精品解析：海南省创新中学协作校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度海南创新中学协作校高三联考试题 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 3. 等差数列满足，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 4. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. 成绩在上的人数最多 B. 成绩不低于70分的学生所占比例为 C. 50名学生成绩的平均分小于中位数 D. 50名学生成绩极差为50 5. 已知，，在x轴上方动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 已知正三棱台的侧面积为6，，，则与平面ABC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题：每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则下列结论正确是（ ） A. 与的图象有相同的对称轴 B. 与的值域相同 C. 与有相同零点 D. 与的最小正周期相同 10. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.人口的年平均增长率满足，其中为经过的时间，为时的人口总数（单位：万），为经过年后的人口总数（单位：万）.下表为三市2022年人口总数及预计年平均增长率情况： 2022年人口总数 年平均增长率 A市 0.02～0.03 B市 0.04～0.05 C市 0.03 利用上表数据，设A、B、C三市在2032年底人口总数的估计值分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，且，则________． 13. 已知，，则______. 14. 将1，2，3，4这四个数字填入下方方格表中，要求每行和每列均有数字1，2，3，4．当，时，共有________种方法补全方格表；当不固定，，的值时，共有________补全方格表． 1 2 3 4 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且， ． （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 定义在上的函数同时满足以下条件： ①在上是减函数，在上是增函数； ②是偶函数； ③在处的切线与直线垂直. (1)求函数的解析式； (2)设，求函数在上的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面⊥平面. （1）证明：⊥平面； （2）若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆：的短轴长为，且过三点，，中的两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，（，不在轴上）两点，为椭圆的左顶点，记，的斜率分别为，，证明：为定值. 19. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度海南创新中学协作校高三联考试题 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得. 【详解】因为，所以. 故选：D 2. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示出集合A，再求出并集即可得解. 【详解】依题意，解不等式，得，， 而，因此， 所以中元素的个数为8． 故选：B 3. 等差数列满足，，则（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】设数列公差为d，然后由题意及等差数列通项公式可得答案. 【详解】设数列公差为d，由，， 可得，解得，， 则． 故选：C 4. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. 成绩在上的人数最多 B. 成绩不低于70分的学生所占比例为 C. 50名学生成绩的平均分小于中位数 D. 50名学生成绩的极差为50 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，A项可由各矩形高度可得；B项由频率计算可得；C项分别求出平均数、中位数比较可知；D项由极差定义可得. 【详解】设组的频率为，则由各组频率之和为1可得 ，解得； ，，，，各组频率依次为：， A项， 组频率最大，即成绩在上的人数最多，故A正确； B项，成绩低于70分的学生频率为，即不低于70分的学生频率为， 所以成绩不低于70分的学生所占比例为，故B正确； C项，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是 ， 由，故50名学生成绩的中位数为80， 所以50名学生成绩平均分小于中位数，故选项C正确； D项，极差为数据中最大值与最小值的差， 已知50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是， 故极差小于等于，但不一定等于50，故D错误. 故选：D. 5. 已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，即可列等量关系化简求解即可. 【详解】设动点， 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：B 6. 已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求函数最小值，由即可得解. 【详解】由题意可知，，， 当时，，当时，， 所以上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为对，，所以，解得. 故选：C 7. 已知正三棱台的侧面积为6，，，则与平面ABC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正三棱台上底面边长为，利用等腰梯形性质，结合侧棱长为，侧面积为建立关于的方程，求解可得上、下底面边长，由此结合正三角形性质可得进而可得，在中可得. 【详解】设中心为，中心为O， 如图，连接，由正棱台的性质可知，，平面， 平面，则， 在直角梯形中，过作，垂足，则， 则四边形为平行四边形，且平面. 所以即为所求与平面ABC所成角. 在等腰梯形中过作，垂足为， 设，则，则， 在中，， 由正三棱台侧面积为，可知梯形的面积为， 故，解得，则， 在四边形中，， 则， 则在中，. 故侧棱与平面所成角的余弦值为.   故选：A. 8. 已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论. 【详解】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 故选：A 二、选择题：本大题共3小题：每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 与的图象有相同的对称轴 B. 与的值域相同 C. 与有相同的零点 D. 与的最小正周期相同 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意分别画出两函数图象，可求得它们的对称轴、值域、零点、最小正周期等，即可得出结论. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 易知的对称轴为，值域为，零点为，最小正周期为； 易知，其图象如下图所示： 易知的对称轴为，即，值域为，零点为，最小正周期为； 因此可得与的图象有相同的对称轴，它们的最小正周期相同. 故选：AD 10. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.人口的年平均增长率满足，其中为经过的时间，为时的人口总数（单位：万），为经过年后的人口总数（单位：万）.下表为三市2022年人口总数及预计年平均增长率情况： 2022年人口总数 年平均增长率 A市 0.02～0.03 B市 0.04～0.05 C市 0.03 利用上表数据，设A、B、C三市在2032年底人口总数的估计值分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先确定与的关系式，写出，可得C的真假；再对商，的值进行分析，可判断ABD的真假. 【详解】因为. 又，所以. 设市的年平均增长率为，； 市的年平均增长率为，； 市的年平均增长率为，. 对A：，因为，所以，故A错误； 对B：，因为，所以，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：由A知： ，故D正确. 故选：BCD 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，且，则________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由数量积模长公式可得，然后可得答案. 【详解】由得， 两式相减得， 所以，则． 故答案为：. 13. 已知，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系可得，再由两角差的正弦公式可得，代入结合两角和的正弦公式即可得出答案. 【详解】由可得：，所以， 则， 因为， 所以 . 故答案为：. 14. 将1，2，3，4这四个数字填入下方方格表中，要求每行和每列均有数字1，2，3，4．当，时，共有________种方法补全方格表；当不固定，，的值时，共有________补全方格表． 1 2 3 4 【答案】 ①. 4 ②. 24 【解析】 【分析】第一空，由题意利用列举法可得答案； 第二空，由第一空，可得时，共有8种方法补全方格表，后由分类计数原理可得答案. 【详解】当，时，，此时有如下4种方法补全方格表． 同理可得，当，，时，有4种方法补全方格表， 当时，共有8种方法补全方格表． 同理可得，当或时，各有8种方法补全方格表， 综上，共有种方法补全方格表． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且， ． （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）A（2） 【解析】 【分析】（1）由和余弦定理可得,再根据的取值范围即可得的值. （2）利用三角形面积公式可得,由余弦定理可得,即可解得三角形的周长. 【详解】解:（1）由,和余弦定理, ,得,, 所以； （2）,的面积为,解得, 根据余弦定理 , ,所以 , 所以的周长为． 【点睛】本题考查了余弦定理、二倍角公式、三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题. 16. 定义在上的函数同时满足以下条件： ①在上是减函数，在上是增函数； ②是偶函数； ③在处的切线与直线垂直. (1)求函数的解析式； (2)设，求函数在上的最小值. 【答案】解：（Ⅰ） ；（Ⅱ）最小值 【解析】 【分析】（1）求导函数，可得f′（x）=ax2+2bx+c，根据R上的函数f(x)= ax3+bx2+cx+2同时满足的条件，列出方程组，从而可求函数y=f（x）的解析式； （2）求导函数，确定函数的单调性，再结合区间，进行分类讨论，即可求得g（x）在[m，m+1]上的最小值． 详解】解：（1）. 由题意知即解得 所以函数的解析式为 （2）， . 令得，所以函数在递减，在递增 当时，在单调递增，. 当时，即时， 在单调递减，在单调递增， 当时，即时， 在单调递减， 综上，在上的最小值 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面⊥平面. （1）证明：⊥平面； （2）若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直. （2）由体积求出线段长，建立空间直角坐标系，找到两个面的一个法向量，由法向量求出二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 如图，取中点，连接与交于点， ，∴， ∵，，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵平面⊥平面且平面平面，平面， ∴平面 又∵且， ∴， ∴AD⊥平面 【小问2详解】 ∵，为正方形中心，故， ∴， 又∵平面⊥平面且平面平面，平面， ∴平面 ， ∴ 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，∴，∴ 则 由1）可知是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量， 则即 设则，即是平面的一个法向量， 设二面角为，则， ∴ 18. 已知椭圆：的短轴长为，且过三点，，中的两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，（，不在轴上）两点，为椭圆的左顶点，记，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意易得，根据对称性可得，在椭圆上，求出即可得结果； （2）先看当直线的斜率不存在时，求得M，N则两直线的斜率可得，求得的值；再看斜率存在时，设出直线的方程与椭圆方程联立消去，利用韦达定理表示出和，代入到中，最后综合答案可得． 【小问1详解】 （1）由题意易得， 由椭圆的对称性可得过三点，在椭圆上， 即，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，由（1）得，， 可得，，所以. 当直线的斜率存在时，设其斜率为，显然，过点 则直线的方程为， 设点，，将代入方程， 并化简得：， 可得：，， 所以 ， 综上． 19. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，可以得到含的代数式表示，运用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （3）根据古典概型运算公式，结合题意得到、、、之间的关系，结合数学期望的运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知， 【小问2详解】 因为. 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， 【小问3详解】 因为，① ② 所以①一②，得. 又因为，所以，所以. 的可能取值是， 所以的概率分布列为 0 1 2 所以. 所以的数学期望为定值1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求、 之间的关系，利用等比数列的定义进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$