高二数学开学摸底考（北师大版2019，选修一全册）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

命学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2024-2025学年高二下学期开学摸底考试卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 3 4 5 6 7 8 B B B B B B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 BC BC BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13.25 14. 454095 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【详解】(1)(1)补全的列联表如下： 有氧运动时长 性别 合计 达到建议要求 未达到建议要求 男性 90 30 120 女性 70 10 80 合计 160 40 200 -2分 零假设H,:成年人每周进行有氧运动时长是否达到建议要求与性别无关， 2 20×90x10-70×30_75=4.6875<5.024=s -5分 120×80×160×40 16 所以根据小概率值α=0.025的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立， 故不能认为成年人每周进行有氧运动时长是否达到建议要求与性别有关.一6分 (2)由题可知抽取的8人中，女性有2人，男性有6人， X的所有可能取值为0,1,2， -7分 1/6 学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则P叫X=0)= C28' -10分 所以X的分布列为 X 0 1 2 15 3 14 28 28 所以()=0名写 +2x3=2 28 284· -13分 16.(15分) 【详解】(1)证明：在△4PB中，PB=4,PA=2√5，AB=2,所以PB2=AB2+PA, 所以∠PAB=90°，即PA⊥AB, -1分 又∠EAB=90,所以AE⊥AB,- …2分 因为AEO PA=A,AE,PAC平面PAE,所以AB⊥平面PAE, -3分 又PEC平面PAE,所以AB⊥PE: 4分 (2)连接AD,在Rt△AED中，∠AED=90,AE=3V5,DE=3, 所以AD=VAE2+DE2=6, -5分 在△APD中，PD=4N5,PA=25, 所以PD=AD2+PA,所以∠PAD=90,即PA⊥AD, 6分 由(1)知，PA⊥AB,又因为ABOAD=A,AB,ADC平面ABCDE, 所以PA⊥平面ABCDE. -7分 以A为坐标原点，以AB,AE,AP所在直线分别为x,八，2轴建立如图所示的空间直角坐标系， 过点C作CG⊥x轴于点G, 因为∠ABC=120°，所以∠CBG=60°， 又BC=4,故BG=2,CG=2N5, -8分 则A00,0,E0,35,0,D3,35,0,P0,0,25,C4,25,0, ZA 2/6 命学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故P元=4,25，-2，PD=3,35,-2W5, -9分 设平面PCD的法向量为i=(x,y,z, PC-i=0,4x+25y-2W5z=0, 历.i=0,{3x+3-252=0不妨令-1则 则 即 y=1’x=5,z=3 则i=V5,13到为平面pCD的一个法向量， -10分 依题意，A正=0,35,0为平面P4B的一个法向量， -11分 设平面PAB与平面PCD的夹角为B, 则cos0=os(aE, AE. 0,35,05,1,3 3√5 3 3W5×√3+1+9 3W5×√1313' 13分 AE 又因为sin0 13 239 13 13 所以平面PHB与平面pCD夹角的正弦值为2 13 -15分 17.(15分) 【详解】(1)由题意，点P3,4在圆x2+y2=r2上，可得r=5, -1分 因直线Op的斜率为~一等，则圆o在点p处的切线斜率为手， -2分 故切线方程为y-4=一r-3),即3x+4y-25=0: 3分 (2)如图，由(1)知圆0：x2+y2=25,又点P(3,4,B(0,5), 当直线1的斜率不存在时，直线：x=3,易知此时，A3,4), 5分 点B0,5到到：x=3的距离为3。则Sm×8x3=12,不符合题意： 6分 当直线/的斜率存在时，设直线1：y-4=k(x-3),即-y+4-3=0, 代入x2+y2=25中，整理得：(2+0x2-(6k2-8k)x+9k2-24k-9=0, -7分 3/6 函学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设4o) 由韦达定理，3x。= 9k2-24k-9 +1—，即6= 3k2-8k-3 k2+1 -8分 代入-y4-0可得%=即4出当. 9分 于是1Pa=3-3-3y+46+4_.《+跳+6 k2+1 k2+1 (k2+1)2 -10分 则得1P8涨+6V+ -11分 K2+1 点B0,到直线1：-y+4-3=0的距离为：d=制 √2+1' -12分 则SAA即= 欧+可x15,解得k=或k= 21 k2+1 Vk2+1 -14分 故直线I的方程为4x-3y=0或3x-y-5=0. -15分 18.(17分) 【详解】(1)因为F为抛物线C:y=2p四(p>0)的焦点， 又抛物线上一点M横坐标为3，满足MF=4,一 …1分 所以3+号=4，解得p=2,所以抛物线c的方程为y广=4r -3分 (2)设的方程为x=少+L,A(x,y,B(x2,N(-l,m). -4分 B 由题意海6=即客关-启- x+1x2+1 -5分 可得二+上-n 2yy2-4n+(2-t)以+y)_n2 +2+的+24，通分可得7+210+)+44： -6分 联立x=y+1和抛物线，得到y2-4y-4=0,A=1612+16>0, -7分 电+男=两=小代入可有机识号 4 8分 4/6 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 整理可得(02+1)n2+4n)=0,解得n=0或n=-4, 9分 故N(-1,0),N(-1,-4)满足题意. -10分 (3)由题意，P1,2),Q(1,-2), 则直线：y-2二x-D,直线0：y+2=+2(x), -1 -11分 两线方程张-子}-. -12分 由(2)知， -14分 于是2=-，则= -16分 即直线AP与BQ的交点在一条定直线x=-1上. 17分 19.