第03讲 分式（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第一章 数与式 第03讲 分式（3~12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的相关概念 （高频考点） 考点二 分式的化简求值（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的相关概念 ►题型01 分式的判断 ►题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 ►题型03 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围 ►题型04 约分与最简公式 ►题型05 命题点二 分式的基本性质 ►题型01 利用分式的基本性质进行变形 ►题型02利用分式的基本性质判断分式值的变化 ►题型03利用分式的符号法则，将分式恒等变形 命题点三 分式的运算 ►题型01分式的乘除法 ►题型02分式的加减法 ►题型03分式的混合运算 ►题型04分式的化简求值 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 分式的相关概念 · 理解分式和最简分式的概念. · 10年8考 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 分式的基本性质 · 能利用分式的基本性质进行约分与通分. · 10年5考 分式的运算 · 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. · 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的相关概念 （高频考点） 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 1.（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2023·湖南·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2022·湖南常德·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围为 ． 考点二 分式的化简求值（高频考点） 1． （2023·湖南益阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2．（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值：，其中． 3．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的相关概念 ►题型01 分式的判断 1.（2024·广西桂林·一模）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 2.（2022·上海·模拟预测）下列各式中：中，是分式的共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 ►题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 1.（2024·贵州遵义·一模）要使无意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江苏镇江·中考真题）使分式有意义的的取值范围是 ． 3.（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式有意义，则x需满足的条件是 ． 4.（2024·湖南·模拟预测）若分式有意义，则的取值范围是 ． 5.（2023·湖北恩施·一模）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0. ►题型03 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围 1.（2024·贵州贵阳·一模）若分式的值为0，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 2.（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ． 3.（24-25南充市一模）已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值： ． 4.（2024·河南商丘·模拟预测）分式的值为负数，求x的取值范围 ． 5.（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题. 2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号. 3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号. ►题型04 约分与最简公式 1.（2024·河南商丘·模拟预测）化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东深圳·三模）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·四川泸州·一模）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 4.（23-24·河南周口·一模）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.确定分子、分母的公因式的方法: 分子、分母类型 具体方法 单项式 1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幂. 多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式 ►题型05 最简公分母 1.（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ． 2.（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 命题点二 分式的基本性质 ►题型01 利用分式的基本性质进行变形 1.（2024·河北邢台·模拟预测）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·贵州黔东南·二模）下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的. ►题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 1.（2024·重庆·模拟预测）将分式中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（    ） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍 2.（2024·江苏徐州·三模）如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（  ） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 3.（2024·江苏泰州·一模）对于分式 的值，下列说法一定正确的是（     ） A．不可能为 B．比大 C．可能为 D．比大 4.（2024·河北秦皇岛·一模）若，则下列各式的值与P的值一定相等的是（    ） A． B． C． D． ►题型03 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 1.（2024·江苏徐州·一模）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 2.（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 3.（2024八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的乘除法 1.（2024·贵州黔东南·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·河南周口·一模）化简 的结果为（   ） A． B． C． D． 3.（2024·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（2024·内蒙古包头·三模）计算的结果为 ． 5.（2024·天津河北·模拟预测）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． ►题型02 分式的加减法 1.（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 2.（2024·江苏常州·中考真题）计算： ． 3.（2024·广东·中考真题）计算： ． 4.（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 5.（2023·江苏南京·校联考三模）已知，，证明：． ►题型03 分式的混合运算 1.（2024·四川·中考真题）化简：． 2.（2024·山西·中考真题）化简：． 3.（2024·甘肃临夏·中考真题）化简：． 4.（2024·四川泸州·中考真题）化简：． ►题型04 分式的化简求值 1.（2024·宁夏银川·三模）若，则分式的值为 ． 2.（2024·湖南·模拟预测）先化简，后求值：，其中． 3.（2024·宁夏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 4.（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 5.（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 基础巩固 1．若是分式，则□可能是（   ） A．3 B．y C． D． 2．下列说法错误的是（  ） A．代数式不是分式 B．分式的值不可能为0 C．分式是最简分式 D．分式中的x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变 3．下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．下列式子从左至右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若代数式有意义．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 8．若化简的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（    ） A． B． C． D． 9．下列运算错误的是（） A． B． C． D． 10．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如果，那么 ． 12．在函数中，自变量的取值范围是 ． 13．当时，代数式的值为 ． 14．不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为 ． 15．如果把分式中的、同时扩大为原来的倍，那么该分式的值 ． 16．如果，则的值为 ． 17．计算的结果是 ． 18．先化简，再求值：，选择一个你喜欢且不大于3的正整数代入求值． 19．观察下列不等式： ①；②；③；④；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第8个不等式： ； (2)写出你猜想的第n个不等式： （n是正整数）；并说明你猜想的合理性． 20．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 能力提升 1．已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定： ． 下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则(　　) A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 4．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．当正整数 时，分式的值也是正整数． 7．若函数对一切实数恒有意义，则的取值范围是 ． 8．若只有一个正实数是关于的方程的解，求实数的取值范围． 9．先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解． 10．已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 11．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)行，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． $$第一章 数与式 第03讲 分式（3~12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的相关概念 （高频考点） 考点二 分式的化简求值（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的相关概念 ►题型01 分式的判断 ►题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 ►题型03 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围 ►题型04 约分与最简公式 ►题型05 命题点二 分式的基本性质 ►题型01 利用分式的基本性质进行变形 ►题型02利用分式的基本性质判断分式值的变化 ►题型03利用分式的符号法则，将分式恒等变形 命题点三 分式的运算 ►题型01分式的乘除法 ►题型02分式的加减法 ►题型03分式的混合运算 ►题型04分式的化简求值 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 分式的相关概念 · 理解分式和最简分式的概念. · 10年8考 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 分式的基本性质 · 能利用分式的基本性质进行约分与通分. · 10年5考 分式的运算 · 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. · 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的相关概念 （高频考点） 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 1.（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【提示】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 2．（2023·湖南·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的约分可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据分式的加法运算可判断C，根据零指数幂的含义可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，运算正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查分式的约分，幂的乘方运算，分式的加法运算，零指数幂，熟记运算法则是解本题的关键． 3.（2022·湖南常德·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，是解题的关键． 考点二 分式的化简求值（高频考点） 1．（2023·湖南益阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把代入化简后的分式中进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，熟练的计算分式的混合运算是解本题的关键． 2．（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的相关概念 ►题型01 分式的判断 1.（2024·广西桂林·一模）下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且，那么式子叫做分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．据此判定各式子即可． 【详解】解：A、是单项式，不是分式，不符合题意； B、是多项式，不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是多项式，不是分式，不符合题意， 故选：C． 2.（2022·上海·模拟预测）下列各式中：中，是分式的共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进而解答即可． 【详解】是分式，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的概念，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母． ►题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 1.（2024·贵州遵义·一模）要使无意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件为分式的分母为0，即可求解． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴． 故选：A 2.（2024·江苏镇江·中考真题）使分式有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 3.（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式有意义，则x需满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 故答案为：． 4.（2024·湖南·模拟预测）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式分母不为零，列不等式求解即可得到答案，熟记分式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：若分式有意义，则，解得且， 故答案为：且． 5.（2023·湖北恩施·一模）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【提示】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且， 故选C． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0. ►题型03 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围 1.（2024·贵州贵阳·一模）若分式的值为0，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 且， 解答得：． 故选：C． 2.（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ． 【答案】1 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 3.（24-25南充市一模）已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值： ． 【答案】4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对） 【分析】本题主要考查了分式的值，根据除法的符号法则可知分子与分母同号，又分子，故分母， 从而求出的取值范围，熟练掌握分子与分母同号，分式的值大于0，分子与分母异号，分式的值小于0是解决此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ， 又 ， ， ， 故当时，分式的值为正数， ∴的正整数值可为4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）， 故答案为：4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）． 4.（2024·河南商丘·模拟预测）分式的值为负数，求x的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 5.（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题. 2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号. 3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号. ►题型04 约分与最简公式 1.（2024·河南商丘·模拟预测）化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分，把分子分解因式，然后约分即可． 【详解】解：∵， ∴括号内应填． 故选D． 2.（2024·广东深圳·三模）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的约分，根据平方差公式和完全平方公式，可得，即可求得答案． 【详解】 故选：A 3.（2024·四川泸州·一模）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式定义，根据最简分式的定义逐项验证即可得到答案，熟记最简分式定义：分式的分子与分母除1以外再没有其他公因式，是解决问题的关键． 【详解】解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意； C、，故不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 4.（23-24·河南周口·一模）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简分式，分子和分母中除了1以外，没有其它公因式的分式叫做最简分式，熟练掌握最简分式的定义和分式的约分是解题的关键．根据最简分式的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项不是最简分式，不符合题意； B．，是最简分式，故选项符合题意； C．，故选项不是最简分式，不符合题意； D．，故选项不是最简分式，不符合题意． 故选：B． 分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.确定分子、分母的公因式的方法: 分子、分母类型 具体方法 单项式 1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幂. 多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式 ►题型05 最简公分母 1.（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键． 根据最简公分母的定义即可得出答案． 【详解】解：分式方程，各分母的最简公分母是， 故答案为：． 2.（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 【详解】解： ，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 命题点二 分式的基本性质 ►题型01 利用分式的基本性质进行变形 1.（2024·河北邢台·模拟预测）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查根据分式的性质对分式进行化简，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】A. ，原计算错误； B. ，，原计算错误； C. 不能化简，，原计算错误； D. ，计算正确； 故选：D． 2.（2024·贵州黔东南·二模）下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，原式变形正确，不符合题意； B、，原式变形正确，不符合题意； C、，原式变形错误，符合题意； D、，原式变形正确，不符合题意； 故选：C． 分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的. ►题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 1.（2024·重庆·模拟预测）将分式中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（    ） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把子母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 将原式中的分别用代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案． 【详解】解：将分式中的的值同时扩大为原来的10倍， 则原式变为， ∴分式的值扩大1000倍， 故选：D． 2.（2024·江苏徐州·三模）如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（  ） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键． 把分式中的换成换成，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：中的都扩大3倍，得出， 那么分式的值扩大3倍， 故选：B． 3.（2024·江苏泰州·一模）对于分式 的值，下列说法一定正确的是（     ） A．不可能为 B．比大 C．可能为 D．比大 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质，分式的值为零逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握分式的性质． 【详解】、当，当时，分式的值为，原选项说法错误，不符合题意； 、，可能比小，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，，此时分母为零，原选项说法错误，不符合题意； 、，比大，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 4.（2024·河北秦皇岛·一模）若，则下列各式的值与P的值一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质针对四个选项进行分析即可． 【详解】A、不能再化简，故本选项不符合题意； B、不能再化简，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． ►题型03 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 1.（2024·江苏徐州·一模）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 【详解】（1）解：原式 ; （2）解: 原式 ． 2.（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3.（2024八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （2）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （3）同时改变分子，分母的符号，分式的值不变． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）． （2）． （3）． 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的乘除法 1.（2024·贵州黔东南·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则运算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2.（2024·河南周口·一模）化简 的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则，约分化简即可． 【详解】解：原式； 故选C． 3.（2024·河北邢台·模拟预测）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 先计算乘方运算，在计算乘除运算即可得到结果． 【详解】 ； 故选：D． 4.（2024·内蒙古包头·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，再按乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5.（2024·天津河北·模拟预测）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． 【答案】 【分析】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可． 【详解】解：根据题意得； ； ； …… 根据以上规律可得：． ►题型02 分式的加减法 1.（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2.（2024·江苏常州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同分母分式加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3.（2024·广东·中考真题）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 4.（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键． 【详解】解：从第②步开始出现错误． 正确的解题过程为： 原式． 5.（2023·江苏南京·校联考三模）已知，，证明：． 【答案】见解析 【提示】根据作差法比较大小，然后根据分式的加减进行计算得出即可得证． 【详解】证明：∵， 又，， ∴，，． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键． ►题型03 分式的混合运算 1.（2024·四川·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟记运算法则和运算顺序是解决此题的关键．先将括号内的分式通分计算，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解． 【详解】解： ． 2.（2024·山西·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知运算法则是解题的关键． 先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ． 3.（2024·甘肃临夏·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ． 4.（2024·四川泸州·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，然后根据完全平方公式和平方差公式整理，最后约分即可得出答案． 【详解】解： ►题型04 分式的化简求值 1.（2024·宁夏银川·三模）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子分母因式分解，再约分化简，然后整体代值即可得出答案． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 2.（2024·湖南·模拟预测）先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 3.（2024·宁夏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将先括号内通分，去括号，除式分子分解因式，再约分化简，继而将a的值代入计算可得． 【详解】解：， 当时， 原式． 4.（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 【答案】，取，原式． 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴取，原式． 5.（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 基础巩固 1．若是分式，则□可能是（   ） A．3 B．y C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．利用分式定义进行解答即可． 【详解】解：根据分式定义得□可能是y． 故选：B． 2．下列说法错误的是（  ） A．代数式不是分式 B．分式的值不可能为0 C．分式是最简分式 D．分式中的x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式，分式的性质等知识，根据分式的定义，最简分式，分式的性质对各选项进行判断作答即可，熟练掌握分式的定义，最简分式，分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、代数式不是分式，说法正确，故选项不符合题意； B、分式的值不可能为0，说法正确，故选项不符合题意； C、分式是最简分式，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到，分式的值改变，故选项符合题意； 故选：D． 3．下列各式中，，，，是分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的概念，根据分式的概念，一般的，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，由此问题可求解，熟练掌握分式的概念是解题的关键． 【详解】解：根据分式的概念可知是分式的有，，，，共个， 故选：． 4．下列式子从左至右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，同底数幂的除法，积的乘方，解题的关键是正确掌握相关性质及运算法则．根据相关运算法则逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，变形错误，不符合题意； B、，变形正确，符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形错误，不符合题意； 故选：B． 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值．根据，代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 6．若代数式有意义．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式和分式有意义的条件可得，再求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 7．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 先根据乘法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为 ． 故选：A． 8．若化简的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘法运算法则计算乘法，然后再算加法，最后根据整式的概念进行判断． 【详解】解：A、，是分式，故此选项不符合题意； B、，是分式，故此选项不符合题意； C、，4是整式，故此选项符合题意； D、，是分式，故此选项不符合题意． 故选：C． 9．下列运算错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，单项式除以单项式，积的乘方，负指数幂，掌握相应的运算法则是关键．根据相关计算法则分解计算出每个选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算错误，符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意． 故选：B． 10．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可．本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键． 【详解】解： ， ， ， 解得：， ， 故选：C． 11．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的性质，对进行化简，得，把代入，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 13．当时，代数式的值为 ． 【答案】22 【分析】本题考查的是绝对值方程，分式的化简求值，先求解或，再化简，结合，，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， 解得：或， ， ∵，， ∴， 原式； 故答案为： 14．不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．把分子、分母都乘以1000即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 15．如果把分式中的、同时扩大为原来的倍，那么该分式的值 ． 【答案】缩小为原来的 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键． 直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 故答案为：缩小为原来的． 16．如果，则的值为 ． 【答案】7 【分析】此题考查的是分式运算和利用完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的变形是解题关键． 先将等式两边同时除以，并整理可得，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为7． 17．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方及乘法运算，原式先计算乘方，再进行约分计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．先化简，再求值：，选择一个你喜欢且不大于3的正整数代入求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，然后选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵不大于3的正整数中，，， ∴， 当，原式． 19．观察下列不等式： ①；②；③；④；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第8个不等式： ； (2)写出你猜想的第n个不等式： （n是正整数）；并说明你猜想的合理性． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查分式找规律，以及分式的减法运算，解题的关键在于读懂题意，找出已知不等式的规律． （1）根据题干所给规律进行求解，即可解题； （2）根据题干所给规律写出第n个不等式，再利用作差法说明该猜想，即可解题． 【详解】（1）解：由题干规律可知，第8个不等式为； 故答案为：． （2）解：由题干规律可知，第n个不等式为， 故答案为：． 理由如下： ， n是正整数， ， ． 20．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，结合分式有意义的条件，取，将代入化简后的式子计算求解，即可解题． 【详解】解： ， ，且， 且， 故当时， 上式． 能力提升 1．已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式进行通分，变形为，即，通过计算多项式乘多项式将等式右边展开，于是可得，进而可得，结合已知条件，将原式变形为，即，然后利用同底数幂的乘法及等式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了通分，等式的性质，计算多项式乘多项式，去括号，等式的性质，同底数幂的乘法，代数式求值等知识点，进行通分并将原式由分式变形为整式是解题的关键． 2．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定： ． 下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的运算、数字规律等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键， 根据题意，找到循环周期和规律，然后逐一判断即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，，，，…… 即：这列数以x，，，，每四个为一个周期循环， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，，，，， ∴， 由此可得、都是以4个数为一周期的数列， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：D． 3．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则(　　) A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 【答案】A 【分析】先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出，，再分析即可． 【详解】解： ， ， 多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为， ，， ，且，均为正整数， ， 整理得：． 又，， ，． ，． ． ，均为正整数， 的取值为，，，，． 的最大值为，的最小值为． ，， ，均为正整数， 的取值为，，，，． 的最大值，的最小值为 与的最大值相等，与的最小值也相等 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，分式的性质，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决． 4．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算，由已知条件得出，，，，联立，得，代入整理之后对算式进行通分即可． 【详解】解：， ，，，， 联立， 得， ∴原式 ． 故选A． 5．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查与分式的运算有关的规律探究，熟练掌握分式的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，，，， 即：这列数以，，，每三个为一个循环， ， ∴，，故①不正确； ∵ ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ，故②不正确； 由①②可得、分别是以3和6为周期的数列， 当为奇数时，则，，， ， ， ∴，故③不正确； 故选：A． 6．当正整数 时，分式的值也是正整数． 【答案】2或8 【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解． 【详解】解： ， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：或2或或8， ∵为正整数， ∴或2或8， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，当或8时，分式的值也是正整数． 故答案为：2或8． 7．若函数对一切实数恒有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式和二次根式有意义条件得，当时，则，解得：；当时，则，式子有意义，即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 则 当时，则 解得：； 当时，则，式子有意义， ∴函数对一切实数恒有意义，则的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题考查函数自变量取值范围，熟练掌握分式和二次根式有意义条件，二次函数的性质是解题的关键． 8．若只有一个正实数是关于的方程的解，求实数的取值范围． 【答案】或或． 【分析】本题考查了方程的解的定义，根的判别式，分式的运算等知识，先把原方程可化为，然后分，讨论即可． 【详解】解：原方程可化为， ①当时，， 解得， ∴，符合题意； ②当时，， ∴， 若是方程的根，则， ∴， ∴方程为， 解得，， 又， ∴， ∴方程有一解为， 故，符合题意； 当方程有异号的实根时， ，且即， 解得， 方程有一根为0时，， 则， 解得，，符合题意， 综上，满足条件的k的取值范围为或或． 9．先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解． 【答案】；1 【分析】先通分，利用平方差公式，完全平方公式计算，然后进行除法运算，最后进行减法运算可得化简结果，解一元一次不等式组得整数解，根据分式有意义的条件确定值，最后代入求解即可． 【详解】解： ； ， 解，得，， 解，得，， ∴， ∴整式解为，，， ∵， ∴， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件等知识．熟练掌握分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件是解题的关键． 10．已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先去分母转化为整式，然后分解因式为解题即可； （2）由（1）可得中必有一个为0，不妨设，然后代入得到，然后再根据即可得到结论． 【详解】（1）证明：，. . . ， ∴， 或或， ∴三个数中必有两数之和为0； （2）证明：中必有一个为0， 不妨设，则. 为奇数， ， ， ， ， ， ∴． 11．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)行，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． $$