训练18 向量数量积的运算律-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

a)AB.BC--BA.BC=-5X4×4=-16 :14,解(1)如图所示， (2)1ACIcos(AC,-ACAB 5 ABI 5 ,BC·AB-BA·BC (3)ABlcos(AB,BC)= BCI IBC D 根据平面向量数量积的定义可得 4 DE·CB=DE·DA=|DEDAIcos 0. 9.解：正方形ABCD的边长为2，点E为BC边的中点， 由图可知，|DE引cos8=|DA ,AE=5 因此DE·CB=1DA|-1. :AF·AE=5, (2)DE.DC=IDE DClcos a=DElcos a. ∴AF在AE上的投影的数量为5.如题困所示，连接EF, 由两个向量数量积的几何意义可知EF⊥AE. 而DElcos a就是向量DE在DC上的投彩的数量， 由E是BC中点， 当DE在DC上的投影的数量最大，即投影的数量为 易知点F是意近C点的回等分点一-昌 DC时，DE·DC取得最大值， 10,解析e在e2上的授影是一个向量，故①不正确.e· 所以DE·DC的最大值为1. e=el|ecos(e,e)=cos0,故②不正确.e=e, 训练十八向量数量积的运算律 =1,e=e=1,故③正确.如 图所示，设AB=e,AD=e,作平 1.解析如图，a·b=ab1cos(a,b)=1×1×cos120°= 行四边形ABCD,则ABCD为菱 2 形.则AC=e十e,DB=e一e: :AC⊥DB,∴.(e十e)⊥(e,-e),故④正确. 答案B 11解析：1a-b|≤a+b1≤a+b1,∴a+b =1,la+b1n=3. 答案13 12.解析a在b方向上的投影的数量为acos(a,b)=4×: b.e=1belcos(b.e)-1X1Xcos 120-. cos30°=25. ea-lellalcos(e.a)=1X1x0120 答案25 13.解如图，连接AD,周为AB=AC-4,∠BAC=90°， 所以a·b-b·c+c·a=-2 所以△ABC是等腰直角三角形.又D是边BC的中点， 答案A 所以AD⊥BC,∠ABD=45°， 2.解析因为向量a与b的夹角为60°，|b=4,(a十2b)· 所以BD=22. (a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72,即a 延长AB到E,则AB与BD的 -a1bcos60°-61b1=-72.所以a°-21a-24= B D 央角为 0,解得a=6或a=一4（舍），故选C. ∠DBE=180°-45=135. 答案C 3.解析因为a,b为单位向量，a十b|=1,所以a°+2a·b (1)AB在BD方向上的投影的数量为 +b-1,得2a·b=-1,所以|a-b|=√(a-b) Aic0s135=4×(-号）=-22. 、a-2a·b+b=￥3.设a-b与c的夹角为0，则(a- (2)BD在AB方向上的投影的数量为 b)·c=|a-b|lelcos0=3cos0,cos0∈[-1,1]， BDicos135'=22X(-号）=-2 (a-b)·c的取值范国为[-55]. 答案C 69 4.解析：a·(a+b)=a2十a·b=5+(-6)=19, 则可知，a和b的夫角为行，B正确：a+b=a十b a+b1=/a+2a·b+b=5+2×(-6)+6=7, →a+b12=(a+1b|)°→a·b=al|b|→(a,b)=0, ..cos(a.a+b)-a.(a+b)_1919 1a11a+b5X7=35 则a与b同向，C正确：若a·b<0,则a和b的夹角为 答案D 钝角或者π，D错误，故选ABC 答案ABC 5.解析对于A,由1a十b=√3，得a十2a·b十b=3,因 为a=1,b=2,所以1十2a·b十4=3，得a·b=一1， 1山，解析国为a,b,e均为单位向量，且a·b=0.(a-c)· (b-c)≤0，所以a·b-c(a+b)十c≤0，即c(a十b) 所以A正确：对于B,因为(a+b)·(a一b)=a2一b=1 ≥1， 一4=-3≠0，所以(a十b)⊥(a一b)不成立，所以B错误： 对于C,因为a·b=一1，所以|ab cos(a,b》=一1.因 所以a+b-c=、(a+b-c 为a=1.b=2,所以c0sa,b=-2周为a,b∈ =/a+b+c+2a·b-2e·a-2b·c =√3-2c·(a+b)≤√3-2=1. [0],所以a,b-要所以C正确：对于D.