精品解析：黑龙江省大庆实验中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

大庆实验中学2024—2025学年度上学期高一年级期末考试 数学试题 第I卷（选择题，共150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在区间上的图象是连续不断地，设，在区间中至少存在一个零点，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知函数，则下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在区间上的最小值为，则所有满足条件的的积属于区间（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 终边在直线上角的集合是 B. 若角的终边落在第二象限，则角是钝角 C. 若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D. 周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是3 C. 最小值是 D. 的最大值是 11. 已知函数，是的一条对称轴，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 当时，的值域为，则的取值范围为 D. 设，在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围是 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有4个零点 B. 对于实数，不等式恒成立 C. 关于的方程有个不同的解 D. 当时，若关于的方程恰有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是 第II卷（非选择题，共90分） 三、填空题：本题共4小题，每空5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 若，且，则______． 14. 已知，且，则________． 15. 函数，若函数最小值是4．则______． 16. 已知角，满足，则的最大值是________． 四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分．把答案填在答题卡的相应位置． 17 已知全集，集合，． （1）当时，求与； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知 （1）求的值； （2）若，求的值： 19. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 20. 函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． （1）求并证明函数奇函数； （2）证明：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 21. 已知函数，若的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）若函数在上有三个不同零点，，，且，求实数取值范围． 22. 设实系数一元二次方程①，有两根，，则方程可变形为，展开得②，比较①②可以得到这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理．事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理．设方程有三个根，，，则有③ （1）证明公式③，即一元三次方程的韦达定理； （2）已知函数恰有两个零点． （i）求证：函数的一个零点大于0，另一个零点大于且小于0； （ii）若，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2024—2025学年度上学期高一年级期末考试 数学试题 第I卷（选择题，共150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合,再根据交集定义求解． 【详解】，又， 所以， 故选：B． 2. 已知函数在区间上的图象是连续不断地，设，在区间中至少存在一个零点，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，由，得函数在中至少存在一个零点，即， 函数的零点为，而，即推不出， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知，是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先判断符号，后由二倍角正切公式可得答案. 【详解】因是第三象限角，则. 即在二象限或四象限，. 又，是第三象限角，则. 则 . 故选：C. 4. 已知函数，则下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析可得，故可得图象的对称中心，故可得正确的选项. 【详解】因为， 故图象的对称中心为， 所以将的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后图像关于原点对称， 故为奇函数， 故选：B. 5. 已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式，把函数化为正弦型函数，利用周期计算公式，和偶函数性质求得. 【详解】因为函数， 函数的最小正周期是且，则，解得， 所以 将的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 若为偶函数，则，， 解得，，可知当时，正实数取得最小值. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式，计算即可求得结果. 【详解】∵， ∴. 故选：D 7. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性，结合“媒介”数比较大小即可求解. 【详解】∵函数在上单调递增，且， ，即. ∵函数在上单调递增，且， ，即. 综上，. 故选：D. 8. 已知函数，在区间上的最小值为，则所有满足条件的的积属于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，按函数能否取到分类讨论求出的值或范围即可得解. 【详解】由，得，由的最小值为，得，即， 当时，的最小值，则，此时，符合题意，因此； 若的最小值大于，则，且，解得， 余弦函数在上单调递减，因此存在唯一，使得， 因此或，所以所有满足条件的的积属于区间. 故选：B 【点睛】关键点点睛：按函数最小值能否取到进行分类是求解问题的关键. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 终边在直线上角的集合是 B. 若角的终边落在第二象限，则角是钝角 C. 若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D. 周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】写出终边落在直线上角的集合，即可判断A；写出终边落在第二象限角的集合，举出反例即可判断B；写出终边落在第一象限角的集合，再求出即可判断C；根据已知条件结合基本不等式等号成立的条件即可判断D. 【详解】对于A，终边落在直线上角的集合是， 终边落在直线上角的集合是， 所以终边在直线上角的集合是，A正确； 对于B，终边落在第二象限的角的集合为， 所以角不一定为钝角，例如，所以B错误； 对于C，因为角是第一象限的角，所以， 由此可得：， 当时，，位于第一象限； 当时，，位于第二象限； 当时，，位于第三象限； 所以为第一、二、三象限的角，C正确； 对于D，设扇形的半径为，弧长为，由题意可知：， 扇形面积为，、均大于零，则， 即，整理有， 当且仅当时，扇形面积取最大值， 此时，解得，所以D正确. 故选：ACD 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是3 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解判断A，将1换成，进而利用基本不等式求解判断B，由完全平方和公式化简结合A选项判断C，由立方和公式化简结合A选项判断D. 【详解】对于A，因为正实数，满足，所以，因为， 所以的最大值是，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，即的最小值是3，故B正确； 对于C，由得，所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值是，故C正确； 对于D，由得，则 ， 当且仅当时等号成立， 即的最小值是，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，是的一条对称轴，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 当时，的值域为，则的取值范围为 D. 设，在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求出，进而求出，再逐项分析判断即可. 【详解】函数，是的一条对称轴，则 ，整理得，解得，A选项正确； 因此， 对于B，当时，，而正弦函数在上递增， 因此在区间上单调递增，B错误； 对于C，当时，的值域为，则当时， ，因此，解得， C正确. 对于D，，在区间上恰有两个零点 ，所以，即得， 当时，，在上单调递减， 则，即得，综上则的取值范围是，D错误； 故选：AC. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有4个零点 B. 对于实数，不等式恒成立 C. 关于的方程有个不同的解 D. 当时，若关于的方程恰有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出的图象，根据图象再逐项计算可得正确的选项. 【详解】当时，，当时，， 结合可得的图像如图所示： 对于A，考虑函数的图像与直线的交点个数， 如下图所示，直线过，结合图像可得两图像交点个数为5个，故A错误； 对于B，结合函数的图象可得在上， 的图象在图象上或在下方，故即恒成立， 故B正确； 对于C，当时，，故时，， 而为奇函数，故时，， 故在上无解， 当，则， 且此时在上为减函数，在上为增函数， 而，结合图像可得： 当时，在均有两个不同解， 在上，仅有一个解， 而当时，，故此时无解 综上，共有个不同的解，故C正确； 对于D，即为或， 结合图像可得仅有一个解， 故有6个不同的解，且与2相异， 结合图像可得，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：分段函数零点问题，应该根据函数的图像来处理，而对于具有性质的函数，注意利用平移和伸缩来处理对应的图像. 第II卷（非选择题，共90分） 三、填空题：本题共4小题，每空5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 若，且，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 由于，故， 故答案为：6 14. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数关系可得，据此可得答案. 【详解】， 则，又，则， 则或（舍去）. 故答案为：. 15. 函数，若函数的最小值是4．则______． 【答案】5或 【解析】 【分析】分类讨论a的取值范围，去掉绝对值符号，确定函数的最小值，解方程求得a的值. 【详解】当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为，解得； 当时， ， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为，解得； 综上，5或. 故答案为：5或. 16. 已知角，满足，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式，把两个变量分离开来，即可求最值. 【详解】由，展开得：， 移项整理得：， 由辅助角公式得： 整理得：， 当时，等式不成立，所以上式可变形为：， 所以有：，平方去分母整理可得：， 解得：，又，则， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分．把答案填在答题卡的相应位置． 17. 已知全集，集合，． （1）当时，求与； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合B后，利用集合的交集、并集、补集运算即可求解. （2）由条件关系可得集合的包含关系，从而可求参数的取值范围. 【小问1详解】 ，代入集合可得， 又因为， 所以，； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以的取值范围是. 18. 已知 （1）求的值； （2）若，求的值： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合诱导公式化简条件可得，结合二倍角余弦公式求结论. （2）由（1）结合同角关系求正切，利用齐次化方法求结论. 【小问1详解】 因为，，， ，， 所以可化为， 所以，又 所以， 故； 小问2详解】 因为，， 所以， 所以， 所以. 19. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象易得和周期，结合可得结果； （2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的值域. 【小问1详解】 观察图象可得，函数的周期，解得， 即，由，且在增区间内， 得，即，，而，则， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，则， 当时，， 则，即， 因此在上的值域为. 20. 函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． （1）求并证明函数为奇函数； （2）证明：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）赋值求得，根据奇函数的定义证明函数为奇函数； （2）由题意可得，根据单调性的定义分析证明； （3）根据题意结合函数性质可得，利用参变分离可得，利用基本不等式分析求解即可. 【小问1详解】 因为， 令，则，得； 令，则，得； ，令， 依题意得，即， 所以是奇函数. 小问2详解】 由得，即， ，，，则，则， 可得， 即，所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 因为，，且函数为奇函数， 则，可知是偶函数， 且， 因为，可得， 因为是偶函数，且，可得， 又因为函数在上单调递增，可得， 因为，则，可知， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 综上所述：， 可得，解得，且， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用函数的奇偶性与单调性得到，从而分类讨论即可得解. 21. 已知函数，若的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）若函数在上有三个不同零点，，，且，求实数取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用降幂升倍公式和二倍角公式，辅助角公式来进行恒等式变形，最后由三角函数的周期性质即可求解； （2）利用三角函数图象，结合一元二次方程根的分布即可求得取值范围. 【小问1详解】 由题意知 ， 因为的最小正周期为，所以，又因为，所以． 即； 【小问2详解】 由（1）知， 由，可得 令，则， 即，， ∵函数在上有三个不同零点，，，且， ∴方程在区间有三个不相等的实数根， 根据正弦函数图象，原方程在区间要在上有三个不等的实根， 则关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上， 或一个实根为1，另一个实根在上， ①当一个根在，另一个根在， ∴，即，解得， 当一个根为0时，即，∴，此时方程为，∴，故不合题意； 当一个根为，即，解得，此时方程为，解得，故不合题意， ②当一个根是1，另一个实根在， 由，得，此时方程为， 解得或，此时这两个根都不属于，故不合题意 综上，实数的取值范围为． 22. 设实系数一元二次方程①，有两根，，则方程可变形为，展开得②，比较①②可以得到这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理．事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理．设方程有三个根，，，则有③ （1）证明公式③，即一元三次方程的韦达定理； （2）已知函数恰有两个零点． （i）求证：函数的一个零点大于0，另一个零点大于且小于0； （ii）若，求的取值范围； 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）将展开，对比两个方程即可得证； （2）（i）由一元三次方程的韦达定理可得两根关系，根据两根符号即可得证； （ii）利用两根表示出，令可得，在令，，，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为方程有三个根，，， 所以方程即为， 变形为， 比较两个方程可得. 【小问2详解】 （i）证明：∵有两个零点， ∴有一个二重根，一个一重根，且 由（1）可得，由可得． 由可得，∴． 联立上两式可得，解得， 又，，∴，综上． （ii）解：由（i）可得，， 令，，令，，则， 整理可得，，其中，当时，等号成立， 所以， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点： （1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点； （2）利用好定义所给的表达式及相关条件； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $