． 【详解】（1）解：由题可知，为直径，且， 由垂径定理可得，， 连接， 是的中点， ， 当三点共线时，此时取得最大值， 且， 的最大值为； 故答案为：2． （2）解：连接， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ；     （3）证明：由题可得，直径， 垂直平分， 如图4，连接，，则， 由（1）得， 将绕A点顺时针旋转至， ， ，， 四边形为圆内接四边形， ， ， 、D、P三点共线， ， 过A作于G，则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， 为定值． 【巩固练习3】已知内接于． (1)如图1，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，试探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，试证明：； (3)如图3，作的角平分线交圆于点，若点为劣弧上一动点，连接，过点作于点，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)的值是定值，定值为2． 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，即可证明； （2）过点C作直径，连接，利用等角的余角相等求得，推出，再根据垂径定理证明是的中位线，据此即可证明； （3）在上截取，证明，推出，由等腰三角形的性质求得，推出，据此即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点C作直径，连接，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； （3）解：的值是定值，定值为2， 在上截取，连接，，，，    ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习4】（2024·广东佛山·二模）综合运用 如图，直线与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为，点P是线段上一点且点P与点O不重合．过A、O、P三点的圆与直线交于点D．连接交圆于点E． (1)求的度数； (2)当和相似时，求点P的坐标； (3)设点P的横坐标为m，的值是定值吗？若是，求出该定值；若不是，用含m的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）先求解，，再利用锐角三角函数求解，即可； （2）分两种情况讨论：①如图，当时，连接，②如图，当时，则，再进一步结合相似三角形的性质与圆周角定理可得答案； （3）连接，依题意得，，可得则，，，表示，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴， ． ， ， ， ， ； （2）①如图，当时，连接， ∴， ． ， 为直径， ， ， ， 设，则， ， ，且 ， ， 等腰中，， ， 点坐标为 ②如图，当时，则， ． 由（1）可得： 又， 点与点重合．不符合题意，舍去． 综上所述，点坐标为． （3）的值不变， 理由如下：连接，依题意得，， ， 则， ， ， ， 又， ， ． 1 / 116 学科网（北京）股份有限公司 $$