(17分) 【详解】(1)设事件A=“游戏一获胜”，B=“游戏二获胜”，C=“游戏三获胜”，游戏一中取出一 个球的样本空间为2={1,2,3,4,5，则n(2)=5, 因为445，所以利=2P八4号所以游戏获雅防概有为2 -2分 5 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间22=(x,y川x,y∈1,2,3,4,5}， 则n(2=25,因为B={(4.4,4,5),(54,5,5列， 所以n8=4所以PB=A=手 n2,25,所以游戏二获胜的概率为 -5分 25 (2)游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为5×4=20， 6分 21 m=3时，样本的个数为2，所以所求概率为010： -8分 (3)设M=“先玩游戏二，获得书券”，N=“先玩游戏三，获得书券”， 则M=ABCUABCABC,且ABC,ABC,ABC互斥，A,B,C相互独立， 9分 所以PM)=P ABCUABCUABC)=PABC+PABC+P(ABC) =P()P(B)1-P(C)]+1-P(4)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) 5/6 命学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 525 -11分 又N=ACBUACBACB,且ACB,ACB,ACB互斥， 所以P(N=P ACBUACBU ACB=PACE+PACB+P(ACB) =P(A)P(C)[1-P(B)]+[1-P()]P(C)P(B)+P(A)P(C)P(B) 25125 -13分 若要接下米先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则P(N)>P(M), 所以品nG>品PG,即PG>若 -14分 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第 2 次 1 (1,2 (1,3 (1,4 (1,5 2 (2,1 × (2,3 2,4 (2,5) (3, (3,2 (3,4 (3,5 4 4, (4,2 (4,3 4,5 5 (5, (5,2 (5,3 5,4) × A4 当m=3.4,8.9时，PC 20<25,舍去 44 当m=567时，PC)=20>2方，满足题意， -16分 因此m的所有可能取值为5,6,7 -17分 6/6 2024-2025学年高二下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B．， C． D．， 2．点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（    ） A． B． C．2 D． 3．下表为2017—2023年某企业两轮电动车的年产量（单位：万辆），其中2017—2023年的年份代码分别为1—7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年产量万辆 31 33 38 44 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为（    ） A．146.5 B．164.8 C．179.5 D．197.8 4．已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 5．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 6．在直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，，是双曲线的两个焦点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，图中外形轮廓像阿拉伯数字“8”的曲线叫双纽线，它不仅体现了数学美的简洁、对称、和谐、抽象、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石．图中双纽线C的方程：，于此曲线，给出如下结论： ①曲线C的图象关于原点对称 ②曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） ③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 ④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 其中正确结论的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是(    ). A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 10．下列对二项式的展开式的说法正确的是：（     ）. A．第3项的系数为40 B．第4项的二项式系数为10 C．不含常数项 D．系数和为32 11．点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（   ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 . 13．已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为 . 14．数学家莱布尼兹是世界上首个提出二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示.