训练15 平面的基本事实与推论-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

5.C由题意知篮球回收筐为长方体戴去全等的4个小三：12.解析如图，作BM⊥CD于M,MN∥FC与直线EF 枝维，又截去的每个小三校维的体积为号×号×(W3) 交于点N,连接BN,由题设条件可知，DM=2,三棱柱 X1=合，所以盖球回放筐容报为V=14-4X号 AED-BNM为直三棱柱，体积为2X2X2×2=4,维 体B-MCFN底面MCFN为正方形，高为BM,则锥体 142,所以制余室间的容积为V=142-3×号x5)1 体积为号X2X2X2=号，故几何体ADE-BCF的体 142-12√5π. 6.解析V=号6h=30x 1-+7=√（）+6 “5=l=元X6×号=39元 答案号 13.解依题意可得，球的半径为r=5cm, 答案39x 7.解析设上底面半径为r,则下底面半径为4r,高为4r, 体积V,=2×号×125-20 3x cm', 如图。 大周柱的体积V,=25π×20=500πcm, 小圈柱的体积V,=4r×2=8πcm', 所以盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为 0 V-29+50x+8x+52x-9x=6l0xem 母线长为10，，10=(4r)十(4r一r)2,解得r=2. .下底面半径R=8,高h=8, 设国台南分的高为A,则号h(6+2+5X2)=52x。 ,。=号x+R+R)h=24 解得h=4cm. 所以盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为640rcm,园台 答案8224元 8.解(1)设球的半径为r,则由已知得4πr=64π，r=4, 部分的高为4cm 所以球的体积V=号×xX- 创新练素能培优 3元. 14.解(1)设正方体石块的棱长为a, (2②)设琅的丰径为R,由已知得专R-9,所以R 则每个戴去的四面体的体积为 =5, 号×号×号×号×号-0 所以球的表面积为S=4元R=4x×52=100π 9.解V=9x×华X6X2=485em) 由题意可得8×需+l16090-ad,解得a=0 3 Vm=x·32X3=27π(cm2), 故正方体石块的棱长为40cm. (2)当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形 Ve4#=π·1'×(3+2)=5π(cm3), 此几何体的体积V=V*a十V属a一V花*#=(48V 石凳的表面积最大 +22r)(cm'). 此时正方体的棱长正好是球的直径， 能力练迁移运用 “球形石凳的表面和S=4X(?) /40 =1600πcm2 10,A由图知，Vam=}CD'·SmVC= CD'·SAD/DA,而SAmm=2S△Naw,·剩余部分的体积为 :5X10≈3一瓶环保底漆大约可以粉刷3个球 1600元 V.xw-Vew=号CD'·Sm,棱维CADD 形石凳. 的体积与剩余部分的体积之比为1：5. 训练十五平面的基本事实与推论 11.解析六梭柱的体积为 基础练学考测评 6x[合xgx6×m60 ×2=9√3，圆柱的体积 1.C由平面的基本事实及推论得在A中，不共线的三 为×(0.5)严×2=受，所以此六角螺帽毛坯的体积是 个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个 平面，故A错误：在B中，共线的四个点不能确定一 (93-)m. 个平面，故B错误；在C中，由于三角形的三个顶点 不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正确：D 答案95-受 错误.故选C, 44 2.AC若四点共面，则可确定1个平面：若四点不共面，： “两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上， 则可确定4个平面： P,Q,R三点共线 3.A因为A∈平面a,B∈平面a,所以ABCa.