7.5.2 三角形的内角和定理（2）（同步课件）-2024-2025学年八年级数学上册教材配套教学课件+分层练习（北师大版）

新课标 北师大版 八年级上册 7.5.2三角形的内角和定理（2） 第七章 平行线的证明 1 学习目标 1. 通过阅读课本掌握三角形的外角的定义和性质，了解三角形外角定理的证明过程，提高学生解决问题的能力． 2．通过让学生在操作活动中探索并了解三角形外角的两个性质，训练学生对所学知识的运用能力． 3．通过让学生积极参与数学学习活动，激发学生对数学的好奇心与求知欲，给学生树立学好数学的信心． 2 新课引入 1．三角形内角和定理是什么？ 2．邻补角的定义是什么？ 三角形的内角和等于180° 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角 3 新课引入 公元220年至280年间，中国历史上的一个重要时期.在这个时期，中国分裂成为三个政治实体：曹魏、蜀汉和东吴.这三个政治实体之间相互争斗，形成了著名的三国鼎 立的局面.这是三国时期的局势图，把 三国主要城邦用直线连接起来就形成 了我们今天要学习的三角形外角 4 核心知识点一 探究学习 三角形的外角的概念 △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.如图，∠1是△ABC的∠ABC的外角. 想一想：一个三角形的外角应具备哪些条件呢？ 1 3 2 4 5 三角形的外角应具备的条件： D 1.顶点在三角形的一个顶点上. 如：∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点； 2.一条边是三角形的一边. 如：∠ACD的一条边AC是△ABC的一条边； 3.另一条边是三角形某条边的延长线. 如：∠ACD的边CD是△ABC的BC的延长线. 6 探究1： 画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？ 有6个，它们是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6. 探究2： △ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系） ∠1和∠4是对顶角，相等； ∠2和 ∠5是对顶角，相等； ∠3和∠6是对顶角，相等. 总结：每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 7 核心知识点二 三角形的外角的性质 如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其他角有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 可以是等量关系，也可以是不等关系 8 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 探究一：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ ∠A+∠B=∠BCD 你可以证明一下吗？ 9 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. D A B C 已知：如图，△ABC 求证：∠ACD=∠A+∠B. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 10 已知：如图，△ABC 求证：∠ACD=∠A+∠B. D A B C 1 2 E 证明：过C作CE平行于AB， ∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. 11 ★三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ▼应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 总结归纳 12 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 探究二：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的某个内角(∠A或∠B)有什么关系？ ∠BCD＞∠A，∠BCD＞∠B. 你能用语言描述一下吗？ 13 ★三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. ▼应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 总结归纳 注意：在这里,我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用. 14 例：如图，P是△ABC内的一点，求证：∠BPC＞∠A. D A B C P 想一想，你还有其他的证明方法吗？ 证明：如图，延长BP，交AC于点D. ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任 何一个和它不相邻的内角). ∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义)， ∴ ∠PDC>∠A (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∴ ∠BPC>∠A (不等式的性质). 15 例：如图，P是△ABC内的一点，求证：∠BPC＞∠A. A B C P E 方法二 证明：连接AP并延长，交BC于点E. ∵ ∠BPE是△ABP的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠BPE ＞∠BAP(三角形的一个外角大于 任何一个和它不相邻的内角). ∵ ∠EPC是△ACP的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠EPC ＞∠PAC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∴ ∠ BPE+ ∠EPC ＞ ∠BAP+ ∠PAC(不等式的性质)， 即 ∠BPC ＞ ∠BAC. 16 例：如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ ∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+∠2+∠3)=360°. 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, A B C E F D ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 结论：三角形的外角和等于360°. 2 1 3 1.如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC外角的是(　　) A．∠1，∠2 B．∠2，∠3 C．∠1，∠3 D．∠1，∠2，∠3 C 随堂练习 2.如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠MPA＝32°，则∠MEC的度数是(　　) A．58° B．122° C．132° D．148° B 3.如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°， 那么∠ACD的度数为(　　) A．110° B．100° C．55° D．45° B 4.如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是(　　) A．30° B．40° C．50° D．70° B 5．(1)将一副三角板按如图1的方式叠放，则∠α＝ 　75　 ⁠°； 图1 图2 (2)将一副三角板按如图2的方式叠放，则∠α＝ 　75　 ⁠°. 75　 75　 21 6．如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E， ∠A＝35°，∠D＝42°. (1)求∠B的度数； 解：∵DF⊥AB， ∴∠B＋∠D＝90°. ∴∠B＝90°－∠D＝90°－42°＝48°. (2)求∠ACD的度数． 解：∠ACD＝∠A＋∠B＝35°＋48°＝83°. 22 7．如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B＝∠1，∠C＝∠ADC， ∠BAC＝84°，求∠B的度数． 解：∵∠ADC＝∠1＋∠B，∠B＝∠1， ∴∠ADC＝2∠B． ∵∠C＝∠ADC， ∴∠C＝2∠B． ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠BAC＝84°， ∴∠B＋∠C＝180°－84°＝96°. ∴3∠B＝96°. ∴∠B＝32°. 23 8．在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE， ∠A为50°，求∠P的度数． 解：∵∠ACE＝∠A＋∠ABC， ∴∠A＝∠ACE－∠ABC． ∵∠PCE＝∠P＋∠PBC，∴∠P＝∠PCE－∠PBC． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE， 24 课堂小结 三角形内角和定理2 三角形的外角 定理：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形的内角和定理的推论 定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 特征:角的顶点是三角形的顶点；角一边必须是三角形的一边；另一边必须是三角形另一边的延长线. 定义:△ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角。 25 谢谢聆听 26 ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE. ∴∠P＝∠ACE－∠ABC＝(∠ACE－∠ABC)＝∠A＝25°. $$