第04讲 二次根式（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第一章 数与式 第04讲 二次根式（3~15分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念及化简（高频考点） 考点二 二次根式的运算（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的相关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 ►题型02 判断最简二次根式 ►题型03 判断同类二次根式 ►题型04 利用二次根式的性质化简 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除运算 ►题型02二次根式的加减运算 ►题型03二次根式的混合运算 ►题型04二次根式的化简求值 ►题型05二次根式的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次根式的相关概念及化简 · 了解二次根式、最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 · 10年6考 · 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的运算 · 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 · 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念及化简 （高频考点） 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 6.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数. 7. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 8. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 1．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ． 考点二 二次根式的运算（高频考点） 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 1．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：． 3． （2023·湖南益阳·中考真题）计算：． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的相关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是 ． 2．（2024·四川乐山·一模）有意义的条件是 ． 3．（2024·湖北宜昌·一模）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 4.（2023·湖北恩施·一模）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． ►题型02 判断最简二次根式 1.（2024·河南新乡·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．与是同类项 C．是最简二次根式 D．有意义的条件是 2.（2024·辽宁大连·一模）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·湖南·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（2024·江西吉安·模拟预测）下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． ►题型03 判断同类二次根式 1.（2024·河北石家庄·二模）下列二次根式中，能与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ． 3．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 4．（2024·江苏无锡·二模）写一个二次根式，使它与是同类二次根式，这个二次根式可以是 ． 5．（2024·江苏无锡·一模）请写出的一个同类二次根式 ． 判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关． ►题型04 利用二次根式的性质化简 1.（2024·四川眉山·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 3．（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 4.．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除运算 1.（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 2．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 3．（2024·重庆·模拟预测）计算的结果为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 4．（2024·重庆南岸·模拟预测）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．（2024·江西九江·三模）在等式“”中，括号内应填入的最简根式为 ． 6．（2024·江苏连云港·模拟预测）计算： ． 7．（2024·广东茂名·一模）计算： ． 二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数,则要先将其化为假分数. ►题型02 二次根式的加减运算 1．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算的结果是 ． 3．（2024·北京·模拟预测）计算：． 4．（2024·安徽宣城·三模）计算：． 二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并. 另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算. ►题型03 二次根式的混合运算 1．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 2．（2024·广东·模拟预测）计算的结果是 ． 3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）计算：． 4．（2024·甘肃·中考真题）计算：． 5．（2024·福建南平·模拟预测）计算： ►题型04 二次根式的化简求值 1．（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 2.（2024·湖南怀化·一模）已知，求的值． 3．（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 4．（2023·湖南湘西·二模）先化简，再求值：，其中． ►题型05 二次根式的应用 1．（2024·湖南·模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为 ． 2．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则： （1）面积为27的正方形的边长是的 倍； （2）剩下阴影部分的面积是 ． 3．（2024·河北石家庄·三模）我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上，如图是小悦同学的参赛作品（单位：）． （1）小悦的作品 （填“是”或“否）符合参赛标准； （2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为 （彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）．    4．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 基础巩固 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（   ） A． B．17 C．5 D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．能说明命题“如果是任意实数，那么”是假命题的一个反例可以是（ ） A． B． C． D． 5．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若＋有意义，则(－n)2的平方根是(　　) A． B． C．± D．± 7．老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算．甲、乙分别给出了不同的解法： 甲： ． 乙： ． 对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（     ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 8．若、、是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（　　） A． B． C． D．条件不足，无法计算 9．计算： ． 10．化简： ． 11．计算： ． 12．已知满足，则 ． 13．计算的结果是 ． 14．观察下列各式：、、……，请你找出其中规律，并将第个等式写出来 ． 15．当时，化简 的结果是 16．如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是 ． 17．先化简，再求值：，其中． 18．计算：． 19．计算： 20．计算：． 21．计算：（结果保留带分数形式）． 能力提升 1．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 2．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 3．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 5．