第17讲 全等三角形（练习，19题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第四章 三角形 第17讲 全等三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 利用全等三角形的性质求解 👉题型02 添加一个条件使两个三角形全等 👉题型03 结合尺规作图的全等问题 👉题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程 👉题型05 补全全等三角形的证明过程 👉题型06 全等三角形证明方法的合理选择 👉题型07 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 👉题型08 与全等三角形有关的基础模型-平移模型 👉题型09 与全等三角形有关的基础模型-对称模型 👉题型10 与全等三角形有关的基础模型-旋转模型 👉题型11 与全等三角形有关的基础模型-一线三等角 👉题型12 与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型 👉题型13 添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 👉题型14 添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 👉题型15 添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线 👉题型16 添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线 👉题型17 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 👉题型18 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 👉题型19 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 👉题型01 利用全等三角形的性质求解 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，，，且，则的度数为 ． 2．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·上海·模拟预测）在和中，，点M，N分别在边和边上，使得，则 ． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 👉题型02 添加一个条件使两个三角形全等 5．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 7．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在和中，与相交于点，，添加一个条件可以证明． (1)①；②；③；④，上面四个条件可以添加的是______（填序号）． (2)请你选择一个条件给出证明． 8．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 👉题型03 结合尺规作图的全等问题 9．（2022·北京海淀·一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等． 10．（2022·湖南长沙·二模）如图，的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E． (1)根据小雅的作图方法，得到．证明过程如下： 由作图可知，在△MAN和△中，， ∴△≌△（_____________）（此处填理论依据）， ∴． (2)若，求线段OE的长． 11．（2022·福建福州·二模）如图，在中，，于点D，为锐角． (1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点C作于点F，连接EF，BE，若，求的值． 12．（2022·河南周口·一模）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 题目背景：在中，，，点在上． (1)作图探讨：在外侧，以为边作； 小明：如图1，分别以，为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图2，分别过，作，的垂线，两条垂线相交于点，则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是 　 　，小军得出的依据是 　 　；（填序号） ①②③④ (2)测量发现：如图3，在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至点，使，连接．请你完成证明过程． (3)迁移应用：如图4，已知，，点在上，，，若在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长． 👉题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程 13．（2023·贵州六盘水·一模）如图，，，且，，．求证：． 下面是小亮的解答过程： 证明：在和中，     第一步 ∴，     第二步 ∴，     第三步 ∴．    第四步 (1)小亮的证明过程是从第________步开始出现错误的． (2)请你写出正确的证明过程． 14．（2024·江苏南通·一模）如图，P是内一点，，．求证：． 小虎的证明过程如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴≌．（第一步） ∴．（第二步） (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 15．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知点D在射线上，平分与，求证．小明的证明过程如下： 证明： 平分． ． ，． ． 小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程． 👉题型05 补全全等三角形的证明过程 16．（2024·重庆·模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空： 如图，正方形中，点F、E、G分别在上，且． (1)尺规作图：过点G作垂线交于点H．（只保留作图痕迹） (2)证明，将下面的过程补充完整． 证明：四边形是正方形，，， ，，① ，， ，② ，四边形为矩形，， ③ ．（④____）． 17．（2023·重庆巴南·一模）已知：如图，矩形中，点E是边上一点，且． (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)求证：，请将下面证明过程补充完整： 证明：∵，， 又∵在矩形中，，∴　 ① 　； ∵在矩形中，，∴　 ② 　；又∵， ∴（　 ③ 　）． ∴　 ④ 　． ∵，∴． 18．（2023·广西柳州·二模）综合与实践    (1)问题发现：如图1，和均为等腰三角形，，，，点、、在同一条直线上，连接． ①求证：；将下列解答过程补充完整． 证明：， ________， ， 在和中， ， ， ； ②若，则的度数为________． (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接．请判断、与三条线段的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，，请直接写出四边形的面积． 19．（2022·河南新乡·二模）（1）在中，，，，且点D，E为边BC上的点（分 别不与点B，C重合，且点D在点E左侧）． ①初步探究 如图1，若，，，试探究BD，DE，CE之间的数量关系． 下面是小东的探究过程（不完整），请补充完整． 解：∵，，∴，，． ∴． 如图，将绕点A逆时针旋转120°，得到，连接GE． 由旋转的性质，可知， ∴，，． ∴，． ∴为等边三角形．（依据：_________________） ∴____________． ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴． ②类比探究 如图2，若，，，请写出BD，DE，CE之间的数量关系，并就图2的情形说明理由． （2）问题解决 如图3，在中，，于点M，，，点N为线段BC上一动点，当点N为BC的三等分点时，直接写出AN的长． 👉题型06 全等三角形证明方法的合理选择 20．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：    (1)； (2)． 21．（2024·青海玉树·三模）证明体验 (1)思考探究如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：． (2)拓展延伸如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长． 22．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点E是正方形的边的中点，将沿翻折至，延长交边于点G．    (1)求证：； (2)若正方形的边长为2，求的长． 23．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，P是菱形对角线上的一点，连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边和为腰的等腰三角形）． 👉题型07 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 24．（2024·内蒙古包头·三模）如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号是 .（填写所有正确结论的序号） 25．（2024·四川广元·二模）如图，点 P 是正方形内部的一个动点，且是以 为底边的等腰三角形，连接，，，有下列结论： ① ②; ③当时，; ④当时， 其中结论正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 26．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M，N分别在，边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为，点C的对应点为，点A，在的同侧，连接，．甲，乙两人有如下说法： 甲：当时，； 乙：当时，． 则下列正确的是（    ） A．甲错，乙对 B．甲对，乙错 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 27．（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 👉题型08 与全等三角形有关的基础模型-平移模型 28．（2024·云南昆明·一模）如图，已知，，，且点，、、在同一条直线上．求证：．    29．（2024信阳市模拟预测）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 👉题型09 与全等三角形有关的基础模型-对称模型 30．（2024·广东·模拟预测）（1）解不等式组： （2）如图，已知，，，四点共线，，，，连接，，求证：． 31．（2024中山市模拟预测）已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、． 试说明：． 32．（2024·青海·一模）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 👉题型10 与全等三角形有关的基础模型-旋转模型 33．（2024九年级下·浙江·专题练习）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (1)在图2中，的度数是______． (2)如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，求的长度． (3)如图4，中，，以为边作正方形，连接．当的度数为多少时，线段有最大值，并求出的最大值． 34．（2024·贵州遵义·三模）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； (2)【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 35．（2024·山东济南·模拟预测）（1）如图1，在中，，点是内部任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是______． （2）如图2，四边形是正方形，绕点旋转，且，，连接，直线与直线相交于点． ①求证：； ②如图3，当点在的延长线上时，连接，已知，在旋转的过程中，求线段的最小值． 36．（2024·贵州贵阳·二模）小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转得到矩形． [探究1]（1）如图①，当时，点E在AD上，连接BE，求的度数； [探究2]（2）如图②，连结BD，FC，过点E作交BD于点．证明：； [探究3]（3）在探究2的条件下，射线BD分别交EC，FC于点P，N，如图③，探究线段BN，MN，PN之间的数量关系． 👉题型11 与全等三角形有关的基础模型-一线三等角 37．（2024太原市模拟预测）如图，在中，于点E，于点D．求证： (1)； (2) 38．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 39．（2024·青海西宁·三模）类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______． 👉题型12 与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型 40．（2024·青海西宁·一模）【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：； 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，，，．连接，．请写出__________；并写出详细解答过程． 41．（2024·湖北·模拟预测）问题背景 如图（1），在与中，，，．求证：． 类比探究 如图（2），D，P是等边外两点，连接并取的中点M，且，，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 拓展应用 如图（3），在四边形中，，，，，，直接写出的长． 👉题型13 添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 42．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 43．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． “倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线． 如图1．在中，平分，且恰好是边的中点．求证：．     证明：如图2，延长至点，使． ∵是边的中点 ∴． ∵，， ∴ （依据）． ∴，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 任务： (1)材料中的“依据”是________．（填选项） A．    B．   C．   D． (2)在中，，，则边上的中线长度的取值范围是________． (3)如图3，在四边形中，，平分，且是的中点，，，求的长． 👉题型14 添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 44．（22-23九年级·全国·单元测试）已知、、、顺次在圆上，，于点，求证：． 45．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度； (2)【深入探究】 E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长． 46．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 👉题型15 添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线 47．（2024葫芦岛市模拟预测）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 48．（2024·江苏宿迁·模拟预测）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在中，点D是的中点，点E是的一个三等分点，且．连结，交于点G，求值． 小明发现，过点D作的平行线或过E作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程 【尝试应用】 （2）如图②，在中，D为上一点，，连结，若，交于点E、F．若，，，则的长为 ． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形中，点E为的中点，点F为上一点，与、分别交于点G、M，若，若的面积为2，则的面积为 ． 👉题型16 添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线 49．（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 50．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，点为的中点，点在边上，以为腰作等腰直角，连接． (1)若，求证：； (2)如图1，当点在边上移动，且点在内部时，探究的大小是否变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由； (3)如图2，当点在外部时，与交于点，若，，求的长． 👉题型17 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 51．（2024贵州市模拟）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题 问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？ 项目图纸 解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角； 项目数据 … 任务：(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ； A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→① (2)若，则 ； (3)请你说明他们作法的正确性． 52．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 53．（2022·浙江金华·模拟预测）图1是一款平衡荡板器材，其示意图如图2，、为支架顶点，支撑点，，，在水平地面同一直线上，、为荡板上固定的点，，测量得，为上一点且离地面，旋转过程中，始终与保持平行．如图3，当旋转至，，在同一直线上时，连接，测得，，此时荡板距离地面． （1）的长为 ．（2）点离地面的距离为 ． 👉题型18 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 54．（2023·河北秦皇岛·三模）要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案． 方案Ⅰ：如图1，先过点B作，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测量的长即可； 方案Ⅱ：如图2，过点B作，再由点D观测，用测角仪在的延长线上取一点C，使，则测量的长即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（    ）    A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行 55．（2024汕头市模拟预测）【综合实践活动】 【问题背景】 小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的绳子，小亮寻求哥哥的帮助． 【理论准备】 哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因； 【实际操作】 小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出长度（如图3），方法如下： （1）在房屋M墙边找一点C，使得； （2）在院子里找一点E，使得：此时发现； （3）测量出B到房屋M墙的距离，即：，； （4）测量出A到的距离，即：AE⊥CE，，同时发现； 经过以上的方法可以计算出的长度． 请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出的长度： 解：如图4，延长至F，使得，连接． …… 【成果迁移】 如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（），可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为，（），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离． 👉题型19 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 56．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 57．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 58．（2023·海南海口·模拟预测）如图，正方形的边长是1，点E是边上一动点（不与D、C两点重合），将沿折叠得，延长交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)点E在运动过程中，的周长是否发生变化？如果发生变化，请说明变化情况；如果不发生变化，请求出的周长． (3)当点E运动到什么位置时，？ 1．（2024·山西·中考真题）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 2．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H． (1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________； (2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； (3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由． 4．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（   ）    A．为矩形两条对角线的交点 B． C． D． 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 8．（2024·北京·中考真题）如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 9．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 12．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 13．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 14．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 15．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 16．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    17．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 18．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 19．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 20．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． $$第四章 三角形 第17讲 全等三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 利用全等三角形的性质求解 👉题型02 添加一个条件使两个三角形全等 👉题型03 结合尺规作图的全等问题 👉题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程 👉题型05 补全全等三角形的证明过程 👉题型06 全等三角形证明方法的合理选择 👉题型07 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 👉题型08 与全等三角形有关的基础模型-平移模型 👉题型09 与全等三角形有关的基础模型-对称模型 👉题型10 与全等三角形有关的基础模型-旋转模型 👉题型11 与全等三角形有关的基础模型-一线三等角 👉题型12 与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型 👉题型13 添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 👉题型14 添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 👉题型15 添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线 👉题型16 添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线 👉题型17 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 👉题型18 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 👉题型19 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 👉题型01 利用全等三角形的性质求解 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，，，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 2．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质；掌握三角形全等的性质是解题的关键． 根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可． 【详解】解：， ，，故③正确； ， 即，故④正确； 与不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出， 故①、②错误； ∴正确的有③④共2个． 故选：B． 3．（2024·上海·模拟预测）在和中，，点M，N分别在边和边上，使得，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键． 由勾股定理可得，设，则，由全等三角形的性质可得，再证，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴, 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即，解得：， 经检验，是方程的解． ∴． 故答案为． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．将拼接到，连接交于点，推出，当点与点重合时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：如图，将拼接到，连接交于点， 则， ，，， ， 当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小， ，， ， ，， ， 即最小时，的度数为． 故选：C． 👉题型02 添加一个条件使两个三角形全等 5．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．由，可得，再分别利用全等三角形的判定和性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 若，又，， ∴， ∴，则原命题是真命题，故选项A不符合题意； 若，∴，又，， ∴， ∴，则原命题是真命题，故选项B不符合题意； 若，又，， 不能证明与全等，则与不一定相等， 则原命题是假命题，故选项C符合题意； 若，又，， ∴， ∴， ∵， ∴，则原命题是真命题，故选项D不符合题意； 故选：C． 6．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，添加，通过“”即可证明．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】解：添加， 是的两条高线， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在和中，与相交于点，，添加一个条件可以证明． (1)①；②；③；④，上面四个条件可以添加的是______（填序号）． (2)请你选择一个条件给出证明． 【答案】(1)①③ (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定： （1）添加①或③，即可； （2）添加①，根据等腰三角形的判定可得，从而得到，可证明，即可；添加③，可得，可证明，即可． 【详解】（1）解：上面四个条件可以添加的是①； 故答案为：①③ （2）若添加①； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 若添加③； ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 8．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 【答案】(1)见解析 (2)添加，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定； （1）证明有两对角相等即可判断； （2）假设，可以推出即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：添加， 如果， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故添加：，能证明． 👉题型03 结合尺规作图的全等问题 9．（2022·北京海淀·一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定方法画出图形即可． 【详解】解：满足条件的三角形有4个，如图所示：（只要画出一种即可） 【点睛】本题考查作图——应用与设计图纸，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（2022·湖南长沙·二模）如图，的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E． (1)根据小雅的作图方法，得到．证明过程如下： 由作图可知，在△MAN和△中，， ∴△≌△（_____________）（此处填理论依据）， ∴． (2)若，求线段OE的长． 【答案】(1)；SSS (2) 【分析】（1）由作图可知△≌△的理由是SSS，据此解答即可； （2）由得，由四边形ABCD为平行四边形得，再由中位线定得OC的长． 【详解】（1）由作图可知，在△MAN和△中， ， ∴△≌△（SSS）， ∴， 故答案为：；SSS； （2）由（1）得， ∴ ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∴OE为△ABC的中位线， ∴ 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，平行四边形的性质及三角形中位线性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．（2022·福建福州·二模）如图，在中，，于点D，为锐角． (1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点C作于点F，连接EF，BE，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点A为圆心，AD为半径画弧，以点B为圆心，以BD为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、BE，则BE即为所求； （2）先证明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一知，进一步证明，（SSS），得到，，又AF＝AF，，得到（SAS），，在中，，设，，得到，，得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示，点E即为所求． 理由是：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD＝BC， ∴线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），旋转角为∠DAE，且； （2）解：如图2，连接DF． 在中，， ∴△ABC是等腰三角形， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴（SSS）， ∴，， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴在中，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、图形的旋转、锐角三角函数、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 12．（2022·河南周口·一模）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 题目背景：在中，，，点在上． (1)作图探讨：在外侧，以为边作； 小明：如图1，分别以，为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图2，分别过，作，的垂线，两条垂线相交于点，则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是 　 　，小军得出的依据是 　 　；（填序号） ① ② ③ ④ (2)测量发现：如图3，在（1）中的条件下，连接．兴趣小组用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段至点，使，连接．请你完成证明过程． (3)迁移应用：如图4，已知，，点在上，，，若在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长． 【答案】(1)①；③ (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得出结论； （2）由条件，，，可知，又，得到，，所以，在中，，可得，从而得证； （3）过点作交于点，连接，过点作交于点，由（1）（2）可知，且；根据，，有，由等腰三角形的三线合一的性质可知，结合，可得，根据，由得到，所以，然后在和中继续利用锐角三角函数求出和的长，最后利用即得解． 【详解】（1）解：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE， ∴， 又∵， 在和中 ， ∴（） 如图2，分别过，作，的垂线， ∴，， 即，， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中 ， ∴（） 故选：①；③ （2）证明：∵，，， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作交于点，连接，过点作交于点， 又∵，， ∴，，都是， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又由（1）（2）可知，， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定与性质，三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数解直角三角形等知识以及知识迁移应用的能力．通过作适当的辅助线从而达到能够应用前面两问的结论和全等三角形的性质的应用是解答本题的关键． 👉题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程 13．（2023·贵州六盘水·一模）如图，，，且，，．求证：． 下面是小亮的解答过程： 证明：在和中，     第一步 ∴，     第二步 ∴，     第三步 ∴．    第四步 (1)小亮的证明过程是从第________步开始出现错误的． (2)请你写出正确的证明过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件即可得出结论； （2）根据平行线的性质推出，再根据证明即可得出结论． 【详解】（1）解：小亮的证明过程是从第一步开始出现错误的； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴．     在和中， ， ∴，     ∴， ∴． 14．（2024·江苏南通·一模）如图，P是内一点，，．求证：． 小虎的证明过程如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴≌．（第一步） ∴．（第二步） (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由全等三角形的判定方法可得出结论； （2）证明，得出． 【详解】（1）解：全等的判定方法用错了，第一步出现错误； 故答案为：一； （2）解：， ． ， ． 即． ， 在和中， ， ∴， ． 15．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知点D在射线上，平分与，求证．小明的证明过程如下： 证明： 平分． ． ，． ． 小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程． 【答案】小明的证明不正确；正确的证明见解析 【分析】由平分，证明，再由邻补角，推出，根据可证明，即可证明． 【详解】解：小明利用的是，是不能证明与全等，故小明的证明不正确； 正确的证明如下， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有． 👉题型05 补全全等三角形的证明过程 16．（2024·重庆·模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空： 如图，正方形中，点F、E、G分别在上，且． (1)尺规作图：过点G作垂线交于点H．（只保留作图痕迹） (2)证明，将下面的过程补充完整． 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ① ， ， ， ② ， 四边形为矩形， ， ③ ． （④____） ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握基本作图方法和特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据尺规作图作垂线的方法画图即可； （2）由正方形的性质结合题意可证明，又易证和四边形为矩形，即可间接得出，即可证，得出． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：四边形是正方形， ，． ， ， ． ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ． 17．（2023·重庆巴南·一模）已知：如图，矩形中，点E是边上一点，且． (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)求证：，请将下面证明过程补充完整： 证明：∵， ， 又∵在矩形中，， ∴　 ① 　； ∵在矩形中，， ∴　 ② 　； 又∵， ∴（　 ③ 　）． ∴　 ④ 　． ∵， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；；；. 【分析】（1）利用基本作图.过D点作的垂线即可； （2）先根据矩形的性质得到，，则， 则可根据“”判断, 得到，从而得到. 【详解】（1）如图 （2）证明：∵， ， 又∵在矩形中，， ∴ ； ∵在矩形中，， ∴ ； 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为: ；；；. 【点睛】 本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质和矩形的性质，熟练掌握种基本作图是解决问题的关键. 18．（2023·广西柳州·二模）综合与实践    (1)问题发现：如图1，和均为等腰三角形，，，，点、、在同一条直线上，连接． ①求证：；将下列解答过程补充完整． 证明：， ________， ， 在和中， ， ， ； ②若，则的度数为________． (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接．请判断、与三条线段的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析； (3)6 【分析】（1）①根据，即可得到答案；②根据可得，求出，根据全等三角形的性质，得出，即可求出结果； （2）由得出，再判断出，即可得出结论； （3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积＝的面积＋的面积，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：①证明：， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， ，， ， 在中，，， ， ， ， ； （3）解：由（2）得： ， 为中边上的高， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质是解本题的关键． 19．（2022·河南新乡·二模）（1）在中，，，，且点D，E为边BC上的点（分 别不与点B，C重合，且点D在点E左侧）． ①初步探究 如图1，若，，，试探究BD，DE，CE之间的数量关系． 下面是小东的探究过程（不完整），请补充完整． 解：∵，，∴，，． ∴． 如图，将绕点A逆时针旋转120°，得到，连接GE． 由旋转的性质，可知， ∴，，． ∴，． ∴为等边三角形．（依据：_________________） ∴____________． ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴． ②类比探究 如图2，若，，，请写出BD，DE，CE之间的数量关系，并就图2的情形说明理由． （2）问题解决 如图3，在中，，于点M，，，点N为线段BC上一动点，当点N为BC的三等分点时，直接写出AN的长． 【答案】（1）①有一个角为60°的等腰三角形，CE，GE；②结论是：DE2=CE2+BD2．证明见详解 （2）AN的长为或 【分析】（1）①将绕点A逆时针旋转120°，得到，连接GE．由旋转的性质，可知，得出，．可证为等边三角形．（依据：有一个角为60°的等腰三角形），得出CEGE即可； ②结论是：DE2=CE2+BD2,将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°，得到△ACG，连结CG，得出AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG，再证∠DAE=∠GAE，然后证明△DAE≌△GAE（SAS）即可； （2）将△AMC绕点A顺时针旋转90°到△AHC′，延长HC′与MB的延长线交于S，先证四边形AHSM为正方形，∠C′AB=90°-∠HAC′-∠BAM=90°-（∠CAM+∠MAB）=45°=∠CAB,AM=AH=HS=BS，再证△AC′B≌△ACB（SAS），得出C′B=CB=BM+CM=5，根据勾股定理得即解方程即可． 【详解】（1）①将绕点A逆时针旋转120°，得到，连接GE． 由旋转的性质，可知， ∴，，． ∴，． ∴为等边三角形．（依据：有一个角为60°的等腰三角形） ∴CEGE． ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：有一个角为60°的等腰三角形，CE，GE； ②结论是：DE2=CE2+BD2． 证明：将△ABD绕点A逆时针方向旋转90°，得到△ACG，连接EG， 则AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG， ∵AB=AC， ∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=90°， ∵∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴∠CAG+∠EAC=∠BAD+∠EAC=90°-∠DAE=45°， ∴∠DAE=∠GAE， 在△DAE和△GAE中， ， ∴△DAE≌△GAE（SAS）， ∴DE=GE， 在Rt△GCE中， GE2=EC2+GC2即DE2=EC2+BD2； （2）解：将△AMC绕点A顺时针旋转90°到△AHC′，延长HC′与MB的延长线交于S， 则∠HAM=90°， ∵AM⊥BC， ∴∠AMC=∠AMB=90°， 根据三角形旋转90°得AH=AM，HC′=MC=2，AC′=AC，∠HAC′=∠MAC，∠H=∠AMC=90°， ∴∠H=∠AMC=∠HAM =90°， ∴四边形AHSM为矩形， ∵AH=AM， ∴四边形AHSM为正方形， ∴∠C′AB=90°-∠HAC′-∠BAM=90°-（∠CAM+∠MAB）=45°=∠CAB,AM=AH=HS=MS， 在△AC′B和△ACB中， ， ∴△AC′B≌△ACB（SAS）， ∴C′B=CB=BM+CM=5， 在Rt△C′SB中,C′S=AM-HC′=AM-2，BS=AM-BM=AM-3， 根据勾股定理得即， 解得AM=6或AM=-1（舍去）， 当点N在BM上，NB=， ∴MN=3-BN=， ∴AN=， 当点N在CM上，CN=， ∴MN=2-CN=， ∴AN=， 综合AN的长为或． 【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，正方形判定与性质，一元二次方程，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，正方形判定与性质，一元二次方程是解题关键． 👉题型06 全等三角形证明方法的合理选择 20．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意，则，，等量代换，则，根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）延长交于，连接，根据题意，垂直平分线的性质，证明得到是的垂直平分线，则，，根据平行线的判定和性质，则，，根据，推出，根据全等三角形性质，则，得到，根据为边的中点，全等三角形的判定和性质，则，根据边的等量关系，即可． 【详解】（1）证明，如下： ∵，， ∴， ∵平分交于点 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明，如下： 延长交于，连接， ∵ 平分，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    21．（2024·青海玉树·三模）证明体验 (1)思考探究如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：． (2)拓展延伸如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据等边对等角得出，，进而根据三角形的外角的性质，等量代换即可得证； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ； （2）解： ， ， ，， ，， ， ， 在与中，， ， ； 22．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点E是正方形的边的中点，将沿翻折至，延长交边于点G．    (1)求证：； (2)若正方形的边长为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了翻折变换，三角形的全等的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．利用翻折变换是全等变换是解题的关键． （1）连接，证明，即可得证； （2）设，在中，利用勾股定理求出的值，再根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接，如图，     正方形， ， 点是中点， ， 由折叠可知：， 则，，， ， 在和中， ， ． ； （2）由（1）知：，， 设， 正方形的边长为2， ， 则，， 在中， ， ， 解得：， ． 23．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，P是菱形对角线上的一点，连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边和为腰的等腰三角形）． 【答案】(1)详见解析 (2)，，， 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的判定，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键． （1）利用菱形的性质和全等三角形的判定（）可得结论； （2）利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的判定可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，∵四边形是菱形， ∴，，， 在和中， ， ∴； （2）解：如图2， ∵， ∴是等腰三角形， 由（1）知， ∴，，则是等腰三角形， 在和中， ， ∴， ∴，，则是等腰三角形； ∴，即，则是等腰三角形， 综上，所有的等腰三角形为，，，． 👉题型07 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 24．（2024·内蒙古包头·三模）如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号是 .（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理等知识点．根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为判断②的正误；利用勾股定理解三角形求正方形的边长和面积可以判断③和④的正误． 【详解】解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，①说法正确； ， 是等腰直角三角形， ， ， ，②说法正确； ， ， 设正方形的边长为， 在中， ，即， 解得， ∴， ∴，③说法错误； ∵， 则， ，④说法正确， 故答案为：①②④． 25．（2024·四川广元·二模）如图，点 P 是正方形内部的一个动点，且是以 为底边的等腰三角形，连接，，，有下列结论： ① ②; ③当时，; ④当时， 其中结论正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，可得，①正确，再根据是等边三角形，即可得出③不正确，④正确 【详解】解：四边形是正方形， ，， ∵是等腰三角形， ∴ ∴ 故①正确； 当 三点在同一条直线上时，故②不正确； 当时， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ， ， ，故③不正确； 当时，设 ∵ ∴ ∴是等边三角形，过点作于点，于点， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ∴ ∴ ∴故④正确， 综上所述：①④． 故选：C． 26．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M，N分别在，边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为，点C的对应点为，点A，在的同侧，连接，．甲，乙两人有如下说法： 甲：当时，； 乙：当时，． 则下列正确的是（    ） A．甲错，乙对 B．甲对，乙错 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判断与性质等知识，当时，延长交于点H，延长交于点K，利用证明，可得出，，利用证明，求出，利用勾股定理求出，即可求出；当于点O时，连接、，利用证明，得出．证明四边形是平行四边形，求出，利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】如解图①，当时，延长交于点H，延长交于点K， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ，，， ， ． ，， ， ，， ， ， ， ．故甲的说法正确． 如解图②，当于点O时，连接、， 在矩形中，，， ． ， ，，． ． ． 又， 四边形是平行四边形． ，， ．故乙的说法正确． 故选：C． 27．（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 👉题型08 与全等三角形有关的基础模型-平移模型 28．（2024·云南昆明·一模）如图，已知，，，且点，、、在同一条直线上．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质；首先利用平行线的性质，再证明，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ， 即， 又， ， ． 29．（2024信阳市模拟预测）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质． （1）先证明，，再利用证明即可； （2）先求得，证明，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 👉题型09 与全等三角形有关的基础模型-对称模型 30．（2024·广东·模拟预测）（1）解不等式组： （2）如图，已知，，，四点共线，，，，连接，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】本题考查了解不等式组，全等三角形的判定和性质． （1）根据解不等式组的方法进行求解即可； （2）根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等先证明，根据全等三角形的对应边相等即可证明． 【详解】（1）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 故不等式的解集为：． （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 31．（2024中山市模拟预测）已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、． 试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【详解】证明：为的平分线， ， 在和中，， ， ， 点在上，，， ． 32．（2024·青海·一模）如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理， （1）由角平分线的性质得到，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）由勾股定理求出，由（1）知，由，即可得解； 掌握角平分线的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴的长为． 👉题型10 与全等三角形有关的基础模型-旋转模型 33．（2024九年级下·浙江·专题练习）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (1)在图2中，的度数是______． (2)如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，求的长度． (3)如图4，中，，以为边作正方形，连接．当的度数为多少时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，线段有最大值，最大值为 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据，利用角的和差关系得出即可得答案； （2）如图，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证明四边形是正方形，可得点与点重合，根据旋转的性质，结合（1）的结论，利用证明，可得，根据线段的和差关系得出，在中，利用勾股定理列方程求出即可； （3）如图，将绕点逆时针旋转得线段，连接、，可得是等腰直角三角形，，利用勾股定理可求出，利用证明，得出，可得有最大值时，有最大值，利用三角形三边关系求出的最大值，并根据平角的定义求出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵直角梯形中，，，， ∴， ∴四边形是正方形，，， ∴点与重合，、、三点共线， ∵， ∴由（1）可知， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． （3）如图，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴当有最大值时，有最大值， ∵，， ∴当、、三点共线时，有最大值，， ∵， ∴此时， ∴当时，线段有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点的应用是解题的关键． 34．（2024·贵州遵义·三模）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； (2)【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 【答案】(1)，； (2)，，理由见解析； (3)3或15． 【分析】（1）延长交于点，证明，，，，进而即可作答； （2）延长交于，交于，推出是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答； （3）分两种情况讨论，分别作答即可． 【详解】（1）解：延长交于点， 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ， 即， 故答案为：，； （2）解：，，理由如下： 如图，延长交于，交于， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，； （3）解：分两种情况，情况一：如图， ，， ， 由（1）得， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 情况二：如图， 同理得，， ， 综上所述：的长为3或15． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是分类讨论画出相应的图形解决问题． 35．（2024·山东济南·模拟预测）（1）如图1，在中，，点是内部任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是______． （2）如图2，四边形是正方形，绕点旋转，且，，连接，直线与直线相交于点． ①求证：； ②如图3，当点在的延长线上时，连接，已知，在旋转的过程中，求线段的最小值． 【答案】 （1） （2）①见解析 ② 【分析】（1）直接证明，即可得出结论； （2）①证明，得，即可求得，即可得出结论； ②过点作于点，作，交的延长线于点，过点作于点．先证明，得到．从而得证四边形是正方形，得到．再证明，得到．再根据勾股定理得，则当最大时，最小，此时，即可求得，即可由求解． 【详解】解：（1）由旋转可得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：四边形是正方形， ， 又， ， 即， 在和中， ， ∴， ． ， ， ． ②解：如图，过点作于点，作，交的延长线于点，过点作于点． 由①知， ， 四边形是矩形， ． 又， ， 即． 在和中， ， ． 四边形是正方形， ． ， ． 在和中， ， ． ， 当最大时，最小，此时， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，本题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质的应用是解题的关键． 36．（2024·贵州贵阳·二模）小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转得到矩形． [探究1]（1）如图①，当时，点E在AD上，连接BE，求的度数； [探究2]（2）如图②，连结BD，FC，过点E作交BD于点．证明：； [探究3]（3）在探究2的条件下，射线BD分别交EC，FC于点P，N，如图③，探究线段BN，MN，PN之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析． 【分析】（探究1）根据题意，证明，即可解答． （探究2）连接BE，证明，得到，即可证得． （探究3）连接，证明，，即可解答． 【详解】 [探究1]解：矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，， ， ， 矩形，， [探究2]证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； [探究3]解：关系式为，证明如下： 如图，连接， 在≌中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ，， ∴， ， ， 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，掌握这些性质定理是解题的关键． 👉题型11 与全等三角形有关的基础模型-一线三等角 37．（2024太原市模拟预测）如图，在中，于点E，于点D．求证： (1)； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． （1）根据已知条件可得、以及，运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，然后运用等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴．． （2）解：∵， ∴， ∴，即． 38．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)18 【分析】（1）在上取一点F，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； （3）作B关于的对称点F，D关于的对称点G，连接，，，，．同（2）可得是等边三角形，则．当A，F，G，E共线时，有最大值，即可求解． 【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1）， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：结论：． 证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 同理可证：，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． （3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点， ∴， ∴ ∵， 由（2）可得是等边三角形， ∴． ∵ 当A，F，G，E共线时，有最大值． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，余角的性质，两点之间线段最短，作恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 39．（2024·青海西宁·三模）类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【分析】（1）证明即可证明； （2）过作轴于点，证明，即可得到，，再根据求解即可； （3）证明即可得到y与x的函数关系，然后根据关系式求最大值即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）过作轴于点， ∵点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y， ∴，，， ∵以为直角边作等腰直角，使， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴y与x的函数关系为； （3）∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵现将沿直线折叠， ∴， ∵过点P作的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∵，， ∴当时，为最大值， 故答案为：，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，二次函数最值，根据一线三垂直模型构造全等或相似是本题的关键． 👉题型12 与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型 40．（2024·青海西宁·一模）【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：； 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，，，．连接，．请写出__________；并写出详细解答过程． 【答案】【问题呈现】见解析；【类比探究】 【分析】本题主要考查了相似形的综合题，是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键： （1）证明，即可得； （2）证明，可推导出，再证明，可得 【详解】解：问题呈现：证明：∵和都是等边三角形， ∴ ∴ 即 ； 类比探究：解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 即 ∴， ∵， ∴ ∴ 41．（2024·湖北·模拟预测）问题背景 如图（1），在与中，，，．求证：． 类比探究 如图（2），D，P是等边外两点，连接并取的中点M，且，，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 拓展应用 如图（3），在四边形中，，，，，，直接写出的长． 【答案】问题背景：见解析；类比探究：；理由见解析；拓展应用： 【分析】问题背景：先证明，再证明即可得到结论； 类比探究：如图，延长至，使，连接，，证明，可得，，再证明，可得，从而可得结论； 拓展应用：过作，且，连接，并延长交于，可得，证明，证明，可得，，可得，从而可得结论． 【详解】问题背景： 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 类比探究：；理由如下： 如图，延长至，使，连接，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， 而， ∴， ， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴； 拓展应用：如图，过作，且，连接，并延长交于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，余角的性质，直角三角形的性质，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 👉题型13 添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 42．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证 ，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证 ，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【详解】（1）解：如图②，为的中线， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 43．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． “倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线． 如图1．在中，平分，且恰好是边的中点．求证：．     证明：如图2，延长至点，使． ∵是边的中点 ∴． ∵，， ∴ （依据）． ∴，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 任务： (1)材料中的“依据”是________．（填选项） A．    B．   C．   D． (2)在中，，，则边上的中线长度的取值范围是________． (3)如图3，在四边形中，，平分，且是的中点，，，求的长． 【答案】(1)A (2) (3)1 【分析】本题主要考查运用“倍长中线法”证明三角形全等，三角形三边关系以及等腰三角形的判定与性质等知识： （1）根据证明过程可得出 的依据； （2）运用倍长中线法求出，再根据三角形三边关系求出的取值范围，从而可得结论； （3）延长，交于点N，证明，得，结合角平分线定义得，得出，可求出 【详解】（1）解：根据证明过程可得 的依据是， 故选：A； （2）解：如图，延长至点，使．连接, ∵是边的中点 ∴． ∵，， ∴ ． ∴． 又， ∴即 ∴． （3）解：如图，延长，交于点， ∵，即， ∴ ∵点是的中点， ∴ 又 ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴， ∴ ∴ 👉题型14 添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 44．（22-23九年级·全国·单元测试）已知、、、顺次在圆上，，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】在上截取，连结，证明，得到，即可得到． 【详解】证明：在上截取，连结，如图， ∵，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握截长补短法证明线段之间的和差关系，是解题的关键． 45．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度； (2)【深入探究】 E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长． 【答案】(1)画图见解析；135 (2)证明见解析 (3)3或7 【分析】（1）根据题意作图即可，由正方形的性质可得，由，得到，根据平角的性质即可求解； （2）如解图②，在上截取，连接，则 ，可证，由此即可求解； （3）如解图①，四边形是正方形，可证，得到，如解图②，当点在线段上时，可得是等腰直角三角形，可得，，可得；如解图③，当点在延长线上时，延长至点，使，连接，则是等腰直角三角形，由题意可得． 【详解】（1）解：根据题意，画出图形如解图①， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：135； （2）证明：如解图②，在上截取，连接，则 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ． （3）解：如解图①， 四边形是正方形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 如解图②，当点在线段上时， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，即， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 如解图③，当点在延长线上时，延长至点，使，连接， 则是等腰直角三角形， ，，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 综上所述，线段的长为3或7． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论思想是解题的关键． 46．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证，进而证明，推出，可得． （2）在上取，连接．依次证明，，可得． （3）将绕点A逆时针旋转得，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得，进而可得． 【详解】（1）解：．