第10讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第10讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 【人教A版2019】 模块一 平面 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所 示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 【题型1 平面的基本性质及推论】 【例1.1】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 【例1.2】（23-24高一下·北京·期末）如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（    ） A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点 C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点 【变式1.1】（23-24高一下·广东佛山·期中）下列条件不能确定一个平面的有（   ） A．一条直线和直线外一点 B．对边相等的四边形 C．两条相交直线 D．两条平行直线 【变式1.2】（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【题型2 空间中的点共线问题】 【例2.1】（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【例2.2】（23-24高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【变式2.1】（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【变式2.2】（2024高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 【题型3 空间中的点（线）共面问题】 【例3.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，正方体中，若，，分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则下列判断错误的是（    ） A．，，，四点共面 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【例3.2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二·全国·课后作业）如图，在长方体中，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（    ） A．、、、四点共面，且与平行 B．、、、四点共面，且与相交 C．、、、四点共面，且与平行 D．、、、四点不共面 【变式3.2】（23-24高一下·安徽池州·阶段练习）已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 空间中的线共点问题】 【例4.1】（23-24高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【例4.2】（23-24高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【变式4.1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【变式4.2】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    模块二 空间点、线、面之间的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)两种位置关系 平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 4．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 【题型5 平面分空间的区域数量】 【例5.1】（2025高一·全国·专题练习）平面α，β，γ不能将空间分成（　　） A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 【例5.2】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【变式5.1】（23-24高一下·浙江·期末）空间的4个平面最多能将空间分成（    ）个区域． A．13 B．14 C．15 D．16 【变式5.2】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【题型6 直线与直线的位置关系】 【例6.1】（23-24高一下·北京·期中）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 【例6.2】（23-24高一下·湖北·期末）若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定 【变式6.1】（2024·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高一下·河南安阳·期中）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【题型7 直线与平面的位置关系】 【例7.1】（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知是两个不同的平面，是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（　　） A． B． C． D． 【例7.2】（2024·浙江绍兴·三模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式7.1】（23-24高一下·湖南常德·期中）表示点，,表示线，表示平面，下列命题中是真命题的为（    ） A．若点平面，点平面，则与平面相交 B．若.则与必异面 C．若平面平面，则平面 D．若平面平面，则 【变式7.2】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，表示两条不同直线，表示平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【题型8 平面与平面的位置关系】 【例8.1】（2024·安徽宿州·模拟预测）设是不同的直线，是不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例8.2】（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（    ） A．平行或相交 B．平行 C．相交 D．不相交 【变式8.1】（23-24高一下·北京丰台·期末）已知直线，与平面，，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【变式8.2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 一、单选题 1．（23-24高一下·福建宁德·期中）如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 3．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 4．（23-24高一下·天津滨海新·期末）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面 5．（2024高二上·北京·学业考试）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 6．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 7．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（23-24高一下·河南三门峡·阶段练习）如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）以下命题属于基本事实的是（    ） A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行 10．（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（23-24高一下·四川攀枝花·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 三、填空题 12．（23-24高一下·上海嘉定·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”： . 13．（24-25高一下·全国·课后作业）已知直线，和平面，且，，则与的位置关系是 ． 14．（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成 部分． 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 16．（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 17．