第一章 整式的乘除法 知识归纳与题型突破（十三类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第一章 整式的乘除法（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：幂运算 1.幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 3.积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4.幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 要点二：整式的乘法运算 1.单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 要点三：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 要点四：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 要点五：整式的除法运算 1.单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2.多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 03 题型归纳 题型一　同底数幂的乘法运算 【典例1】（22-23七年级上·上海静安·阶段练习）计算： 巩固训练 1．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）计算：结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川巴中·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 题型二　幂的乘方与积的乘方运算 【典例2】（2024·陕西咸阳·三模）计算：（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）若，则（  ） A．8 B．12 C．16 D．24 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三　同底数幂的除法运算 【典例3】（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知，的计算结果是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知：，则= ． 2．（23-24七年级下·广西梧州·期中）计算： ． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）若则 ． 题型四　幂的混合运算 【典例4】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) ； (2) (3)； (4)． 巩固训练 1．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) 2．（22-23七年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 3．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 题型五　幂的逆运算 【典例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 2．（22-23八年级上·福建莆田·期中）（1）已知，，，为正整数，求的值； （2）已知，，求的值． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）若，，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 题型六　用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例6】（23-24七年级下·陕西西安·期末）在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为，则数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）是指大气中直径小于或等于的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，这些颗粒物的直径用科学记数法表示为（　　） A． B． C．400 D． 2．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就.科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3.（23-24七年级下·全国·单元测试）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数据用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 题型七　整式的乘法 【典例7】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八　整式的乘法的实际应用 【典例8】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (3)当时，求绿化部分的面积． 巩固训练 1．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长m、宽m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长m、宽m的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． (3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么在第（2）问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？（仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地面） 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要，，各型号卡片各多少张？ (2)用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为，型卡片的面积为，求，的值． 3．（22-23七年级下·广东佛山·期中）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 题型九　平方差公式的计算 【典例9】（22-23七年级下·宁夏银川·期中）利用公式计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（22-23七年级下·贵州六盘水·期中）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： ． 3．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）若 ，，则的值为 ． 题型十　平方差及几何意义 【典例10】（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)当，时，则 ． (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． A．        B．        C． (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A． B． C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则______； ②计算：； 题型十一　完全平方公式的计算 【典例11】（23-24七年级下·四川达州·期末）已知，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则A为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若是完全平方式，则a的值应是（    ） A． B． C．9 D． 3．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）计算： 题型十二　完全平方公式及几何意义 【典例12】（23-24七年级下·全国·单元测试）数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______；方法：______； (2)观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值； 巩固训练 1．（22-23七年级下·河南郑州·期中）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（如图2）以及完全平方公式：（如图3）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． (1)观察图4请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，则的值． 2．（23-24七年级下·广东河源·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1：______；图2：______ 【拓展探究】 （2）用个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． 【解决问题】 （3）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为，求的面积． 题型十三　整式的混合运算 【典例13】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)（用乘法公式） 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1) (2)． 2．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 3.（23-24七年级下·甘肃张掖·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 题型十四　整式的化简求值 【典例14】（23-24七年级下·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）先化简再求值：，其中，． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除法（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：幂运算 1.幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 3.积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4.幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 要点二：整式的乘法运算 1.单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 要点三：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 要点四：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 要点五：整式的除法运算 1.单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2.多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 03 题型归纳 题型一　同底数幂的乘法运算 【典例1】（22-23七年级上·上海静安·阶段练习）计算： 【答案】． 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，合并同类项，先把底数化为同底数幂，再计算乘法，最后合并同类项即可,掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）计算：结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， 故正确． 故选：． 2．（23-24七年级下·四川巴中·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，按照同底数幂相乘法则计算结果，即可解答，熟知同底数幂相乘底数不变，指数相加是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法的应用，解题的关键是掌握：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此对已知进行恒等变换即可． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型二　幂的乘方与积的乘方运算 【典例2】（2024·陕西咸阳·三模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方运算，根据积的乘方的运算法则进行计算，即可解题． 【详解】解：， 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据积的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选；B． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）若，则（  ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，． 故选A． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算公式：，是解题的关键．利用幂的乘方和积的乘方计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 题型三　同底数幂的除法运算 【典例3】（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知，的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的运算，熟练掌握相应运算法则是解题的关键．根据同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知：，则= ． 【答案】8 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则对进行变形，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 2．（23-24七年级下·广西梧州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则，即可解题，根据积的乘方，同底数幂的除法运算法则计算即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）若则 ． 【答案】 【分析】此题考查同底数幂相除：底数不变，指数相减，熟练掌握计算法则是解题的关键，根据法则计算即可得到答案 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 题型四　幂的混合运算 【典例4】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)a (2) (3)6 (4) 【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，零指数幂，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同底数幂乘除法法则进行计算即可； （2）首先根据，再根据同底数幂乘法法则进行计算即可； （3）根据绝对值的意义，零指数与负整数指数幂的意义进行即可； （4）根据幂运算性质进行运算，最后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 巩固训练 1．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项运算法则求解即可； （2）将看成整体，利用同底数幂的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 2．（22-23七年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法； （2）先计算同底数幂的乘法、乘方，再计算同底数幂的乘法与除法． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与除法，，， （，，都是正整数），注意负数的奇次幂还是负数． 3．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据同底数幂乘法，积的乘方法则计算，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解； （2）先根据幂的乘方，积的乘方法则计算，再计算计算乘法，然后计算加法，即可求解． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 题型五　幂的逆运算 【典例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 【答案】（1）5184；（2）；（3）2450 【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用． （1）逆用积的乘方法则，即（其中n为正整数），则问题解决； （2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即、（其中m、n均为正整数），则问题解决； （3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴ ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）320；（2）5400． 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方的逆用，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 2．（22-23八年级上·福建莆田·期中）（1）已知，，，为正整数，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由可得：再把化为：，从而可得答案； （2）根据积的乘方与幂的乘方化为，代入，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：∵，， ∴ 【点睛】本题考查的是同底数幂乘法运算及其逆运算，积的乘方、幂的乘方运算及其逆运算，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）若，，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）8；（3）144 【分析】（1）将待求式转化为含有x3m，y3n的式子后整体代入计算； （2）（3）利用积的乘方与幂的乘方的逆运算对所求式子化简，然后代入计算即可. 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴ ． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键． 题型六　用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例6】（23-24七年级下·陕西西安·期末）在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为，则数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）是指大气中直径小于或等于的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，这些颗粒物的直径用科学记数法表示为（　　） A． B． C．