国为a- 答案AB 12.解析国为M.N分别为线段BC上的两个三等分点， 1,b=2,a·b=-1,所以a-b=√a-2a·b+b= √+2十4=√7，所以D正确，故选ACD. 所以AM=AB+BM=AB+合BC=AB+合(AC 答案ACD a-号a+号ac.AN-ac+C=AC+C- 6.解析因为向量a=e,十2e,b=4e,所以a·b=(e:十 2e)·(4e)=4e+8e,·e,=4le,+8 le,lle,|cos(e, C+吉店-A0-号+号C所以A不- e),又因为单位向量e,e的夹角为120°，所以a·b=4 (保AB+A⊙)·（信AB+号）=号A店+号A店 +8os120=4+8×(←号）=0， ·AC+号AC-号AB+号ABACIcsA+号 9 答案0 7.解析因为a十b十c=0,所以c=一(a+b).又因为a AC=号×2+号×2X1XcsA+号×1P=9十 9 b,所以a·b=0,则|c2=[-(a十b)]=a°+b+2a·b =5. 吕osA=号，所以cosA=-言又A∈(0x,所以A 答案5 8.解(1)设a与b的夹角为0， 由已知得13a-2b12=7,即9a2-12a·b+4b=7, 因此9-12a·b十4=7， 得a:b=号于是ms0=8论=之 a1b2· 答案C 故0=子，即a与b的夹角为子 13.证明设CD=a,DA=b,则CA=a+b,DB=-b. (2)由2a+3b1=√(2a+3b)=√4a+12a·b+9b= 于是CB=a一b. √4+6+9=19. CA·CB=(a+b)·(a-b)=a-b. 9.解(1)图为1a=2b=2,所以a=2,1b=1. 因为CD-号AB,所以CD=DA 又a在b方向上的授影的数量为acos0=-l, 又0e[0,x]. 因为a2=CD,b=DA°， 所以00=一日，所以0-要 1 所以CA·CB=0,因此CALCB 于是△ABC是直角三角形. (2)(a-2b)·b=0·b-2b=-1-2=-3. 14.解(1)：AB=CB-CA.且CB=4.CA=1.CB·CA (3)因为a十b与a一3b互相垂直， =2×1×cos60°=1， 所以(a+b)·(a-3b)=a-3a·b+b·a-3b=0. 所以认+3以-1-3=7-4=0，所以= .AB-ICB-CAI-(CB-CAY 10解析a=b=a一b,a,b,a一b构成等边三角形， CB-2CB·CA+CA=3. A正确：a=|b=|a十b由向量加法的平行四边形法 70 (2)假设存在非零实数A,使得AE⊥CD 因为DA·OB=(a,3a)·(3a,3a)=3a”+9a=12a°= 由AD=AAB,得AD=A(CB-CA). 12,所以a=1. :.CD=CA+AD=CA+(CB-CA)=CB+(1- 对于A,1OA|=3a=3,所以A正确：对于B,|OE1 DCA. ,+1下=√2，所以B错误：对于C,AO·C℉=(0，一3) .EB=CB...AE=AB+BE=(CB-CA)+(-CB) ·(-3,-1)=3,所以C正确：对于D,DA·DF=(1,3) ·(1,一1)=一2，所以D正确，故选ACD. =(1-1)CB-CA, 答案ACD ∴AE·CD=X1-X)CB-ACA·CB+(1-A)CB·6.解析图为a=(0,m),b=(m,1)且a·b=1,所以0×m CA-(1-)CA 十1×m=1,解得m=1,所以b=(1,1),所以1b= =4(1-1)-A+(1-1)3-(1-)=-3x+2以=0， +1下=√2， 解得A=子或入=0（不合题意，合去） 答案√② 7.解析因为向量a=(3,4),b=(x,1),所以a一b=(3一 即存在肆零实数X=号，使得A正LD x,3).因为(a-b)⊥a,所以(a一b)·a=(3一x,3)·(3, 4)=9一3x十12=0，解得x=7. 训练十九向量的坐标与向量的数量积 答案7 1.解析因为A,B的坐标分别为(2，一a),(4,a+2),所以8.解(1)由已知得a·b=allblcos60°=3， OA=(2,-a),OB=(4,a+2),所以OA·OB=8-42- 所以a+b1=/(a+b)=√a+b+2a·b=v19. 2a=-(a十1)'+9≤9. (2)因为a一b与a十3b垂直，所以(a一b)·(a十3b)= 答案B 0,即x02+(3x-1)a·b-3b=13r-30=0,所以x 2.解析a=(2.1).∴a=、②+1下=5.又cos(a.b) -8合a6=4.b-2imsa,b=石文g25 5×25·9.解(1)由a∥b,得2×3-1×x=0, 故选A. 所以x=6,即b=(6,3), 答案A 由a⊥c,得2×y十1×2=0，所以y=-1,即c=(-1,2). 3.解析因为向量a=(1,m),b=(3.一2)，所以a+b=(4, (2)由(1)，得m=2a-b=2(2,1)-(6,3)=(-2,一1)， m-2).又(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=3×4+(-2)×: n=a十c=(2,1)十(-1,2)=(1,3)， (m一2)=0，解得m=8. 所以m·n=(-2)×1十（一1）×3=一5， 答案D m=√(-2)+(-1)=5，n=、+3=,10. 4.解析因为向量a=(2,0),b=(1,1),即a=2,b= m·n -5 √2.A不正确：a-b=(1,-1),而-1×1≠1×1.即a-b 所以c0s《m,n》= mn5x0=-乞xe[0,], 与b不共线，B不正确：而a一b=(1,一1)，则1×1十 (-1)×1=0,(a-b)⊥b,C正瞻：cos(a.b》= 所以向量m,n的夹角为要 V2+0+T=兰，又0≤(a,b≤，于是得a.b) 2×1十0X1=2 10,解析如图：以A为原点，建立知图的平面直角坐 标系， 于，即a与b的夹角为平，D正确， 答案CD 5解析如图建立平面直角坐标系， B 因为0C+3OD=0. 所以(OC=30D. 因为四边形ABCD是矩形，AB=3,AD=1,AB 设OD=a(a>0). 则A(0,3a),O0,0), 3AE. B(3a,3a),D(-a,0), 则B(3,0),D(0,1),C(3,1),E(1,0), C(3a,0). 则BD=(-3,1),CE=(-2,-1), 71训练十八向量数量积的运算律 6.已知两个单位向量e1,e2的夹角为120°，且 基础练/学考调评 向量a=e1十2e2,b=4e1,则a·b= 1.已知等边三角形ABC的边长为1，若BC= 7.设a,b,c满足a十b+c=0,且a⊥b,|a|= a,CA=b,AB=c,则a·b-b·c+c·a 1,|b=2,则1c2= 等于 8.设向量a,b满足|a=|b=1,且|3a-2b A-司 R号 =√7. c.- (1)求a与b的夹角： (2)求|2a+3b1的大小. 2.(2022·大冶高一月考)若向量a与b的夹 角为60°，|b=4,(a+2b)·(a-3b)= -72,则|a= A.2 B.4 C.6 D.12 3.已知a,b,c均为单位向量，且a十b=1,则 (a一b)·c的取值范围是 () A.[0,1] B.[-1,1] 9.已知a=2b|=2,且向量a在向量b方向 C.[-3,3] D.[0,√3] 上的投影的数量为一1. 4.已知向量a,b满足1a=5,|b|=6,a·b= (1)求a与b的夹角0： -6,则cos(a,a十b)= ( (2)求(a-2b)·b: A-8 R号 (3)当入为何值时，向量Aa十b与向量a一3b 互相垂直？ c品 n是 5.(多选)已知向量a,b满足|a=1,|b|=2, |a十b=√3，下列说法中正确的有() A.a·b=-1 B.(a+b)⊥(a-b) C.a与b的夹角为智 D.|a-bl=√7 33 ◆高中数学·必修第三册(RJB) 能力练了赶移海周 创新练了素能培优 14.(2022·金安高一月考)如图，在△ABC 10.(多选)设a,b是两个非零向量，下列四个 命题为真命题的是 () 中，已知CA=1,CB=2,∠ACB=60° A.若|a=|b1=|a一b,则a和b的夹角 (1)求|AB|: (2)已知点D是AB上 为5 一点满足AD=入AB,点 B.若|a|=|b1=|a+b|,则a和b的夹角 E是边CB上一点，满足 B 为跨 EB=ACB.是否存在非零实数入，使得AE C.若|a+b|=|a|+Ib|,则a和b方向 ⊥CD?若存在，求出入的值；若不存在，请 相同 说明理由. D.若a·b<0,则a和b的夹角为钝角 11.(多选)若a,b,c均为单位向量，且a·b= 0,(a-c)·(b一c)≤0，则|a+b-c|的值 可能为 () A.√2-1 B.1 C.√2 D.2 12.在△ABC中，|AB=2|AC=2,M,N分 别为线段BC上的两个三等分点，若AM· AN=号，则角A为 A. B晋 c D.君 13.如图，CD是△ABC的中线，CD=2AB, 用向量方法证明△ABC是直角三角形. 34