第11讲 空间的平行关系（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第11讲 空间的平行关系 【人教A版2019】 模块一 空间中的平行关系 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【题型1 证明线线平行】 【例1.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【例1.2】（24-25高一·全国·课后作业）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【变式1.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 【变式1.2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 【题型2 等角定理及其应用】 【例2.1】（24-25高一·全国·课前预习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【例2.2】（24-25高一·全国·课后作业）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2.1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（    ） A．，， ， 四点共面 B． C． D．四边形 为梯形 【题型3 直线与平面平行的判定】 【例3.1】（2024高二上·黑龙江·学业考试）如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（24-25高三上·河南·阶段练习）在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【变式3.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知平行六面体，则下面四条直线中与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2025高一·全国·专题练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 平面与平面平行的判定】 【例4.1】（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ） A．截面与截面 B．截面与截面 C．截面与截面 D．截面与截面 【例4.2】（23-24高一下·海南·期末）如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中以下四个命题中，真命题的序号是（    ） ①平面； ②平面； ③平面平面； ④平面平面. A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【变式4.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在多面体中，底面是平行四边形，点和点分别是和的中点．证明：平面∥平面．    【变式4.2】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 模块二 平行关系的相互转化及综合应用 1．平行关系的相互转化及综合应用 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线. ②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. ③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半. ④利用平行线分线段成比例定理. ⑤利用线面平行的性质定理. ⑥利用面面平行的性质定理. ⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的. (2)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. ②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. ③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥. ④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. (3)平面与平面平行的判定方法 ①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. ②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行 于另一个平面，则这两个平面平行. ③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行， 则这两个平面平行. ④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. ⑤利用反证法. (4)平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的，如图所示. 【题型5 线面平行性质定理的应用】 【例5.1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【例5.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．求证：；    【变式5.2】（23-24高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证： 平面； (2)已知点在上满足 平面，求的值. 【题型6 面面平行性质定理的应用】 【例6.1】（23-24高一下·青海西宁·期中）已知平面平面，过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【例6.2】（2025高一·全国·课后作业）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A．， B．，，且 C．，， D．，，， 【变式6.1】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 【题型7 平行问题的综合应用】 【例7.1】（2024·四川遂宁·模拟预测）在正方体 中，下列结论正确的是（    ） ①； ②平面平面； ③； ④平面. A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【例7.2】（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在三棱柱中，已知点G，H分别在，上，且GH经过的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且平面平面BCHG，给出下列结论： ①；②平面；③；④平面平面． 其中正确的是（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【变式7.1】（23-24高一下·北京·期中）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：    (1)； (2)平面平面. 【变式7.2】（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知平面，和直线，，且，，，则与的位置关系是（    ） A．平行或异面 B．平行 C．异面 D．相交 2．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（ ） A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行 3．（23-24高一下·河北沧州·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 6．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 7．（23-24高一下·江苏南京·期中）在空间四边形中，分别为上的点，且，分别为的中点，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为梯形 C．平面且为菱形 D．平面且为平行四边形 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（24-25高一·全国·课后作业）(多选题)下列命题中，错误的结论有（    ） A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 10．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱，，BC的中点，为侧面的中心，则（    ） A．直线平面PEF B．直线平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积 11．（23-24高一下·河南新乡·期末）如图，在长方体中，点M，N，E，F分别在棱，，，上，且平面平面，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．平面 三、填空题 12．（2024高一下·全国·专题练习）在三棱锥中，分别是的中点，则 . 13．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 14．（24-25高一下·全国·课后作业）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断： ①平面DE；②平面AF；③平面平面；④平面平面. 其中判断正确的序号是 . 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课后作业）已知E､E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD､A1D1的中点.求证：∠BEC=∠B1E1C1. 16．（2024高一·全国·专题练习）如图，四边形与均为平行四边形，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．    17．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 18．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形与四边形均为平行四边形，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 19．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 空间的平行关系 【人教A版2019】 模块一 空间中的平行关系 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. (2)空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 2．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. (3)性质定理的作用 ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 3．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 【题型1 证明线线平行】 【例1.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【解题思路】由平行直线的传递性可得答案. 【解答过程】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d. 故选：A. 【例1.2】（24-25高一·全国·课后作业）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（   ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【解题思路】连接AD1，CD1，AC，根据E，F分别为AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理和平行关系的传递性判断. 【解答过程】如图，    连接AD1，CD1，AC， 因为E，F分别为AD1，CD1的中点， 由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC， 所以EF∥GH. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 【解题思路】根据给定条件可得MN//AC，EF//AC，再借助平行公理即可判断作答. 【解答过程】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC， 而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC， 由平行公理得：MN//EF， 所以直线MN与直线EF平行． 【变式1.2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 【解题思路】根据三角形中位线、平行线等分性质结合平行线的传递性分析证明, 【解答过程】∵E、H分别是AB、AD的中点，则 ， 又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则 ， ∴ ， 故直线EH与直线FG平行． 【题型2 等角定理及其应用】 【例2.1】（24-25高一·全国·课前预习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【解题思路】由分别为的中点，得到，结合题意得出，即可求解. 【解答过程】如图所示，因为分别为的中点，可得， 又因为，所以，所以. 故选：D. 【例2.2】（24-25高一·全国·课后作业）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断. 【解答过程】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确； 对于③，如图所示， BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个． 故选：B. 【变式2.1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】根据等角定理，即可得到结论. 【解答过程】的两边与的两边分别平行， 根据等角定理易知或. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（    ） A．，， ， 四点共面 B． C． D．四边形 为梯形 【解题思路】利用中位线定理和等角定理即可解决. 【解答过程】由图可知，在中，,,分别是 ,的中点， 所以 且， 同理在中， 且， 所以 所以四边形为平行四边形， 所以，， ， 四点共面，所以A正确; 在中,由中位线定理得 同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以 , 所以由等角定理可知， ，,, 所以，所以C正确; 由上述分析得四边形为平行四边形，所以D错误; 故选：D. 【题型3 直线与平面平行的判定】 【例3.1】（2024高二上·黑龙江·学业考试）如图，在三棱柱中，与平面平行的直线为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据线面平行的判定定理即可得出答案. 【解答过程】由题意，平面，与平面都相交， 因为，平面，平面， 所以平面. 故选：B. 【例3.2】（24-25高三上·河南·阶段练习）在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【解题思路】经推理得出是过点且平行于的直线，再根据各选项中需判断的直线，平面之间的关系，结合图形，利用线线平行，线面平行的判定和性质逐一判断即得. 【解答过程】 因为点平面平面，所以. 又因直线平面 平面，故得， 所以是过点且平行于的直线. 对于A，因为,，所以，故不成立，即A错误； 对于B，因为，而，故不成立，即B错误； 对于C，因为，而平面,故平面不成立，即C错误； 对于D，因为,，所以， 又平面 平面，所以平面，即D正确. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知平行六面体，则下面四条直线中与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出平行六面体，结合线面平行的判定定理，即可得出结果. 【解答过程】对于A，因为平面，故A错误； 对于B，假设平面， 因为在平行六面体中，， 又平面，所以平面，显然不成立，故B错误； 对于C，与选项B同理可证不满足题意，故C错误； 对于D，在平行六面体中，且，    所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面，故D正确. 故选：D. 【变式3.2】（2025高一·全国·专题练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【解答过程】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 【题型4 平面与平面平行的判定】 【例4.1】（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ） A．截面与截面 B．截面与截面 C．截面与截面 D．截面与截面 【解题思路】根据面面平行的判定并结合图形判断各选项． 【解答过程】如图，选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4． 对于A，与相交，截面与相交，A不是； 对于B， 截面与平行． 由，得四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，则平面， 同理可证平面，，平面， 所以平面平面，B是； 对于C，截面与有公共点D，截面与相交，C不是； 对于D，与相交，截面与相交，D不是. 故选：B. 【例4.2】（23-24高一下·海南·期末）如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中以下四个命题中，真命题的序号是（    ） ①平面； ②平面； ③平面平面； ④平面平面. A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【解题思路】把正方体的平面展开图还原成正方体，得出平面，判断①正确；由平面平面，得出平面，判断②正确；由，得出平面，同理平面，证明平面平面，判断③正确；由，，且，证明平面平面，判断④正确． 【解答过程】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图1所示； 对于①，平面平面，平面， ∴平面，①正确； 对于②，平面平面，平面， ∴平面，②正确； 对于③，如图2所示，易知，则四边形为平行四边形， 则，平面，平面，∴平面； 同理可得四边形为平行四边形，则， 因为 ，平面，则平面，且， 平面，∴平面平面，③正确； 对于④，如图3所示，由③知，因为平面，平面， 所以平面， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面， ∴平面平面，∴④正确． 综上，正确的命题序号是①②③④． 故选：A． 【变式4.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在多面体中，底面是平行四边形，点和点分别是和的中点．证明：平面∥平面．    【解题思路】由三角形的中位线定理可得∥，则由线面平行的判定定理得∥平面，设，连接，则∥，则由线面平行的判定定理得∥平面，从而由面面平行的判定定理可证得结论. 【解答过程】证明：在中，因为，分别是，的中点，所以∥， 又因为平面，平面，所以∥平面． 设，则点为的中点，连接，如图所示，    在中，因为点为的中点，所以∥， 又因为平面，平面， 所以∥平面． 又因为，，平面， 所以平面∥平面． 【变式4.2】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据计算可得； （2）当为的中点时满足平面平面，设，连接，即可证明、，从而得到平面，平面，即可得证. 【解答过程】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 模块二 平行关系的相互转化及综合应用 1．平行关系的相互转化及综合应用 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线. ②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. ③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半. ④利用平行线分线段成比例定理. ⑤利用线面平行的性质定理. ⑥利用面面平行的性质定理. ⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的. (2)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. ②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. ③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥. ④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. (3)平面与平面平行的判定方法 ①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. ②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行 于另一个平面，则这两个平面平行. ③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行， 则这两个平面平行. ④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. ⑤利用反证法. (4)平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的，如图所示. 【题型5 线面平行性质定理的应用】 【例5.1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【解题思路】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【解答过程】 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 【例5.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【解答过程】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 【变式5.1】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．求证：；    【解题思路】利用线面平行的判定定理，得到平面，再利用线面平行的性质，即可证明结果. 【解答过程】证明：四棱锥的底面是菱形，， 又平面，平面，则平面， 又平面平面，平面， 所以. 【变式5.2】（23-24高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证： 平面； (2)已知点在上满足 平面，求的值. 【解题思路】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证 平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由 平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【解答过程】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则 FO . 又平面，平面，故 平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又 平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又 DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 【题型6 面面平行性质定理的应用】 【例6.1】（23-24高一下·青海西宁·期中）已知平面平面，过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【解题思路】由已知可得出直线与直线在同一平面内，且无公共点，即可判断出位置关系. 【解答过程】因为平面平面，所以平面与平面无公共点， 直线平面，直线平面， 直线平面，直线平面， 所以直线与直线在同一平面内，且无公共点，故直线. 故选：A.        【例6.2】（2025高一·全国·课后作业）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A．， B．，，且 C．，， D．，，， 【解题思路】由直线的位置关系判断A；由直线与平面的位置关系判断B；由面面平行的性质定理判断C；平面与平面的位置关系判断D. 【解答过程】对于A，由，，得平行或相交，A错误； 对于B，由，，得且或 或 ，B错误； 对于C，由，，，根据面面平行的性质得，C正确； 对于D，由，，，，得平行或相交，D错误. 故选：C. 【变式6.1】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用面面平行的性质定理可得，再逐项分析求解即可. 【解答过程】正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，所以， 正方体中，且，四边形为平行四边形， 则有，所以，C选项正确； 都与相交，则与都不平行，ABD选项都错误. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】连接，FG，利用面面平行、线面平行的性质证明线线平行，再结合平行线分线段成比例定理求解作答. 【解答过程】在四棱柱中，连接，FG，如图，    因为平面平面，平面平面， 平面平面，则，于是， 平面平面，而平面，则平面， 在平面内存在与不重合的直线，又平面平面，平面， 则平面AEF，在平面AEF内存在与不重合直线，从而，平面AEF， 平面AEF，则平面AEF，又平面，平面平面， 因此，BG，AF可确定平面，因为平面平面， 平面平面，平面平面，于是，即有， 所以. 故选：B. 【题型7 平行问题的综合应用】 【例7.1】（2024·四川遂宁·模拟预测）在正方体 中，下列结论正确的是（    ） ①； ②平面平面； ③； ④平面. A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【解题思路】根据正方体的性质、线面平行的判定定理及面面平行的判定定理证明即可. 【解答过程】因为，所以四边形为平行四边形，故，故①正确； 易证，，平面，平面，所以平面，同理可得平面， 又，平面，故平面平面，故②正确； 由正方体易知，与异面，故③错误； 因为，平面，平面，所以平面，故④正确. 故选：A. 【例7.2】（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在三棱柱中，已知点G，H分别在，上，且GH经过的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且平面平面BCHG，给出下列结论： ①；②平面；③；④平面平面． 其中正确的是（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【解题思路】由E，F为中点，得到，，再由平面平面ABC，得到，即可判断①②③，再用面面平行的判定定理证明④. 【解答过程】由E，F分别是AB，AC的中点可知，， 而三棱柱中，平面平面ABC， 由两个平面平行的性质可得， 而GH过的重心， 所以， 所以，且， 所以平面，同理平面，又， 所以平面平面．又平面平面． 故平面与平面相交． 故①②③正确④错误． 故选：C. 【变式7.1】（23-24高一下·北京·期中）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：    (1)； (2)平面平面. 【解题思路】（1）由线面平行的性质即可证明； （2）由（1）得为的中点，再证明，最后根据面面平行的判断定理即可证明. 【解答过程】（1）由题意，因为平面， 且平面 又因为平面平面， 所以由线面平行的性质得. （2）由（1）可知， 又因为点为的中点， 所以为的中点，即， 因为为的中点，即， 又因为, 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面， 所以平面， 又平面，，平面,平面， 所以平面平面. 【变式7.2】（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）应用线面平行判定定理证明即可； （2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可； 【解答过程】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，    因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB． 一、单选题 1．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知平面，和直线，，且，，，则与的位置关系是（    ） A．平行或异面 B．平行 C．异面 D．相交 【解题思路】结合两平面平行的位置关系，判断两直线没有公共点即得. 【解答过程】因，，，则与没有公共点，即与平行或异面. 故选：A. 2．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（ ） A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行 【解题思路】假设，通过平行线的传递性推出与题中条件相反的结论来说明直线与直线一定不平行；当与平行时，选项C正确；当与平行时，选项D正确. 【解答过程】假设，则由，知， 这与直线与直线不平行矛盾， 所以直线与直线不平行. 故选：A. 3．（23-24高一下·河北沧州·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 【解题思路】利用线面平行的定义、性质逐项分析判断得解. 【解答过程】对于A，若直线l上有无数个点不在平面内，则或l与相交，A错误； 对于B，直线与平面平行，则存在过直线的平面与平面相交，令交线为， 于是，显然在平面内有无数条直线与平行，这些直线都平行于，B正确； 对于C，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行或在这个平面内，C错误； 对于D，若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或是异面直线，不会与平面内的任意一条直线都平行，D错误. 故选：B. 4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用面面平行的性质定理可得，再逐项分析求解即可. 【解答过程】正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，所以， 正方体中，且，四边形为平行四边形， 则有，所以，C选项正确； 都与相交，则与都不平行，ABD选项都错误. 故选：C. 5．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【解题思路】由线面、面面位置关系即可逐一判断各个选项. 【解答过程】对于A，若，且，则或斜交或或，故A错误； 对于B，由线面平行的性质可知，若 ，则 ，故B正确； 对于C，设，，，又，所以 ，但 不成立，故C错误； 对于D，若 ，则 或异面，故D错误. 故选：B. 6．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【解题思路】根据面面平行的判定定理进行判断即可. 【解答过程】如图， 对于A：，平面，平面， 平面，又，同理可证平面， 又，，平面， 平面平面，因此A正确; 对于B： 平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此B不正确; 对于C：平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，因此C不正确; 对于D：平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此D不正确; 故选：A. 7．（23-24高一下·江苏南京·期中）在空间四边形中，分别为上的点，且，分别为的中点，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为梯形 C．平面且为菱形 D．平面且为平行四边形 【解题思路】根据平行线等分线段定理、线面平行的判定定理、三角形中位线定理，结合矩形、梯形、菱形、平行四边形的定义进行判断即可. 【解答过程】在平面内，， ． 又平面平面， 平面． 又在平面内， 分别是的中点， ． 又， ． 在四边形中，且， 四边形为梯形． 故选：B． 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】①，作出辅助线，得到四点共面，故①错误；②，在①基础上得到交于一点，故②错误；③，作出辅助线，得到为平行四边形，，③错误；④，作出辅助线，得到面面平行，进而得到线面平行. 【解答过程】①，连接， 因为分别是的中点， 所以， 因为，所以， 故四点共面，故与是共面直线，①错误； ②，由①可知，与是共面直线，延长相交于一点， 故平面，平面， 所以平面与平面的交线， 即， 故交于一点，所以不相交于一点，②错误； ③，取的中点，连接，则且， 又且， 故且， 故四边形为平行四边形， 故，故不平行，③错误； ④，取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，④正确 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一·全国·课后作业）(多选题)下列命题中，错误的结论有（    ） A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 【解题思路】由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假. 【解答过程】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误； 对于选项B：由等角定理可知B正确； 对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误； 对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确. 故选：AC. 10．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱，，BC的中点，为侧面的中心，则（    ） A．直线平面PEF B．直线平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积 【解题思路】对A项，可找出平面与直线的公共点作为反例； 对B项，可在平面中找出与平行的直线； 对C项，可将三棱锥顶点进行转换，找到较易求得底面和高计算体积； 对D项，可找到与三棱锥外接球相同得长方体，长方体的体对角线长度就是外接球的直径，然后计算外接球的面积即可. 【解答过程】对A项，延长到点，，易证明与平行，平面，平面，很显然与相交，与平面不平行，A选项错误. 对B选项，选取底面的中心，连，，可证明，，得到，又平面，平面，平面，选项B正确. 对选项C，，选项C正确. 对选项D，选取的中点，的中点，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，外接球的直径等于即为长方体的体对角线， 外接球的直径为：，表面积，选项D正确. 故选：BCD. 11．（23-24高一下·河南新乡·期末）如图，在长方体中，点M，N，E，F分别在棱，，，上，且平面平面，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．平面 【解题思路】利用面面平行的性质结合线面平行的判定定理逐个选项判断即可. 【解答过程】因为平面平面， 平面与平面和平面的都相交，是交线， 所以，故A正确； 因为长方体， 所以平面平面，而平面与这两个平行平面的都相交， 是交线，所以，故B正确， 如图，连接，此时平面与平面和平面的都相交， 是交线，所以， 而， 所以， 又因为， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为， 所以与不平行， 故C错误； 如图，连接，由长方体性质得面面， 此时平面与这两个平面的都相交，是交线， 所以， 又因为面，面， 所以平面， 故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2024高一下·全国·专题练习）在三棱锥中，分别是的中点，则 90° . 【解题思路】如图，根据中位线的性质可得，即可求解. 【解答过程】如图，由题意知， 由题意知，，所以. 故答案为：90°. 13．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 2 ． 【解题思路】连接相交于，根据线面平行的性质、可得答案. 【解答过程】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 14．（24-25高一下·全国·课后作业）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断： ①平面DE；②平面AF；③平面平面；④平面平面. 其中判断正确的序号是 ①②③④ . 【解题思路】将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可. 【解答过程】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图： 由，得四边形为平行四边形，则， 同理，， 对于①，由，平面AEND，平面AEND，得平面DE，命题①正确； 对于②，由， 平面ABFE，平面ABFE，得平面AF，命题②正确； 对于③，，平面，平面，，平面，平面， 则平面，平面，又，BD、平面BDM， 所以平面平面AFN，命题③正确； 对于④，，平面NCF，平面NCF，，平面NCF，平面NCF， 则平面NCF，平面NCF，又，BD、平面BDE， 所以平面平面NCF，命题④正确． 故答案为：①②③④． 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课后作业）已知E､E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD､A1D1的中点.求证：∠BEC=∠B1E1C1. 【解题思路】作出辅助线，证明出四边形E1EBB1为平行四边形，从而证明出E1B1EB.同理E1C1EC.结合角的方向，证明出两角相等. 【解答过程】证明：如图，连接EE1， ∵E1､E分别为A1D1､AD的中点，∴A1E1AE，且A1E1=AE ∴四边形A1E1EA为平行四边形，∴A1AE1E.，且A1A=E1E. 又∵A1AB1B，且A1A=B1B ∴E1EB1B，且E1E=B1B ∴四边形E1EBB1为平行四边形， ∴E1B1EB.同理E1C1EC. 又∠C1E1B1与∠CEB方向相同， ∴∠C1E1B1=∠CEB. 16．（2024高一·全国·专题练习）如图，四边形与均为平行四边形，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．    【解题思路】根据条件得到，，利用线面平行的判定定理得到平面和平面，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果. 【解答过程】因为，分别为平行四边形的边，的中点，所以, 又平面，平面， 所以平面, 又为的中点，为的中点， 所以为的中位线，所以． 因为平面，平面， 所以平面，又，面， 所以平面平面.    17．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【解答过程】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 18．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形与四边形均为平行四边形，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【解题思路】（1）连接，利用三角形的中位线证明线线平行，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）证明两个线面平行，然后由面面平行的判定定理证明即可. 【解答过程】（1）如图，连接，因为四边形为平行四边形，则必过与的交点， 所以为的中点， 连接，则为的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）因为，分别为平行四边形的边，的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为为的中点，为的中点， 所以为的中位线， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又与为平面内的两条相交直线， 所以平面平面． 19．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）连交于，证 即可证明平面. （2）先明确线段上存在一点为线段的中点，再通过证明且得，进而得平面即可得解. 【解答过程】（1）证明：连交于，因为为中点， 所以是中位线， 所以 ，又因为平面平面， 所以平面.    （2）线段上存在一点为线段的中点，使得平面，    连接，由于为中点， 则且，即且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$