理由如下： 由旋转的性质，可知，，，， ∴， ∴E，B，C三线共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，在上取，连接． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转得， ∴． ∵， ∴， ∴E，D，C三点共线． 由（1）同理可得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线是解题的关键． 👉题型15 添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线 47．（2024葫芦岛市模拟预测）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 48．（2024·江苏宿迁·模拟预测）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在中，点D是的中点，点E是的一个三等分点，且．连结，交于点G，求值． 小明发现，过点D作的平行线或过E作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程 【尝试应用】 （2）如图②，在中，D为上一点，，连结，若，交于点E、F．若，，，则的长为 ． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形中，点E为的中点，点F为上一点，与、分别交于点G、M，若，若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】（1）3（2）7（3）10 【分析】（1）过点D作交于H，则，而，所以，则，所以，由，得，所以，可证明，得，可推导出，则； （2）取的中点H，连结，由，于点E，得，则，可证明，得，所以，求得，于是得到问题的答案； （3）设的面积为，求出，，过点作交于点，证明，得，，再证明，得，由列式求出的值即可得出的面积 【详解】解：解：如图①，过点D作交于H，则，              图① ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵E是的一个三等分点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为3； （2）如图②，取的中点H，连结，则， ∵于点E，， ∴， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：7． （3）如图③，设的面积为， ∴， ∵原来的中点， ∴且， 连接，则 ∵， ∴， 过点作交于点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为10， 故答案为：10 【点睛】本题主要考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 👉题型16 添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线 49．（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)图①的猜想：，证明见解析 (2)图②：，图③： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）如图，作交于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；如图，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 【详解】（1）， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； 如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 50．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，点为的中点，点在边上，以为腰作等腰直角，连接． (1)若，求证：； (2)如图1，当点在边上移动，且点在内部时，探究的大小是否变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由； (3)如图2，当点在外部时，与交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不会变化，理由见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）通过推理角度得到，即可证明，得到； （2）过点作于，过点作于，根据一线三垂直模型可证明，得到，，进一步证明，由得到，即可得到； （3）过点作于点，由等腰直角三角形求出 ，由得到，，进而得到，即可求出，再证明，得到，代入计算即可． 【详解】（1），， ， ，， ， ， ， 又，， ， ． （2）的大小不会变化， 过点作于，过点作于， 则， ， 又∵， ， 又∵， ， ，， ∵， ， ， ， ∵， ， ， ， 故． （3）过点作于点，则， ， ， ， ∴， ∴， ， ，，， ，， 在中，， 在中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 👉题型17 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 51．（2024贵州市模拟）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题 问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？ 项目图纸 解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角； 项目数据 … 任务： (1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ； A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→① (2)若，则 ； (3)请你说明他们作法的正确性． 【答案】(1)D (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实践操作题——利用全等三角形原理测长度，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的方法． （1）根据“使直杆斜靠在墙上，顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角，而后使直杆顶端缓慢下滑，直到，标记直杆的底端点，测量的长度”的顺序，从新排列“解决过程”，即得； （2）根据判定和全等，得到，进一步解答即可； （3）根据判定的合理性说明他们作法的正确性． 【详解】（1）正确的顺序应是： ②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合； ④记下直杆与地面的夹角； ③使直杆顶端缓慢下滑，直到； ①标记测试直杆的底端点，测量的长度． 故答案为：； （2）在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）证明：由（2）知，在和中， ， ， ． 即测量的长度，就等于的长度，即点的高度． 52．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 故答案为：48． 53．（2022·浙江金华·模拟预测）图1是一款平衡荡板器材，其示意图如图2，、为支架顶点，支撑点，，，在水平地面同一直线上，、为荡板上固定的点，，测量得，为上一点且离地面，旋转过程中，始终与保持平行．如图3，当旋转至，，在同一直线上时，连接，测得，，此时荡板距离地面． （1）的长为 ．（2）点离地面的距离为 ． 【答案】 【分析】（1）先根据判断判断垂直平分，从而得； （2）得出，再在△中用勾股定理求出，即可求得点离地面的距离． 【详解】解：（1）如图，过作的垂线交于，交延长线于， 连接，连接， 由图2得：， ， ，， 垂直平分， ，，在同一直线上， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， 为上一点且离地面，此时荡板距离地面， ， ， ， 点离地面的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，读懂题意证明出垂直平分是本题的关键． 👉题型18 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 54．（2023·河北秦皇岛·三模）要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案． 方案Ⅰ：如图1，先过点B作，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测量的长即可； 方案Ⅱ：如图2，过点B作，再由点D观测，用测角仪在的延长线上取一点C，使，则测量的长即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（    ）    A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】方案Ⅰ中可用证明，从而得到；方案Ⅱ中可用证明，从而得到． 【详解】解：如图1所示，∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴测量的长即可，故方案Ⅰ可行； 如图2所示，∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴测量的长即可，故方案Ⅱ可行； 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确理解题意并熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 55．（2024汕头市模拟预测）【综合实践活动】 【问题背景】 小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的绳子，小亮寻求哥哥的帮助． 【理论准备】 哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因； 【实际操作】 小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出长度（如图3），方法如下： （1）在房屋M墙边找一点C，使得； （2）在院子里找一点E，使得：此时发现； （3）测量出B到房屋M墙的距离，即：，； （4）测量出A到的距离，即：AE⊥CE，，同时发现； 经过以上的方法可以计算出的长度． 请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出的长度： 解：如图4，延长至F，使得，连接． …… 【成果迁移】 如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（），可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为，（），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离． 【答案】理论准备：见详解；实际操作：；成果迁移：150海里 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确理解题意，做出辅助线解答． （理论准备）：证明，即可求解； （实际操作）：证明，得出再证明根据即可求解； （成果迁移）：延长并截取，证明， ，根据即可求解； 【详解】（理论准备）：在和中 ， ， ； （实际操作）： 证明：由题意可得， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； （成果迁移）：延长并截取， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 海里． 👉题型19 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 56．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到，得到当三点共线时，取得最小值为的长，过点作，，得到四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出 【详解】解：如图，将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值为的长， 过点作，，则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴ ， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题等知识点，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形． 57．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，进而得到，勾股定理求出的长，即得最小值； 【详解】解：如图，连接、、、， ∵正方形和正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴的最小值为 故答案为：． 58．（2023·海南海口·模拟预测）如图，正方形的边长是1，点E是边上一动点（不与D、C两点重合），将沿折叠得，延长交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)点E在运动过程中，的周长是否发生变化？如果发生变化，请说明变化情况；如果不发生变化，请求出的周长． (3)当点E运动到什么位置时，？ 【答案】(1)详见解析 (2)的周长不发生变化，始终是定值2 (3)当点E运动到时， 【分析】（1）根据折叠 性质，得，再证出得到． （2）根据，，结合正方形的性质，三角形的周长表示法解答即可． （3）根据，结合正方形的性质，证明，设，则，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：根据折叠的性质，得， ∴， ∵正方形的边长是1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 平分． （2）解：根据，， ∴， ∴ ， 的周长不变，且为2． （3）当点E运动到时，． ∵，， ∴， ∴， 设， 则， 由勾股定理，得， （舍去）． 故当点E运动到时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，解方程，熟练掌握性质和解方程是解题的关键． 1．（2024·山西·中考真题）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． （1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一： 作法二：． 2．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 3．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H． (1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________； (2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； (3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由． 【答案】(1)菱形 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形； （2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为； （3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵点E是的中点， ∴， ∴为过的圆的直径， 又∵， ∴为过的圆的直径， ∴点H为圆心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴两张纸片重叠部分的形状是菱形； （2）解：∵都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等边三角形， 过点E作， ∴设，则，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接， ∵都是边长为的等边三角形， ∴，， ∴由勾股定理可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②见详解 (3)见详解 【分析】（1）由“角角边”即可证明； （2）①由操作知，将四边形绕点E旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， 由题意得为中点，‘ ∴’， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：①如图，由操作知，点E为中点，将四边形绕点E旋转得到四边形， ∴， ∴， 故答案为：1； ②如图， 由题意得，是的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出， 则，， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴三点共线，同理三点共线， 由操作得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：如图，     如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 由题意得，，， ∴， ∴， 由操作得，， ∵， ∴， ∴三点共线， 同理三点共线， ∵， ∴四边形为矩形， 如图，连接， ∵为中点， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由操作得，，而， ∴， 同理，， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形能放置左上方空出， ∴按照以上操作可以拼成一个矩形． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 2．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 3．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（   ）    A．为矩形两条对角线的交点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 由矩形的性质得出 ，再由平行线的性质得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴，， A、∵O为矩形两条对角线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； B、在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定， 故此选项符合题意； 故选：D． 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 7．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键． 8．（2024·北京·中考真题）如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可. 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键. 【详解】向两方分别延长，连接， 根据菱形，，则，， ∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误 ∴③错误， 故选B． 9．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵，∴． ∵，，， ∴①． 又∵，， ∴（②）． ∴．∴四边形是平行四边形． 故选：D． 10．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 12．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 【答案】 【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 ， ，所以平分 和 ，加上平分 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则得到是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，接着证明为等腰直角三角形得到，设，则，，然后证明 ，利用相似比可计算出． 【详解】解：连接，作的平分线，交于点O，作 于， 在和 中， ， ∴， ∴ ， 平分 和 ， 平分 ， 点到四边形的各边的距离相等， ∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则，， ∵，， ∴， ， 即 ， ． 即的半径为， ∴圆形纸片的半径为． 故答案为： 【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 13．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用三角形相似及可得，再利用三角形的外角性质结合可求得； （2）作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：(已知)， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，， 如图，过点作的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． 14．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 【答案】/ 【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，首先根据菱形的性质得到，，连接，，直线l交于点F，交于点G，得到点，D，O三点共线，，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴设， ∴， 如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G， ∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上， ∴，， ∴ ∴点，D，O三点共线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 由对称可得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 15．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 16．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 17．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 18．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明； （）由（）得，，即可得到，，进而即可求证； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）知，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 19．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 20．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，，根据，可得； （2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得； ②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：①，理由如下： 设， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． $$