若正整数，其中或，则可以用位二进制数表示.记的二进制各个位数和为，则.例如，因此.已知正整数1024且，则这样的有 个； . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）《中国人群身体活动指南（2021）》中建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度有氧运动，或等量的中等强度和高强度有氧活动组合．某体育局随机采访了200名18～64岁的成年人，并将其每周进行有氧运动的时长是否达到建议要求情况制作成如下图表： 性别 有氧运动时长 合计 达到建议要求 未达到建议要求 男性 30 120 女性 70 合计 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为成年人每周进行有氧运动时长是否达到建议要求与性别有关？ (2)从样本中每周进行有氧运动时长未达到建议要求的成年人中按性别用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为女性的人数，求的分布列和数学期望． 附：，． 0.050 0.025 0.001 3.841 5.024 10.828 16．（15分）如图，在五棱锥中，，，.    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 17．（15分）已知圆上一点 (1)求圆在点处的切线方程； (2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 18．（17分）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于两点，抛物线上一点横坐标为3，满足. (1)求抛物线的方程； (2)试问在准线上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 19．（17分）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二下学期开学摸底考试卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期开学摸底考试卷 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】根据一般方程与直线方程的斜截式互化可得结果. 【详解】由直线可化为， 因此可得，. 故选：B 2．点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即可． 【详解】，是直线的一个单位方向向量， 点P到直线l的距离为. 故选：B. 3．下表为2017—2023年某企业两轮电动车的年产量（单位：万辆），其中2017—2023年的年份代码分别为1—7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年产量万辆 31 33 38 44 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为（    ） A．146.5 B．164.8 C．179.5 D．197.8 【答案】B 【分析】先求出，又因为点在经验回归直线上，得出即可计算求解. 【详解】由表中数据得，因为点在经验回归直线上， 所以，所以. 故选：B. 4．已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以，， 所以，两圆相交，故两圆的公切线条数为. 故选：B. 5．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【分析】先考虑特殊位置，再利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法， 所以共有种站法， 故选：B 6．在直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，，是双曲线的两个焦点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据焦半径公式分别求出，，再由题意化简计算可得. 【详解】不妨设双曲线方程为，设，则， 由焦半径公式可知，，其中为双曲线的离心率. 易知，则由，有， 可得，即， 则， 故双曲线C的离心率. 故选：B 7．某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方差的计算即可求解，结合排列组合求解概率，即可根据期望和方差，结合选项即可逐一求解. 【详解】由题知的所有可能取值为，则，. 且，，， 所以，故A错误； 由于，故C错误； ，故B错误； ，则，故D正确． 故选：D 8．如图，图中外形轮廓像阿拉伯数字“8”的曲线叫双纽线，它不仅体现了数学美的简洁、对称、和谐、抽象、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石．图中双纽线C的方程：，于此曲线，给出如下结论： ①曲线C的图象关于原点对称 ②曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） ③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 ④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 其中正确结论的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】①，由曲线上任一点关于原点的对称点适合曲线方程可判断；②，利用换元法转化为二次方程，通过判别式得出范围，再赋值求解整点的坐标即可；③，利用已知方程变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断；④，联立直线与曲线C研究方程根的情况即可． 【详解】①，设曲线上任意一点，则坐标满足曲线方程， 即方程成立， 可得成立， 即点关于原点的对称点也适合曲线方程， 所以曲线的图象关于原点对称，故①正确； ②，方程可化为， 令，则方程， 由判别式，可得， 若是整数，则. 令，，解得或3或，有三个整点，，； 令，，解得或5，此时无整点； 所以曲线共经过3个整点，故②错误； ③，设曲线C上任一点， 当为原点时，到原点的距离为，满足题意； 当不为原点时，， 则由可得，， 所以点到原点的距离，且； 综上，曲线C上任一点到原点的距离都不超过3，故③正确； ④，直线恒过原点，且曲线C经过， 则直线与曲线至少一个公共点， 又与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点. 联立， 消得， 当时，方程仅一解，满足题意； 当时，当时，方程恒成立，即恒有一解， 当时，方程化简得，即当时，方程无解，满足题意； 综上，，解得或，故④正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0的分类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是(    ). A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，由A与B互斥，得，B正确； 对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确； 对于D，由A与B相互独立，得，相互独立，则，D错误. 故选：BC 10．下列对二项式的展开式的说法正确的是：（     ）. A．第3项的系数为40 B．第4项的二项式系数为10 C．不含常数项 D．系数和为32 【答案】BC 【分析】写成展开式的通项，利用通项判断A、B、C；令判断D. 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以第3项的系数为，故A错误； 第4项的二项式系数为，故B正确； 令，解得，又，所以展开式不含常数项，故C正确； 令可得系数和为，故D错误. 故选：BC 11．点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（   ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，建系，利用距离公式求解,D选项，找到的轨迹，计算即可；. 【详解】对于A，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A不正确； 对于B，与所成角即与所成，为等边三角形， 当P在端点A，时，所成角最小，为，当P在中点时，所成角最大为，故B正确； 对于C，如图建系，由， 设，则 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以，可得， 所以，当时，等号成立，正确. 对于D， 因为直线与平面所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆， 故的轨迹长度为，故D错误； 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个大型电子设备制造厂有和两条生产线负责生产电子元件.已知生产线的产品 合格率为，生产线的产品合格率为，且该工厂生产的电子元件中来自生产线，来自生产线.现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合格的条件下来自生产线的概率是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答. 【详解】随机抽取一个电子元件，设“抽取的电子元件不合格”，“抽取的电子元件来自生产线”，“抽取的电子元件来自生产线”，则，， ，. 由全概率公式得 故. 故答案为：. 13．已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆定义得，将转化为关于的二次函数求最值可得. 【详解】由椭圆得. 由点在椭圆上，故，故， 则， 故当时，取最大值. 故答案为：. 14．数学家莱布尼兹是世界上首个提出二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示.若正整数，其中或，则可以用位二进制数表示.记的二进制各个位数和为，则.例如，因此.已知正整数1024且，则这样的有 个； . 【答案】 45 4095 【分析】第一空：由题意：是2～10位二进制数，得到的前10位中恰有两个1，其余位均为即可求解； 第二空：是最大的6位二进制数，从而说明1～63的二进制数中，时共有个二进制数，时共有个二进制数，时共有个二进制数，…，时共有个二进制数，进而可求解； 【详解】详解：（1），要使， 则是位二进制数，且的前10位中恰好有两个1， 其余位均为0，因为最高位必为1， 所以有个满足题意的的值. （2）由于是最大的6位二进制数，故的二进制数中最少1个1，最多6个1，即当时，. 当时，位二进制数最高位必为1，其余位为0， 故共有个二进制数（或者理解为前6位中恰有1个1，其余位均为0）； 当时，位二进制数最高位必为1，其余位只有一个1，故共有个二进制数（或者理解为前6位中恰有2个1，其余位均为0）；当时，位二进制数最高位必为1，其余位只有2个1，故共有个二进制数（或者理解为前6位中恰有3个1，其余位均为0）； … 当时，6位二进制数全是1，故共有个二进制数， 所以 . 【点睛】思路点睛： 第二空：由是最大的6位二进制数，得到；分别讨论，，，…，时二进制数的个数即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．《中国人群身体活动指南（2021）》中建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度有氧运动，或等量的中等强度和高强度有氧活动组合．某体育局随机采访了200名18～64岁的成年人，并将其每周进行有氧运动的时长是否达到建议要求情况制作成如下图表： 性别 有氧运动时长 合计 达到建议要求 未达到建议要求 男性 30 120 女性 70 合计 (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为成年人每周进行有氧运动时长是否达到建议要求与性别有关？ (2)从样本中每周进行有氧运动时长未达到建议要求的成年人中按性别用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为女性的人数，求的分布列和数学期望． 附：，． 0.050 0.025 0.001 3.841 5.024 10.828 【答案】(1)表格见解析，不能认为成年人每周进行有氧运动时长是否达到建议要求与性别有关． (2)分布列见解析，． 【分析】（1）根据列联表求解卡方，即可与临界值比较作答； （2）由列联表，根据分层抽样可知抽取的8人中，女性有2人，男性有6人，利用超几何分布计算可得分布列，计算可求得结果. 【详解】（1）（1）补全的列联表如下： 性别 有氧运动时长 合计 达到建议要求 未达到建议要求 男性 90 30 120 女性 70 10 80 合计 160 40 200 零假设：成年人每周进行有氧运动时长是否达到建议要求与性别无关． ， 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 故不能认为成年人每周进行有氧运动时长是否达到建议要求与性别有关． （2）由题可知抽取的8人中，女性有2人，男性有6人． 的所有可能取值为， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以． 16．如图，在五棱锥中，，，.    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由勾股定理逆定理得，结合，从而得到线面垂直，证明出； （2）证明出平面，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的余弦值，进而求出正弦值. 【详解】（1）证明：在中，，所以， 所以，即， 又，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）连接，在中，， 所以， 在中，， 所以，所以，即， 由（1）知，，又因为，平面， 所以平面. 以A为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 过点作⊥轴于点， 因为，所以， 又，故， 则，    故， 设平面的法向量为， 则即不妨令，则， 则为平面的一个法向量， 依题意，为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 又因为， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 17．已知圆上一点 (1)求圆在点处的切线方程； (2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先依题求得圆的方程，再求直线的斜率，即得切线斜率，由点斜式方程即得切线方程； （2）设直线的点斜式方程，代入圆的方程，由韦达定理求出点A的坐标，计算弦长和点到直线的距离，由三角形面积公式列方程，解之即得直线的方程. 【详解】（1）由题意，点在圆上，可得， 因直线的斜率为，则圆在点处的切线斜率为， 故切线方程为，即； （2）如图， 由（1）知圆，又点，， 当直线的斜率不存在时，直线，易知此时，， 点到的距离为3，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 代入中，整理得：， 设，由韦达定理，，即， 代入，可得，即， 于是， 则得， 点到直线的距离为：， 则，解得或， 故直线的方程为或. 18．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于两点，抛物线上一点横坐标为3，满足. (1)求抛物线的方程； (2)试问在准线上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)存在，或 (3)证明见详解 【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式即可得解； （2）设的方程为，联立直线和抛物线方程，将题干斜率条件用坐标表达，结合韦达定理求解； （3）表示出直线AP与BQ的方程，得到交点坐标，结合（2）中的韦达定理求解. 【详解】（1）因为为抛物线的焦点， 又抛物线上一点横坐标为3，满足， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2）设的方程为， 由题意得，，即， 可得，通分可得， 联立和抛物线，得到， 由，代入可得， 整理可得，解得或， 故满足题意. （3）由题意，， 则直线：，直线：， 两直线方程相减得到：， 由（2）知，，于是， 即，即，即， 于是，则， 即直线与的交点在一条定直线上. 19．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 【答案】(1)游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 (2) (3)的所有可能取值为5，6，7 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （2）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （3）根据相互独立事件、互斥事件（对立事件）求得先玩游戏三或先玩游戏二获得书券的概率，由此列不等式来求得的所有可能取值. 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为. （2）游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； （3）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$