400 D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就.科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据科学记数法进行表示即可． 【详解】解：125纳米米米， 故选：C． 3.（23-24七年级下·全国·单元测试）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数据用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法表示是， 故选D 题型七　整式的乘法 【典例7】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的乘法运算，涉及知识点：积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘多项式、合并同类项，熟练掌握运算法则是关键． （1）先计算积的乘方、单项式乘单项式，再合并即可； （2）利用单项式乘多项式法则去掉括号即可； （3）利用多项式乘多项式法则去掉括号，再合并即可； （4）先利用单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则去掉括号，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可． （2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的乘法运算，涉及知识点：积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘多项式、合并同类项，熟练掌握运算法则是关键． （1）先计算积的乘方、单项式乘单项式，再合并即可； （2）利用单项式乘多项式法则去掉括号即可； （3）利用多项式乘多项式法则去掉括号，再合并即可； （4）先利用单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则去掉括号，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，同底数幂的乘法，积的乘方及整式的加减运算． （1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再算合并同类项即可解答； （2）利用单项式乘多项式的法则，进行计算即可解答； （3）利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可解答； （4）利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型八　整式的乘法的实际应用 【典例8】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (3)当时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)平方米． 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则． （1）利用长方形面积公式直接计算即可； （2）利用长方形面积公式直接计算即可； （3）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解． 【详解】（1）∵平方米， ∴长方形地块的面积为平方米； （2）∵平方米， ∴修建雕像的小长方形地块的面积为平方米； （3）∵绿化部分的面积为平方米； ∴当时， （平方米）， ∴绿化部分的面积为平方米． 巩固训练 1．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长m、宽m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长m、宽m的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． (3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么在第（2）问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？（仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地面） 【答案】(1)m2 (2)m2 (3)元 【分析】本题考查了代数式运算的应用，熟悉掌握运算法则是解题的关键； （1）利用长方形面积公式列式运算即可； （2）把，代入（1）中式子运算即可； （3）把费用代入运算即可； 【详解】（1）解：由题意得： 答：安装健身器材的区域面积为； （2）当，时， 安装健身器材的区域面积 ， 答：安装健身器材的区域面积为2780 m2； （3）根据题意，需要的总费用为： ， 当，时，总费用为：（元）； 答：建设该居民健身场所需181000元． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要，，各型号卡片各多少张？ (2)用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为，型卡片的面积为，求，的值． 【答案】(1)需要型号卡片张，型号卡片张，型号卡片张 (2)， 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）由型卡片的面积为，可得，根据，求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：拼成的长方形面积为：， 需要型号卡片张，型号卡片张，型号卡片张； （2） 型卡片的面积为， ， ， ， ， 又阴影部分的面积为， ， 解得：（负值已舍去）， 又， ， ，． 3．（22-23七年级下·广东佛山·期中）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 【答案】(1)①  ② (2)图见详解， (3)5 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何中的应用，面积法； （1）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （2）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （3）将化为，由（2）可得，即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：①方法一：图2的面积可表示为， 方法二：图2的面积可表示为： ， ， 故答案：； ②方法一：图3的面积可表示为， 方法二：图3的面积可表示为： ， ； 故答案：； （2）解：如图， ； 故答案：； （3）解： 由（2）可得：， ， ， ∴． ∴当时， ． 题型九　平方差公式的计算 【典例9】（22-23七年级下·宁夏银川·期中）利用公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方差公式简化运算，熟记平方差公式是解决问题的关键． （1）根据题目式子的结构特征，将式子化为，利用平方差公式求解即可得到答案； （2）直接利用平方差公式变形求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固训练 1．（22-23七年级下·贵州六盘水·期中）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 【详解】解：A．，因此选项A不符合题意； B．，因此选项B符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．不能利用平方差公式，因此选项D不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了灵活运用平方差公式进行相关运算的能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．运用平方差公式进行求解． 【详解】 ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）若 ，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，平方差公式．先将代数式根据平方差公式分解为：，再整体代入求解， 【详解】解：∵ ，， ∴， 故答案为：． 题型十　平方差及几何意义 【典例10】（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)当，时，则 ． (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】(1)D (2)2 (3)①1；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）利用平方差公式求解即可； （3）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算； ②将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选：D； （2）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：2； （3）解：① ； ② . 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 【答案】(1)；； (2)①，② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①先变形，再求解即可； （3）利用平方差公式进行解答即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 拼成图2是长为，宽为的长方形，因此阴影部分的面积为， 所揭示的乘法公式为：， 故答案为： ，，； （2）①由， 得． ② ． 2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． A．        