第03讲 分式（练习）【2大考点12大题型】-2025年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

第03讲 分式【2大考点12大题型】 考点一 分式的概念和性质 【题型1 分式有、无意义的条件】 1． （2024·贵州安顺·中考真题）当时，下列分式没有意义的是（  ） A． B． C． D． 2． （2024·江苏淮安·中考真题）当x= 时，分式与无意义 3． （2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 4． （2024·青海·中考真题）若代数式有意义，则x的取值范围 ． 【题型2 分式的值为0的条件】 5． （2024·四川雅安·中考真题）若分式的值等于0，则x的值为（    ） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 6． （2024·山东滨州·中考真题）若分式的值为0，则x的值为 ． 7． （2024·甘肃甘南·中考真题）已知若分式的值为0，则x的值为 ． 【题型3 分式的值】 8． （2024·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（    ） A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15 9． （2024·山西大同·中考真题）若分式的值为正整数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 10． （2024·四川攀枝花·中考真题）已知：（x、y、z均不为零），则＝ ． 11． （2024·吉林长春·中考真题）已知：，，求的值． 【题型4 分式的基本性质】 12． （2024·江苏扬州·中考真题）分式可变形为(   ) A． B．- C． D． 13． （2024·浙江金华·中考真题）下列计算错误的是（     ） A． B． C． D． 14． （2024·江苏·中考真题）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值 （填“变大”、“缩小”、“不变”） 【题型5 约分、通分】 15． （2024·河南商丘·中考真题）化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 16． （2024·贵州遵义·中考真题）在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 17． （2024·广东河源·中考真题）已知，，且，求证：． 【题型6 最简分式】 18． （2024·江苏扬州·中考真题）分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19． （2024·湖南邵阳·中考真题）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　）（填序号即可）． ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 20． （2024·吉林·中考真题）化简： ． 21． （2024·山西太原·中考真题）将分式化成最简分式的结果为 ． 考点二 分式的运算 【题型7 分式的乘除】 22． （2024·江苏苏州·中考真题）化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 23． （2024·浙江台州·中考真题）计算的结果是 ． 24． （2024·吉林·中考真题）化简，结果是 25． （2024·天津河北·中考真题）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． 26． （2024·宁夏银川·中考真题）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：    (1)求被手遮住部分的代数式． (2)等式左边代数式的值能等于吗？请说明理由． 【题型8 分式的加减】 27． （2024·湖北武汉·中考真题）式子的值不可能为(    ) A． B．0 C．1 D．3 28． （2024·辽宁大连·中考真题）化简： ． 29． （2024·四川广安·中考真题）已知直线（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2012= ． 30． （2024·吉林白山·中考真题）老师留的作业中有这样一道计算题：，小明完成的过程如下：   第一步   第二步   第三步 老师发现小明的解答过程有错误． (1)小明的解答从第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 31． （2024·安徽亳州·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【题型9 分式的混合运算】 32． （2024·河北邢台·中考真题）用替换分式中的n后，经过化简结果是（    ） A． B． C． D． 33． （2024·河北邯郸·中考真题）（新考法）试卷上一个正确的式子★，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 34． （2024·内蒙古包头·中考真题）化简： ． 35． （2024·四川乐山·中考真题）化简： 【题型10 分式的化简求值】 36． （2024·北京·中考真题）如果，那么代数式的值为（     ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 37． （2024·黑龙江绥化·中考真题）当时，代数式的值是 ． 38． （2024·四川攀枝花·中考真题）如果a+b=2，那么代数式÷的值是 ． 39． （2024·山东济南·中考真题）若，则代数式的值是 ． 40． （2024·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：，其中． 41． （2024·四川巴中·中考真题）已知实数x、y满足，求代数式的值． 【题型11 分式的最值问题】 42． （2024·浙江宁波·中考真题）分式可取的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．不存在 43． （2024·重庆九龙坡·中考真题）若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 44． （2024·重庆沙坪坝·中考真题）若一个四位自然数的千位数字与个位数字之和恰好是的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数为“好数”．一个“好数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记．若为整数，是4的倍数，则 ；所有满足条件的的最大值和最小值的差为 ． 45． （2024·福建福州·中考真题）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 46． （2024·福建泉州·中考真题）由浅入深是学习数学的重要方法．已知权方和不等式为，当且仅当时，等号成立．那么：若正整数，，满足，求的最小值． 【题型12 分式运算的实际应用】 47． （2024·江西九江·中考真题）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携五日干粮，人食日二升．其大意为在行军过程中，一个民夫可以背负六斗（60升）米，一个士兵可以自己背5天的干粮（5天的干粮为一斗米，即10升米），民夫和士兵每人行军一天都会消耗2升米．在没有其他粮食补充的情况下，若两个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则背负的米最多支持行军 天．（用含的式子表示） 48． （2024·河北保定·中考真题）图1中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），，设，则k的取值范围为 ． 49． （2024·福建宁德·中考真题）福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同． (1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？ (2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案： 方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购； 方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购． 通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 分式【2大考点12大题型】 考点一 分式的概念和性质 【题型1 分式有、无意义的条件】 1． （2024·贵州安顺·中考真题）当时，下列分式没有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可. 【详解】,当x=1时,分母为零,分式无意义. 故选B. 【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件. 2． （2024·江苏淮安·中考真题）当x= 时，分式与无意义 【答案】3 【分析】根据分式无意义的条件是分母等于0解答即可． 【详解】解：若分式没有意义，则x﹣3=0， 解得：x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查的是分式没有意义的条件：分母等于0，这是一道简单的题目． 3． （2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 4． （2024·青海·中考真题）若代数式有意义，则x的取值范围 ． 【答案】且 【分析】根据题意，得代数式有意义的条件是且，解答即可． 本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握取值有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， 且， 解得且． 故答案为：且． 【题型2 分式的值为0的条件】 5． （2024·四川雅安·中考真题）若分式的值等于0，则x的值为（    ） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【答案】A 【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意，−1＝0，x−1≠0， ∴x＝−1， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 6． （2024·山东滨州·中考真题）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可． 【详解】由x2-9=0，得 x=±3． 又∵x+3≠0， ∴x≠-3， 因此x=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键． 7． （2024·甘肃甘南·中考真题）已知若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得x=3． 故答案为3． 【题型3 分式的值】 8． （2024·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（    ） A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15 【答案】A 【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案. 【详解】解： 把代入上式中 原式 故选A. 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算. 9． （2024·山西大同·中考真题）若分式的值为正整数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为正整数求出的取值可以为多少． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 要使分式有意义，则， ， 故选：． 【点睛】本题考查了分式的值，根据分式运算法则进行化简是解答本题的关键． 10． （2024·四川攀枝花·中考真题）已知：（x、y、z均不为零），则＝ ． 【答案】3 【分析】根据已知条件可设，，，将其代入所求式子，计算即可． 【详解】解： （，，均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的求值，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数表示出，，，再代入计算． 11． （2024·吉林长春·中考真题）已知：，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的乘法与乘法公式的灵活应用，一元二次方程的解法，由结合可得，设，，进一步可得，求解的值，再进一步求解可得答案； 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ 【题型4 分式的基本性质】 12． （2024·江苏扬州·中考真题）分式可变形为(   ) A． B．- C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可. 【详解】A. ≠，故A选项错误； B. -=≠，故B选项错误； C. =-，故C选项错误； D. ==，故D选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 13． （2024·浙江金华·中考真题）下列计算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的运算法则逐一作出判断 【详解】A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项正确； D、，故本选项正确. 故选A. 14． （2024·江苏·中考真题）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值 （填“变大”、“缩小”、“不变”） 【答案】不变 【分析】可以将x,y用3x，3y代入、化简，跟原式对比 【详解】将x,y用3x，3y代入中可得 ， ∴分式的值不变 故答案为不变 【点睛】此题考查了分式的基本性质，难度不大 【题型5 约分、通分】 15． （2024·河南商丘·中考真题）化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分，把分子分解因式，然后约分即可． 【详解】解：∵， ∴括号内应填． 故选D． 16． （2024·贵州遵义·中考真题）在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可． 【详解】， 计算通分时，分母确定为． 故选B 【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键． 17． （2024·广东河源·中考真题）已知，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘得出，去括号，移项，合并同类项得出再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可． 【详解】证明：， 等式的两边都乘，得， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 即． 【题型6 最简分式】 18． （2024·江苏扬州·中考真题）分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，最简分式的定义，理解并掌握分式的性质化简及最简分式的定义是解题的关键． 根据分式的性质化简分式，最简分式的定义“分子和分母没有公因式，或者只含有公因式1的分式称为最简分式”，进行判定即可求解． 【详解】解：①，是最简分式； ②，原分式不是最简分式； ③，原分式不是最简分式； ④，是最简分式； ∴是最简分式的有：①④，共2个， 故选：B． 19． （2024·湖南邵阳·中考真题）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　）（填序号即可）． ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查约分和最简分式．根据题意中“和谐分式”的定义判断即可． 【详解】解：①，原式的分子与分母都不能因式分解，故①不是“和谐分式”； ②，故②为“和谐分式”； ③，故③不是“和谐分式”； ④，故④不是“和谐分式”； 故选：B． 20． （2024·吉林·中考真题）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的基本性质、约分是解题关键． 直接将分式的分子和分母分解因式，然后再约分即可解答． 【详解】解： 故答案为：． 21． （2024·山西太原·中考真题）将分式化成最简分式的结果为 ． 【答案】 【分析】利用提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 考点二 分式的运算 【题型7 分式的乘除】 22． （2024·江苏苏州·中考真题）化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的除法运算等知识点，根据分式的除法运算法则即可求出答案，解题的关键是熟练运用分式的除法运算法则． 【详解】 ， 故选：A． 23． （2024·浙江台州·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，根据分式的乘法和除法运算法则计算即可． 【详解】 故答案为：． 24． （2024·吉林·中考真题）化简，结果是 【答案】 【分析】本题考查分式的除法．将除法变成乘法，能分解因式的先分解因式，再进行化简即可．掌握分式的除法法则，是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 25． （2024·天津河北·中考真题）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第n次的运算结果是 (用含字母x和n的代数式表示)． 【答案】 【分析】此题考查了分式的规律题，根据分式的除法法则逐项计算，得到规律即可． 【详解】解：根据题意得； ； ； …… 根据以上规律可得：． 26． （2024·宁夏银川·中考真题）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：    (1)求被手遮住部分的代数式． (2)等式左边代数式的值能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设被手遮住部分的代数式为A，根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可； （2）令原代数式的值为0，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可． 【详解】（1）设被手遮住部分的代数式为A， 则 ； （2）原代数式的值不能等于0． 若原代数式的值为0，则，即，解得， 当时，，分式无意义， ∴故原代数式的值不能等于0． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义． 【题型8 分式的加减】 27． （2024·湖北武汉·中考真题）式子的值不可能为(    ) A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据分式的基本性质，将分式进行通分，然后分析式子的分子部分进行判断即可. 【详解】解：原式 根据分式有意义的条件，可知、b、c均不能为0 ∴ ∴ 故选B 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式通分的方法和技巧. 28． （2024·辽宁大连·中考真题）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法运算，先约分再相加即可．本题也可以先通分再约分，但相比先约分再计算要麻烦些，因此在有多种方法可解的情况，寻找最简捷的方法． 【详解】解：； 故答案为：． 29． （2024·四川广安·中考真题）已知直线（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2012= ． 【答案】 【分析】根据题意求得直线与坐标轴的交点，进而根据三角形的面积公式求解，从而求得Sn，进而求得答案． 【详解】令x=0，则； 令y=0，则， 解得： ∴． ∴ ．　 故答案为：． 【点睛】本题考查了探索规律题（图形的变化类），一次函数图象与坐标轴的交点问题，求得直线与坐标轴的交点是解题的关键． 30． （2024·吉林白山·中考真题）老师留的作业中有这样一道计算题：，小明完成的过程如下：   第一步   第二步   第三步 老师发现小明的解答过程有错误． (1)小明的解答从第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则； （1）小明的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是去分母； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得． 【详解】（1）二 （2） 31． （2024·安徽亳州·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯⋯ 第6个等式：； 故答案为：； （2）猜想：第个等式：， 证明：∵ ， ∴成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，分式的混合运算，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 【题型9 分式的混合运算】 32． （2024·河北邢台·中考真题）用替换分式中的n后，经过化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入进行化简即可得到答案． 【详解】由题意得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，渗透了整体代入的数学思想，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 33． （2024·河北邯郸·中考真题）（新考法）试卷上一个正确的式子★，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．首先根据被除数除以商等于除数可得★，根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数把除法转化为乘法，再利用乘法分配律可得原式，再根据异分母分式的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ★， ★ ， ． 故答案为： ． 34． （2024·内蒙古包头·中考真题）化简： ． 【答案】 【分析】先把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简，然后通分，变为同分母的分式的减法计算. 【详解】解： 故答案为． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 35． （2024·四川乐山·中考真题）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则成为解题的关键． 直接运用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【题型10 分式的化简求值】 36． （2024·北京·中考真题）如果，那么代数式的值为（     ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】D 【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= ∴原式=3，故选D. 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 37． （2024·黑龙江绥化·中考真题）当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x求值即可． 【详解】解：由题意可知： 原式 ， 当时，原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解． 38． （2024·四川攀枝花·中考真题）如果a+b=2，那么代数式÷的值是 ． 【答案】2 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】当a+b=2时， 原式= = =a+b =2 故答案为2 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 39． （2024·山东济南·中考真题）若，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时．原式． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 40． （2024·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出x的值后，将代入即可求解． 【详解】解：原式， ， ， ， 当时， 原式， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键． 41． （2024·四川巴中·中考真题）已知实数x、y满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【题型11 分式的最值问题】 42． （2024·浙江宁波·中考真题）分式可取的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的性质及配方法的应用，熟练掌握分式的性质及配方法的应用是解题的关键；由题意可变形为，然后根据分式的性质及配方法可进行求解． 【详解】解：由题意得： ， 若要求得的最小值，则需得出的最小值即可， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最小值为4； 故选A． 43． （2024·重庆九龙坡·中考真题）若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据定义和已知条件分别设，，再根据定义进行计算，由为整数，以及的最大值，得出符合条件的取值为或，进而解题． 【详解】解：∵数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3， 故数p的十位数是，数q的十位数是， 设数p，q的百位数分别m、n，则数p的千位数是，数q的千位数是，而且，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴ ∵为整数， ∴为的约数，而要使的最大值则有 ∴或， 当时，即，， 此时，当，时，的最大值为， 当时，即，， 此时，当，时，的最大值为， 综上所述：当，时，的最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是通过为整数推出为的约数． 44． （2024·重庆沙坪坝·中考真题）若一个四位自然数的千位数字与个位数字之和恰好是的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数为“好数”．一个“好数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记．若为整数，是4的倍数，则 ；所有满足条件的的最大值和最小值的差为 ． 【答案】 5 【分析】根据定义得到，进一步得到；， ，则是4的倍数，9，进一步即可得到答案，此题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意，求出；是解题的关键． 【详解】， ， 为整数 ；， ， 是4的倍数， 或9 时，取到最小值， 或2， 的最小值为1239 时，取到最大值， ，或2， 的最大值为9321； 差为8082， 故答案为：5，8082 45． （2024·福建福州·中考真题）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 46． （2024·福建泉州·中考真题）由浅入深是学习数学的重要方法．已知权方和不等式为，当且仅当时，等号成立．那么：若正整数，，满足，求的最小值． 【答案】7 【分析】根据题意得出当且仅当时，取最小值，根据得出，根据得出，将其分别代入和，即可进行解答． 【详解】解：∵ ∴， 当且仅当时，等号成立，取最小值； 即时，等号成立； ∴， ∵， ∴， 把②代入①得：， 整理得：，则； 把②代入得：， ∴． 即的最小值为7． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，以及分式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，理解题中权方和不等式成立的条件． 【题型12 分式运算的实际应用】 47． （2024·江西九江·中考真题）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携五日干粮，人食日二升．其大意为在行军过程中，一个民夫可以背负六斗（60升）米，一个士兵可以自己背5天的干粮（5天的干粮为一斗米，即10升米），民夫和士兵每人行军一天都会消耗2升米．在没有其他粮食补充的情况下，若两个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则背负的米最多支持行军 天．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题本题主要考查了列代数式和分式的除法，两个士兵n个农夫总共可背升米，每天总共消耗升，根据背负的米能除以每天的消耗量等于支持行军的天数即可求解． 【详解】解：根据题意，背负的米最多支持行军为：(天)， 故答案为∶ ． 48． （2024·河北保定·中考真题）图1中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），，设，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、因式分解的应用等知识点，根据题意得到是解答本题的关键．根据题意可得，，从而得到，再根据，可得，从而得到的取值范围即取值范围． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 49． （2024·福建宁德·中考真题）福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同． (1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？ (2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案： 方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购； 方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购． 通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 【答案】(1)甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元 (2)农场选择方案一合算，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式．熟练掌握一元一次方程的应用，列代数式是解题的关键． （1）根据题意，得，计算求解，进而可求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价； （2）由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴甲种葡萄的实际销售单价为（元）， 乙种葡萄的实际销售单价为（元）． 答：甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元． （2）解：由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为， ∵ ． ∴农场选择方案一更合算． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$