专题1.7 直角三角形的边角关系（常考知识点分类专题）（培优练）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.7 直角三角形的边角关系（常考知识点分类专题）（培优练） 【考点目录】 【考点1】求三角函数值； 【考点2】利用三角函数求边长； 【考点3】特殊角的三角函数值； 【考点4】利用计算器求三角函数值； 【考点5】解直角三角形的相关运算； 【考点6】解非直角三角形； 【考点7】构造直角三角形并求值； 【考点8】利用同角（互余）三角函数求值； 【考点9】解直角三角形的应用—方位角问题； 【考点10】解直角三角形的应用—仰角俯角问题； 【考点11】解直角三角形的应用—度坡比问题； 【考点12】解直角三角形的应用——其他问题； 【考点13】三角函数综合. 1、 单选题 【考点1】求三角函数值； 1．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是与网格线的交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，已知的终边，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 【考点2】利用三角函数求边长； 3．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【考点3】特殊角的三角函数值； 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【考点4】利用计算器求三角函数值； 7．（23-24九年级上·山东烟台·期中）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅直高度上升了，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22九年级上·山东烟台·期末）为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【考点5】解直角三角形的相关运算； 9．（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 10．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点E，F，如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【考点6】解非直角三角形； 11．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 12．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【考点7】构造直角三角形并求值； 13．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 14．（2020·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【考点8】利用同角（互余）三角函数求值； 15．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 16．（2022·福建南平·二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若，则矩形ABCD的周长可表示为（    ） A． B． C． D． 【考点9】解直角三角形的应用—方位角问题； 17．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 18．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【考点10】解直角三角形的应用—仰角俯角问题； 19．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践，如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 20．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉一条幅到地面，这就需要测量学校图书馆的高度．如图，林老师用高的测量仪测得顶端A的仰角为，同学小军在林老师的前面处用高的测量仪测得顶端A的抑角为，则图书馆的高度为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【考点11】解直角三角形的应用—度坡比问题； 21．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图为某大坝的截面示意图，迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，若坡面的长度为米，则迎水坡的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．24米 22．（20-21九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为37°．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为（ ）米．（参考数据：，，） A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2 【考点12】解直角三角形的应用——其他问题； 23．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面的夹角，视线PE与地面的夹角，点为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（参考数据：，，，）（    ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为（   ）．（参考数据：，，） A．189.5 B．147 C．167 D．158 【考点13】三角函数综合. 25．（24-25九年级上·上海·期中）如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 26．（2023·湖北恩施·一模）如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（   ）      A．3 B． C． D． 2、 填空题 【考点1】求三角函数值； 27．（2023·江苏常州·二模）在正方形中，E、F分别是边的中点，交于点G，则 ． 28．（2025·山东青岛·一模）如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是 ． 【考点2】利用三角函数求边长； 29．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 30．（2024·湖南·三模）如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是 ． 【考点3】特殊角的三角函数值； 31．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 32．（2023·河南周口·二模）如图，在矩形中，，，点E是边上一动点．把沿着折叠，当点C的对应点恰好落在矩形的对称轴上时， ． 【考点4】利用计算器求三角函数值； 33．（2019·山东淄博·一模）运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： 则计算器显示的结果是 ． 34．（18-19九年级下·浙江·课后作业）要加工形状如图的零件，根据图示尺寸（单位：mm）计算斜角α的度数为 .（用计算器计算，精确到1″）． 【考点5】解直角三角形的相关运算； 35．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，交点，则 ． 36．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为 ． 【考点6】解非直角三角形； 37．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    38．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【考点7】构造直角三角形并求值； 39．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 40．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【考点8】利用同角（互余）三角函数求值； 41．（2024·浙江宁波·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则 ． 42．（2021·湖南娄底·中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则 ． 【考点9】解直角三角形的应用—方位角问题； 43．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，港口A在观测站O的正东方向，，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船与观测站之间的距离（即的长）为 km． 44．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于 千米结果保留根号 【考点10】解直角三角形的应用—仰角俯角问题； 45．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为，则荷塘的宽为 （结果保留根号）． 46．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．则塔的高度为 ．（取，取） 【考点11】解直角三角形的应用—度坡比问题； 47．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡度，则加固后坝底增加的宽度 ． 48．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 【考点12】解直角三角形的应用——其他问题； 49．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，要将一段坡角为的路面削为坡角为的斜坡，已知原来的坡长为，则自坡顶挖下的铅直高度x约为 m．（参考数据：，，结果精确到） 50．