第02讲 整式与因式分解（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解（3~12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 乘法公式（高频考点） 考点二 整式化简求值（高频考点） 考点三 因式分解（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式的相关概念 ►题型01 列代数式 ►题型02 代数式的实际意义 命题点二 整式的相关概念 ►题型01 判断单项式的系数、次数 ►题型02与单项式有关的规律题 ►题型03判断多项式的项、项数、次数 命题点三 整式的运算 ►题型01判断同类项 ►题型02添（去）括号 ►题型03整式的加减 ►题型04整式的加减的应用 ►题型05幂的基本运算 ►题型06幂的逆向运算 ►题型07幂的混合运算 ►题型08 整式的乘法 ►题型09利用乘法公式计算 ►题型10通过对完全平方公式变形求值 命题点四 整式化简求值 ►题型01整式化简-直接代入法 ►题型02整式化简-间接代入法 ►题型03整式化简-整体代入法 ►题型04整式化简-赋值法 命题点五 因式分解 ►题型01判断因式分解 ►题型02选用合适的方法因式分解 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 代数式的相关概念 · 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； · 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 10年2考 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的相关概念 · 理解整式的概念，会判断单项式、多项式的次数和系数 10年8考 整式的运算 · 掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 10年7考 整式化简求值 · 灵活运用多种方法化简代数式 近10年连续考查 因式分解 · 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 10年9考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 乘法公式（高频考点） 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 1.（2024年山西省实验中学中考适应性考试数学试题）若，，则 ． 2.（2025年湖南省初中学业水平考试数学模拟冲刺卷（二））先化简，再求值：，其中． 3.（2024年青海省西宁市第十二中学中考数学一模试题）如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ． 考点二 整式化简求值（高频考点） 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 1.（2022·广西梧州·中考真题）若，则 ． 2.（2024·浙江·模拟预测）化简并求值：，其中． 3.（2024·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 考点三 因式分解（高频考点） 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 1.（2024·河南周口·二模）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 3.（2024·四川眉山·中考真题）分解因式： ． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式的相关概念 ►题型01 列代数式 1.（2022年湖南省长沙市中考数学真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2.（2024年四川省雅安市中考数学试题 ）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． ►题型02 代数式的实际意义 1.（2024年四川省广安市中考数学试题）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2.（2023年河北省中考数学真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 1. 代数式中不含有=、<、>、≠等. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 命题点二 整式的相关概念 ►题型01 判断单项式的系数、次数 1.（2024年吉林省长春市中考数学试题）单项式的次数是 ． 2.（2024年山东省泰安市中考数学试题 ）单项式的次数是 ． 3.（湖南省湘潭市2021年中考数学真题）单项式的系数是 . ►题型02 与单顶式有关的规律题 1.（2024年江西省中考数学试题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 2.（2024年云南省中考数学试题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 3.（2024年重庆市中考数学试题B卷）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 ►题型03 判断多顶式的顶、顶数、次数 1.（2023年海南省中考导航模拟（三）数学模拟预测题）多项式是（    ） A．三次三项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．二次二项式 2.（2023年广东省佛山市顺德区中考三模数学试题）整式的次数是 ． 3.（2023·广东茂名·校考一模）多项式最高次项的系数是 ，次数是 ． 命题点三 整式的运算 ►题型01 判断同类顶 1.（2024年河南省中考数学试题）请写出的一个同类项： ． 2.（2024年四川省内江市中考数学试题）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． ►题型02 添(去)括号 1.（2024年江西省南昌市中考模拟数学试题）化简： ． 2.（贵州省仁怀市周林学校2023-2024学年九年级下学期期末模拟（达标考试）数学试题（二））计算： ． 3.（2024年广西初中学业质量测评模拟数学试题（B））若，则括号中应填入（　　） A． B． C． D． 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. ►题型03 整式的加减 1.（2024年四川省德阳市中考数学试题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 2.（2024年安徽省蚌埠市怀远县中考一模数学试题）下列各式计算正确的是 （　） A． B． C． D． 3.（2024年江苏省南京市雨花台区中考数学第一次模拟试题）化简的结果是 ． 整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. ►题型04 整式的加减的应用 1.（2024年重庆市渝北区九年级指标到校数学试题）如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2 ”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 2.（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 3.（2024年贵阳市南明区永乐第一中学中考二模数学试题）如图是三张写有整式的卡片A，B，C，小芳发现A，B，C之间其中两个整式相加等于第三个整式，但B卡片中一单项式不小心被墨水污染了． (1)小芳推测，请你帮助小芳判断她的推测是否正确，并说明理由； (2)根据三个整式，求出被墨水污染的部分． ►题型05 幂的基本运算 1.（2024年江苏省苏州市中考数学试题 ）计算： ． 2.（2024年四川省眉山市中考数学试题）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2024年上海市中考数学试题 ）计算： ． 4.（2023·湖南·中考真题）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（2024年湖南省中考数学试题 ）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6.（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型06 幂的逆向运算 1.（2024年陕西省西安市铁一中学中考八模数学试题）若实数m，n满足，则 ． 2.（2024年浙江省嘉兴市部分学校九年级下学期一模考试数学模拟试题）已知，则“★”代表的数是 ． 3.（2023·湖南湘潭·模拟预测）若，，则 ． 4.（2023·河南焦作·一模）已知，则的值为 ． ►题型07 幂的混合运算 1.（2024年湖南省岳阳市经开区中考模拟数学试题 （三））计算 等于（   ） A． B． C． D． 2.（2024年湖北省武汉市初中毕业生升学模拟检测数学试题（二））下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2024年吉林省长春市朝阳区吉林省第二实验学校6月中考考前最后一模数学试题）计算： ． 幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. ►题型08 整式的乘法 1.（2024年湖北省中考数学试题 ）的值是（    ） A． B． C． D． 2.（2024年广东省初中学业水平考试数学押题卷（2） ）若则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 3.（2024年辽宁省初中学业水平模拟考试数学压轴卷 （A））下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率. ►题型09 利用乘法公式计算 1.（2024年甘肃省武威市中考数学试题）先化简，再求值：，其中，． 2.（2024年河北省沧州市孟村县中考模拟数学试题）已知多项式 (1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示． 在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程； (2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值． ►题型10 通过对完全平方公式变形求值 1.（2024年河北省沧州市献县中考模拟数学试题）已知，，则 ； ． 2.（2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（二））阅读材料： 例：求代数式的最小值． 解：． 可知：当时，有最小值，最小值是． 根据上面的方法可求多项式的最小值是 ． 3.（2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（二））阅读材料： 例：求代数式的最小值． 解：． 可知：当时，有最小值，最小值是． 根据上面的方法可求多项式的最小值是 ． 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 2.乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形 命题点四 整式化简求值 ►题型01 整式化简-直接代入法 1.已知是最小的正整数，是绝对值最小的有理数，在数轴上对应的点到原点的距离是6，求的值． ►题型02 整式化简-间接代入法 1.（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 2.（2024·浙江杭州·一模）先化简，再求值：，其中，． ►题型03 整式化简-整体代入法 1.（2024·贵州黔东南·一模）若，则代数式的值为 ． 2.（2024·江苏泰州·一模）已知，那么代数式的值是 ． 3.（2023·四川凉山·中考真题）已知，则的值等于 ． ►题型04 整式化简-赋值法 1.化简：，若x是的整数，请选择一个合适的数求代数式的值． 命题点五 因式分解 ►题型01 判断因式分解 1.（2024·湖南·模拟预测）因式分解： ． 2.（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 选用合适的方法因式分解 1.（2024·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 2.（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解 ． 3.（2024·内蒙古赤峰·中考真题）因式分解： ． 4.（2023·湖南张家界·中考真题）因式分解： ． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 3．分解因式：（   ） A． B． C． D． 4．如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 5．以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　） A． B． C． D． 9．若，则 ． 10．观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 11．已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 12．因式分解： ． 13．分解因式的结果是 ． 154．先化简，再求值： ，其中，． 15．先化简，再求值：，其中． 16．观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 17．先因式分解，再计算求值：，其中． 能力提升 1．在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　） A． B． C． D． 数，反之则称“不可拆分”整数．例如，，11是一个“可拆分”整数．下列说法： ①最小的“可拆分”整数是5； ②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种； ③最大的“不可拆分”的两位整数是96． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．(1)已知，，且，求的值. (2)先化简，再求值：，其中. 6．已知实数，求的值． $$第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解（3~12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 乘法公式（高频考点） 考点二 整式化简求值（高频考点） 考点三 因式分解（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式的相关概念 ►题型01 列代数式 ►题型02 代数式的实际意义 命题点二 整式的相关概念 ►题型01 判断单项式的系数、次数 ►题型02与单项式有关的规律题 ►题型03判断多项式的项、项数、次数 命题点三 整式的运算 ►题型01判断同类项 ►题型02添（去）括号 ►题型03整式的加减 ►题型04整式的加减的应用 ►题型05幂的基本运算 ►题型06幂的逆向运算 ►题型07幂的混合运算 ►题型08 整式的乘法 ►题型09利用乘法公式计算 ►题型10通过对完全平方公式变形求值 命题点四 整式化简求值 ►题型01整式化简-直接代入法 ►题型02整式化简-间接代入法 ►题型03整式化简-整体代入法 ►题型04整式化简-赋值法 命题点五 因式分解 ►题型01判断因式分解 ►题型02选用合适的方法因式分解 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 代数式的相关概念 · 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； · 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 10年2考 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的相关概念 · 理解整式的概念，会判断单项式、多项式的次数和系数 10年8考 整式的运算 · 掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 10年7考 整式化简求值 · 灵活运用多种方法化简代数式 近10年连续考查 因式分解 · 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 10年9考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 乘法公式（高频考点） 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 1.（2024年山西省实验中学中考适应性考试数学试题）若，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，根据，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：5． 2.（2025年湖南省初中学业水平考试数学模拟冲刺卷（二））先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值；根据单项式乘多项式的法则和平方差公式计算化简，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3.（2024年青海省西宁市第十二中学中考数学一模试题）如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，正确找出图形之间的面积关系是解题关键．图：四个全等的四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；图：四个全等的四边形的面积等于平行四边形的面积，由此即可得． 【详解】解：图：四个全等的四边形的面积为， 图：四个全等的四边形的面积为， 则可以验证的乘法公式是， 故答案为：． 考点二 整式化简求值（高频考点） 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 1.（2022·广西梧州·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【提示】将代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的计算． 2.（2024·浙江·模拟预测）化简并求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先利用整式的运算法则对整式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ， ． 3.（2024·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，将代数式整体代入求解是解题的关键．由题意得，移项得，将化简为，再将代入计算，即得答案． 【详解】是方程 的解， ， ， ． 故选B． 考点三 因式分解（高频考点） 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 1.（2024·河南周口·二模）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义和用完全平方公式分解因式，根据因式分解的定义和完全平方公式，即可解答，掌握因式分解的定义和会运用完全平方公式分解因式是关键． 【详解】解： A、是整式的乘法，不是因式分解，故不符题意； B、先提取公因式a，再用完全平方公式分解因式，，故符合题意； C、没有把多项式化成乘积的形式，故不符题意； 选D、所化的结果不完全是整式，故不符题意； 故选：B． 2.（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握用公式法分解因式、提公因式法分解因式是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3.（2024·四川眉山·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的各种方法是解题的关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式的相关概念 ►题型01 列代数式 1.（2022年湖南省长沙市中考数学真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据题意列求得购买乙种读本本，根据单价乘以数量即可求解． 【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为元 故选C 【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 2.（2024年四川省雅安市中考数学试题 ）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：； ►题型02 代数式的实际意义 1.（2024年四川省广安市中考数学试题）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据中的运算关系解答即可． 【详解】解：代数式的意义可以是与x的积． 故选C． 2.（2023年河北省中考数学真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答． 【详解】解：的意义可以是与x的积． 故选C． 【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键． 1. 代数式中不含有=、<、>、≠等. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 命题点二 整式的相关概念 ►题型01 判断单项式的系数、次数 1.（2024年吉林省长春市中考数学试题）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】单项式的次数是：， 故答案为：． 2.（2024年山东省泰安市中考数学试题 ）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 3.（湖南省湘潭市2021年中考数学真题）单项式的系数是 . 【答案】3 【分析】根据单项式的系数定义判断即可. 【详解】单项式，其中数字因式为3， 则单项式的系数为3. 故答案为3. 【点睛】本题考查了单项式的系数定义的掌握情况，单项式的系数：单项式中的数字因数. ►题型02 与单顶式有关的规律题 1.（2024年江西省中考数学试题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 【详解】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 2.（2024年云南省中考数学试题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键． 【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，， ∴第个代数式是， 故选：． 3.（2024年重庆市中考数学试题B卷）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D ►题型03 判断多顶式的顶、顶数、次数 1.（2023年海南省中考导航模拟（三）数学模拟预测题）多项式是（    ） A．三次三项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．二次二项式 【答案】A 【分析】本题考查多项式的项数和次数，根据多项式的项数为单项式的个数，次数为最高项的次数，进行作答即可． 【详解】解：多项式是三次三项式； 故选A． 2.（2023年广东省佛山市顺德区中考三模数学试题）整式的次数是 ． 【答案】2 【分析】根据多项式次数的定义即可求解． 【详解】解：多项式的次数是5， 故答案为：2． 【点睛】本题考查多项式的次数，多项式中最高次项的次数是多项式的次数，掌握多项式次数的定义是解题的关键． 3.（2023·广东茂名·校考一模）多项式最高次项的系数是 ，次数是 ． 【答案】 ﹣π 3 【提示】先找到此多项式的最高次项，再根据单项式的系数与次数的定义求解． 【详解】解：多项式最高次项是﹣πa2b， 所以最高次项的系数是﹣π，次数是3． 故答案为：﹣π，3． 【点睛】本题考查了同学们对多项式的有关定义的理解．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 命题点三 整式的运算 ►题型01 判断同类顶 1.（2024年河南省中考数学试题）请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 2.（2024年四川省内江市中考数学试题）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可． 【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意； B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：A． ►题型02 添(去)括号 1.（2024年江西省南昌市中考模拟数学试题）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减．正确的去括号并合并同类项是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（贵州省仁怀市周林学校2023-2024学年九年级下学期期末模拟（达标考试）数学试题（二））计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，去括号，根据去括号法则先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】解：， 故答案为： 3.（2024年广西初中学业质量测评模拟数学试题（B））若，则括号中应填入（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. ►题型03 整式的加减 1.（2024年四川省德阳市中考数学试题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 2.（2024年安徽省蚌埠市怀远县中考一模数学试题）下列各式计算正确的是 （　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C 3.（2024年江苏省南京市雨花台区中考数学第一次模拟试题）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减法，去括号注意变号，属于基础题． 去括号化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. ►题型04 整式的加减的应用 1.（2024年重庆市渝北区九年级指标到校数学试题）如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2 ”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算等知识．正确表示新矩形的长和宽是解题的关键． 由题意知，剪下的两个小矩形的长为，宽为，则新矩形的长为，宽为，然后求周长即可． 【详解】解：由题意知，剪下的两个小矩形的长为，宽为， ∴新矩形的长为，宽为， ∴新矩形的周长可表示为， 故选：C． 2.（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 3.（2024年贵阳市南明区永乐第一中学中考二模数学试题）如图是三张写有整式的卡片A，B，C，小芳发现A，B，C之间其中两个整式相加等于第三个整式，但B卡片中一单项式不小心被墨水污染了． (1)小芳推测，请你帮助小芳判断她的推测是否正确，并说明理由； (2)根据三个整式，求出被墨水污染的部分． 【答案】(1)不正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握计算法则是解此题的关键． （1）根据题意和题干中的多项式，求出，再与题干中的进行比较即可得出答案； （2）根据题意，可以列出三个等式，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：不正确．理由如下， 由题知，，， 若，则， ∵不是单项式， ∴小芳的推测不正确； （2）解：由（1）可得：当时，，与题意不符合，舍去； 当时，， 与题意不符，舍去； 当时，， ∵为单项式， ∴符合题意， ∴被墨水污染的部分是． ►题型05 幂的基本运算 1.（2024年江苏省苏州市中考数学试题 ）计算： ． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键． 2.（2024年四川省眉山市中考数学试题）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则进行判断即可． 【详解】解：与不是同类项，无法合并，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：B． 3.（2024年上海市中考数学试题 ）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4.（2023·湖南·中考真题）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键． 5.（2024年湖南省中考数学试题 ）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；      B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意；     D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 6.（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． ►题型06 幂的逆向运算 1.（2024年陕西省西安市铁一中学中考八模数学试题）若实数m，n满足，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，逆用同底数幂的除法和幂的乘方进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：81． 2.（2024年浙江省嘉兴市部分学校九年级下学期一模考试数学模拟试题）已知，则“★”代表的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，由同底数幂的乘法运算公式得，解方程，即可求解；掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 3.（2023·湖南湘潭·模拟预测）若，，则 ． 【答案】 【提示】逆运用同底数幂的除法法则，先把写成的形式，再利用幂的乘方法则把写成|的形式后代入求值． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的除法法则、幂的乘方法则是解题的关键． 4.（2023·河南焦作·一模）已知，则的值为 ． 【答案】 【提示】先逆用同底数幂相除，再将整体代入即可求解． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂相除的逆用，掌握同底数幂相除的运算法则是解答本题的关键． ►题型07 幂的混合运算 1.（2024年湖南省岳阳市经开区中考模拟数学试题 （三））计算 等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘，根据幂的乘方和同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】原式． 故选：A． 2.（2024年湖北省武汉市初中毕业生升学模拟检测数学试题（二））下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式、积的乘方，整数指数幂运算；熟练掌握以上运算法则是解题的关键，根据这些法则，逐项判断即可； 【详解】、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 3.（2024年吉林省长春市朝阳区吉林省第二实验学校6月中考考前最后一模数学试题）计算： ． 【答案】2023 【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，然后计算加减． 【详解】解： ， 故答案为：2023． 幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. ►题型08 整式的乘法 1.（2024年湖北省中考数学试题 ）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：D． 2.（2024年广东省初中学业水平考试数学押题卷（2） ）若则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答． 【详解】解： ， 括号内应填的单项式为， 故选：A． 3.（2024年辽宁省初中学业水平模拟考试数学压轴卷 （A））下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式除单项式，根据各个运算法则逐个计算即可． 【详解】A.，计算错误，不符合题意； B.，计算错误，不符合题意； C.，计算正确，符合题意； D.，计算错误，不符合题意； 故选：C． 当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率. ►题型09 利用乘法公式计算 1.（2024年甘肃省武威市中考数学试题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 2.（2024年河北省沧州市孟村县中考模拟数学试题）已知多项式 (1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示． 在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程； (2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值． 【答案】(1)①；过程见解析 (2)淇淇说得对， 【分析】此题考查了整式的混合运算和倒数、相反数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． （1）通过计算化简该算式进行判断、求解； （2）分别令a与b互为相反数和互为倒数倒数进行计算、辨别． 【详解】（1）出现错误的是①， ∵ 出现错误的是①， 故答案为：①； （2）淇淇说得对， 当a与b互为相反数时， 多项式 ； 当a与b互为倒数时， 多项式 淇淇说得对． ►题型10 通过对完全平方公式变形求值 1.（2024年河北省沧州市献县中考模拟数学试题）已知，，则 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题意，利用等式的基本性质，把的两边同乘，即可得出的值；根据题意，把①，②两式相加，整理得出，即可得出答案． 【详解】解：， ； ①，②， ①②，得，即， ． 故答案为：；． 2.（2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（二））阅读材料： 例：求代数式的最小值． 解：． 可知：当时，有最小值，最小值是． 根据上面的方法可求多项式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法求多项式的最值，读懂题意，利用完全平方公式配方将多项式化为，利用代数式的非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， 多项式的最小值是， 故答案为：． 3.（2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（二））阅读材料： 例：求代数式的最小值． 解：． 可知：当时，有最小值，最小值是． 根据上面的方法可求多项式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法求多项式的最值，读懂题意，利用完全平方公式配方将多项式化为，利用代数式的非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， 多项式的最小值是， 故答案为：． 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 2.乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形 命题点四 整式化简求值 ►题型01 整式化简-直接代入法 1.已知是最小的正整数，是绝对值最小的有理数，在数轴上对应的点到原点的距离是6，求的值． 【答案】7或 【分析】先根据最小正整数、绝对值最小的有理数以及到原点的距离可确定a、b、c的值，然后代入计算即可． 【详解】解：因为是最小的正整数，所以； 因为是绝对值最小的有理数， 所以； 因为到原点的距离是6， 所以； 当时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了有理数的相关概念、代数式求值等知识点，牢记最小正整数是1、绝对值最小的数是0及绝对值的意义成为解答本题的关键． ►题型02 整式化简-间接代入法 1.（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】此题考查了整式的加减－化简求值．先去括号，然后合并同类项得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 2.（2024·浙江杭州·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． ►题型03 整式化简-整体代入法 1.（2024·贵州黔东南·一模）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减混合运算，先将括号去掉，合并同类项，再将代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 2.（2024·江苏泰州·一模）已知，那么代数式的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 3.（2023·四川凉山·中考真题）已知，则的值等于 ． 【答案】2023 【提示】把化为：代入降次，再把代入求值即可． 【详解】解：由得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键． ►题型04 整式化简-赋值法 1.化简：，若x是的整数，请选择一个合适的数求代数式的值． 【答案】，当时，原式= 【提示】根据分式混合运算的法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出x的值，代入计算即可． 【详解】 ∵x是的整数，且， ∴， 则原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和法则进行化简，而根据分式有意义的条件选择x的值是易错点． 命题点五 因式分解 ►题型01 判断因式分解 1.（2024·湖南·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法和提公因式法进行因式分解，观察式子，先整理，再运用平方差公式进行因式分解，作答即可． 【详解】解： ． 故答案为： 2.（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． ►题型02 选用合适的方法因式分解 1.（2024·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 2.（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握因式分解的方法． 3.（2024·内蒙古赤峰·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了综合利用提公因式法和公式法分解因式，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）是解题的关键． 4.（2023·湖南张家界·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算及整式加减，解题关键是熟练掌握运算法则． 根据幂的运算法则，整式加减运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，该选项错误，不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项正确，符合题意． 故选D． 2．若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出，，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是， ∴，， ∴， 故选：D． 3．分解因式：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 4．如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 5．以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式，还可分解因式；利用十字相乘法，． 【详解】解：；故A不正确，不符合题意． ；故B正确，符合题意． ；故C，D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键． 6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意； B．，原式计算正确，故B符合题意； C．，原式计算错误，故C不符合题意； D．，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 8．数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，观察数据，原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为，据此即可求解． 【详解】原数据为： ，□，，，，… ∵原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为， ∴□为 故选：A． 9．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，将要求值的代数式进行适当变形以便利用已知代数式的值是解题的关键． 将要求值的代数式进行适当变形，可得，然后将的值代入求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 10．观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案． 【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1， 所以第个等式为：， 故答案为：． 11．已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 根据综合提公因式和公式法进行因式分解求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 13．分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 15．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16．观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)6 (2)n (3)见解析 【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果； （2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案； （3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：6； （2）由题意得：， 故答案为：n； （3） ． 【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键． 17．先因式分解，再计算求值：，其中． 【答案】，30 【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入x的值即可． 【详解】解：， 当时，原式． 【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． 能力提升 1．在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题． 【详解】解：对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算，，故①正确； 对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，或 对多项式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，或对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，， 综上共4种结果，故③错误； 其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等，故②错误． 故选：B． 2．实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算．熟练掌握绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算是解题的关键． 由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，当时，的值最小为，由，可得，，当，时，代数式 的值最小，当，时，代数式 的值最大，分别计算，，然后求和作答即可． 【详解】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为， 当时，的值最小为， ∵， ∴，， 当，时，代数式 的值最小，； 当，时，代数式 的值最大，； ∴， 故选：B． 3．数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，观察数据，原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为，据此即可求解． 【详解】原数据为： ，□，，，，… ∵原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为， ∴□为 故选：A． 4．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，，11是一个“可拆分”整数．下列说法： ①最小的“可拆分”整数是5； ②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种； ③最大的“不可拆分”的两位整数是96． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据定义分别判断即可． 【详解】解： ，且1，2是最小的正整数，故①正确； 设整数 则 当不是质数时，拆分方式不止一种， 如：=，故②正确； 当时，，是一个质数，故不能拆解为形式， 故为“不可拆分”整数． 而，为“可拆分”整数， ，为“可拆分”整数， ，为“可拆分”整数， 故最大的“不可拆分”的两位整数是96．③正确 故选D 【点睛】本题考查了新定义、有理数的运算、因式分解的应用等知识点，因式分解知识点的灵活运用是解题关键． 5．(1)已知，，且，求的值. (2)先化简，再求值：，其中. 【答案】（1）8或2；（2） 【分析】（1）根据已知条件分别求出a、b的值，再由a+b，确定a=，再计算a-b即可；（2）先将代数式化简，然后将x的值代入即可. 【详解】解：（1）∵∣a∣=3，b2=25       ∴a=       ∵a+b       ∴a= 5    当a=3时，a-b=3-（-5）=8    当a=-3时，a-b=-3-（-5）=2 ∴a-b的值为8或2. （2）原式=3x2-（7x-4x+3-2x2）         =3x2-7x+4x-3+2x2 =5x2-3x-3 当x=时， 原式=5）2-3）-3      = 【点睛】（1）此题考查绝对值可乘方，分别求出两个数的值后，依据两个数的和小于0准确确定两个数是解决问题的关键.（2）此题考查整式去括号法则，正确化简是解题关键. 6．已知实数，求的值． 【答案】 【分析】根据，得出，进而将代数式因式分解，整体代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 ∴当时， 【点睛】此题考查了因式分解的应用，首先把已知等式变形，然后因式分解把所求代数式分解因式，最后利用整体代值的方法即可解决问题． $$