第09讲 简单几何体的表面积与体积（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第09讲 简单几何体的表面积与体积 【人教A版2019】 模块一 简单几何体的表面积与体积 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧=Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧=(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积 S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】 【例1.1】（23-24高一下·广东广州·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正棱台的体积公式计算得解. 【解答过程】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则该棱台的高， 所以该棱台的体积. 故选：D. 【例1.2】（23-24高一下·山东青岛·期末）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（    ） A．6 B． C．24 D．44 【解题思路】根据正棱台的性质与特征，求得斜高，再计算侧面积即可. 【解答过程】如图，过作平面，作，连接， 根据题意得，，所以， 所以此正四棱台的侧面是4个全等的高为2的等腰梯形， 所以侧面积为. 故选：C.    【变式1.1】（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，由柱体和锥体的体积公式，计算可得所求值. 【解答过程】解：取的中点，连接， 可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半， 则三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 则几何体的体积为. 故选：D. 【变式1.2】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 【解题思路】设直三棱柱的底面面积为，在图中，设水面的高度为，根据图和图中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值. 【解答过程】记棱，，，的中点依次为， 设直三棱柱的底面面积为， 在图中，设水面的高度为，则水的体积为， 在图中，几何体为直四棱柱， 因为分别为棱，，，的中点，所以， 则水的体积为，解得. 故选：C. 【题型2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】 【例2.1】（24-25高一上·河北保定·期中）若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A．2π B．3π C．2 D． 【解题思路】由等边三角形面积求出等边三角形边长，得到圆锥底面半径和母线长，求得底面面积和侧面面积，从而得到圆锥表面. 【解答过程】设圆锥的轴截面是边长为（）的等边三角形，则，则， ∴圆锥底面半径，母线长， ∴. 故选：B. 【例2.2】（23-24高一下·四川凉山·期末）若圆锥的表面积为，且其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由条件结合圆锥表面积公式，弧长公式列方程求，，利用勾股定理可求，再利用体积公式求圆锥的体积. 【解答过程】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 因为圆锥的表面积为， 所以， 因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 所以， 所以，， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高一下·四川·期末）柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经选入国家非物质文化遗产名录．如图，若柳条编织的米斗可近似看作上底面圆半径为2，下底面圆半径为1，体积为的圆台，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设圆台的高为，根据圆台的体积求出，即可求出母线，再由侧面积公式计算可得. 【解答过程】设圆台的高为，又圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 则圆台的体积， 解得， 所以圆台的母线， 所以圆台的侧面积. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出圆台的底面半径和高，再利用台体的体积公式求体积. 【解答过程】如图： ，，，. 根据圆台的侧面积公式： . 所以圆台的高：. 所以圆台的体积为： . 故选：C. 【题型3 球的表面积与体积】 【例3.1】（23-24高一下·北京延庆·期末）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径（   ） A．4 B． C． D．3 【解题思路】应用球的体积及表面积计算即可. 【解答过程】设球体的半径为, 则球的体积为，球的表面积为, 所以. 故选：D. 【例3.2】（23-24高一下·河南郑州·期末）已知圆柱的底面直径和球的直径相等，圆柱的高是球的直径的2倍，则圆柱的体积与球的体积的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【解题思路】根据给定条件，利用球和圆柱的体积公式计算即得. 【解答过程】设球半径为，则球的体积， 圆柱的底面圆半径为，高为，体积为， 所以圆柱的体积与球的体积的比值为. 故选：D. 【变式3.1】（2024·青海海西·模拟预测）如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设铁球的半径为，根据体积关系列出方程，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【解答过程】设铁球的半径为，有，解得， 则一个铁球的表面积为． 故选：B． 【变式3.2】（23-24高一下·福建福州·期末）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中错误的是（    ）    A．圆锥的轴截面为直角三角形 B．圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C．圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π D．圆锥的体积与球的体积之比为 【解题思路】对于A，由圆锥的底面半径和高都等于球的半径， 可得，即可判断；对于B，算出圆锥的表面积和球的表面积，可得它们的面积关系，即可判断；对于C，求出圆锥的母线长，底面周长，可得圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数，即可判断；对于D，分别求出圆锥的体积和球的体积，可得它们的体积之比，即可判断. 【解答过程】    对于A，设球的半径为，则如图所示：， 所以，故A正确； 对于B，圆锥的表面积为， 球的表面积为，所以，故B正确； 对于C，在中，圆锥的母线长为，底面周长为， 所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：C. 