（2024·宁夏·中考真题）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 （结果精确到）（参考数据：） 【考点13】三角函数综合. 51．（2023·山东德州·一模）如图，在中，，将绕点O旋转至的位置，且是的中点，在反比例函数上，则k的值为 ． 52．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点．若，，则的长为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C B B B A A C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C B C B D B B C C A 题号 21 22 23 24 25 26 答案 C C B A D D 1．A 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理、平行线所截线段成比例、斜边中线定理及三角函数，熟练掌握勾股定理逆定理、平行线所截线段成比例、斜边中线定理及三角函数是解题的关键；由题意易得，即是直角三角形，然后可得，则有，进而根据三角函数可进行求解 【详解】解：如图，由题意得：， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴; 故选A． 2．C 【分析】本题考查了三角函数的定义，一次函数的图象和性质等知识．根据一次函数的性质，求出、的坐标，得到、、的长度，根据三角函数的定义即可求出的值,再证明即可得到答案． 【详解】解：根据题意：直线的方程为， 令，则，令，则， ∴点坐标为，点坐标为， 故，； ∴，， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查解直角三角形，根据三角函数定义求值，须先构造直角三角形再解． 过点作于点，在中，已知和的值，根据三角函数可求的长，在中，运用勾股定理可求的长，代入进行求解． 【详解】解：过点作于点， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 5．B 【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 6．B 【分析】根据，可以计算出的值． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 7．B 【分析】本题考查了利用计算器求角度，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 根据计算器的使用方法进行分析即可． 【详解】解：， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为: ． 故选：B． 8．A 【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.25，然后利用计算器求锐角∠A． 【详解】解：sinA＝＝0.25， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为： 故选：A． 【点睛】本题考查了计算器−三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 9．A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．先设，则，根据垂直平分线的性质可得到，然后根据长求出x的值，再利用勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，， ∴设，则， 又∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴． 故选：A． 10．C 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 先求出，再根据同角的余角相等推出，然后利用锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，设，则， 在中，， ∴， 故选：C． 11．C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 12．B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 13．C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 14．B 【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断． 【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c， 过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB； 过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB； ∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB； 当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB， ∴运动过程中，阴影部分的面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 15．D 【分析】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式， 过辅助线如图，证明，得出，即，求出，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过C作交延长线于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选∶D． 16．B 【分析】构造直角三角形，运用三角函数的定义求得线段BC和CD的表达式，进而求得矩形的周长． 【详解】解：如图，过D作DF⊥CE于点F，过B作BG⊥CE于点G， ∵，，DF=2， ∴， ∵矩形ABCD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴矩形ABCD的周长为 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，构造直角三角形，运用三角函数的定义求相应线段的表达式是解题关键． 17．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 18．C 【分析】本题考查了方位角解直角三角形，矩形的性质，勾股定理的运用，掌握方位角解直角三角形的计算，图形结合分析思想是解题的关键．根据题意，可确定点在线段垂直平分线的交点处，如图所示，可得，作，与交于点，可得四边形是矩形，根据，运用特殊角的三角函数可得的值，在直角中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，点到三艘军舰的距离相等，即点在线段垂直平分线的交点处，作图如下，    ∴，，垂足分别为点，作，过点作于点，与交于点，连接， 由题意得海里，海里，四边形是矩形， ∴海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴海里，且， ∴在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， 故选：C ． 19．C 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，    由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵博雅楼顶部E的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∵点A是的中点， ∴， 由题意可得四边形是矩形， ∴， ∵尚美楼顶部F的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴解得， ∴． 故选：C． 20．A 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形实际应用．根据题意可得，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数定义求出的长，继而列出方程，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴图书馆的高度为， 故选：A． 21．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 作，作，根据题意可知，进而得出 ，，然后根据勾股定理求出，即可得出，，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】如图所示，过点B作，过点C作，交于点E，F， 根据题意可知，， ∴，． 在中，， 根据勾股定理，得， 解得． ∴， 则． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 故选：C． 22．C 【分析】如图，由题意得： 由 求解 再在中，可得 设 则 由勾股定理可得 从而有 再解方程可得答案． 【详解】解：如图，由题意得： 在中， 在中， 设 则 经检验：符合题意， 故选： 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握构建直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题是解题的关键． 23．B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，首先证明四边形是矩形，利用的正弦值可求出的长，即可得的长，利用的正切值即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中,， ∴， ∴， 在中,， ， ， 故选: B． 24．A 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，分别解，，求出的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的高度为， ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 故选：A． 25．D 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，锐角三角函数．