第一章 整式的乘除（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第一章 整式的乘除（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算：结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可求解，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积和乘方与幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，根据相关运算法则计算出各选项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A．，计算正确，故选项A符合题意； B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意； C. ，原选项计算错误，故选项C不符合题意； D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意； 故选：A． 3．一张纸的厚度大约是，数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：D． 4．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式是，本题中利用加法交换律可得，然后再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．已知，，则的值为（   ） A．14 B．126 C．24 D．128 【答案】D 【分析】本题考查的是同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于熟练掌握幂的公式的逆运算． 根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法逆运算即可求解． 【详解】解： ，， ， 故选：D． 6．若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得． 【详解】解：∵，， ∴，， 故选：C． 7．如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确识图是解题的关键．分别表示出图①和图②的面积，再根据图①和图②的面积相等即可求解． 【详解】解：由题意可得，图①中阴影部分的面积是：， 图②中矩形的面积是：， 图①和图②的面积相等， ， 故选：B． 8．下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时的关键是要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，据此即可解答． 【详解】解：A、中只有相同的项，故不能用平方差公式计算，故本选项错误； B、只有互为相反数的项，故不能用平方差公式计算，故本选项错误； C、能用平方差公式计算，故本选项正确； D、中不存在相同的项与互为相反数的项，，故本选项错误． 故选：C． 9．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式．根据完全平方式的结构：或即可解答． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故选：D． 10．课本第113页“阅读与思考”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对完全平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： ，1展开式的系数和为1 ，11展开式的系数和为 ，121展开式的系数和为 ，1331展开式的系数和为 ，14641展开式的系数和为 ……… 根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【分析】分别求出，，，时，展开式的所有项系数和，发现为非负整数）展开式的所有项系数和为即可解决问题．本题考查多项式乘多项式的规律性问题，以及“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，由“杨辉三角”得到：为非负整数）展开式的项系数和为是解题的关键． 【详解】解：依题意， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， ， 当时，展开式的项系数和为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式运算法则计算即可求解，掌握多项式除以单项式运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13．一个正方形的边长为a，若这个正方形的边长增加1，则这个正方形的面积增加 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的乘法公式，先表示两个正方形的面积求出，然后化简合并解题即可． 【详解】解：这个正方形的面积增加， 故答案为：． 14．已知 那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，逆用同底数幂相乘法则，幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故答案为：． 15．学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系 ； 【答案】 【分析】本题考查乘法公式与图形面积关系，根据图形面积及面积和找到关系式， 【详解】解：由图形面积得： ， 故答案为：． 16．在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键．根据题意，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，从图示可知阴影部分的面积，由此即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴，， ∵大正方形与小正方形的面积之差是24， ∴， 根据图示可得，， ∴，， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：12． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了整式的乘除，解决本题的关键是根据整式的乘法法则和除法法则进行计算． 首先根据积的乘方的法则计算可得，再根据单项式乘以单项式的法则计算可得结果； 根据单项式乘以多项式的法则，把单项式与多项式里的每一项分别相乘可得结果； 根据多项式除以单项式的法则计算即可； 根据多项式乘以多项式的法则，用一个多项式里的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了积的乘方及整式的加减，整式的化简求值，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．化简，合并同类项计算，后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19．（8分）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)125 (2)见解析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 20．（8分）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 21．（8分）如图： (1)用含有、的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，阴影部分的面积为多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阴影部分面积等于长方形面积减去两个扇形的面积列代数式即可． （2）将，代入（1）中所列代数式中求值即可． 本题主要考查了列代数式和代数式求值，以及整式的运算．正确的列出代数式并化简是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， ． 22．（10分）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 23．（10分）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求出代数式的最大值吗？ 【初步思考】同学们经过交流、讨论、总结出如下方法： 解： ∵ ∴ ∴当时，有最大值，最大值为4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的x的值； (2)已知，，请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】(1)当时，有最大值，最大值为14 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式，求代数式的值和配方法的应用． （1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴当时，的值最大，最大值是0 故当时，有最大值，最大值为14． （2），理由如下： ∵， ∴ ∴． 24．（10分）图1是一个宽为、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图2． (1)观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：________． (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键． （1）由题意大正方形的边长为，大正方形的由4个长为，宽为的长方形，中间正方形边长为组成，正方形和正方形的面积计算方法进行计算即可； （2）由（1）中结论代入计算即可； （3）根据题意可得，则由完全平方和公式恒等变形得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：依据题意，由图②可得： ． 故答案为：； （2）解：由（1）中结论可得， ， ， ； （3）解： ． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算：结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．一张纸的厚度大约是，数据“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（   ） A．14 B．126 C．24 D．128 6．若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 7．如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 8．下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 9．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A． B． C． D． 10．课本第113页“阅读与思考”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对完全平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： ，1展开式的系数和为1 ，11展开式的系数和为 ，121展开式的系数和为 ，1331展开式的系数和为 ，14641展开式的系数和为 ……… 根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．32 B．64 C．128 D．256 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则 ． 12．计算： ． 13．一个正方形的边长为a，若这个正方形的边长增加1，则这个正方形的面积增加 ． 14．已知 那么的值为 ． 15．学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系 ； 16．在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么阴影部分的面积是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（8分）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 20．（8分）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 21．（8分）如图： (1)用含有、的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，阴影部分的面积为多少？（结果保留） 22．（10分）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 23．（10分）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求出代数式的最大值吗？ 【初步思考】同学们经过交流、讨论、总结出如下方法： 解： ∵ ∴ ∴当时，有最大值，最大值为4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的x的值； (2)已知，，请比较A与B的大小，并说明理由． 24．（10分）图1是一个宽为、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图2． (1)观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：________． (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值； (3)如果，求的值． 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$