精品解析：广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末考试 盐田高级中学高一数学试题卷 命题人：李会玲 审题人：俞兴保 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得到，，利用交集概念求出答案. 详解】， 由，解得，故， 故. 故选：B 2. 对于实数a，b，c，下列命题正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值可判断AB错误，分别讨论的符号利用不等式性质可得C正确，作差法计算可得D错误. 【详解】对于A，当时，可知不成立，即A错误， 对于B，不妨取，此时满足，但不成立，即B错误； 对于C，当时，此时， 易知，所以，即 当，时，显然成立； 当，时，可得，易知，即， 当其中一个为0时，显然成立，综上可得C正确； 对于D，易知， 易知，所以，可得， 即D错误. 故选：C 3. 下列函数，在其定义域内既满足又满足是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，符合条件的函数是奇函数且在定义域上单调递增，逐项判断可得结论. 【详解】由题意，符合条件的函数是奇函数且在定义域上单调递增， 对于A：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以不是奇函数，故A错误； 对于B：函数的定义域为，定义域不关于原点对称，不是奇函数，故B错误； 对于C：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数， 但函数在上不是单调函数，故C错误； 对于D：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数， 又在上单调递增，故D正确. 故选：D. 4. 已知，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数值的范围结合指数函数和对数函数的单调性可得三者大小关系. 【详解】因为，故，故， 而，， 故， 故选：A 5. 下列结论中错误的是（ ） A. 终边经过点的角的集合是； B. 扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为； C. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是； D. 若是第三象限角，则是第二象限角． 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧度制的定义、任意角的概念及扇形弧长与面积的公式可判断各选项. 【详解】A选项：终边经过点的角的集合是，A选项正确； B选项：设扇形的半径为，弧长为，由圆心角为弧度，则， 所以周长为，解得，， 所以面积，B选项正确； C选项：将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是，C选项正确； D选项：当是第三象限角时，，， 则，，即是第二或第四象限角，D选项错误； 故选：D. 6. 已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，则，再利用基本不等式即可求解. 【详解】∵正实数满足， ∴， 则 . 当且仅当，且，即时取等号， 故选：B． 7. 若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的单调性可得，求出函数的定义域，结合函数的性质和图象的平移变换即可求解. 【详解】因为函数且在上为减函数， 所以， 函数的定义域为，故排除，； 且函数为偶函数， 当时，， 的图象由的图象向右平移一个单位得到， 且在定义域范围内是减函数， 故正确. 故选：. 8. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在实数，使的定义域为 B. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 C. 对任意正实数的值域为 D. 函数一定有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域为得对恒成立，利用判别式法求解判断A，根据函数值域为求出，判断CD，结合对数函数的单调性和复合函数单调性的法则得，在区间上单调递增且在区间上恒成立，列不等式组求解判断B. 【详解】对于A，函数的定义域为时，对恒成立． 所以，无解，错误； 对于C，要使的值域为， 所以函数的值域满足， 所以，解得， 故对任意正实数的值域为，正确． 对于D，由C可知时，的值域为，不存在最小值，错误． 对于B，因为是增函数，函数在区间上单调递增， 则在区间上单调递增且在上恒成立， 所以，解得，错误． 故选：C 【点睛】方法点睛： 对于对数函数定义域和值域问题，常转化为二次函数的相关问题，利用判别式来判断不等式恒成立或值域包含关系. 研究复合函数单调性时，根据内外层函数的单调性规律，结合函数定义域等条件进行分析. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分值． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 是的必要不充分条件 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数且的图象恒过定点． 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A根据命题的否定形式即可得；对于B由充分条件和必要条件的定义即可判断；对C根据复合函数的单调性即可判断；对于D根据指数函数图象性质可判断. 【详解】对于A: 的否定是，故A正确； 对于B:因为不能推，，所以是的必要不充分条件；故B正确； 对于C:令，解得或,在单调递增，易知当时，为减函数， 根据复合函数的单调性有函数的单调递减区间为，故C错误； 对于D: 函数且的定点为令，则，所以定点为，故D正确. 故选：ABD. 10. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，扇形的半径，则 C. 若扇面为“美观扇面”，则 D. 若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得的值，利用公式计算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得的值，利用公式计算即可. 【详解】对于A,所在的扇形的圆心角分别为, 所以，故A正确； 对于B，若，则，又， 则，故B错误； 对于C，若， 所以，故C正确； 对于D,若，，又， 所以， 故D正确， 故选：ACD. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. C. 当时， D. 函数在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义分析AB选项；根据高斯函数的定义代入化简的解析式，可判断C选项；根据的值判断D选项. 【详解】，，使得，则， 因为，所以，所以，即的值域为； 又因为，所以，所以， 故A正确，B错误； C：当时，，所以，故C正确； D：因为，，所以， 显然不可能在上单调递减，故D错误； 故选：AC. 【点睛】思路点睛：本题是以高斯函数为背景，考查属于函数新定义内容，一方面可以从函数定义角度分析的函数性质，还可以从函数图象的角度来分析. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用换底公式、对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得. 【详解】 ． 故答案为：1． 13. 已知，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得可得，，再根据，计算求得结果． 【详解】由，，可得，， ． . 故答案为：. 14. 设函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，利用换元法，结合二次函数的知识来求得正确答案. 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程化为，则或 若关于的函数恰好有五个零点， 则方程和，分别有2和3个根，结合图象可知，有两个根， 则此时 . 故答案为：． 【点睛】方法点睛： 对于复杂函数的零点问题，通过换元法将其转化为二次函数问题是一种常用方法.同时，结合函数图象来分析根的分布情况，能更直观地解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，已知集合，集合， （1）求和； （2）若且，求实数的取值范围． 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）解分式与二次不等式化简集合，从而利用集合的交并补运算即可得解； （2）根据题意得到，再利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式组，解之即可得解. 小问1详解】 由，得，则， 解，得，则， 所以，， 则或． 【小问2详解】 因为，所以， 而，， 当时，则，解得，满足题意； 当时，则，且，解得，则； 综上，实数的取值范围为． 16. 已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且， （1）求及的值； （2）求的值． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的定义可求的值，再根据定义可求； （2）利用诱导公式和弦切互化法可求三角函数式的值. 【小问1详解】 因为点角的终边上，且， 根据三角函数定义，则， 解得或（舍）， 所以． 【小问2详解】 . 17. 已知幂函数是定义在R上的偶函数． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值． 【答案】（1） （2）当时，函数的最大值为7 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出的值，得函数解析式； （2）求出函数的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值. 【小问1详解】 根据题意可得，即， 所以，解得，又函数是定义在上的偶函数， 所以，即函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）可知 因，所以，当时，，函数的最大值为7． 18. 已知函数． （1）若在区间上单调递减，求的取值范围． （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析． 【解析】 【分析】（1）讨论当和时，函数在上单调递减的情况即可得出结论； （2）解，即解不等式，分类讨论当和的情况，在的情况下，再讨论，，，以及时的解集，从而得出结论. 【小问1详解】 当时，，满足题意； 当时，由在上单调递减可得，解得． 综上，． 【小问2详解】 ， 1）当时，由解得； 2）当时，方程的两根为， 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得或； 当时，，解不等式得或； 当时，由得． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 19. 已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． （1）求函数和的解析式； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，且在上的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，结合题目条件得到方程组，求出答案； （2）由题意得到，令，由基本不等式得，分和两种情况，参变分离，得到，变形后，由基本不等式得到，求出； （3），令，由单调性得到，故在上的最小值为，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出. 【小问1详解】 由题，，则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立，解得． 【小问2详解】 因为， 由， 可得，即， 令，其中， 当且仅当，即时等号成立， 所以，故恒成立，其中， 当时，，此时，恒成立， 当时，，， 令， 当且仅当，即时，等号成立， ； 【小问3详解】 ， 令，显然其在上单调递增，故， 由题意得在上的最小值为， 当时，上单调递增， 故当，即时，取得最小值，最小值为， 令，解得，不成立， 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 令，解得或（舍去）， 综上：. 【点睛】分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末考试 盐田高级中学高一数学试题卷 命题人：李会玲 审题人：俞兴保 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列函数，在其定义域内既满足又满足的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则、、的大小关系为（ ） A B. C. D. 5. 下列结论中错误的是（ ） A. 终边经过点的角的集合是； B. 扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为； C. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是； D. 若是第三象限角，则是第二象限角． 6. 已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在实数，使的定义域为 B. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 C. 对任意正实数的值域为 D. 函数一定有最小值 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分值． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 是的必要不充分条件 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数且的图象恒过定点． 10. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，扇形的半径，则 C. 若扇面为“美观扇面”，则 D. 若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. C. 当时， D. 函数在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 13. 已知，，则的值为________. 14. 设函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 设全集，已知集合，集合， （1）求和； （2）若且，求实数的取值范围． 16. 已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且， （1）求及的值； （2）求的值． 17. 已知幂函数是定义在R上的偶函数． （1）求函数解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值． 18. 已知函数． （1）若在区间上单调递减，求的取值范围． （2）求关于的不等式的解集． 19. 已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． （1）求函数和的解析式； （2）若，不等式恒成立，求实数取值范围； （3）若，且在上最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$