专题05 平面向量（讲义）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

专题02 平面向量 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 8 05 核心精讲·题型突破 9 题型一：平面向量中三点共线简单应用及结论 9 题型二：利用向量解决平面几何定值问题（常规与坐标） 10 题型三：平面向量定义或坐标解决模、夹角、投影、数量积问题 12 题型四：利用向量解决平面几何最值问题 13 有关平面向量的北京高考试题，平面向量问题以基础性为主，突出向量的线性运算和坐标运算,特别是线性运算、夹角计算、数量积考查较多,模的计算、向量的垂直与平行也经常出现,向量的综合问题间隔考查.平面向量重点突出其工具功能.向量备考应重视基础知识,要求考生熟练掌握基本技能。 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 平面向量 熟练掌握向量的线性运算和坐标运算 2024年北京卷第5题，5分 2023年北京卷第3题，5分 2022年北京卷第10题，5分 2021年北京卷第13题，5分 2020年北京卷第13题，5分 2015年北京卷理科第13题，5分 预测2025年高考，平面向量主要以选择题形式出现，也有可能会将其渗透在填空题的表达之中．具体评估为： 以选择题或填空题形式出现，考查学生基础知识，熟练掌握向量基本技能． 1、向量数量积的性质 技巧总结 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． ① ② ③当与同向时，；当与反向时，．特别的或 ④ ⑤ 2、向量数量积的坐标表示 技巧总结 ①已知两个非零向量，， ②设，则或 ③如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 3、向量在几何中的应用 技巧总结 ①线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 ②垂直问题，常用垂直的充要条件 ③求夹角问题，利用 ④求线段的长度，可以利用或 4、常见的坐标系建立 技巧总结 ①边长为的等边三角形 ②知道夹角的任意三角形 ③正方形 ④矩形 ⑤平行四边形 ⑥ 直角梯形 ⑥ 等腰梯形 ⑦圆 建系原则：尽可能让多个点位于坐标轴上. 解题步骤：第一步： 将已知条件进行坐标处理；第二步： 利用平面向量共线坐标表示列式求解；第三步： 得出结论. 5、向量加法与减法的法则： 技巧总结 平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和. 图形表示： 字母表示：， 坐标表示：记，则 三角形法则：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 图形表示： 字母表示： 坐标表示：记，则 6、向量数乘的定义 技巧总结 实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 图形表示： 字母表示： 坐标表示：记， 则 7、两个向量的数量积 技巧总结 图形表示： 字母表示： 坐标表示：记，，则 注意： 1、向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 2、设，， ⊥. 3、两个向量，的夹角公式：. 8、极化恒等式 技巧总结 向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 证明：不妨说则， （1） （2） （1）（2）两式相加得： 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 将上面（1）（2）两式相减， 极化恒等式 即：（平行四边形模式）A B C M 在三角形中（为的中点），恒等式： 因为，所以（三角形模式） 极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化. 常见的解决的题型:有中点或能构造中点的积的向量题。 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 5．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ． 题型一：平面向量中三点共线简单应用及结论 【典例1-1】在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况 （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使 （3）有且只有一个实数，使 （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一 【变式1-1】设，，，为平面四个不同点，它们满足，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【变式1-2】已知、是两个不共线的向量，且向量，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式1-3】向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 1．已知向量不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（     ） A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ 2．在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，是两个不平行的向量，若向量与向量平行，则实数t等于（    ） A．－ B．－1 C．0 D．－2 4．在四边形中，，，，若不共线，则四边形的形状是（ ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 5．已知，，若与共线，则（    ） A． B．4 C．9 D． 题型二：利用向量解决平面几何定值问题（常规与坐标） 【典例2-1】如图，已知等腰中， ，，点P是边上的动点，则的值（ ） A．为定值10 B．为定值6 C．不为定值，有最大值10 D．不为定值，有最小值6 【典例2-2】已知单位向量和，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． ①建系原则：尽可能让多个点位于坐标轴上 解题步骤：第一步：将已知条件进行坐标处理 第二步： 利用平面向量共线坐标表示列式求解 第三步： 得出结论 ②当与同向时，；当与反向时，．特别的或 【变式2-1】已知边长为2的正方形中，与交于点，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式2-2】已知，是单位向量，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D．10 1．如图，在中，，，是的三等分点，且，则错误的是（   ）    A． B． C． D． 2．中，，，，（    ） A． B． C． D． 3．正方形的边长为2，点P为边中点，则= . 4．已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为，则 . 5．已知，，，若，则实数 ． 题型三：平面向量定义或坐标解决模、夹角、投影、数量积问题 【典例3-1】已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知平面向量满足与方向相同，则的坐标是（    ） A． B． C． D． ①已知两个非零向量，， ②设，则或 ③如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式） 【变式3-1】已知向量．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，，且，则x的值为（    ） A．1 B． C．或0 D．或1 【变式3-3】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 1．已知向量，满足，，且， 则= （    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则= 3．若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 4．已知向量，，则 ． 5．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ． 题型四：利用向量解决平面几何最值问题 【典例4-1】如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】已知点，，动点C在圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 ①在三角形中（为的中点），恒等式： 因为，所以（三角形模式） ②极速建系法 【变式4-1】在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（    ） A．12 B． C． D． 【变式4-3】在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ． 2．设A，B，C三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为 ． 3．边长为2的等边中，，，则的最小值为 ． 4．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是 ．    5．正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 8 05 核心精讲·题型突破 11 题型一：平面向量中三点共线简单应用及结论 11 题型二：利用向量解决平面几何定值问题（常规与坐标） 16 题型三：平面向量定义或坐标解决模、夹角、投影、数量积问题 20 题型四：利用向量解决平面几何最值问题 23 有关平面向量的北京高考试题，平面向量问题以基础性为主，突出向量的线性运算和坐标运算,特别是线性运算、夹角计算、数量积考查较多,模的计算、向量的垂直与平行也经常出现,向量的综合问题间隔考查.平面向量重点突出其工具功能.向量备考应重视基础知识,要求考生熟练掌握基本技能。 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 平面向量 熟练掌握向量的线性运算和坐标运算 2024年北京卷第5题，5分 2023年北京卷第3题，5分 2022年北京卷第10题，5分 2021年北京卷第13题，5分 2020年北京卷第13题，5分 2015年北京卷理科第13题，5分 预测2025年高考，平面向量主要以选择题形式出现，也有可能会将其渗透在填空题的表达之中．具体评估为： 以选择题或填空题形式出现，考查学生基础知识，熟练掌握向量基本技能． 1、向量数量积的性质 技巧总结 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． ① ② ③当与同向时，；当与反向时，．特别的或 ④ ⑤ 2、向量数量积的坐标表示 技巧总结 ①已知两个非零向量，， ②设，则或 ③如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 3、向量在几何中的应用 技巧总结 ①线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 ②垂直问题，常用垂直的充要条件 ③求夹角问题，利用 ④求线段的长度，可以利用或 4、常见的坐标系建立 技巧总结 ①边长为的等边三角形 ②知道夹角的任意三角形 ③正方形 ④矩形 ⑤平行四边形 ⑥ 直角梯形 ⑥ 等腰梯形 ⑦圆 建系原则：尽可能让多个点位于坐标轴上. 解题步骤：第一步： 将已知条件进行坐标处理；第二步： 利用平面向量共线坐标表示列式求解；第三步： 得出结论. 5、向量加法与减法的法则： 技巧总结 平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和. 图形表示： 字母表示：， 坐标表示：记，则 三角形法则：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 图形表示： 字母表示： 坐标表示：记，则 6、向量数乘的定义 技巧总结 实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 图形表示： 字母表示： 坐标表示：记， 则 7、两个向量的数量积 技巧总结 图形表示： 字母表示： 坐标表示：记，，则 注意： 1、向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 2、设，， ⊥. 3、两个向量，的夹角公式：. 8、极化恒等式 技巧总结 向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 证明：不妨说则， （1） （2） （1）（2）两式相加得： 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 将上面（1）（2）两式相减， 极化恒等式 即：（平行四边形模式）A B C M 在三角形中（为的中点），恒等式： 因为，所以（三角形模式） 极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化. 常见的解决的题型:有中点或能构造中点的积的向量题。 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D        3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 4．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 【答案】 0 3 【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， . 故答案为：0；3. 5．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ． 【答案】 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、， ， 则点，，， 因此，，. 故答案为：；. 题型一：平面向量中三点共线简单应用及结论 【典例1-1】在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】，所以，则有， 又是直线上的一点，所以，解得. 故选：B. 【典例1-2】已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 【详解】，，且， 而三点共线，，即， ， 所以. 故选：A. 应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况 （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使 （3）有且只有一个实数，使 （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一 【变式1-1】设，，，为平面四个不同点，它们满足，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】A 【详解】因为， 所以，即， 所以，所以，所以，，三点共线. 故选：A 【变式1-2】已知、是两个不共线的向量，且向量，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【详解】对于A，因为， 所以，所以三点不共线，故A错误； 对于B，因为 所以， 所以，又是与的公共点， 所以三点共线，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，所以三点不共线，故C错误； 对于D，因为， 所以，所以三点不共线，故D错误. 故选：B 【变式1-3】向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】D 【详解】根据网格图中的的大小与方向，易于得到， 由向量与共线，可得，解得：. 故选：D. 1．已知向量不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（     ） A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ 【答案】B 【详解】因为与反向共线，所以， 即，因为向量不共线， 所以，解得：或，因为且，所以. 故选：B 2．在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又是直线上的一点，所以， 又， 所以，所以. 故选：B 3．已知，是两个不平行的向量，若向量与向量平行，则实数t等于（    ） A．－ B．－1 C．0 D．－2 【答案】A 【详解】向量与向量平行,则存在实数,使得, 即，又，是两个不平行的向量， 所以，解得， 故选：A． 4．在四边形中，，，，若不共线，则四边形的形状是（ ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A 5．已知，，若与共线，则（    ） A． B．4 C．9 D． 【答案】A 【详解】因为与共线， 所以，解得. 故选：A. 题型二：利用向量解决平面几何定值问题（常规与坐标） 【典例2-1】如图，已知等腰中， ，，点P是边上的动点，则的值（ ） A．为定值10 B．为定值6 C．不为定值，有最大值10 D．不为定值，有最小值6 【详解】记的中点为，由题可知，，,， 所以. 故选：A 【典例2-2】已知单位向量和，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B ①建系原则：尽可能让多个点位于坐标轴上 解题步骤：第一步：将已知条件进行坐标处理 第二步： 利用平面向量共线坐标表示列式求解 第三步： 得出结论 ②当与同向时，；当与反向时，．特别的或 【变式2-1】已知边长为2的正方形中，与交于点，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【详解】由题可知，,, 所以 故选：A 【变式2-2】已知，是单位向量，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，是单位向量，所以. 又，所以，所以，所以. 又. 所以. 故选：D 【变式2-3】设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D．10 【详解】因为，所以， 即，所以， 则， 所以. 故选：C. 1．如图，在中，，，是的三等分点，且，则错误的是（   ）    A． B． C． D． 【详解】对于A，由题意得D为BE的中点，所以，故选项A正确； 对于B，，故选项B不正确； 对于C，取DE的中点G，    由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且， 所以， 所以，，故选项C正确； 对于D，由G是BC的中点得，两边平方得，所以，故选项D正确. 故选：B. 2．中，，，，（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意得，由于，则的夹角是， 则. 故选：B 3．正方形的边长为2，点P为边中点，则= . 【详解】由题可得，，且，    所以. 故答案为：. 4．已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为，则 . 【详解】由图知，，且， 所以， 故答案为：. 5．已知，，，若，则实数 ． 【详解】由，，则， 又，则， 则，即， ，解得， 故答案为： 题型三：平面向量定义或坐标解决模、夹角、投影、数量积问题 【典例3-1】已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】当 时，，有无数组解，故A错误； 当时，，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 故方程有且仅有一组解，故B正确； 当时，，当或时方程成立，方程有无数组解，故C错误； 当时，即，即，方程有无数组解，故D错误. 故选：B 【典例3-2】已知平面向量满足与方向相同，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为与方向相同，所以设, 又因为, 所以，所以. 故选：C. ①已知两个非零向量，， ②设，则或 ③如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式） 【变式3-1】已知向量．若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：A 【变式3-2】若，，且，则x的值为（    ） A．1 B． C．或0 D．或1 【详解】由题设， 由题，得，解得或. 故选：C. 【变式3-3】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为向量，且，则， 故选：B 1．已知向量，满足，，且， 则= （    ） A． B． C． D． 【详解】设，而，则，又且， 因此，解得， 所以. 故选：B 2．已知向量，，则= 【详解】因为向量，， 所以， 所以， 故答案为：5 3．若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 【详解】向量与的夹角为钝角， 所以，且， 解得， 故答案为：． 4．已知向量，，则 ． 【详解】由题意，， 则. 故答案为： 5．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ． 【详解】由图及网格纸上小正方形的边长为1， 可得. 则. 则. 故答案为：. 题型四：利用向量解决平面几何最值问题 【典例4-1】如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 【典例4-2】已知点，，动点C在圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【详解】不妨设，． 因为，，则，， 所以． 当时，即时等号成立， 故选:D． ①在三角形中（为的中点），恒等式： 因为，所以（三角形模式） ②极速建系法 【变式4-1】在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以，因为D为BC的中点，所以， ，设，所以， 所以，可得，， 所以， 因为，所以. 故选：A.    【变式4-2】在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（    ） A．12 B． C． D． 【详解】如图：    取BC，BD中点E，G，可知，且， 取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以最大值为， 故的最大值为12. 故选：A. 【变式4-3】在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，在中，边的中点为D 由，可得： ， ，可得：， ， ，可得：，（当且仅当时等号成立） 则的最大值为4. 故选：D. 1．已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ． 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 则， 因为， 所以， 所以当时，取得最大值. 故答案为：. 2．设A，B，C三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为 ． 【详解】将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点和点的连线是一条体对角线．    设，，， 和分别是点，在平面上的投影． 可得，，， 则 ， 因为， 当且仅当点C为的中点时，等号成立， 可得， 所以，当，，且时等号成立． 故答案为：. 3．边长为2的等边中，，，则的最小值为 ． 【详解】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故， 以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    则、、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 4．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是 ．    【详解】以为原点，,所在直线分别为,轴,建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，其中， 则， ， 当时,有最小值3， 当或2时，有最大值为4， 的取值范围为. 故答案为：.    5．正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为 ． 【详解】以，为，轴建立直角坐标系则， ，，，， 设，则 ，，， ， 当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， 的取值范围是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$