第一章 整式的乘除（压轴题特训）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第一章 整式的乘除（压轴题特训） 一、单选题 1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式具有以下特征：①左边是两个数的和或差的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号相同． 根据完全平方公式的特点逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能表示两数和或差的平方的形式，能用完全平方公式计算，符合题意； C、，，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意． 故选B． 2．如图，在边长为 的正方形中央剪去一边长为 的小正方形 ，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（   ） A． B．   C． D． 【答案】C 【分析】平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积． 本题考查了整式混合运算的应用，解题的关键是理解两个正方形的面积与平行四边形的面积之间的关系，列出相应的式子后再化简． 【详解】解： 拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 该平行四边形的面积为： ， 故选：C． 3．若，则的值为（   ） A．6 B．10 C．9 D．7 【答案】B 【分析】本题考查同底数的乘法、解一元一次方程，代数式求值，先根据同底数的乘法法则可得，求得，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 4．若多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，则a的值为（   ） A．3 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，利用多项式乘以多项式的法则进行计算，根据结果不含x的二次项，得到x的二次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ； ∵展开式中不含x的二次项， ∴， ∴； 故选A． 5．若，，则的值为（   ） A．21 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆运算，幂的乘方的逆运算等知识点，应用同底数幂的除法法则和幂的乘方的逆运算，进行计算即可，熟练掌握运算法则是解决此题的关键． 【详解】， ∵，， ∴原式， 故选：C． 6．若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2029 C．2031 D．2035 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入计算，也可以运用整体代入的思想，利用了整体代入进行计算是解题的关键． 把所给代数式的值整体代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 7．已知，，则（   ） A．25 B．19 C．9 D．6 【答案】A 【分析】此题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式是解决此题的关键． 根据完全平方公式，即可求出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， 故选：A． 8．已知，那么值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，根据幂的乘方和积的乘方逆用得出，再进行变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，即，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 9．若方程的左边是一个完全平方式，则m的值是（   ） A． B．4 C．4或 D．2或 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵方程的左边是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：C． 10．“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境，已知长方形空地的面积为平方米，宽为米，则这块空地的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法运算，直接利用整式的除法运算法则计算即可得出答案，掌握整式的除法运算法则是解题关键． 【详解】解：， ∴这块空地的长为米， 故选：． 11．已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查整式混合运算，已知式子的值求代数式的值．由已知得到，运用整式的混合运算法则对代数式化简变形，代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 12．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的运算．熟练掌握乘方的符号法则，同底数幂乘法，提取公因式，是计算本题是关键． 原式化为，逆用同底数幂乘法法则得，提取公因式得，计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 13．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法的规律，根据杨辉三角图形规律第三项系数为1到指数前一位的整数和求解即可得到答案； 【详解】解：由杨辉三角得， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 由此可知的第三项系数为， ∴的展开式中第三项的系数为：， 故选：C． 14．已知，则代数式的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，先由，，得出，然后通过，求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴选项符合题意， 故选：． 15．已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解：， ， 故选：A 16．若，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再比较系数可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 17．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 18．沙棘果富含多种维生素、氨基酸等营养成分，被誉为“神奇之果”．朔州市当地沙棘种植不仅改善了生态环境，还带动了当地经济发展．某果农租了两块地种植沙棘，第一块地是边长为的正方形，第二块地是长为，宽为的长方形，则第二块地比第一块地的面积（单位：）多（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式，先根据面积公式求出第二块的面积和第一块的面积，再计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 19．如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解，解题的关键是正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式． 由题意知：图和图中阴影部分的面积相等，正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式即可解答． 【详解】解：由题意知：图和图中阴影部分的面积相等， 图中，阴影部分面积， 图中，阴影部分面积， ， 故选：B． 20．若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， 化简得， ∴， 故选：C． 21．如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 【答案】D 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 整理得， 解得的值是5或， 故选：D． 二、填空题 22．