已知为整数，，则的最小值是 ． 6．当时，多项式的值为 7．若的积是有理数，则无理数m的值为 ． 8．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 9．在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．    (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，……． ③利用，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． $$第一章 数与式 第04讲 二次根式（3~15分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念及化简（高频考点） 考点二 二次根式的运算（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的相关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 ►题型02 判断最简二次根式 ►题型03 判断同类二次根式 ►题型04 利用二次根式的性质化简 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除运算 ►题型02二次根式的加减运算 ►题型03二次根式的混合运算 ►题型04二次根式的化简求值 ►题型05二次根式的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次根式的相关概念及化简 · 了解二次根式、最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 · 10年6考 · 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的运算 · 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 · 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念及化简 （高频考点） 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 6.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数. 7. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 8. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 1．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 2．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式； B. ，不是最简二次根式； C. ，不是最简二次根式； D. 是最简二次根式； 故选D． 3．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的概念，根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和是同类二次根式． 【详解】A．与不是同类二次根式，故该选项错误； B．与不是同类二次根式，故该选项错误； C．与是同类二次根式，故该选项正确； D．与不是同类二次根式，故该选项错误； 故选：C． 4．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，列出不等式求解即可． 【详解】解： ， ， 解得：， 故答案为：． 考点二 二次根式的运算（高频考点） 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 1．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再计算二次根式减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 3．（2023·湖南益阳·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是化简绝对值，二次根式的乘方运算，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的运算法则是解本题的关键． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的相关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 2．（2024·四川乐山·一模）有意义的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 3．（2024·湖北宜昌·一模）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义，即被开方数为非负数，分母不为0，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得，， 故答案为：且． 4.（2023·湖北恩施·一模）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【提示】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且， 故选C． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． ►题型02 判断最简二次根式 1.（2024·河南新乡·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．与是同类项 C．是最简二次根式 D．有意义的条件是 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、同类项定义、最简二次根式、二次根式有意义条件，解题关键是熟练掌握相关知识点． 根据算术平方根、同类项定义、最简二次根式、二次根式有意义条件对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】选项，，说法正确，符合题意，选项正确； 选项，与不是同类项，原说法错误，不符合题意，选项错误； 选项，，即不是最简二次根式，原说法错误，不符合题意，选项错误； 选项，有意义的条件是，原说法错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 2.（2024·辽宁大连·一模）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，即“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母”，由此即可求解，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次格式，符合题意； D、不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 3.（2024·湖南·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式化简为最简二次根式，二次根式除法；掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．” 和（，）是解题的关键． 【详解】解：A.，选项错误，故不符合题意； B.，选项错误，故不符合题意； C.，选项正确，故符合题意； D.，选项错误，故不符合题意； 故选：C． 4.（2024·江西吉安·模拟预测）下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、中被开方数不是整数，故不符合题意； C、中被开放数不是整数，故不符合题意； D、中被开放数不含开得尽方的数，故不符合题意； 故选：A． ►题型03 判断同类二次根式 1.（2024·河北石家庄·二模）下列二次根式中，能与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】A. ，与是同类二次根式，能合并，该选项符合题意； B. 与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； C. ，与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； D. ，与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； 故选：A． 2．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式定义可知，求出解即可． 【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：3． 3．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，求解即可，熟练掌握同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，是解此题的关键． 【详解】解：， 与最简二次根式是同类二次根式， ， ， 故答案为：． 4．（2024·江苏无锡·二模）写一个二次根式，使它与是同类二次根式，这个二次根式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，据此解答． 【详解】， ∴与是同类二次根式，这个二次根式可以是， 故答案为：． 5．（2024·江苏无锡·一模）请写出的一个同类二次根式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解本题的关键．利用同类二次根式定义写出答案即可． 【详解】的同类根式有、…（答案不唯一） 故答案为： ． 判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关． ►题型04 利用二次根式的性质化简 1.（2024·四川眉山·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，开方运算，根据二次根式的性质，立方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 故选A． 2.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 3．（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据把原式的对应项化简，然后计算求解即可． 【详解】解：对于正整数，有 ， ∴， ∴ ， ， ∴不超过的最大整数为2024． 故选：D． 4.．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案． 【详解】解：原式， 均为正整数， 的最小值为1，此时m最小值为5， 的最小值为． 故答案为：5． 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除运算 1.（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 2．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 3．（2024·重庆·模拟预测）计算的结果为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选B． 4．（2024·重庆南岸·模拟预测）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算，不等式的性质，二次根式的运算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数在哪两个整数之间． 先计算得到，再估算的范围，再根据不等式的性质即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值在2和3之间， 故选：A． 5．（2024·江西九江·三模）在等式“”中，括号内应填入的最简根式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法，根据题意，列出二次根式的乘法算式即可求解． 【详解】解：括号内应填入的数为：， 故答案为：． 6．（2024·江苏连云港·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 本题主要考查了二次根式除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（2024·广东茂名·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，根据法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数,则要先将其化为假分数. ►题型02 二次根式的加减运算 1．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 【详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，先化简，再加减，据此求解即可． 【详解】 故答案为：． 3．（2024·北京·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算等知识．熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算是解题的关键． 根据 ，计算求解即可． 【详解】解： ． 4．（2024·安徽宣城·三模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简，负整数指数幂，化简绝对值，二次根式的加减，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先化简二次根式，负整数指数幂，化简绝对值，然后计算加减． 【详解】解： ． 二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并. 另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算. ►题型03 二次根式的混合运算 1．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 2．（2024·广东·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的乘法运算，先利用平方差公式进行展开，再通过二次根式的运算法则计算． 【详解】解：． 故答案为：3． 3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 先利用二次根式性质，化简二次根式，再进行乘除运算，最后在进行加减运算即可求解； 【详解】解：原式 ＝． 4．（2024·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】0 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 ． 5．（2024·福建南平·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先根据有理数的乘除法运算法则、负整数指数幂的意义和二次根式的乘法法则运算，然后利用完全平方公式计算，最后合并即可． 【详解】解： ． ►题型04 二次根式的化简求值 1．（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，把代入式子计算即可得出答案，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：当时， ， 故答案为：． 2.（2024·湖南怀化·一模）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把所给条件式变形为，进而利用非负数的性质求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到，据此化简二次根式得到，则． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2023·湖南湘西·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分是解题的关键．先因式分解，后变除法为乘法，约分化简，后代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． ►题型05 二次根式的应用 1．（2024·湖南·模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为 ． 【答案】12 【分析】先计算，代入公式计算即可． 本题考查了二次根式的应用，熟练掌握公式，精准化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：12． 2．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则： （1）面积为27的正方形的边长是的 倍； （2）剩下阴影部分的面积是 ． 【答案】 3 72 【分析】本题考查了二次根式的应用， （1）直接利用二次根式的性质得出面积为27的正方形的边长，即可得出答案； （2）利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：（1）面积为27的正方形的边长为， 面积为27的正方形的边长是的3倍， 故答案为：3； （2）两个小正方形面积为27和48， 大正方形边长为， 大正方形面积为， 剩下阴影部分的面积为， 故答案为：72． 3．（2024·河北石家庄·三模）我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上，如图是小悦同学的参赛作品（单位：）． （1）小悦的作品 （填“是”或“否）符合参赛标准； （2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为 （彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）．    【答案】 是 19.7 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式列式计算即可； （2）根据长方形的周长公式列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意可知， ∵， ∴小悦的作品符合参赛标准． 故答案为：是； （2）由题意可得， ∴需要彩条的长度约为． 故答案为：． 4．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 【答案】(1)6.6 (2)见解析 【分析】本题考查的是无理数的估算，新定义的含义，完全平方公式的应用，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据新定义的法则进行估算即可． （2）设，其中，再变形，结合完全平方公式可得结论． 【详解】（1）解：由新定义可得： ； （2）解：设，其中． 则． 将两边平方，得． ∵ ， ∴  的值会更接近于0，不妨近似为0． ∴  ． ∴ ， 即． 基础巩固 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可． 【详解】解：A．被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误； B．是最简二次根式，故该选项正确； C．被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误； D．被开方数含有分母，故该选项错误． 故选：B． 2．计算的结果为（   ） A． B．17 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据乘法分配律，计算乘法，再计算加法即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，以及合并同类项，根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则以及合并同类项法则一一计算判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B．，正确，故该选项符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算错误，故该选项不符合题意． 故选：B． 4．能说明命题“如果是任意实数，那么”是假命题的一个反例可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：当a＞0时，这是个真命题；当a≤0时，这是个假命题．是个假命题． 详解：当a=时，，则是个假命题，故选A． 点睛：本题主要考查的是二次根式的化简法则，属于基础题型．理解是解决这个问题的关键． 5．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】121 []=11 []=3 []=1， ∴对121只需进行3次操作后变为1， 故选C． 6．若＋有意义，则(－n)2的平方根是(　　) A． B． C．± D．± 【答案】D 【详解】试题解析：∵有意义， 解得：   的平方根是： 故选D． 7．老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算．甲、乙分别给出了不同的解法： 甲： ． 乙： ． 对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（     ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律的逆用和二次根式的混合运算法则，根据二次根式的混合运算法则和乘法分配律的逆用即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：甲和乙都对， 故选：A． 8．若、、是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（　　） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的应用，关键是掌握二次根式有意义时，被开方数是非负数．由二次根式有意义时，被开方数是非负数，即可得到，在代入等式得，从而可以解决问题． 【详解】解：由题意得：， ， 等式变形为：， ， ， ． 故选：A． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式加减法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先将化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简，按照化简二次根式的步骤化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 11．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法计算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12．已知满足，则 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查二次根式的性质，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质可得，由此可化简绝对值，得，所以有，由此即可求解． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2023 13．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法运算法则解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．观察下列各式：、、……，请你找出其中规律，并将第个等式写出来 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，化简二次根式，观察可知，二次根式里面的整数为序号，分数的分子为1，分母为序号加2，开方的结果外面的整数为序号加1，二次根式里面的分数的分子为1，分母为序号加2，据此规律求解即可． 【详解】解：、 、 ……， 以此类推可知，， 故答案为：． 15．当时，化简 的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，利用，可得出，即可化简二次根式． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 16．如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是 ． 【答案】24 【分析】题目主要考查二次根式的应用，理解题意，根据正方形的面积确定大正方形的边长即可求解． 【详解】解：∵两个面积分别为8和18的小正方形， ∴大正方形的边长为：， ∴大正方形的面积为：， ∴剩余的面积为：， ∴阴影部分的面积是24， 故答案为：24． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值和二次根式的运算，先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后将a的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算及二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算，绝对值的化简，零次幂进行化简，再加减即可． 【详解】解：原式 ． 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是负整数指数幂，二次根式的加减运算，先计算负整数指数幂，化简绝对值，化简二次根式，再合并即可． 【详解】解： ； 20．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行运算、零指数幂、立方根、二次根式运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．根据平方差公式、零指数幂运算法则、立方根的性质分别求解，然后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 21．计算：（结果保留带分数形式）． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式根据相关运算法则化简各项后，再合并即可． 【详解】解： ＝ ＝． 能力提升 1．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 2．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可． 【详解】解：去分母得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有正数解， ∴ ， ∴， 又∵是增根，当时， ，即， ∴， ∵有意义， ∴， ∴， 因此 且， ∵m为整数， ∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4， 故选：D． 【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义． 3．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【详解】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 4．当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：原式= 将代入得， 原式 . 故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型． 5．已知为整数，，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根非负数的性质及因式分解的应用，主要利用了被开方数大于等于0． 根据被开方数大于等于0设（a为非负整数），设，运用平方差公式分解因式再计算即可得解． 【详解】解：为整数，， ， 即， ， 设（a为非负整数）， ， ， 设， ， ，即或， 或或， 或7或1， 则的最小值是1， 故答案为：1 6．当时，多项式的值为 【答案】 【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到，进而得到，将多项式转化为，再代值计算即可，本题的难度较大，关键是将已知式子进行变形，转化． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：. 7．若的积是有理数，则无理数m的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解． 【详解】解： 的积是有理数，m是无理数， 是有理数， 令，（是有理数） 解得：， 当即， 时， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质． 8．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 9．在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，（）的三角形中，有． (1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．    (2)推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方，…… ②利用，使用平方差公式，……． ③利用，…… 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 【答案】(1)①，②，③，④，⑤ (2)见解析 【分析】（1）根据完全平方公式即可得出①；根据二次根式的性质，即可得出②；根据不等式的性质，即可得出③；根据三角形三边之间的关系，即可得出④；根据不等式的性质即可得出⑤； （2）根据题目所给思路，进行推理论证即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据三角形三边之间的关系可得：， ∴， ∴，即； （2）解：①∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则； ②∵， ∴， 则， ， ∵， ∴，则， ∴将左边除以，右边除以得：， 即； ③∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴，即； 【点睛】本题主要考查了二次根式，三角三边之间的关系，完全平方公式，平方差公式等，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用在代数推理中． $$