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理，锐角三角函数的定义是解题关键．根据题意易证，得出，即，从而可证，即得出． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选D． 26．D 【分析】连接，交于点G，，根据对称的性质，可得垂直平分，，，根据E为中点，可证，通过等边对等角可证明，利用勾股定理求出，再利用三角函数求出，则根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，交于点G，如图所示，     由翻折性质可得：垂直平分， ∴，， ∵E为的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠对称的性质、解直角三角形，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键． 27．1 【分析】过B作于H，根据正方形的性质得到，，证得，然后根据全等三角形的性质得到，进而求得． 【详解】解：过B作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点E，F分别是边的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 28．2 【分析】本题主要考查矩形的性质，翻转变化的性质，勾股定理； 连接交于点F，设，则，求出，结合点C与点A关于直线对称，得到，垂直平分，求出，即可求出． 【详解】解：连接交于点F，         设，则，     ∵四边形是矩形， ∴，         ∴ ∵将四边形沿翻折，点分别落在点处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，， ， ∵， ∴， ， ∴ ∴ 故答案为：2． 29．5 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 30． 【分析】此题考查三角函数，勾股定理，根据，设，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】在中，， ∴， 设， ∵垂直平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为． 31．/150度 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键是证明三角形． 证明，得出，根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 32．或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，掌握勾股定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．分两种情况，根据勾股定理依次进行计算即可． 【详解】解：①当点落在对边和的中垂线上时，过点作，分别交于点， ， 故， 则， ， ， ； ②当点落在对边和的中垂线上时，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 解得， ， 综上，或． 故答案为：或． 33．7； 【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值． 【详解】根据题意可知计算式子为： 【点睛】掌握计算器的各个按键所表示的意义是解决本题的关键． 34．22°9′12″ 【分析】首先求得GF的长，然后在直角△AGF中，利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：EG=CD-AB=150-124=26（cm）， 则GF=83-EG=83-26=57（cm）， 则在直角△AGF中，tanα== ，由计算机可得：α=22°9′12″ 故答案为22°9′12″. 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题关键是理解定义，求得GF的长． 35．/ 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，根据题意可得：，从而可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后利用等量代换可得：，即可解答． 【详解】解：如图：连接，， 由题意得：， ∴， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 36． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，求出的长度，利用勾股定理求出的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 对角线平分．， ， ， ，， ， ， ， ， ， ．   故答案为：． 37．5 【分析】本题考查了解三角形以及旋转的性质，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 38． 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 39． 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 40． 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 41． 【分析】本题考查正方形的性质，锐角三角函数等知识．证是关键． 设，，则，，，，得出，即，求出和即可解答． 【详解】 解：设，，则，，，， ∵在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，负值舍去， ∴，， ∴； 故答案为：． 42．15． 【分析】根据同角的余角相等得到，进一步根据三角函数求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵且四边形为平行四边形， ∴，， 又∵, ∴， ∴， ∴, 又∵， ∴mm． 故答案为：15． 【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角函数关系求值． 43． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．过点A作于点D，分别在和中解直角三角形求出边长即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 由题意得，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 44．/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方向角问题，解题的关键是构造直角三角形．过点作于点，在中根据三角函数求出、的值，再在中求出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，， ，， 在中，， ， ． 码头，之间的距离是． 故答案为：． 45． 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，先说明，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：∵从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即荷塘的宽为． 故答案为：． 46． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，然后设，在中，利用正切的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 设， ∴，， 在中，，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则塔的高度为， 故答案为：． 47．米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．过点作于点，过点作于点．解，，得出，根据即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． 依题意：（米），（米） 在中，， （米） 在中， （米） （米） 故答案为：米． 48． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题．延长交于F，则，作于H，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义用表示出，根据题意列式求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：延长交于F，则，作于H， ∵坡度为的斜坡， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，， 则， 在中，， ∴， 由题意得，， 解得，， 则， 故答案为：． 49．7.4 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由直角三角形的特征及余弦函数得，，由正切函数得，由即可求解；掌握直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意，，，， 设， ， ， 则 ， ， 自坡顶挖下的铅直高度x约为， 故答案为：． 50． 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，求出，根据，，求出，根据该陶盉管状短流口距地面的高度为：，即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：． 故答案为：． 51． 【分析】由点是中点，得出根据旋转得出，再根据定理和勾股定理求出点坐标即可． 本题考查了如何确定反比例函数的关系式，利用三角函数求角度及勾股定理的应用是解题关键． 【详解】解：作 轴， 是的中点， 绕点旋转至 ， ， 故答案为： 52． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角函数，勾股定理等知识解题的关键是掌握相关的知识．过点作于，根据作图可知平分，由角平分线的性质和题意可得，在中，，设，则，则，进而得到，求出，进而得到，最后根据即可求解． 【详解】解：过点作于， 平分，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$