第05讲 二次根式【考点卷】（13大核心考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

第05讲 二次根式【考点卷】（13大核心考点） 【核心考点一 求二次根式的值】 1．已知+=0，则 的值为（   ） A．0 B．2021 C．-1 D．1 2．已知，那么的值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 3．当时，二次根式的值为 ． 4．（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 5．已知求的四次方根． 【核心考点二 求二次根式中的参数】 1．若是整数，则正整数n的最小值是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知是整数，a是正整数，a的最小值是（    ） A．0 B．3 C．6 D．24 3．是整数，则最小的正整数a的值是 ． 4．已知有理数满足等式，则 ； ． 5．知n=-6，求的值． 【核心考点三 二次根式有意义的条件】 1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数中，自变量的取值范围是 ． 4．函数的自变量的取值范围是 ． 5．已知x，y为实数，且 ，求的值． 【核心考点四 利用二次根式的性质化简】 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．化简： ． 5．若为实数，求的值． 【核心考点五 复合二次根式的化简】 1．把中根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 2．化简﹣（）2得（    ） A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2 3．计算： ． 4．阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简 . 5．观察下列式子及其化简过程： = = = = = （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简； （2）针对上述各式反映的规律，请你直接写出=（m＞n）中a，b与m，n之间的关系． 【核心考点六 二次根式的混合运算】 1．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果为（   ） A． B． C．1 D． 3．化简： ． 4．计算： ． 5．计算： (1) (2) 【核心考点七 最简二次根式】 1．最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 4．当 时， 最简二次根式与 可以合并． 5．已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【核心考点八 同类二次根式】 1．下列二次根式中能与合并的是（ ）． A． B． C． D． 2．下列根式中与其他三个不同类的是（    ） A． B． C． D． 3．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ． 4．如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 5．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【核心考点九 分母有理化】 1．把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．若函数，则 ． 5．先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【核心考点十 二次根式的化简求值】 1．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．若x＝﹣4，则代数式x2+8x﹣16的值为（    ） A．﹣25 B．﹣11 C．7 D．25 3．已知实数x、y满足，则的值等于 ． 4．已知，，则 ． 5．先化简，再求值：，其中． 【核心考点十一 比较二次根式的大小】 1．已知，，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 2．当，分式的结果为，则（    ）． A． B． C． D． 3．比较大小 4．比较大小： （1） ； （2） ． 5．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________． （2）后分母有理化的结果为__________． 任务： (1)直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． (2)利用分母有理化比较与的大小． (3)计算：． 【核心考点十二 二次根式的应用】 1．若某长方体的长为，宽为，高为，则该长方体的体积为（    ） A． B． C．21 D．24 2．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．16 C． D． 3．一个长方形长与宽的比的，它的对角线长为，则它的面积是 ． 4．观察下列各式的规律：；；，若，则 ． 5．在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【核心考点十三 二次根式的新定义运算】 1．对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．32 2．用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※． 如：1※．则※的结果为（   ） A． B． C． D． 3．定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 4．定义：，则 ． 5．对于任意实数a，b，定义一种运算“&amp;”如下：.如，求的值. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次根式【考点卷】（13大核心考点） 【核心考点一 求二次根式的值】 1．已知+=0，则 的值为（   ） A．0 B．2021 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】根据二次根式与绝对值的非负性，求出a，b的值，再代入求值，即可． 【详解】解：∵+=0且≥0，≥0， ∴=0，=0， ∴a=2020，b=-2021， ∴=， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式求值，掌握二次根式与绝对值的非负性，是解题的关键． 2．已知，那么的值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】C 【分析】先根据平方差公式，可得=1，进而即可求解． 【详解】∵ = = =1， ∴=． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的值，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 3．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义以及二次根式求值．代入求值是解题的关键． 把的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式． 【详解】解：把代入，得． 故答案为：． 4．（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 5．已知求的四次方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的性质和分式有意义的条件得出m的值，再计算出的四次方根． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的四次方根为. 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性和分式有意义的条件，以及求n次方根，解题的关键是通过解出m求得n的值. 【核心考点二 求二次根式中的参数】 1．若是整数，则正整数n的最小值是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，若是整数，则一定是一个完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵，是整数， ∴正整数n的最小值是5， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 2．已知是整数，a是正整数，a的最小值是（    ） A．0 B．3 C．6 D．24 【答案】C 【分析】因为是整数，且，则6a是完全平方数，满足条件的最小正整数a为6． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数，即6a是完全平方数； ∴a的最小正整数值为6． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式，把24分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 3．是整数，则最小的正整数a的值是 ． 【答案】5 【分析】由45a＝5×3×3×a，是正整数，最小值只需要即可． 【详解】解：由于45a＝5×3×3×a，要使其为整数，则必能被开得尽方，所以满足条件的最小正整数a为5． 