已知，，，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．解题的关键是利用幂的乘方运算对各式变形，变成底数相同的形式． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：． 23．如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是24，即， ． 故答案为：12 24．若，则 ． 【答案】23 【分析】本题考查了等式的性质，完全平方公式的运用，求得是解题的关键．先求出，再用完全平方公式计算即可． 【详解】解∶方程变形得：， 两边平方得：， 则． 故答案为：23． 25．有若干张如图所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片．如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片 张．    【答案】7 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，计算出长为，宽为的大长方形的面积以及A类、B类卡片和长方形C类卡片的面积，即可得出答案． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为， A类卡片的面积为：， B类卡片的面积为：， C类卡片的面积为：， ∴要拼成一个长为，宽为的大长方形，需要块A类卡片，块B类卡片，块C类卡片， 故答案为：． 26．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，当时， （用字母表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，根据图形面积之间的关系分别表示出，再根据整式的加减计算法则求出的结果，再结合即可求出答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 27．若满足，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，由已知可得，，再利用平方差公式可得，代入数值计算即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴由②得，， ∴， 故答案为：． 28．若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算-化简求值，先根据整式混合运算的法则把原式化为的形式是解答此题的关键．先根据整式乘法运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：， ，， 原式． 故答案为：． 29．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式，根据完全平方公式对目标式变形是解题的关键． 由题意可得出的值，然后把代数式变形成含有和的式子即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即． ∵， 将，代入， ∴． 故答案为：． 30．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法、整式的加减，利用长方形面积公式表示出长方形的面积，首先把大长方形、型卡片、型卡片的面积用代数式表示出来，大长方形的面积减去个型卡片的面积和个型卡片的面积，根据剩下的面积和型卡片的面积求出需要的型卡片的数量． 【详解】解：如下图所示，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 图中有个，个， 长方形中剩余部分的面积为， 型卡片的面积为， 需要个类型的卡片． 故答案为： ． 31．如图是杨辉三角． 结合图形，观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据前面各式规律，写出的展开式的第4项： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了杨辉三角在多项式展开式系数中的应用，明确杨辉三角的展开式的原理，是解题的关键．根据展开式的系数规律，可知的展开式的各项系数，按照a降幂b升幂排列，即可得解． 【详解】解：依题意得：第7行的数依次为，将各项展开，得到： 故的展开式的第4项为：． 故答案为：． 32．如图，有两个正方形，现将放在的内部得图①，将并列放置后构造新的正方形得图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据阴影部分的面积分别求列出关于的方程，进而利用方程求出的值即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图①得， 即， 由图②得， 即， ∴， 故答案为：． 33．如果是一个完全平方式，那么m的值 ． 【答案】 【分析】此题考查完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：． 34．展开后不含的一次项，的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值，把原式按照多项式乘法展开，合并同类项后令的系数为即可得到的值，熟练掌握多项式乘法的方法和多项式系数的意义是解题的关键． 【详解】解： ， ∵原式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 35．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ． 【答案】2697 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式探究出规律是解题的关键． 从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 【详解】解：设是正整数， 由于， 所以，除1外，所有奇数都是智慧数； 又因为， 所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 被4除余2的正整数都不是智慧数． 从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． ， 是第675组的第一个数， 即：． 故答案为：2697． 三、解答题 36．某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． (1)用含a、b的式子表示绿化地带的面积（结果要化简）； (2)若，，请求出绿化地带的面积． 【答案】(1)平方米 (2)275平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算和加减运算，代数式求值，熟练运算法则是解题的关键． （1）根据图形的面积之差列式即可求解； （2）将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． ∴绿化地带的面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）． 37．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______；方法：______； (2)观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______； (3)根据（）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求的值； 已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3) ； ． 【分析】（）根据正方形的面积和长方形的面积求解即可； （）根据两种方法所表示的面积相等可解答； （）①根据完全平方公式，将已知代入求解即可； 设，，则，利用完全平方公式求得即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景等，熟练掌握长方形、正方形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：方法：，方法：， 故答案为：，； （2）解：由（）得：， 故答案为：； （3）解：由（）得：， ∵，， ∴， ∴； ，，则，， ∴由（）可得：， ∴， ∴， ∴． 38．阅读：若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， 所以 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积之和（结果必须是一个具体数值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握通过对完全平方公式变形求值的方法和技巧是解题的关键：完全平方公式的变形在解题中的应用——首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了． （1）设，，则可得，，将原式进行变形可得：原式，然后将和的值代入即可求出原式的值； （2）设，，则可得，，将原式进行变形可得：原式，然后将和的值代入即可求出原式的值； （3）由正方形的边长为x可得，进而可得，，设，，则可得，由长方形的面积是可得，由四边形与都是正方形可得：阴影部分的面积之和，然后将和的值代入即可求出阴影部分的面积之和． 【详解】（1）解：设，， 则， ， ； （2）解：设，， 则， ， ； （3）解：正方形的边长为x， ， ，， ，， 设，， ， 长方形的面积是， ， 四边形与都是正方形， 阴影部分的面积之和． 39．用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式，，之间的数量关系：______． (2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题． ①已知，，求的值． ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，掌握公式变形是解本题的关键； （1）由等面积法可得公式变形； （2）①由，再代入计算即可；②由，结合，再利用公式可得答案． 【详解】（1）解：由等面积法可得：， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴． ②∵，， ∴ ， 即， 解得． 40．阅读材料： 对于多项式，虽然不能写成完全平方形式，但是可以写成，更一般的，对于二次项系数不为的二次三项式，它总是可以化为的形式，例如：．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这就是一个配方的过程．这种配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 根据以上内容回答下列问题： (1)代数式经配方可化为___________； (2)已知的三边长分别为，，且满足，求边的取值范围； (3)已知，，试比较与的大小． 【答案】(1)； (2)边的取值范围为； (3)，理由见解析． 【分析】（）仿照例子配方求解即可； （）给、分别配方后，利用非负性求出的值，然后由三角形三边关系即可求出边的取值范围； （）先进行，然后根据代数式结构进行配方，再利用非负性即可求解； 本题考查了配方法的应用，灵活运用完全平方公式，会利用平方式的非负性求解是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴由三角形三边关系得，边的取值范围为； （3）解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 41．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 【答案】(1) (2)①4；② 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键． （1）分别计算两个阴影部分的面积即可得到答案； （2）①根据平方差公式得到，然后再将已知整体代入即可求解； ②先利用平方差公式将每一项化成两个分数积的形式，然后再利用互为倒数的两个分数的积为1即可计算结果． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为， ∵图1和图2中两阴影部分的面积相等， ∴上述操作能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ． 42．已知 (1)求的值． (2)若用含x的代数式表示y值． (3)求 【答案】(1)1 (2) (3)2 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运用，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘等运算法则，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再分别代入进行计算，即可作答． （2）运用幂的乘方得出，再代入，进行化简，即可作答． （3）先整理出，，然后得出，即，再结合，把代入求值，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ （3）解：∵ ∴， 即， ∵ ∴ 即， ∴，得， 即， ∴， ． 43．（1）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为_____；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为_____． （2）【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为、的长方形拼摆成一个如图3的正方形． ①通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系_____． ②若，，求的值． （3）【解决问题】如图4，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】（1）；；（2）①，②；（3） 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，正确地计算图形的面积是解决问题的关键． （1）用两种不同的方法计算图|中大正方形的面积即可得出答案；用两种不同的方法计算图2中大正方形的面积即可得出答案； （2）①用两种不同的方法计算图3中大正方形的面积即可得出代数式，，之间的等量关系；②根据①得，再将，代入计算即可得出的值； （3）设正方形的边长为，的边长分别为，则，， 根据得．由此可得的面积． 【详解】解：（1）由图可得：图①中阴影部分的面积可以看成是一个大正方形的面积即，或两个正方形的面积加两个长方形的面积即， 图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 图②中阴影部分可以看成是边长为的正方形，即面积为； 所以面积为， 所以图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 故答案为：①②； （2）①大正方形的面积为，小长方形的面积为，阴影部分的面积为， ； ②由（1）得： ，， ； （3）设正方形和的边长分别为，， ，， ， ， ． 44．【知识生成】我们知道：对于一个图形，通过不同的方法计算几何图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题： （1）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，用两种不同的方法求阴影部分的面积，得到的数学等式是____________； 【知识应用】 （2）若，求的值； 【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）如图③是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，得到的数学等式是____________； （4）已知，利用（3）中所得等式，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了用面积法解释乘法公式的意义，列代数式，代数式求值． （1）先由图①可知长方形的面积为：，在根据图②中大正方形的面积为：，阴影部分的小正方形的面积为：，最后根据图②“大正方形的面积长方形的面积阴影部分正方形的面积”即可得出答案； （2）根据（1）的结论可得出：，然后将代入计算即可得出答案； （3）观察图形③，根据体积的不同计算方法即可得出相关的数学等式； （4）由（3）的结论可得出：，再将代入计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由图①可知长方形的面积为：， 由图②可知：大正方形的面积为：，阴影部分是小正方形，边长为：， 故得：阴影部分正方形的面积为：， 观察图①、②可得：大正方形的面积长方形的面积阴影部分正方形的面积， 即：， 故答案为：； （2）， ， ； （3）由图③，根据体积的不同计算方法可得：， （4）， ． 45．我国著名数学家华罗庚曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读以下材料：若，求的值． 解：设，， 则，， 根据以上材料，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)如图，已知数轴上，，三点表示的数分别是，，．分别以，为边作正方形、正方形，延长交于点．若长方形的面积为．求正方形与正方形面积的和． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式、数形结合思想等知识点，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）按算法赏析的方法进行求解即可； （2）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，设，，则、，则． 【详解】（1）解：设，则，， ∴； （2）解：正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，则有， 设，， 则、， 所以正方形与正方形面积的和为： ． 46．数形结合是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图2，我们通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到一个数学公式． 【操作】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． 【计算】（1）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积． 方法1：________； 方法2：________． 【总结】（2）观察图2并结合前面的计算，我们可以得出，，三个代数式之间的等量关系为________； 【应用】（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：若，，求的值． 【答案】（1）①方法1：；②方法2：；（2）；（3）65 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景以及应用，根据阴影部分的两个面积代数式相等得出是解此题的关键． （1）①方法1：求出阴影部分正方形的边长即可得出答案；②方法2：用大正方形的面积减去个小正方形的面积即可得出答案； （2）根据阴影部分的两个面积代数式相等可得出答案； （3）将，代入（2）中的等量关系即可得出答案． 【详解】解：（1）根据图形可得： ①方法1：； ②方法2：； （2）根据阴影部分的两个面积代数式相等可得：； （3）∵，，， ∴． 47．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到 -， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 48．综合与探究 【阅读理解】 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______． （2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求( 的值． 解：设， 则． ∴． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 【答案】（1）；（2）62；（3）11 【分析】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形． （1）第一种：阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形，利用正方形面积公式即可得出，第二种：用大正方形面积减去两个长方形的面积即可得出； （2）将代入①中等式即可求解； （3）利用正方形和长方形的性质，将与的关系表示出来，再利用阴影部分面积为38即可求出，再变形求解即可． 【详解】解：（1）第一种： 阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形， ； 第二种： 阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积， ； ， 故答案为：； （2）将代入①中等式，得： ， 故答案为：62 （3）设，， 四边形和四边形为正方形， ，， 四边形为正方形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 正方形和正方形的面积之和为38， ， ， ， ． 49．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，　　　． (2)的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； (3)利用上面的规律计算：． (4)今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 【答案】(1) (2)8， (3) (4)如果今天是星期五，过了天后是星期六． 【分析】此题主要了考查了杨辉三角的规律探索以及应用能力，关键是能根据完全平方式准确理解并运用杨辉三角． （1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取，，代入计算即可得到答案． （4）根据，可得出都能被7整除，则除以7余1，则可得出答案． 【详解】（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    ， 故答案为：； （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； …… ∴共项，所有项系数的和为， ∴共8项，所有项系数的和为， 故答案为：8，； （3）解：由题意可知 ， ∴可取，， 即原式； （4）解：今天是星期五，过了天后是星期六， ∵（a，b，c，d，e，为各项的系数） ∵都能被7整除， ∴除以7余1， ∴如果今天是星期五，过了天后是星期六． 50．【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）96；（4），． 【分析】本题考查幂的运算，平方差公式和完全平方公式的应用． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据新运算的法则得到，，再根据图中阴影部分的面积，整体代入计算即可求解； （4）根据新运算的法则得到，，再利用完全平方公式变形得到，，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴；；． 故答案为：2，4，6； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积； （4）∵， ∴，， ∵矩形的面积是5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除（压轴题特训） 一、单选题 1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为 的正方形中央剪去一边长为 的小正方形 ，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（   ） A． B．   C． D． 3．若，则的值为（   ） A．6 B．10 C．9 D．7 4．若多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，则a的值为（   ） A．3 B． C．2 D．0 5．若，，则的值为（   ） A．21 B． C． D． 6．若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2029 C．2031 D．2035 7．已知，，则（   ） A．25 B．19 C．9 D．6 8．已知，那么值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 9．若方程的左边是一个完全平方式，则m的值是（   ） A． B．4 C．4或 D．2或 10．“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境，已知长方形空地的面积为平方米，宽为米，则这块空地的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 11．已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 12．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 13．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A． B． C． D． 14．已知，则代数式的值可能是（    ） A． B． C． D． 15．已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 16．若，则（   ） A．1 B． C． D．2 17．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．沙棘果富含多种维生素、氨基酸等营养成分，被誉为“神奇之果”．朔州市当地沙棘种植不仅改善了生态环境，还带动了当地经济发展．某果农租了两块地种植沙棘，第一块地是边长为的正方形，第二块地是长为，宽为的长方形，则第二块地比第一块地的面积（单位：）多（   ） A． B． C． D． 19．如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 20．若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 二、填空题 22．已知，，，则、、的大小关系是 ． 23．如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是 ． 24．若，则 ． 25．有若干张如图所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片．如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片 张．    26．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，当时， （用字母表示） 27．若满足，则式子的值为 ． 28．若，，则的值是 ． 29．若，且，则 ． 30．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 31．如图是杨辉三角． 结合图形，观察下列等式： ； ； ； ； …… 根据前面各式规律，写出的展开式的第4项： ． 32．如图，有两个正方形，现将放在的内部得图①，将并列放置后构造新的正方形得图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为 ． 33．如果是一个完全平方式，那么m的值 ． 34．展开后不含的一次项，的值 ． 35．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ． 三、解答题 36．某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． (1)用含a、b的式子表示绿化地带的面积（结果要化简）； (2)若，，请求出绿化地带的面积． 37．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______；方法：______； (2)观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______； (3)根据（）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求的值； 已知，求的值． 38．阅读：若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， 所以 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积之和（结果必须是一个具体数值）． 39．用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式，，之间的数量关系：______． (2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题． ①已知，，求的值． ②已知，求的值． 40．阅读材料： 对于多项式，虽然不能写成完全平方形式，但是可以写成，更一般的，对于二次项系数不为的二次三项式，它总是可以化为的形式，例如：．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这就是一个配方的过程．这种配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 根据以上内容回答下列问题： (1)代数式经配方可化为___________； (2)已知的三边长分别为，，且满足，求边的取值范围； (3)已知，，试比较与的大小． 41．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 42．已知 (1)求的值． (2)若用含x的代数式表示y值． (3)求 43．（1）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为_____；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为_____． （2）【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为、的长方形拼摆成一个如图3的正方形． ①通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系_____． ②若，，求的值． （3）【解决问题】如图4，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 44．【知识生成】我们知道：对于一个图形，通过不同的方法计算几何图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题： （1）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，用两种不同的方法求阴影部分的面积，得到的数学等式是____________； 【知识应用】 （2）若，求的值； 【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）如图③是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，得到的数学等式是____________； （4）已知，利用（3）中所得等式，求代数式的值． 45．我国著名数学家华罗庚曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读以下材料：若，求的值． 解：设，， 则，， 根据以上材料，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)如图，已知数轴上，，三点表示的数分别是，，．分别以，为边作正方形、正方形，延长交于点．若长方形的面积为．求正方形与正方形面积的和． 46．数形结合是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图2，我们通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到一个数学公式． 【操作】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． 【计算】（1）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积． 方法1：________； 方法2：________． 【总结】（2）观察图2并结合前面的计算，我们可以得出，，三个代数式之间的等量关系为________； 【应用】（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：若，，求的值． 47．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 48．综合与探究 【阅读理解】 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______． （2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求( 的值． 解：设， 则． ∴． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 49．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，　　　． (2)的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； (3)利用上面的规律计算：． (4)今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 50．【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$