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 18．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系． (2)判断直线与直线的位置关系． 19．（24-25高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 【人教A版2019】 模块一 平面 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所 示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 【题型1 平面的基本性质及推论】 【例1.1】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 【解题思路】直接由平面的概念逐一分析四个选项得答案． 【解答过程】A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的； B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的； C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面； D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分． 故选：D. 【例1.2】（23-24高一下·北京·期末）如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（    ） A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点 C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点 【解题思路】根据平面的性质判断即可. 【解答过程】如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面有一条过公共点的公共直线. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高一下·广东佛山·期中）下列条件不能确定一个平面的有（   ） A．一条直线和直线外一点 B．对边相等的四边形 C．两条相交直线 D．两条平行直线 【解题思路】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解． 【解答过程】对选项A：经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故A错误． 对选项B：对边相等的四边形，对边有可能异面，不能确定一个平面，故B正确． 对选项C：经过两条相交直线有且只有一个平面，故C错误． 对选项D：经过两条平行直线有且只有一个平面，故D错误； 故选：B. 【变式1.2】（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【解题思路】根据平面的基本性质可判断A，D，由推论可判断B，根据特例可判断C. 【解答过程】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误； 因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内，故这条直线也在这个平面内，所以三条直线共面，故B错误； 由空间四边形不是平面图形可知，C错误； 由公理知，两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确. 故选：D. 【题型2 空间中的点共线问题】 【例2.1】（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【解题思路】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【解答过程】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【例2.2】（23-24高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【解题思路】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案． 【解答过程】如图， ∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC，即点P一定在直线AC上． 故选：B． 【变式2.1】（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【解题思路】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【解答过程】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 【变式2.2】（2024高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 【解题思路】利用基本事实2和基本事实3即可求解. 【解答过程】因为， 所以． 由已知可得，平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC， 所以平面ABC． 同理，平面ADC，平面ADC． 所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点． 又平面平面 ， 所以， 所以P，A，C三点共线． 【题型3 空间中的点（线）共面问题】 【例3.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，正方体中，若，，分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则下列判断错误的是（    ） A．，，，四点共面 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【解题思路】根据题意，作图，结合正方体的性质，证明线线平行，可得答案. 【解答过程】因为正方体中，，，分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，所以是的中点，所以在平面上，故A正确； 因为，，在平面上，不在平面上，所以，，，四点不共面，故B错误； 由已知可知，所以，，，四点共面，故C正确； 连接并延长，交于点，则为的中点，连接，则，所以，，，四点共面，故D正确． 故选：B. 【例3.2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【解答过程】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高二·全国·课后作业）如图，在长方体中，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（    ） A．、、、四点共面，且与平行 B．、、、四点共面，且与相交 C．、、、四点共面，且与平行 D．、、、四点不共面 【解题思路】连接、、，分析可知为的中点，判断出与相交，结合中位线的性质可得出结论. 【解答过程】连接，因为为正方形的中心，则为的中点， 因为，为的中点，故、、、四点共面，且与相交， 连接、，因为、分别为、的中点，则， 故选：C. 【变式3.2】（23-24高一下·安徽池州·阶段练习）已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【解答过程】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线， 故选：D. 【题型4 空间中的线共点问题】 【例4.1】（23-24高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【解题思路】由公理2知，不共线的三点确定一个平面，由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面，再由公理1，3可得的位置． 【解答过程】由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面． ，，， 面，面， ， 面，面 面面 故选：A． 【例4.2】（23-24高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【解题思路】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【解答过程】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B. 【变式4.1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【解题思路】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论． 【解答过程】如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 【变式4.2】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【解题思路】如图，连接，可证明四点共面，结合基本事实3即可证明. 【解答过程】连接，    因为为的中点，为的中点，所以且. 又因为且，所以且， 所以四点共面， 设.又平面平面， 所以点为平面与平面的公共点． 又因为平面 平面 ， 所以根据基本事实3,得， 即三线交于一点． 模块二 空间点、线、面之间的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)两种位置关系 平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 4．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 【题型5 平面分空间的区域数量】 【例5.1】（2025高一·全国·专题练习）平面α，β，γ不能将空间分成（　　） A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 【解题思路】根据三个平面的不同位置关系得出三个平面把空间分成4,6,7,8部分，判断选项得出结果. 【解答过程】三个平面平行时，将空间分成4个部分； 三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分； 当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分； 当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分； 当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，可将空间分成8个部分． 所以平面α，β，γ不能将空间分成5部分． 故选：A． 【例5.2】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】根据空间中平面位置关系逐项判断即可. 【解答过程】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意； 对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意； 对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意； 对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意. 故选：C. 【变式5.1】（23-24高一下·浙江·期末）空间的4个平面最多能将空间分成（    ）个区域． A．13 B．14 C．15 D．16 【解题思路】根据平面的性质进行归纳推理．前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，由此可得4个平面最多能将空间分成的区域数． 【解答过程】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为． 故选：C． 【变式5.2】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【解题思路】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解. 【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分； （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，      所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12. 故选：B. 【题型6 直线与直线的位置关系】 【例6.1】（23-24高一下·北京·期中）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 【解题思路】由异面直线的判定定理判断即可. 【解答过程】因为平面，平面，， 所以直线与是异面直线. 故选：C. 【例6.2】（23-24高一下·湖北·期末）若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定 【解题思路】将直线，，，为放在正方体中，由此即可判断出答案. 【解答过程】 构造如图所示的正方体， 取为，为，为，为， 则. 故选：A. 【变式6.1】（2024·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据异面直线的定义一一判断即可. 【解答过程】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 【变式6.2】（23-24高一下·河南安阳·期中）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【解题思路】将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案. 【解答过程】由题意可将展开图还原为如图的正方体，故. 故选：B. 【题型7 直线与平面的位置关系】 【例7.1】（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知是两个不同的平面，是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线、平面的位置关系即可判断出答案. 【解答过程】由 是两个不同的平面, 是三条不同的直线, 知: 对于 , 则 与 相交、平行或 , 故 A 错误; 对于 , 则 与 相交、平行或 , 故 B 错误; 对于 , 则 与 相交、平行或 , 故 C 错误; 对于 , 则由线面垂直的性质得 , 故 D 正确. 故选：D. 【例7.2】（2024·浙江绍兴·三模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【解题思路】由空间中的线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可. 【解答过程】若，，则或，所以A错；，，，，或，所以B错； 若，，，则，所以C错；若，，，则与两面的交线平行，即，故D对. 故选：D. 【变式7.1】（23-24高一下·湖南常德·期中）表示点，,表示线，表示平面，下列命题中是真命题的为（    ） A．若点平面，点平面，则与平面相交 B．若.则与必异面 C．若平面平面，则平面 D．若平面平面，则 【解题思路】由线线关系、线面关系逐一判断每个选项即可得解. 【解答过程】对于选项A，由线面位置关系可知，若点平面，点平面， 则与平面相交点，故A正确； 对于选项B，如图①所示，显然B错误. 对于选项C，如图②所示，显然C错误. 对于选项D，如图③所示，显然D错误.    故选：A. 【变式7.2】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，表示两条不同直线，表示平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解题思路】根据线线，线面的位置关系，即可判断选项. 【解答过程】若，，则，异面或相交，故A错误； 若，，则或相交，故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确. 故选：D. 【题型8 平面与平面的位置关系】 【例8.1】（2024·安徽宿州·模拟预测）设是不同的直线，是不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】根据线面平行性质可判断A错误，利用线面垂直性质以及可判断B错误；根据面面垂直判定定理即可判断C正确，再由线面位置关系可得D错误. 【解答过程】对于A，由可能得到平行于的交线，不一定有，即A错误； 对于B，不妨取正方体的一部分如下图所示： 此时，可得，即B错误； 对于C，由面面垂直的判定定理即可得出C正确； 对于D，由可得，可在平面内找一条直线满足，可得，即D错误. 故选：C. 【例8.2】（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（    ） A．平行或相交 B．平行 C．相交 D．不相交 【解题思路】根据图象即可确定这两个平面的位置关系. 【解答过程】 由图可知，两个平面平行或相交， 故选：A. 【变式8.1】（23-24高一下·北京丰台·期末）已知直线，与平面，，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【解题思路】根据空间线面平行与垂直的判定和性质定理即可判断． 【解答过程】A．若，则面内必存在直线，使得，若，则，因为，则，故正确，符合题意； B．若，，则与还可能相交，只需，都与和的交线平行，故错误，不符合题意； C．若，，则或与相交，故不正确，不符合题意； D．若，，，则只能说明与相交，不一定垂直，不符合题意； 故选：A． 【变式8.2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【解题思路】由线面关系逐一判断即可. 【解答过程】对于A：由，，，可知、可能平行或相交，A错误； 对于B：由，，，则由线面平行的性质定理得，B正确； 对于C：由，，，，可知、可能平行或相交，C错误； 对于D：由，，可知或，D错误． 故选：B. 一、单选题 1．（23-24高一下·福建宁德·期中）如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据点与线、点与面的属于关系，结合线面包含关系进行判断即可. 【解答过程】由图可知：， 故选：B. 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 【解题思路】A.这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.该选项正确；C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，所以该选项错误；D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误. 【解答过程】A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误； B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确； C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥,相交于同一点的三条直线不在同一平面内，所以该选项错误； D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误. 故选：B. 3．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 【解题思路】根据空间中线面的位置关系对每个选项逐一判断. 【解答过程】A选项，当时，在直线上，除了之外，其余点有无数个都不在内，故A选项错误； B选项，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，B选项错误； C选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，C选项错误； D选项，若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行，D选项正确. 故选：D. 4．（23-24高一下·天津滨海新·期末）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面 【解题思路】利用立体几何中的基本事实确定平面的方法求解即可. 【解答过程】三个不共线的点确定一个平面，故选项A错误， 四边形存在空间四边形，故选项B错误， 三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面，故选项C正确， 当点在直线上时无法确定一个平面，故选项D错误. 故选：C. 5．（2024高二上·北京·学业考试）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 【解题思路】由直三棱柱的特征逐项判断即可. 【解答过程】易知三棱柱为直三棱柱， 由图易判断与异面，AB错误； 因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误； 由图可判断与直线是异面直线，D正确. 故选：D. 6．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 【解题思路】A中，可能平行、相交或异面；B中有可能垂直于；C中或；D中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可得. 【解答过程】对于A，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误； 对于C，若且，则或，故C错误； 对于D，若、是异面直线，，，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故D正确. 故选：D. 7．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确. 【解答过程】A选项：如图：    在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误； B选项：如图：    在正方体中，，此时，B选项错误； D选项：如图：    在正方体中：，此时，D选项错误； C选项：如图：    过作平面，使得，，∵，∴，则， 又∵，∴，∴，C选项正确. 故选：C. 8．（23-24高一下·河南三门峡·阶段练习）如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据得可判断A；取的中点，可得，即四点共面，同理即四点共面可判断B；利用可判断C；利用点面关系可判断D， 【解答过程】对于A，如图，是的中点， 连接，连接， 因为，所以，所以共面；      对于B，如图，因为是的中点， 取的中点，连接， 可得，所以，即四点共面， 因为，所以，即四点共面， 因为过的平面有且只有1个， 所以四点共面；      对于C，如图，三棱锥中连接， 因为是的中点， 则，，所以，即四点共面； 对于D，如图，连接， 平面，即四点不共面. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）以下命题属于基本事实的是（    ） A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【解题思路】由基本事实的内容即可选择. 【解答过程】在 A 中，由基本事实2知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故 A 是基本事实； 在 B 中，由基本事实1得，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故 B 正确； 在 C 中，由等角定理知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故 C 是定理，不是基本事实； 在 D 中，由基本事实4得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故 D 是基本事实． 故选：ABD. 10．（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解题思路】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，若，，则或者异面，或者相交，故A错误， 对于B，若，，则，故B正确， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：BD. 11．（23-24高一下·四川攀枝花·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 【解题思路】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断C；举反例即可判断D. 【解答过程】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以 四点共面，AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（23-24高一下·上海嘉定·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”： . 【解题思路】根据线面关系可得结果. 【解答过程】因为平面经过直线AC，则. 故答案为：. 13．（24-25高一下·全国·课后作业）已知直线，和平面，且，，则与的位置关系是 或 ． 【解题思路】根据线面的位置关系进行分类讨论，分别利用线面垂直的性质进行说明即可． 【解答过程】当时，，则，当时，，则； 故当，时，有或. 故答案为：或. 14．（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成 或 部分． 【解题思路】由题意可得，再分分别与相交时，时两种情况讨论即可. 【解答过程】因为平面与平面将空间分成3部分， 所以， 当分别与相交时，这三个平面可以将空间分成部分； 当时，这三个平面可以将空间分成部分， 综上所述这三个平面可以将空间分成或部分. 故答案为：或. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【解题思路】根据已知点、线、面的位置关系，利用适当的符号表示即可． 【解答过程】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    16．（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【解题思路】先判断位置关系，再根据符号语言表示即可. 【解答过程】（1）点在直线上，所以 ； （2）点不在直线上，所以 ； （3）点在平面内，所以平面； （4）点不在平面内，所以平面. 17．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【解题思路】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【解答过程】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 18．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系． (2)判断直线与直线的位置关系． 【解题思路】（1）由线面关系的定义可得答案； （2）根据异面直线的判定定理可得结论. 【解答过程】（1）因为面，所以面，又面， 所以直线与平面的位置关系是相交； （2）由（1）得直线与平面的位置关系是相交，面， 又面，，面， 所以直线与直线的位置关系是异面. 19．（24-25高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【解题思路】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【解答过程】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$