又C∈直 线AB,所以C∈a. 4.D直线AC与直线PO交于点O,所以平面PCA与平 面PBD交于点O,所以必相交于直线PO,直线AM在 平面PAC内，点N∈AM,故N∈面PAC,故O,N,P, M四，点共面，所以A错误.点D若与M,N共面，则直 线BD在平面PAC内，与题目矛盾，故B错误.O,NE 能力练迁移运用 面PBD,m年面PBD,故O,M,N三点不共线. 10.C取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥AD,所以 5.D画出裁面图形如图： 平面AD,EF为所求截面， C D 得不出戴面是直角三角形的戴面。 EF=√2，AD,=2√2，AF=√2+1下=√5，所以梯形的 6.解析因为A,B,C三点都是两个不重合的平面的公共 点，所以这两个平面相交，所以A,B,C三点都交线上， 高为5-（受）=温，t三点A,D,E的我西 所以A,B,C三点共线 答案共线 西软为2生2×3号-号 2 7.解析因为P∈AB,ABC平面ABC,所以P∈平面 ABC.又P∈a,平面ABC∩a=DE,所以P∈DE. 11.解析如下图所示， 答案P∈DE 8.证明已知：如图，已知A任1，B,C,DEl. 因为AC∥BD,所以A,B,C,D四点共面 又OEl,I∈平面ABDC,所以OE平面ABDC 求证：AB,AC,AD共面. 又OE平面a,所以O在平面ABDC与平面a的交线 证明：，A任1， 上.又平面ABDCN平面a=CD,所以OECD, 根据基本事实1的推论可得点A和直线【骑定一个平 所以O,C,D三点共线，故答案为共线 面a+ 答案共线 B,C,DEL,ICa,..B,C,DEa. 12.解析点E,H分别在AB,AD上，而AB,AD是平 又A∈a,AB,AC,ADCa,即AB,AC,AD共面， 面ABD内的直线，E∈平面ABD,H∈平面ABD, 9.证明(1)连接B,D1,在正方体ABCD-ABCD中， 可得直线EHC平面ABD.:点F,G分别在BC,CD E,F分别为CD,BC的中点， 上，而BC,CD是平面BCD内的直线，，F∈平面 ∴EF是△B,CD1的中位线，.EF∥BD,且EF= BCD,GE平面BCD,可得直线FGC平面BCD,因此， B.D.. 直线EH与FG的公共点在平面ABD与平面BCD的 交线上 又B,DLBD,EF∥BD且EF=2BD, :平面ABD∩平面BCD=BD,点M∈直线BD. .四边形BDEF为梯形，即B,D,E,F四点共面 (2)在正方体ABCD-A,B,C,D1中， ACnBD=P,A,C,∩EF=Q, ∴PQ是平面AA,C,C与平面BDEF的交线. 又AC,交平面BDEF于点R, ,R是平面AA,C,C与平面BDEF的一个公共，点. 答案BD 45 13.解(1)如图所示，直线PB即为平面BED,F与平面 ABCD的交线，理由如下： 训练十六平行直线与异面直线 基础练学考测评 1.ACD如图，a与c相交或异面 P 在正方体ABCD-A,B,CD,中， E,F分别是棱CC,AA,的中点， 2.BCA,D均为假命题.A项可举反例，如a,b,c三线两 DAC平面AADD,DFC平而AA,D,D, 两垂直.D项，如图甲时，c,d与异面直线I1,l交于四个 且DA与DF不平行， 点，此时c,d异面：当点A在直线L,上运动（其余三点 在平面AA,DD内分别延长D,F,DA, 不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此 则DF与DA必相交于一点，不妨设为点P, 时c,d共面相变. .P∈AD,P∈DF. :DAC平面ABCD,D,FC平面BED,F, A(B) ∴，P∈平面ABCD,P∈平面BEDF, 即P为平面ABCD和平面BED,F的公共点 又B为平面ABCD和平面BED,F的公共，点，连 接PB, ∴直线PB即为平面BED,F与平面ABCD的交线. 