解：45a＝5×3×3×a， 若为整数，则必能被开方，所以满足条件的最小正整数a为5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查二次根式的化简方法的运用，把被开方数里开得尽方的因数写成平方数，再寻找a的最小整数值． 4．已知有理数满足等式，则 ； ． 【答案】 【分析】根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解：由于， ， 由于与是有理数， ，， ，． 故答案为：；． 【点睛】本题考查实数，解题的关键是将等式进行适当的变形，本题属于中等题型． 5．知n=-6，求的值． 【答案】45． 【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出m的值，再代入可求出n的值，然后代入求解即可． 【详解】由二次根式的被开方数的非负性得： 则，解得 将代入得： 将代入得：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义（二次根式的被开方数的非负性），利用二次根式的定义求出m的值是解题关键． 【核心考点三 二次根式有意义的条件】 1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式和二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故选：B． 3．函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：在函数中，， 解得， 故答案为：． 4．函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围、二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据分母不为零且被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：函数的自变量满足， ， ， 故答案为：． 5．已知x，y为实数，且 ，求的值． 【答案】2022 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件求得的值，进而得到的值，代入求值即可． 【详解】解：依题意得：， 解得， ， ． 【核心考点四 利用二次根式的性质化简】 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 2．实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴判断式子的正负、二次根式和绝对值的化简、合并同类项，先由数轴知，，则，再利用二次根式和绝对值的性质化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知，，则， ∴ ， 故选：A． 3．计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式将根号下部分变形开平方，然后计算加减即可． 【详解】 ． 故答案为：． 4．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．若为实数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，理解二次根式有意义的条件求出的值是解答关键． 根据二次根式的有意义的条件求出的值，再利用二次根式化简求值进行计算求解． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， ∴ ． 【核心考点五 复合二次根式的化简】 1．把中根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．化简﹣（）2得（    ） A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质求解可得答案. 【详解】解:1-3x≥0,x≤,2x-1≤＜0, 原式=-(1-3x)=1-2x-1+3x=x, 故选C. 【点睛】主要考查了根据二次根式的意义及化简.二次根式规律总结:当a＞0时, =a;当a<0时, =-a.二次根式=a,(a≥0). 3．计算： ． 【答案】 或 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的除法进行化简即可. 【详解】解：当时，原式=； 当时，原式=. 故答案为 或． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 4．阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简 . 【答案】, 【分析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可. 【详解】解： 【点睛】本题主要考查学生对完全平方公式的逆运算掌握运用能力.属于基础性题目. 5．观察下列式子及其化简过程： = = = = = （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简； （2）针对上述各式反映的规律，请你直接写出=（m＞n）中a，b与m，n之间的关系． 【答案】（1）；（2）a，b与m，n之间的关系为：，． 【分析】（1）根据完全平方公式和二次根式的性质计算即可； （2）根据变形过程即可得出结论． 【详解】解：（1）依题意得：= = = （2）针对上述反映的规律，可得=（m>n）中a，b与m，n之间的关系为： ． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解决此题的关键． 【核心考点六 二次根式的混合运算】 1．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算；根据二次根式的性质与混合运算逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．化简的结果为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用、平方差公式、二次根式的混合运算，利用积的乘方变形原式为，然后利用平方差公式计算即可，熟记运算法则、正确计算是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 3．化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 4．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，用完全平方公式把括号里面的展开，再用和平方差公式即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法以及二次根式的性质化简，进而即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【核心考点七 最简二次根式】 1．最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 2．已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 【详解】根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 3．最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 4．当 时， 最简二次根式与 可以合并． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并，则它们是同类二次根式，根据同类二次根式的定义可得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵ 最简二次根式与 可以合并， ∴， 解得， 故答案为：． 5．已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 【核心考点八 同类二次根式】 1．下列二次根式中能与合并的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质等知识，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，然后根据同类二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：、，不能与合并，故A不符合题意； B、，不能与合并，故B不符合题意； C、，不能与合并，故C不符合题意； D、，能与合并，故D符合题意， 故选：D． 2．下列根式中与其他三个不同类的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、； 、由； 、由 ； 、由； 通过化简比较可知，与其他三个选项不同类， 故选：． 3．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，如果两个最简二次根式是同类二次根，那么这两个二次根式的被开方数相等，根据最简二次根式 与 是同类二次根式，可得关于的一元二次方程，解方程可得：，，又因为当时，，被开方数必须是非负数，所以只能选． 【详解】解：最简二次根式 与 是同类二次根式， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， ． 故答案为：． 4．如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程等知识，理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的定义和性质是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：∵两个最简二次根式与能合并， ∴两个最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：4． 5．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴． 【核心考点九 分母有理化】 1．把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 2．下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简和同类二次根式，先将各项进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 3．计算： ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的计算，掌握二次根式运算法则以及分母有理化是解题的关键． 先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：9． 4．若函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数值，二次根式的性质，关键是能准确代入、计算． 把代入解析式计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 5．先阅读下列材料： 材料一：像，这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：， 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的：，， 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：原式 （3）解： 【核心考点十 二次根式的化简求值】 1．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入计算解题即可． 【详解】解： ， 故选D． 【点睛】本题考查已知未知数的值，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 2．若x＝﹣4，则代数式x2+8x﹣16的值为（    ） A．﹣25 B．﹣11 C．7 D．25 【答案】A 【分析】将已知变形，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查与二次根式相关的代数式求值，将已知变形，得到是解题的关键． 3．已知实数x、y满足，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的非负性进行求解及掌握二次根式化简的基本步骤及方法．先根据求出的值，再对进行化简代值计算可得． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 4．已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，把变形为，把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为： 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ， 当时， 原式， ， 【核心考点十一 比较二次根式的大小】 1．已知，，则a与b的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】将，进行分母有理化，再比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 2．当，分式的结果为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对分式进行通分化简，再代入x值，再判断a的范围即可． 【详解】解：= = =， 当时，a=， ∴a=， ∵1﹤﹤2， ∴﹤﹤1，即， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的化简求值、平方差公式、二次根式的取值范围，掌握分式的化简，会判断二次根式的取值范围是解答的关键． 3．比较大小 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 5．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________． （2）后分母有理化的结果为__________． 任务： (1)直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． (2)利用分母有理化比较与的大小． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用分母有理化的概念将二次根式进行化简． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）现将与分母有理化，在进行比较即可； （3）利用分母有理化计算即可． 【详解】（1）解： ； ． 的有理化因式是；后分母有理化的结果为． （2）， ． ， ． （3） ． 【核心考点十二 二次根式的应用】 1．若某长方体的长为，宽为，高为，则该长方体的体积为（    ） A． B． C．21 D．24 【答案】D 【分析】先根据题意列出算式，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：长方体的体积是：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． 2．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、． 由题图知：大正方形的边长为：． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，用小正方形的边长表示出大正方形的边长是解决本题的关键． 3．一个长方形长与宽的比的，它的对角线长为，则它的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查勾股定理、平方根的应用，二次根式的应用，利用勾股定理建立方程求解是解答的关键．根据题意，设长为，宽为，由勾股定理列出方程求解得出，，依据面积公式求解即可得． 【详解】解：设长为，宽为，根据题意： ，即， ， 或（舍去）， ，即长方形的长为，宽为， 它的面积是， 故答案为：30． 4．观察下列各式的规律：；；，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，利用根号内的分数的分母与根号外的数字之间的关系即可求得结论，找出根号内的分数的分母与根号外的数字之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 5．在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)厘米 【分析】（1）将需要比较大小的两个数作差，其结构符合完全平方式，利用平方的非负性证明即可； （2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方公式及平方的非负性对猜想进行证明即可； （3）做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）猜想：． 理由：∵， ∴ ， ∴； （3）设，， ∵四边形为，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要厘米． 【点睛】本题考查平方的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题的关键，同时注意已证明结论的迁移应用． 【核心考点十三 二次根式的新定义运算】 1．对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故选：C． 2．用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※． 如：1※．则※的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答；本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ※ ； 故选：A． 3．定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，求一个数的算术平方根，根据新运算的法则，列出算式，利用平方差公式进行计算，再根据算术平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根为； 故答案为：5． 4．定义：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用新定义运算公式计算二次根式，读懂题意根据题意中的类似等式列出所求等式是解题的关键． 根据定义的新运算公式代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 5．对于任意实数a，b，定义一种运算“&amp;”如下：.如，求的值. 【答案】5 【分析】根据题中所给新定义运算及二次根式的运算可进行求解． 【详解】解：由题意可得： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$