第02讲 二次根式的性质（2大知识点+5大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

第02讲 二次根式的性质（2大知识点+5大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握二次根式的双重非负性； 2．掌握二次根式的化简； 3．掌握复合二次根式的化简。 知识点一.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点二.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 考点一：利用二次根式的性质化简 例1．化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 【变式1-1】已知，则（   ） A． B． C．10 D．100 【变式1-2】化简： ． 【变式1-3】化简： ． 【变式1-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二：数轴与二次根式的化简 例2.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 【变式2-1】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 【变式2-2】已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 【变式2-3】在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： ． 【变式2-4】实数，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： 考点三：利用二次根式的性质化简含未知数的式子 例3.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则化简后为 ． 【变式3-3】已知，则 ． 【变式3-4】在下列条件下化简． (1)； (2)； (3)． 考点四：复合二次根式的化简问题 例4.下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】化简： ． 【变式4-3】观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝叫复合二次根式的化简，请化简＝ ． 【变式4-4】阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 考点五：利用二次根式的性质计算 例5.计算：． 【变式5-1】计算：． 【变式5-2】计算：. 【变式5-3】计算：． 【变式5-4】先化简，再求值：，其中． 1．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 6．已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 7．若满足等式，则的值为 ． 8．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 9．设，则与最接近的整数是 ． 10．形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 ． 11．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．    12．计算： (1)． (2)． 13．通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：，，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 的算术平方根是． 请根据上面的方法化简下列式子： (1)； (2)． 14．贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 15．阅读材料：数学课堂上，老师提出问题：“如图，已知的三边的长度分别为，，，请计算的面积．” 同学们通过观察、猜想、讨论、实验等方法，发现有以下两种求面积的方法： 方法一：如果的三边长分别为a，b，c，设p为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法二：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积，具体过程如下： 解：过点A作于点D， 则， 设，则，…．… 解决问题： (1)按“方法一”求的面积； (2)补全“方法二”的解答过程． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的性质（2大知识点+5大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握二次根式的双重非负性； 2．掌握二次根式的化简； 3．掌握复合二次根式的化简。 知识点一.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点二.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 考点一：利用二次根式的性质化简 例1．化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式化简性质，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据二次根式化简性质即可作答． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1-1】已知，则（   ） A． B． C．10 D．100 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的定义，二次根式的性质，解答此题的关键是掌握算术平方根和平方互为逆运算．直接根据算术平方根的定义与二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 【变式1-2】化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质，准确进行计算，是解此题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-3】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质． （1）根据二次根式的性质求解即可； （2）根据二次根式的性质求解即可； （3）根据二次根式的性质求解即可； （4）根据二次根式的性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 考点二：数轴与二次根式的化简 例2.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．观察数轴可得，从而得到，再根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴． 故选：A 【变式2-1】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 【答案】C 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简算术平方根，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：C． 【变式2-2】已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 【答案】 【分析】根据数轴判断、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．本题考查实数与数轴，化简绝对值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【详解】 解：由数轴可知：，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式2-3】在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数轴，绝对值，立方根等知识点，由数轴得，，，，进一步得出，，再根据算术平方根、绝对值、立方根的定义计算即可，解题的关键是熟练掌握这些知识点． 【详解】由数轴得，，， ∴，， ， 故答案为：． 【变式2-4】实数，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，立方根；先由数轴得出，则，，再化简，然后合并同类项，即可作答． 【详解】解：由数轴得，， 则，， ． 【变式2-1】 【变式2-2】 【变式2-3】 考点三：利用二次根式的性质化简含未知数的式子 例3.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式3-1】把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 【变式3-2】已知，则化简后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3-3】已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：1． 【变式3-4】在下列条件下化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了化简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可； （2）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可； （3）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可； 【详解】（1）解：． 当时，， 原式． （2）当时，， 原式． （3）当时，， 原式． 考点四：复合二次根式的化简问题 例4.下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式4-1】化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 【变式4-2】化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式4-3】观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成＝叫复合二次根式的化简，请化简＝ ． 【答案】﹣． 【分析】将12拆成，再利用完全平方差公式：即可得． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式化简二次根式，熟记公式是解题关键．另一个重要的公式是平方差公式：，这是常考知识点，需重点掌握． 【变式4-4】阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． 考点五：利用二次根式的性质计算 例5.计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握乘方运算，二次根式的性质是解题的关键，根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-1】计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂，二次根式，零指数幂，绝对值的性质及运算法则进行计算即可得出答案 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，二次根式化简，零指数幂，化简绝对值等知识点，熟练掌握相关知识点及其运算法则是解题的关键． 【变式5-2】计算：. 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别化简二次根式，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，以及立方根，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-3】计算：． 【答案】12 【分析】此题主要考查了实数的运算及二次根式的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】原式， 【变式5-4】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可． 本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 1．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 3．已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的性质，由题意可得，，再由二次根式的性质和绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 4．已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式； 故选：A 5．已知，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，化简二次根式，先根据完全平方公式得到，，则，再由得到，则． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由图示可得：且，则， 所以 ． 故答案为． 7．若满足等式，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得到一元一次方程，进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 故答案为：2022． 8．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案． 【详解】解：原式， 均为正整数， 的最小值为1，此时m最小值为5， 的最小值为． 故答案为：5． 9．设，则与最接近的整数是 ． 【答案】2025 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，即可求解． 【详解】解：∵n为任意正整数， ∴ ． ． ∴与S最接近的数是2025． 故答案为：2025． 10．形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据题目给出的方法结合完全平方公式将转化为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．    【答案】． 【分析】本题考查了整式的加减，二次根式的性质，由二次根式的性质进行化简，再根据数轴分别判断，，的正负，去掉绝对值，最后合并同类项即可，掌握知识点的应用解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，，， ∴ ， ． 12．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质化简，熟练掌握运算法则和正确化简是解题的关键． （1）分别计算乘方，立方根和算术平方根，再进行加减计算； （2）根据二次根式的性质化简，化简绝对值和零指数幂以及立方根，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：，，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 的算术平方根是． 请根据上面的方法化简下列式子： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键． （1）将7分成，利用完全平方公式即可求出结论； （2）由（1）可得，整理得，再将12分成，利用完全平方公式即可求出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 【答案】；； 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解； （3）根据题目所给方法，得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可； 【详解】（1）， 故答案为：； （2） ， （3）， 又， ∴， 上式， ， 故方程为， 解得：． 15．阅读材料：数学课堂上，老师提出问题：“如图，已知的三边的长度分别为，，，请计算的面积．” 同学们通过观察、猜想、讨论、实验等方法，发现有以下两种求面积的方法： 方法一：如果的三边长分别为a，b，c，设p为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法二：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积，具体过程如下： 解：过点A作于点D， 则， 设，则，…．… 解决问题： (1)按“方法一”求的面积； (2)补全“方法二”的解答过程． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据勾股定理列出关于的方程． （1）按照“方法1”的思路，先求出的值，然后再代入数据求出的面积即可； （2）按照“方法2”的思路，先求出的长，再利用三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：过点作于点， 设，则， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$