【题型4 组合体的表面积与体积】 【例4.1】（23-24高一下·北京朝阳·期末）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（    ） A．8 B．16 C． D． 【解题思路】先计算出每个面的面积，再乘以8即为表面积； 【解答过程】每个面的面积为，所以该图形的表面积为. 故选：C. 【例4.2】（24-25高三上·安徽·开学考试）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解. 【解答过程】由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 且圆锥的母线长为， 所以该陀螺的表面积为. 故选：C. 【变式4.1】（23-24高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，根据圆锥的底面周长求出，再由勾股定理求出，最后由表面积公式计算可得. 【解答过程】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，依题意可得，解得， 所以， 所以该几何体的表面积. 故选：A. 【变式4.2】（2024·河南·模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积. 【解答过程】正六棱柱的六个侧面面积之和为， 正六棱柱的底面面积为， 如图所示，正六棱台中，， 过点分别作垂直于底面于点， 连接相交于点，则分别为的中点， 过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高， 其中，，， 由勾股定理得，故，    所以正六棱台的斜高为， 故正六棱台的侧面积为， 又正六棱台的下底面面积为， 所以该花灯的表面积为． 故选：A． 模块二 球的截面与球的切、接问题 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型5 球的截面问题】 【例5.1】（23-24高一下·天津和平·期末）用平面截一个球，所得到的截面面积为，若球心到这个截面的距离为，则该球的表面积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．28 【解题思路】根据球的截面性质，即可由勾股定理求解球半径，即可由表面积公式求解. 【解答过程】由于截面面积为，故截面圆的半径为，又球心到这个截面的距离为，故球半径为， 故球的表面积为, 故选：C. 【例5.2】（23-24高一下·贵州安顺·期末）已知球O的体积为，球O被一个平面所截得的截面面积为，则球心O到该截面的距离为（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据给定条件，求出球半径及截面小圆半径即可得解. 【解答过程】设球O的半径为，则，解得， 由截面圆面积为，得截面圆半径， 所以球心O到该截面的距离. 故选：B. 【变式5.1】（23-24高一下·海南·期末）海南椰雕不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年的文化史.图（1）是一个椰雕工艺台灯，其灯罩的几何模型如图（2）所示，相当于球被一个平面截得的一部分，若是截面圆的直径，，圆的面积为，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，求出圆的半径，进而求出球半径即可得解. 【解答过程】由圆的面积为，得圆的半径， 又等腰的顶角，则球半径（）， 所以球的体积（） 故选：C. 【变式5.2】（2024·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设截面圆半径为，球的半径为，求出截面圆的半径，利用几何关系可求出球体的半径，求出球体的表面积和一个球冠的表面积， 再利用球体的表面积减去个球冠的表面积并加上个截面圆的面积可得出该实心工艺品的表面积. 【解答过程】设截面圆半径为，球的半径为， 则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即此距离为， 根据截面圆的周长可得，得，故，得， 所以球的表面积． 如图，，且，则球冠的高， 得所截的一个球冠表面积， 且截面圆面积为， 所以工艺品的表面积． 故选：B. 【题型6 几何体的外接球问题】 【例6.1】（23-24高一下·云南昆明·期中）若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三棱柱侧面积公式求出，确定球心的位置，如图构造直角三角形，由勾股定理求出外接球半径的平方，再根据球的表面积公式即可求解. 【解答过程】由题意可得，正棱柱的底面是边长和高都等于的等边三角形，侧面积为， ∴，∴， 取三棱柱的两底面中心，连结， 取的中点，则为三棱柱外接球的球心， 连结，则为三棱柱外接球的半径． ∵是边长为的正三角形，是的中心， ∴． 又∵ ∴． ∴三棱柱外接球的表面积. 故选：B.    【例6.2】（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，又长方体的体对角线即为外接球的直径，求出外接球的半径，即可求出其表面积. 【解答过程】因为在四棱锥中，底面是矩形，平面， 如图将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球， 又，设长方体外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积. 故选：A.   【变式6.1】（23-24高一下·福建福州·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，，，，则此堑堵的外接球半径是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用勾股定理求出即为外接圆的直径，设此堑堵的外接球半径为，则，即可求出. 【解答过程】因为，，，则， 则外接圆的直径为， 设此堑堵的外接球半径为，则， 即，所以. 故选：C. 【变式6.2】（23-24高一下·广西百色·期末）足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知几何体为正四棱台，根据正四棱台以及球的结构特称求出外接球的半径，进而可得表面积. 【解答过程】依题意，几何体为正四棱台，其底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 正四棱台高为， 设上、下底面中心分别为，外接球的球心为，半径为，， 圆的半径分别为，显然， 则，即球心在正四棱台外， 于是，解得， 所以的外接球的表面积为. 故选：D. 【题型7 几何体的内切球问题】 【例7.1】（23-24高一下·河南开封·阶段练习）已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依据题意求出内切球半径，再利用体积公式计算体积即可. 【解答过程】依题意可得该圆柱的底面半径为1，高为2， 易得该圆柱的内切球的半径为1，则该圆柱的内切球的体积为． 故选：B. 【例7.2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）正三棱锥的底面是面积为的正三角形，高为，则其内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正三棱锥的结构特征求底面边长和侧棱长，利用等体积法求内切球半径，进而可得表面积. 【解答过程】由题意可知：正三棱锥的顶点S在底面投影为的中心O， 设底面边长为，侧棱长为，其内切球的半径为， 由题意可得：，解得， 由三棱锥的体积可得：，解得， 所以其内切球的表面积为. 