精品解析：海南省海口市某校2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

2027届高一第一学期月考2考试试题 数学 考试时间：120分钟 满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、智学网准考证号填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合交、补运算即可求解； 【详解】由条件可得， 所以, 故选：B 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义需满足的条件，解不等式组，即得答案. 【详解】函数要有意义，需满足， 解得且，即函数的定义域是， 故选：D 3. 若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解. 【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是． 故选：D． 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】，，， 所以. 故选：B. 5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A. 4或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 又角的终边经过点，所以， 又，所以，解得或. 经检验，或均符合题意. 故选：A. 6. 已知“，使得不等式”不成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得不等式对恒成立，利用判别式求解即可． 【详解】因为“，使得不等式”不成立， 则不等式对恒成立， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． 7. 表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】就、、分类讨论可得，再分类求值域后可得其最小值. 【详解】设，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，， 当时，， 故函数的最小值为0. 故选：C. 8. 已知函数，若函数的图象与函数的图象有2个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出，的图象，根据图形即可得出结果. 【详解】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作，的的图象如下， 由图可知函数，的图象有2个交点， 则或，即实数的取值范围为. 故选：C． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，两个正确答案选对一个得3分，三个正确答案选对一个得2分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若不等式的解集为，则 C. 当时，的最小值是5 D. 函数（，且）过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由不等式的性质结合充分必要条件即可判断；对于B，由不等式的解集以及韦达定理即可验算；对于C，由基本不等式结合其取等条件是否满足即可判断；对于D，根据指数函数的性质，令的指数等于0即可判断． 【详解】对于A，若，满足，但是；若，满足，但是； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确； 对于B，由题意可知，，2是的两根，且， 则，解得，，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立，显然等号不成立，故C不正确； 对于D，令，则，所以，所以函数过定点，故D正确． 故选：BD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 角是第三象限角 B. 锐角都是第一象限角 C. 若为第二象限角，则为第二象限或第三象限角 D. 若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合象限角的概念检验选项A，B，C，结合扇形的弧长及面积公式检验选项D即可． 【详解】对于A，因为，所以为第三象限角，故A正确； 对于B，因任意锐角，显然是第一象限角，故B正确； 对于C，若为第二象限角，则，， 当时，，所以为第一象限角， 当时，，所以为第三象限角， 所以为第一象限角或第三象限角，故C错误； 对于D，设扇形面积半径为，圆心角为，则，解得，，故D正确． 故选：ABD． 11. 用表示不超过的最大整数，例如，．已知，则（ ） A. 为奇函数 B. C. 为上的增函数 D. 与图象所有交点的横坐标之和为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A、B：由函数新定义及奇偶性定义判断；对C：借助单调性的定义计算即可得；对D：令可得，结合新定义可得，再分类讨论求方程的解即可得. 【详解】因为， 所以不为奇函数，故A错误； ，故B正确； 令，， 因为，则，所以， 所以为上的增函数，故C正确； 令，即， 因为，所以，所以， 当时，，，即为图象交点的横坐标， 当时，，则，所以，即为图象交点的横坐标， 当时，，，所以不为图象交点的横坐标， 当时，，则，所以，即为图象交点的横坐标， 所以图象所有交点的横坐标之和为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于令并分类讨论. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的范围内，与终边相同的角是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义求解即可. 【详解】由， 可得在的范围内，与终边相同的角是. 故答案为：. 13. 已知函数则______． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数解析式代入求解即可； 【详解】，又， 所以， 故答案为： 14. 若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数．如果实数满足时，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，利用奇偶性得到，再利用单调性求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 由，可得，所以， 又在区间上是单调增函数，所以，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：（本小题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 求值： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算以及对数的定义运算求解. （2）根据对数的定义和运算求解. （3）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 已知幂函数为定义域上的奇函数． （1）求实数的值； （2）求不等式的解集； （3）当时，解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求出； （2）由（1）将代入运算求解； （3）将代入，不等式变为，，，分和讨论求解. 【小问1详解】 由幂函数可得，，解得或， 当时，，又，且， 所以为奇函数，符合题意； 当时，，，此时为偶函数， 综上，. 【小问2详解】 由（1），，所以不等式为，等价于， 或， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1），，不等式可变为，，， 当时，不等式为，解得且； 当时，不等式为，其对应方程的两根为， 若，即，不等式的解集为， 若，即，不等式的解集为， 若，即，不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 17. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明在定义域上的单调性； （3）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由对恒成立，可得对恒成立，求解即可； （2）由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可； （3）由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性可得对任意恒成立，可求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为的定义域为，又是奇函数， 所以对恒成立，即对恒成立， 所以对恒成立，对恒成立， 解得； 【小问2详解】 由（1）可知， 该函数在定义域上单调递减，证明如下： 任取，， ， 因为，所以，所以，， 所以，所以，即. 所以该函数在定义域上单调递减． 【小问3详解】 由得， 又是奇函数，所以， 由（2）知在是减函数，故原问题可化为， 即：对任意恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围． 18. 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆． （1）设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，用（，且）的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式； （2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）年底 【解析】 【分析】（1）将，和，代入求出参数的值即可. （2）根据题意列出新能源车和传统能源车保有量随时间变化的函数关系，取对数计算得到结果. 【小问1详解】 依题意，当时，，当时，， 所以，解得， 所以． 【小问2详解】 设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有， 令， 即， 化简得， 解得， 故从2021年底起经过9年后，即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量． 19. 列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为． （1）证明：；（提示：） （2）求不等式：的解集； （3）函数的图象在区间有零点，求实数的最小值． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可； （2）求出函数的单调性和奇偶性，根据函数性质解不等式； （3）参变分离得到在上有根，令，即在上有根，求出函数的值域得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，， 所以函数是奇函数， 又是R上的增函数，是R上的减函数， 故是 R上的增函数， 所以，即， ，解得. 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 因为函数在上有零点， 即在上有根， 即在上有根， 所以在上有根， 令，易知其在上单调递增，且， ， 因为，即， ，即实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高一第一学期月考2考试试题 数学 考试时间：120分钟 满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、智学网准考证号填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A. 4或 B. C. D. 或 6. 已知“，使得不等式”不成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 已知函数，若函数的图象与函数的图象有2个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，两个正确答案选对一个得3分，三个正确答案选对一个得2分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若不等式的解集为，则 C. 当时，的最小值是5 D. 函数（，且）过定点 10. 下列说法正确的有（ ） A. 角是第三象限角 B. 锐角都是第一象限角 C. 若为第二象限角，则为第二象限或第三象限角 D. 若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角为 11. 用表示不超过的最大整数，例如，．已知，则（ ） A. 为奇函数 B. C. 为上的增函数 D. 与图象所有交点的横坐标之和为4 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的范围内，与终边相同的角是______． 13. 已知函数则______． 14. 若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数．如果实数满足时，那么的取值范围是______． 四、解答题：（本小题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 求值： （1）； （2）； （3）； 16. 已知幂函数为定义域上的奇函数． （1）求实数的值； （2）求不等式的解集； （3）当时，解关于的不等式． 17. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）判断并用定义证明在定义域上的单调性； （3）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆． （1）设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，用（，且）的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式； （2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：，，） 19. 列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为． （1）证明：；（提示：） （2）求不等式：的解集； （3）函数的图象在区间有零点，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $