7.5 三角形内角和定理 课件－2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第七章 平行线的证明 5. 三角形内角和定理（2） 学习目标 1.了解并掌握三角形外角的定义． 2.掌握三角形外角的性质，利用外角的性质进行 简单的证明和计算． 观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？ 三个特征: 2. ∠ 1的一条边是三角形的一条边; 1. ∠ 1的顶点在三角形的一个顶点上; 3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线. 学习1：外角的定义 △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角 称为△ABC的外角. 三角形外角的定义 A B C D 如图：∠ACD是△ABC的一个外角 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 画一个三角形，你能画出三角形所有的外角吗？. 想一想: 1.每一个三角形有几 个外角？ 2.每一个顶点处相对 应的外角有几个？ 3.这些外角中有几组 外角相等？ ６个 ２个 3组 A B C 三角形外角的性质 学习2：外角的性质 问题1 如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？ D A B C ∠ACD+∠ACB=180O 即：∠ACD与∠ACB互为补角 问题2 如图，△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两个内角(∠A，∠B) 有什么关系？ 三角形外角的性质 学习2：外角的性质 D A B C ∵∠A+∠B+∠ACB=180° ∵∠ACD+∠ACB=180° ∠ACD=∠A+∠B 理由： ∴∠ACD=180°-∠ACB ∴∠A+∠B=180°-∠ACB ∠ACD=∠A+∠B 三角形外角的性质1： 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵∠ACD是△ABC的一个外角 ∴∠ACD=∠A+∠B D A B C 问题3 如图，△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两个内角(∠A，∠B) 还有怎样的大小关系？ 三角形外角的性质 学习2：外角的性质 D A B C ∵∠ACD= ∠A+ ∠B ∴∠ACD﹥∠A ∠ACD﹥∠B 三角形外角的性质 学习2：外角的性质 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 三角形外角的性质2： D A B C ∵∠ACD是△ABC的一个外角 应用格式： ∴∠ACD﹥∠A ∠ACD﹥∠B 在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理. 像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用. 上面的两个定理也叫做：三角形内角和定理的推论 推论的定义： 例2 已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C, AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 例题学习 ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). A C D B E 证明: ∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知) ∵AD平分 ∠EAC(已知) ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴∠C= ∠EAC(等式的性质). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 同学们，这道题还有其它方法证明吗？ 例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB、PC. 求证：∠BPC > ∠A. ∴∠BPC＞∠A 例题学习 证明： 如图，延长BP，交AC于点D. ∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义） ∴ ∠BPC＞∠ PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义） ∴∠PDC＞∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） D 1.说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) 练一练 2.如图,AB∥CD,∠A＝37°,∠C＝63°, 那么∠F等于 ______. 26° 3.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( ) A.120° B.115° C.110° D.105° B 练一练 4.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°, 则∠BDC=________. 120 ° 5.已知等腰三角形的一个外角为150°, 则它的底角为________. 30°或75° 6.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E______度. A B C D E 练一练 180 7. 如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角， 则∠1+∠2+∠3=______. A B C E F D ( ( ( 2 1 3 练一练 三角形三个外角的和360度. 360° B A C P N M D E F 8.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________. 360° 1 2 3 练一练 $$