故选：C. 【变式7.1】（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则球的体积与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设球的半径为，根据球、圆柱的体积公式计算可得. 【解答过程】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 所以球的体积，圆柱的体积， 所以. 故选：B. 【变式7.2】（23-24高一下·山东德州·期末）如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【解答过程】如图所示，    设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为， 的中点为，连接，，，，，， 则，正四面体的高. 因为，所以，所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的体积为. 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 【解题思路】根据题意求出正四棱台的斜高，从而可求出棱台的侧面积，进而可求出其表面积. 【解答过程】由题意可知，正四棱台的斜高为， 故侧面积等于， 所以表面积为． 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用球的体积公式即可求解. 【解答过程】设大铁球的半径为，则有 ，解得． 故选：B. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设正方体的棱长为，可求出正四面体的棱长，继而求得两种几何体的表面积即可. 【解答过程】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为， 则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 两者之比为， 故选：A. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）某文创小组设计了一款校园香囊，它是由6个边长为的全等正三角形拼接而成的六面体（如图），那么香囊内可供填充的容量约为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用等边三角形的性质及勾股定理，结合棱锥的体积公式即可求解. 【解答过程】依题意，这个六面体可视为共底面的两个棱长为的正四面体拼接而成， 正四面体棱长为，O为正三角形ABC的中心，连接OC，OD，如图所示 则正三角形ABC中， 正四面体的高， 于是得， 所以这个六面体香囊内可供填充的容量约为． 故选：C． 5．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直三棱柱的外接球，即为对应长方体的外接球，外接球的直径是长方体的对角线，由此求出外接球的表面积. 【解答过程】由题意，直三棱柱中，，，，画出长方体，如图所示： 则长方体的外接球即为三棱柱的外接球，所求的外接球的直径为体对角线，则外接球的表面积是， 故选：C. 6．（23-24高一下·天津西青·期中）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论错误的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积不相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 【解题思路】分析出圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式逐项判断，可得出合适的选项. 【解答过程】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， 对于A选项，圆柱的侧面积为，A对； 对于B选项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，B对； 对于C选项，球的表面积为，所以，圆柱的侧面积与球的表面积相等，C错； 对于D选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D对. 故选：C. 7．（23-24高一下·江苏南通·期末）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】如图，设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点，则由题意得，，分别用表示出以该四棱锥的高为边长的正方形面积和该四棱锥侧面积，即可得出答案. 【解答过程】如图，设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点， 则由题意得：， 则设以该四棱锥的高为边长的正方形面积为，， 设该四棱锥侧面积为， 所以. 故选：D. 8．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正四面体的性质，推得球心的位置，求出正方体的高与斜高.根据相似三角形，得出方程，即可求出球的半径，得出答案. 【解答过程】    如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接. 则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为. 则易知，，设球的半径分别为. 因为，根据重心定理可知，. ，，，，. 由可得，， 即，解得，，所以. 由可得，， 即，解得， 所以，球的体积为. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一下·广东·期中）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 【解题思路】运用台体体积公式,结合正三角形面积计算即可. 【解答过程】因为正三棱台的下底面的面积为， 所以正三棱台的体积 则A，C正确，B，D错误． 故选：AC. 10．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 【解题思路】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【解答过程】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 11．（23-24高一下·山东临沂·期中）如图，正八面体的每一个面都是正三角形，并且四边形，四边形，四边形都是正方形，若正方形的边长为，则（    ） A．正八面体的表面积为 B．正八面体的体积为 C．正八面体的外接球的表面积为 D．正八面体的内切球的体积为 【解题思路】对于A：根据正八面体的结构特征运算求解即可；对于B：设，可得，结合锥体的体积公式运算求解；对于C：分析可知为正八面体的外接球的球心，且半径，进而可得表面积；对于D：分析可知为正八面体的内切球的球心，内切球的半径即为点到平面的距离，利用等体积法求半径，即可得体积. 【解答过程】对于选项A：由题意可知：正八面体的每一个面都是边长为的正三角形， 所以其表面积为，故A正确； 对于选项B：设，则为的中点，且平面， 可知，可得， 所以正八面体的体积为，故B错误； 对于选项C：由选项B可知：， 即为正八面体的外接球的球心，且半径， 所以正八面体的外接球的表面积为，故C正确； 对于选项D：根据对称性可知：为正八面体的内切球的球心， 则内切球的半径即为点到平面的距离，设为， 因为，即，解得， 所以正八面体的内切球的体积为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（23-24高一下·河南漯河·期中）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为 . 【解题思路】在这个三棱锥中，已知平面，我们可以根据已知条件求出长方体的体对角线，进而求出外接球的半径. 【解答过程】因为平面，我们将三棱锥补成长方体. 在中，，， 设，根据正弦定理（为外接圆半径）， 这里就是长方体底面长方形外接圆半径. ，即，解得. 又因为，这个就是长方体的一条棱. 设外接球半径为，根据长方体的体对角线长等于外接球的直径. 长方体底面长方形的对角线长为，长方体的一条棱. 根据长方体体对角线公式（这里，和是底面长方形的两条边，其对角线长为），则体对角线. 因为，所以. 故答案为：. 13．（23-24高一下·四川成都·期末）若某球体的半径与某圆锥的底面半径相等，且该球体的表面积为，体积为，该圆锥的侧面积为，体积为，若，则该球体半径与该圆锥母线的比值为 ． 【解题思路】假设球体的半径，求出表面积和体积，假设圆锥的高，求出母线长和体积，根据所给条件进行化简，得到的关系,进而求解. 【解答过程】设球体的半径为，则表面积，体积 设圆锥高为，则母线长为，则侧面积为,体积为, ， ， ， 比值为. 故答案为：. 14．（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 【解题思路】由题意，根据图乙将棱柱的体积用的面积表示出来，设出甲图中水面高度，利用放倒前后水的体积相等即可求得. 【解答过程】设的面积为， 因，，，分别为所在棱的中点， 则，， ， 设图甲中水面高度为，则，解得，， 即图甲中水面的高度为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一下·山东·期中）如图，圆锥PO的底面直径和高均是，过的中点'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 【解题思路】根据圆锥，圆柱的侧面积，表面积和体积公式即可求出 【解答过程】设圆柱的底面半径为，由三角形中位线定理可知，，圆柱母线长， 而圆锥的母线长为，所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为 圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 即， 圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 即． 16．（23-24高一下·广东云浮·期中）如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为．    (1)求下部分正四棱台的侧面积； (2)求奖杯的体积．（结果取整数，取3） 【解题思路】（1）首先求出斜率，再由梯形面积公式计算可得； （2）根据球、柱体、台体的体积公式计算可得. 【解答过程】（1）因为正四棱台的上、下底面边长和高分别为，，， 则该四棱台的斜高为 ， 所以正四棱台的侧面积为； （2）因为 ， ，， 所以这个奖杯的体积. 所以这个奖杯的体积约为. 17．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. (1)求圆锥的侧面积； (2)求几何体的体积. 【解题思路】（1）由勾股定理求出圆锥底面半径，然后由侧面积公式求解即可； （2）分别求出圆锥，圆柱的体积，然后求和即可求出几何体的体积. 【解答过程】（1）因为圆锥的高为18cm，母线长为30cm， 所以圆锥底面半径为cm， 所以圆锥的侧面积为 （2）由（1）可知，圆锥的体积为： ， 圆柱的体积为：， 所以几何体的体积为：. 18．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【解题思路】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【解答过程】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    19．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． (1)求该圆台的表面积； (2)求四棱锥的体积的最大值． 【解题思路】（1）在中，由余弦定理可求得，由正弦定理可得下底面半径，可求以圆台表面积； （2）由三角形面积公式可求得的面积，在中，由余弦定理得，可得，则的面积，得到底面ABCD面积的最大值，再在轴截面直角梯形中，由勾股定理求出圆台的高，即可求得四棱锥的体积的最大值． 【解答过程】（1） 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 得， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以下底面半径，上底面半径， 圆台侧面积， ， 所以圆台表面积． （2）在四边形ABCD中，， 在中，由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时“”成立， 所以的面积， 底面ABCD面积的最大值为， 在轴截面直角梯形中，由勾股定理可得， 所以四棱锥的体积的最大值为． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 简单几何体的表面积与体积 【人教A版2019】 模块一 简单几何体的表面积与体积 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧=Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧=(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积 S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】 【例1.1】（23-24高一下·广东广州·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（   ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一下·山东青岛·期末）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（    ） A．6 B． C．24 D．44 【变式1.1】（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 【题型2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】 【例2.1】（24-25高一上·河北保定·期中）若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A．2π B．3π C．2 D． 【例2.2】（23-24高一下·四川凉山·期末）若圆锥的表面积为，且其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·四川·期末）柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经选入国家非物质文化遗产名录．如图，若柳条编织的米斗可近似看作上底面圆半径为2，下底面圆半径为1，体积为的圆台，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型3 球的表面积与体积】 【例3.1】（23-24高一下·北京延庆·期末）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径（   ） A．4 B． C． D．3 【例3.2】（23-24高一下·河南郑州·期末）已知圆柱的底面直径和球的直径相等，圆柱的高是球的直径的2倍，则圆柱的体积与球的体积的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式3.1】（2024·青海海西·模拟预测）如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高一下·福建福州·期末）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中错误的是（    ）    A．圆锥的轴截面为直角三角形 B．圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C．圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π D．圆锥的体积与球的体积之比为 【题型4 组合体的表面积与体积】 【例4.1】（23-24高一下·北京朝阳·期末）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（    ） A．8 B．16 C． D． 【例4.2】（24-25高三上·安徽·开学考试）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2024·河南·模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 模块二 球的截面与球的切、接问题 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型5 球的截面问题】 【例5.1】（23-24高一下·天津和平·期末）用平面截一个球，所得到的截面面积为，若球心到这个截面的距离为，则该球的表面积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．28 【例5.2】（23-24高一下·贵州安顺·期末）已知球O的体积为，球O被一个平面所截得的截面面积为，则球心O到该截面的距离为（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5.1】（23-24高一下·海南·期末）海南椰雕不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年的文化史.图（1）是一个椰雕工艺台灯，其灯罩的几何模型如图（2）所示，相当于球被一个平面截得的一部分，若是截面圆的直径，，圆的面积为，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2024·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型6 几何体的外接球问题】 【例6.1】（23-24高一下·云南昆明·期中）若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一下·福建福州·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，，，，则此堑堵的外接球半径是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高一下·广西百色·期末）足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型7 几何体的内切球问题】 【例7.1】（23-24高一下·河南开封·阶段练习）已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）正三棱锥的底面是面积为的正三角形，高为，则其内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则球的体积与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（23-24高一下·山东德州·期末）如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 2．（24-25高一下·全国·课后作业）把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）某文创小组设计了一款校园香囊，它是由6个边长为的全等正三角形拼接而成的六面体（如图），那么香囊内可供填充的容量约为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·天津西青·期中）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论错误的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积不相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 7．（23-24高一下·江苏南通·期末）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比为（    ） A．1 B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·广东·期中）在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 10．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 11．（23-24高一下·山东临沂·期中）如图，正八面体的每一个面都是正三角形，并且四边形，四边形，四边形都是正方形，若正方形的边长为，则（    ） A．正八面体的表面积为 B．正八面体的体积为 C．正八面体的外接球的表面积为 D．正八面体的内切球的体积为 三、填空题 12．（23-24高一下·河南漯河·期中）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为 . 13．（23-24高一下·四川成都·期末）若某球体的半径与某圆锥的底面半径相等，且该球体的表面积为，体积为，该圆锥的侧面积为，体积为，若，则该球体半径与该圆锥母线的比值为 ． 14．（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 四、解答题 15．（23-24高一下·山东·期中）如图，圆锥PO的底面直径和高均是，过的中点'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 16．（23-24高一下·广东云浮·期中）如图是一个奖杯的直观图，它由球､长方体和正四棱台构成．已知球的半径为，长方体的长､宽和高分别为，正四棱台的上､下底面边长和高分别为．    (1)求下部分正四棱台的侧面积； (2)求奖杯的体积．（结果取整数，取3） 17．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. (1)求圆锥的侧面积； (2)求几何体的体积. 18．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 19．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． (1)求该圆台的表面积； (2)求四棱锥的体积的最大值． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$