3.D空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的 (2)证明：如图所示，在正方体AB- D C 对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D. CD-A,B,CD1中， A 4.B如图，在正方体ABCD-A,B,CD中，AA1与BC BB,∥DDL且BB=DD, 是异面直线，又AA1∥BB1,AA1∥DD,显然BB1∩BC 四边形BB,D,D为平行四边形. =B,DD,与BC是异面直线，故选B. :H为直线B,D与平面BED,F的 C 交点， .H∈BD.又BDC平面BBDD, ∴.H∈平面BBD,D. 又H∈平面BED,F,平面BEDF∩平面BBD,D =BD1, 5.D如图(1)所示，直线a与b互相平行；如图(2)所示， H∈BD,B,H,D,三点共线 直线a与b相交：如图(3)所示，直线a与b异面. 创新练素能培优 14解延长A,M与AB的延长线交于点E,延长DC到 点F,使得CF=2DC,连接EF,C,F,则EF就是平面 A,MC,与平面ABCD的交线， (1) (2) (3) 理由如下： 6.解析①根据异面直线的定义可知AM与CC,是异面 在正方体ABCD-A,B,C,D1中，M为棱BB,的 中点， 直线，①错误.②设E是线段AB中点，F是线段BB,的 ∴.MB∥AA,∴B为AE的中点，∴CF∥AE, 中点，连接EC,FC,如图所示，根据正方体的性质可知 且CF=AE,.四边形ACFE为平行四边形， AM∥EC,BN∥FC,所以AM与BN不是平行直线， ∴.AC∥EF.又AC∥A,C, ②错误.③根据异面直线的定义可知BN与MB,是异 AC∥EF,所以A1,E,F,C1四点共面， 面直线，③正确.④根据异面直线的定义可知AM与 ∴.平面A,EFC是平面A,MC1与平面ABCD的戴面， DD1是异面直线，④正确. .EF就是平而A,MC,与平面ABCD的交线. D D 答案③④ 46训练十五 平面的基本事实与推论 基础练 学 8.过已知直线外一点与这条直线上的3点, 分别画3条直线,证明:这三条直线在同一 1.空间中,可以确定一个平面的条件是( _~ 个平面内: A.三个点 B.四个点 C.三角形 D.都不对 2.(多选)空间不共线的四点可以确定平面的 个数为 ( ) A.1 C.4 B.3 D.5 3.若AC平面。,BC平面a,CE直线AB,则 ( _ A.Ca B.Ca C.ABa D.ABa-C 4.如图所示,四校锥P-AB CD.ACOBD=O.M是PC 的中点,直线AM交平面 9.如图,正方体ABCD-A.B.CD. 中,E,F PBD于点N,则下列结论正 分别为CD,B.C的中点. 确的是 A.O.N,P,M四点不共面 B.O.N,M,D四点共面 C.O.N,M三点共线 ---C D. P,N,O三点共线 5.用一个平面去截正方体,所得的截面不可 (1)求证:B.D,E,F四点共面; 能是 ( _~ (2)若ACOBD=P,A.C OEF=Q,AC A.六边形 B.菱形 与平面EFBD交于点R,求证:P,Q,R三 C.梯形 D.直角三角形 点共线. 6.若A,B.C三点都是两个不重合的平面的 公共点,则A,B,C三点的位置关系是 7.如图,已知D,E分别是△ABC的边AC; BC上的点,平面。经过D,E两点,若直线 AB与平面。的交点是P,则点P与直线 DE的位置关系是 29 高中数学·必修 第四册(R1B) 能力练 移用 (2)设H为直线B.D与平面BED.F的 交点,求证:B,H,D三点共线. 10.如图,在校长为2的正方体ABCD- A.B.CD 中,E是梭CC 的中点,则过三 点A.D,E的截面面积等于 _ 1 E #C B.3/10 A.3、2 C D.3 2 11.若直线/与平面。相交于点O,A,BE/. 创新练 慨 C.DEa,且AC//BD,则O.C,D三点的 14.如图,在正方体ABCD-A.BC.D. 中,M 位置关系是 . 12.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA 是BB.的中点,试作出平面A.C.M与平 上分别取点E,F,G.H,如果EH.FC相交 面ABCD的交线. D 上. 于一点M,那么M一定在直线 C ..C 13.已知正方体ABCD-A.B.CD.E.F分 别是校CC,AA.的中点: (1)画出平面BED.F与平面ABCD的交 线,并说明理由; 30