精品解析：辽宁省凌源市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度上学期高一年级期末测试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 有一组样本数据：，则关于该组数据数字特征中，数值最大的为（ ） A. 分位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数 5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是函数图象上两个不同的点，则（ ） A B. C. D. 8. 设函数，对有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 先后两次掷一个均匀的骰子，记事件：“两次掷出的点数之和是11”，记事件：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件：“两次掷出的点数相同”，记事件：“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与独立 D. 与对立 10. 设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A. B. C. 是减函数 D 当时， 11. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值：__________. 13. 函数有__________个零点 14. 已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知二次函数，满足. （1）若，求的解析式； （2）若对，求的取值范围. 17. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率； （2）根据频率分布直方图估计中位数； （3）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率. 18. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的值； （2）若对，求的取值范围. 19. 定义：，总有，称为“完美嵌套”于与内，已知. （1）求函数的零点； （2）过点的二次函数“完美嵌套”于与内， （i）求的解析式； （ii）当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期高一年级期末测试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，利用集合交集定义即可求. 【详解】因为， 且， 所以. 故选：A 2. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取，即可判断出选项A，B和C错误，选项D，利用指数函数的性质，即可求解. 【详解】取，显然有，但，，，所以选项A，B和C错误， 对于选项D，因为在定义域上单调递减，又，所以，故选项D正确， 故选：D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】借助函数单调性，分别解两个不等式，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为函数在定义域上单调递增，所以由得， 因为函数在定义域上单调递增，所以由得， 若成立，则不一定成立，充分性不成立， 若成立，则一定成立，必要性成立， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 有一组样本数据：，则关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（ ） A. 分位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算各个数据，再比较大小即可得解. 【详解】在这组样本数据中：， 第分位数：， 平均数是：， 极差是：， 众数是：， 在以上四个数中，显然是极差最大， 故选：C. 5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 6. 已知，若，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性确定函数值的范围，从而比较函数值大小. 【详解】由于， 函数在上为减函数，所以，即； 函数在上为增函数，所以，即； 函数在上减函数，所以，即； 综上可得，. 故选：A. 7. 已知点是函数图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象即可得解. 【详解】如图所示，设，，的中点为， 点在的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即， 故选：B 8. 设函数，对有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到在上单调递增，再利用分段函数单调性，列不等式组，即可求解. 【详解】由题知在上单调递增， 所以，解得， 故选：A. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 先后两次掷一个均匀的骰子，记事件：“两次掷出的点数之和是11”，记事件：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件：“两次掷出的点数相同”，记事件：“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与独立 D. 与对立 【答案】AC 【解析】 【分析】列出事件，利用互斥事件，对立事件和独立事件的定义判断. 【详解】解：因为， ， ， ， 所以，所以与互斥，故选项A正确； ， 所以与不互斥，故选项B错误； ，所以与C不互斥，故选项D错误； ，所以， 所以与独立，故选项C正确； 故选：AC 10. 设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A. B. C. 是减函数 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断B，结合单调性结合特例判断C，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 令可得，解得，故A正确； 令可得，解得， 因为函数的定义域为， 令可得，所以， 因此，函数为奇函数，故B正确； 是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故C错误； 由C可知是上的增函数，当时，，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用整体代换结合基本不等式即可判断A；利用基本不等式即可判断BC；利用基本不等式结合指数幂的运算性质即可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当，即， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值：__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数幂和对数运算性质可得结果. 【详解】. 故答案为：1. 13. 函数有__________个零点 【答案】2 【解析】 【分析】令等价于求函数与交点个数即可. 【详解】令，等价于与交点个数， 在同一坐标中作出与的图像： 所以与交点有2个. 故答案为：2. 14. 已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明函数的奇偶性和单调性，即可求解不等式. 【详解】设幂函数经过点得，，所以， 即，故， 因为，且定义域为， 所以是奇函数， 又由于是上的增函数，是上的减函数，是上的增函数， 所以是上的增函数， 再由，得， 所以，解得：， 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，根据集合的基本运算可得结果. （2）根据可得，根据是的充分不必要条件可得⫋，利用集合间的关系可求参数的范围. 【小问1详解】 ∵等价于，∴. 当时，， ∴. 【小问2详解】 由（1）得，. 由得或. ∵，∴， ∴. ∵是的充分不必要条件，∴⫋， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 16. 已知二次函数，满足. （1）若，求的解析式； （2）若对，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，解出，结合，即可求出； （2）将问题转化为恒成立问题，借助二次函数性质即可求. 【小问1详解】 因为，且 所以， 整理得， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以，故， 所以. 【小问2详解】 由于， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令， 其图象的对称轴为，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取到最大值， 所以， 所以的取值范围为. 17. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率； （2）根据频率分布直方图估计中位数； （3）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可知样本中分数高于60的频率为. （2）根据上的频率可求中位数. （3）利用列举法结合古典概型的概率公式可求概率. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为 ， 所以样本中分数高于的概率为． 故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于的概率估计为． 【小问2详解】 由频率分布直方图可得：上频率为， 而上的频率为，故此两组的频率和为， 设中位数为，则且， 故即中位数为. 【小问3详解】 设3名男生分别为，2名女生分别为，则从这5名同学中选取2人的结果为： 共10种情况. 其中2人中男女同学各1人包含结果为： ，共6种. 设事件抽取的2人中男女同学各1人，则 所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是. 18. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的值； （2）若对，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再根据对数的运算性质即可得解； （2）由题意可得，故只需即可，利用函数的单调性求出即可得解. 【小问1详解】 ， 因为函数为奇函数， 所以， 即，即， 所以，所以， 所以，解得； 此时，定义域为，满足题意， 故. 【小问2详解】 ， 由，得， 所以， 则， 故只需即可， 令，则， 则， 令， 令， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19. 定义：，总有，称为“完美嵌套”于与内，已知. （1）求函数的零点； （2）过点的二次函数“完美嵌套”于与内， （i）求的解析式； （ii）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）； （ii） 【解析】 【分析】（1）先利用已知求得，解方程可得； （2）（i）令得，又，解得，结合恒成立求出，再验证即可得解； （ii）分离参数，转化为求解函数的最小值问题，换元后利用基本不等式及不等式性质求得函数最小值，即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，则，解得， 所以函数的零点是； 【小问2详解】 （i）由题意恒成立，令得， 所以，由题意，所以两式联立得， 对于恒成立，即恒成立， 所以，即，所以，解得， 所以，所以； 此时对于恒成立，即恒成立， 即恒成立，显然符合题意，所以， 所以； （ii）当时，恒成立，即恒成立， 又，所以恒成立， 所以，记，令， 则， 因为，所以，所以， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $