精品解析：浙江省宁波市镇海区蛟川书院2023-2024学年下学期七年级期末数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列方程中，属于二元一次方程是（ ） A. B. C. D. 2. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各题的计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果分式中x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 不能确定 6. 如图，已知，，添加条件（ ）能使． A. B. C. D. 7. 如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，若，且，则为（ ） A. B. C. D. 8. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 如图，八边形每条边都相等，且，若，四边形的周长分别为，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. ，大小无法比较 10. 如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（ ） A. 正方形的边长 B. 正方形的边长 C. 正方形的边长 D. 正方形的边长 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在相应的空格内） 11. 使分式有意义的x的取值范围是______． 12. 因式分解：________． 13. 若，，则的值是_____． 14. 已知的展开式中不含x项，则常数a的值为____________________． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 16. 已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则________． 17. 如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度． 18. 如图，在中，，P、Q分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当值达到最小时，的值为_______． 三、解答题（本题共6小题，19～21题，每题6分，22题8分，23～24题，每题10分，共46分） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 20. 先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 21. 随着新能源汽车的普及，越来越多的企业加入新能源汽车生产的行列． （1）某公司决定生产A型和B型两款新能源汽车1500辆，经市场调研，A型车的市场反应较好，所以计划生产A型车的数量是B型车数量的2倍，求A型车和B型车各生产了多少辆？ （2）公司计划12000万用于生产A型车，8000万用于生产B型车，已知每辆A型车的成本是每辆B型车成本的1.5倍，随着技术的提升，每辆A型车的成本比预计的降低了，B型车成本保持不变，结果A型车比B型车多生产了100辆，求两种车型的实际生产成本各是多少？ 22. 小明在周末去方特游乐园乘坐了海盗船，海盗船是一种绕水平轴往复摆动游乐项目，它的主体是由一个大型的船身和两侧的摇摆机械臂构成．游客坐在船内，随着机械的运动，仿佛置身于一场海盗航海的冒险之中．当它静止时，我们可以把它抽象成如图1所示的图形，中心转轴点O位于铅垂线上，两条摆臂和均匀分布在铅垂线两侧，它们的长度相同． 小明在乘坐过程中遇到了下列问题： （1）如图2，当海盗船右侧船头转到最高点时，左侧船头看最高点的仰角为，即，已知两摆臂之间的夹角，求海盗船的最大摆角的度数． （温馨提示：在，由可得） （2）如图3，已知转轴O到地面的距离，在乘坐的过程中，当海盗船右侧船头在位置P时，此时测得点P到地面的距离；当左侧船头摆动到点处时，．求点到的距离． 23. 定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． （1）若，求a，b的“传承数”c； （2）若，且，求a，b的“传承数”c； （3）若，且a，b“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 24. 全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点E为边上一点，点F为边延长线上一点，连接与边交于点D，若点D恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点E作与线段的延长线交于点G，与边的延长线交于点F，已知的面积是30，线段的长为8，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程进行判断即可． 【详解】解：A．该方程的次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； B．该方程的次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C．不是整式方程，故该选项不符合题意； D．是二元一次方程，故该选项符合题意； 故选：D． 2. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握表示方法是解题关键． 3. 下列各式从左到右，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．根据因式分解的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】A、，结果不是整式乘积性质，不属于因式分解，是多项式乘多项式，不符合题意； B、，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，不符合题意； C、，原等式不成立，不符合题意； D、，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 4. 下列各题的计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、（a2）3=a6，故此选项错误； B、（-3a2）3=-27a6，故此选项错误； C、（-a）•（-a）6=-a7，故此选项正确； D、a3+a3=2a3，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 不变 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，变为 ， 所以分式的值扩大为原来的2倍， 故选：A． 6. 如图，已知，，添加条件（ ）能使． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，在和中，已经具备，，可得，只要再加一角相等，或者与角相邻的一边相等即可，由此即可解答． 详解】添加条件：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 故选：D 7. 如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，若，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题．熟练掌握折叠性质，平行线性质，是解题的关键． 两向延长到N和M，由折叠的性质得到，由平角定义求出，由平行线的性质推出，得到，即可求出． 【详解】解：两向延长到N和M， 由折叠的性质得到：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 故选：D． 8. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是找到等量关系列出方程组．根据一张纸可裁成2张纸或4张纸，可以得出张纸由张纸裁剪而成，张纸由张纸裁剪而成，根据纸100张，得出；再根据纸和纸共计300张，得出即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D 9. 如图，八边形每条边都相等，且，若，四边形的周长分别为，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. ，大小无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系，可先求得，根据四边形的周长，的周长，，即可求得答案． 【详解】解：在和中 ∴． ∴． 同理可得． ∴． ∵四边形的周长，， ∴四边形的周长． 又的周长，， ∴． 故选：A 10. 如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（ ） A. 正方形的边长 B. 正方形的边长 C. 正方形的边长 D. 正方形的边长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算． 解法一：延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，分别设正方形的边长分别为，正方形的边长为，表示出，，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解法二：延长交于点L，证明，则即可求解． 【详解】解：解法一： 如图，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积， 设正方形的边长分别为，正方形的边长为， 则，，，，，， ∴，， ∴ 故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长， 故选：． 解法二： 设正方形的边长分别为，正方形的边长为， 如图，延长交于点L， 由图可得， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长， 故选：． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在相应的空格内） 11. 使分式有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据“分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义”可得，解之即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式解题关键，直接提取公因式9，再利用公式法分解因式得出答案． 【详解】解： 故答案为： 13. 若，，则的值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】把原式化为，再把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是同底数幂的除法运算的逆运算，幂的乘方运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 14. 已知的展开式中不含x项，则常数a的值为____________________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．先根据多项式乘多项式法则进行展开，再根据展开式中不含x项，得到x项的系数为0，即可求出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x项， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据增根的定义求出x，去分母后把求得的x代入即可求出a的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， ∴， 原分式方程去分母得， 把代入得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解． 16. 已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 17. 如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度． 【答案】80 【解析】 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠FMA=∠F+∠1，∠E+2∠1=2∠FMA，从而得出∠E=2∠F求解． 【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质， 可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA， ∴∠E+2∠1=2（∠F+∠1） ∴∠E=2∠F=2×40°=80°． 故答案为80． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 18. 如图，在中，，P、Q分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当值达到最小时，的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：1． 三、解答题（本题共6小题，19～21题，每题6分，22题8分，23～24题，每题10分，共46分） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先计算零次幂、负整数指数幂和乘方，再计算乘除，最后计算加减； （）先运用平方差公式和完全平方公式进行整式乘法运算，再合并同类项； 本题考查了实数的运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式． 21. 随着新能源汽车的普及，越来越多的企业加入新能源汽车生产的行列． （1）某公司决定生产A型和B型两款新能源汽车1500辆，经市场调研，A型车的市场反应较好，所以计划生产A型车的数量是B型车数量的2倍，求A型车和B型车各生产了多少辆？ （2）公司计划12000万用于生产A型车，8000万用于生产B型车，已知每辆A型车的成本是每辆B型车成本的1.5倍，随着技术的提升，每辆A型车的成本比预计的降低了，B型车成本保持不变，结果A型车比B型车多生产了100辆，求两种车型的实际生产成本各是多少？ 【答案】（1）生产了1000辆A型车，500辆B型车； （2）每辆A型车的实际生产成本是24万元，每辆B型车的实际生产成本是20万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设生产了x辆B型车，则生产了辆A型车，根据该公司决定生产A型和B型两款新能源汽车共1500辆，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即生产B型车的数量），再将其代入中，即可求出生产A型车的数量； （2）设每辆B型车的预计成本是y万元，则每辆A型车的实际生产成本是万元，每辆B型车的实际生产成本是y万元，利用数量总价单价，结合A型车比B型车多生产了100辆，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值（即每辆B型车的实际生产成本），再将其代入中，即可求出每辆A型车的实际生产成本． 【小问1详解】 解：设生产了x辆B型车，则生产了辆A型车， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：生产了1000辆A型车，500辆B型车； 【小问2详解】 解：设每辆B型车的预计成本是y万元，则每辆A型车的预计成本是万元，每辆A型车的实际生产成本是（万元），每辆B型车的实际生产成本是y万元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：每辆A型车的实际生产成本是24万元，每辆B型车的实际生产成本是20万元． 22. 小明在周末去方特游乐园乘坐了海盗船，海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，它的主体是由一个大型的船身和两侧的摇摆机械臂构成．游客坐在船内，随着机械的运动，仿佛置身于一场海盗航海的冒险之中．当它静止时，我们可以把它抽象成如图1所示的图形，中心转轴点O位于铅垂线上，两条摆臂和均匀分布在铅垂线两侧，它们的长度相同． 小明在乘坐过程中遇到了下列问题： （1）如图2，当海盗船右侧船头转到最高点时，左侧船头看最高点的仰角为，即，已知两摆臂之间的夹角，求海盗船的最大摆角的度数． （温馨提示：在，由可得） （2）如图3，已知转轴O到地面的距离，在乘坐的过程中，当海盗船右侧船头在位置P时，此时测得点P到地面的距离；当左侧船头摆动到点处时，．求点到的距离． 【答案】（1） （2）点到的距离为 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论； （2）过点作于点M，过点P作于点N，再证明，可得，根据平行线间的距离处处相等，得出，从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图2，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点M，过点P作于点N， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵点P到地面的距离， ∴ ∵转轴O到地面的距离， ∴， ∴． 答：点到的距离为． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，平行线间的距离，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． 23. 定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． （1）若，求a，b的“传承数”c； （2）若，且，求a，b的“传承数”c； （3）若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 【答案】（1） （2）1或 （3）2或0或4或 【解析】 【分析】本题考查新定义，分式的求值，分式的加减运算： （1）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，进行计算即可； （2）先根据，利用完全平方公式，求出的值，然后根据求出c即可； （3）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，求出c，从而求出答案即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴a，b的“传承数”c的值为； 【小问2详解】 ∵， ， ， ， ∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴a，b的“传承数“c为1或； 小问3详解】 ∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， ∵c，n都为整数， ∴或， 解得：或0或4或． 24. 全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点E为边上一点，点F为边延长线上一点，连接与边交于点D，若点D恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点E作与线段的延长线交于点G，与边的延长线交于点F，已知的面积是30，线段的长为8，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据及两个直角相等，还有公共边，利用全等三角形即可得证； （2）作平行线利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证； （3）延长交AC于点H，过B作，过点D作于点K，于点J，证明，得出，，设，则，，求出，根据，得出，求出，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过A作于D， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：； 理由：过E作交于G， ∴，， ∵点D为线段中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长交AC于点H，过B作，过点D作于点K，于点J， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（2）中证明方法可知， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， 即， 解得，负值舍去， ∴，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线性质定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$