B．        C． (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 【答案】(1)B (2)①；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式； （2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可； ②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可． 【详解】（1）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图， 图1剩余部分的面积为，图2的面积为，二者相等，从而能验证的等式为：． 故选：B． （2）①， ， ； ②原式 3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）． A． B． C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，则______； ②计算：； 【答案】(1)B (2)①4；②300 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论； （2）①利用平方差公式解答即可； ②利用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：由于拼接前后的面积相等， ∴， ∴上述操作能验证的等式是B， 故答案为：B； （2）①∵ ∴， ∴， 故答案为：4； ② ． 题型十一　完全平方公式的计算 【典例11】（23-24七年级下·四川达州·期末）已知，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则A为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若是完全平方式，则a的值应是（    ） A． B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，根据进行作答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ 即 故选：C 3．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，正确掌握多项式乘以多项式计算法则及完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 题型十二　完全平方公式及几何意义 【典例12】（23-24七年级下·全国·单元测试）数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______；方法：______； (2)观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值； 【答案】(1) ， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和； （2）根据两种方法所表示的面积相等可解答； （3）①利用完全平方公式的变形求解即可； ②设，，则，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：方法：大正方形的面积为； 方法：大正方形的面积为， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知； 故答案为：； （3）， ， ， 又， ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 巩固训练 1．（22-23七年级下·河南郑州·期中）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（如图2）以及完全平方公式：（如图3）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． (1)观察图4请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，则的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，以及完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式的结构特征及变形是解题的关键． （1）利用等面积法求解即可． （2）由完全平方公式变形为：，代入数值求出结果即可． （3）利用，整体思想求出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵ ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：1． 2．（23-24七年级下·广东河源·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 【答案】(1)； (2)； (3)阴影部分的面积和为平方单位． 【分析】（）根据题目提供的方法，进行计算即可； （）设，，则，，然后利用进行计算即可； （）由题意得，，，则阴影部分的面积和为，由长方形的面积为平方单位得，设，，根据即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，熟练掌握，，与间的关系． 【详解】（1）设，， 则，， 所以， ， ， ； （2）设，， 则，， 所以， ， ， ， 故答案为：； （3）由题意得，，， ∴阴影部分的面积和为， ∵长方形的面积为， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴ ， ， ； ∴阴影部分的面积和为平方单位． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1：______；图2：______ 【拓展探究】 （2）用个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． 【解决问题】 （3）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为，求的面积． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】 （）分别用边长的平方、各部分面积之和来表示图1阴影部分的面积，二者相等，得到一个乘法公式；分别用边长的平方、大正方形的面积减空白部分图形的面积来表示图2阴影部分的面积，二者相等，得到一个乘法公式； （）分别用边长的平方、大正方形的面积减空白部分图形的面积来表示图3阴影部分的面积，二者相等即可得到这三个代数式之间的等量关系； （）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， ，根据（）中得到的乘法公式求出，的值就是的面积； 本题考查完全平方公式的几何背景等，熟练掌握长方形、正方形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 【详解】（）图中阴影部分的面积可表示为，也可表示为， ∴， 图中阴影部分的面积可表示为，也可表示为 ∴， 故答案为：，； （）图中阴影部分的面积可表示为，也可表示为 ， ∴； （）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十三　整式的混合运算 【典例13】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)（用乘法公式） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）按照多项式除以单项式的法则进行计算即可； （2）按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可； （3）先计算多项式的乘法，再合并同类项即可； （4）把原式化为，再按照平方差公式计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式，以及多项式除以单项式法则计算即可求出值． 此题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的四则混合运算等知识点，掌握乘方、负整数次幂、零次幂成为解本题的关键． （1）先根据乘方、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可； （2）先用平方差公式及单项式乘以多项式运算法则计算，最后合并同类项即可； （3）先算积的乘方及单项式乘除法，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3.（23-24七年级下·甘肃张掖·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、平方差公式的应用、同底数幂的运算、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键. （1）先运用零次幂、绝对值、去括号化简，然后再计算即可； （2）先凑出平方差公式进行简便运算即可； （3）先运用同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法化简，然后再计算即可； （4）先运用平方差公式、完全平方公式计算，然后再合并同类项即可 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： . 题型十四　整式的化简求值 【典例14】（23-24七年级下·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可 【详解】解：， ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式， 首先计算完全平方公式和平方差公式，然后计算加减，然后代数求解即可． 【详解】 当，时，原式． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 将代入上式，得． 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$