训练16 两个向量的夹角和向量数量积的定义-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

训练十六 两个向量的夹角和向量数量积的定义 8.已知a=4,|b=5,当(1)a∥b.(2)a⊥b, 基佛练/学考测评 (3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的 数量积. 1.已知□ABCD中，∠DAB=60°，则AD与CD 的夹角为 A.30° B.60° C.120 D.150 2.已知|a=9,|b1=6√2，a·b=-54,则 a与b的夹角0为 A.45 B.135 C.120 D.150° 9.已知正三角形ABC的边长为1，求： 3.在△ABC中，AB=a,AC=b,当a·b<0 (1)AB·AC: 时，△ABC为 (2)BC·AC. A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.已知a=1,b1=2,a与b的夹角为号，则 a·b= A.1 B.2 C.3 D.4 5.在△ABC中，若AB·CA>0,则ABC的形 能力练了疑移运用 状为 10.已知平面上三点A,B,C,满足|AB|=3, A.锐角三角形 B.钝角三角形 BC=4,|CA=5,则AB·BC+BC· C.直角三角形 CA十CA·AB的值为 () D.无法判断 A.-7 B.7 6.若a=b=|a-b1=r(r>0),则a与b C.25 D.-25 的夹角为 11.已知在△ABC中，AB=AC=4,AB·AC 7.在△ABC中，|AB1=13,|BC=5,|CA| =8,则△ABC的形状是 ,AB· 12,则AB·BC的值是 BC= 29 ◆高中数学·必修第三册(RJB) 12.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期： 创新练美能路优 的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公 讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九 14.在△ABC中，O为中线AM上的一个动 章算术》也有记载，所以，商高比毕达哥拉 点，若AM=2,求OA·(OB+OC)的最 斯早500多年发现勾股定理.现有△ABC 小值. 满足“勾3股4弦5”，其中AB=4,D为弦 BC上一点（不含端点），且△ABD满足勾 股定理，则AB·AD= 13.如图，已知△ABC是等边 三角形 (1)求向量AB与向量BC的 夹角： (2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的 夹角. 30(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 训练十六两个向量的夹 故号-7-1=6：所以T=12 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A 角和向量数量积的定义 73.0-21.4=51.6,所以A=25.8. L.解析 如图，AD与CD的夹角为∠ABC-120°. (3)图为x=月份一1，所以不妨取x=2-1=1,y 26.0. 代入①，得齐-器81≠ms吾：故D不道合， 代入@，得16_26,046<0≠60晋，故②不追合， 答案C A 25.8 代入@，得0<二15=26.0-46<1，所以③适合所以2.解析“0s0= a·b =-54 -A -25.8 ab 9x62 =-且0<0 ③最适合这些数据 180°..0=135. 14.解(1)如图所示，标出点M与点N,设h=Asim(十)十 答案B k(k≥0)， :3.解析因为a·b=|AB1|AC1cos(AB,AC)<0,所以 根据题意可知，OM=1,ON=OP。=2,所以∠OP。M= c0s(AB,AC)<0,所以(AB,AC)>90°.故△ABC为纯角 ∠NOP,=吾 三角形 根据函数h=Asin(amt十g)十(t≥0)的物理意义可知A: 答案C =0P,=2k=19=-音 4.解析a·b=1×2Xcos牙=1，故选A. 3 又周为函数h-2sin(o1-晋)十1(>0)的最小正同期 答案A 5.解析因为AB.CA>0,所以AB.CA=AB·C 为T=4, cos(r-∠CAB)>0.即cOs(π一∠CAB)>0,所以 cos∠CAB<0,图为∠CAB∈(0，π)，所以∠CAB∈ 所以可得h=2sin(受1-音）十1≥0. (受，)小即∠CAB为能角，故三角形为能角三角形：故 yt 选B. 答案B 6.解析作OA=a,OB=b,则BA=a-b,∠AOB为a与b 的夹角，由a=|b=a一b知△AOB为等边三角形， 则∠AOB=60°. (2)根据道意可知，h=2sin(受1-若)十1>2， 即n(受-吾)》> 答案60 当水轮转动一图时，t∈[0,4们： 7.解析 易知IABF=|BCI 可得吾∈[-] +1CA1, C=90,c0sB=3 5 所以此时<受一< 解得号<<2， '.cos(B BC)=cos(180-B)-cos B 又周为2一号=音（秒），即水轮转动任意一调肉，有 AB.BC=1AB11BC1c0s(180°-B)=13X5× 专书的时间点P距水面的高度超过2米。 ()=-25. 答案一25 67 8.解(1)a∥b,若a与b可向，剩0=0°， :14,解设OM=tAM,0≤1≤1， 所以a·b=abc0s0°=4×5×1=20： 若a与b反向，则0=180°， 则OB+OC=2OM=21AM, 所以a·b=a|bc0s180°=4×5×(-1)=一20. OA-OM+MA=IAM-AM-(-1)AM. (2)当a⊥b时.8=90°.所以a·b=a|b1cos90°=0. (3)当a与b的夹角为30时，a·b=alblcos30°=4× ∴OA·(0B+OC)=2(t-1)1AM=8(t-1)1=82 5x号-106 81=8-2）广-2. 9.解(1)：AB与AC的夹角为60° ∴当1=时，0A·(0B+0C)有最小值-2. AB:AC-AB1 ACo60=1X1x号-号 训练十七向量的投影与 (2),BC与AC的夹角为60°， 向量数量积的几何意义 .BC.AC-IBCHIACIcos 60-1X1X :1.解析根据投影的数量的定义，设a,b的夹角为0，可得 10.解析由条件知∠ABC=90°，所以原式=0十4× 5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)=-20cosC- 向量a在b方向上的投影的数量是acos0=a:b b 15cosA=-20×号-15×号=-16-9=-25. 一4，故远A 答案A 答案D 11,解析AB·AC=|AB1|AC1cOs∠BAC,即8=4× 2解析设a与b的夹角为0，：acos0= 2 4cOs∠BAC.于是c0s∠BAC=,周为0<∠BAC< ab=alb1oms0=3x是-是 180°，所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等边 答案B 三角形.此时AB·BC=|AB1|BC1cos120°=-8. 3.解析a=8,e为单位向量，且(a,e)=号，由投影的 答案等边三角形一8 12.解析由题意知AB=4,AC=3,BC=5.∠CAB=受· 数量的定义得acos(a,0)=8×号=4，a在0方向上 的投影的数量为4. :△ABD满足勾度定里，AD1BC,Sm=号AB 答案B ·AC=BC·AD,则AD=ABAC=3X4=是 :4.解析由数量积的几何意义知a·e=ella cos0=1× BC 5 5· (-2)=-2. 12 答案B 又o∠DAB-铝-享-号店.A心-=A·五解折猴题高a1 Icx(.b)=-6ab-是 -6 dio∠DAB=4X号×号-岩 -2又0≤a.b≤180a.b=120 1 答案岩 答案C 6.解析因为{a=2,b=10,a与b的夹角为45°，所以向 13.解(1)：△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°： 量b在向童a方向上的教影向量为b1cos45日=10X xg-5y2。 乞X2=2,所以向量b在向量a方向上的投影向量 的模为5√2. 答案5、2 7.解析设a与b的夹角为0，，a·b=16,∴，abcos0 D =16.又，a在b方向上的投影的数量为4，.a·cos0 如图，延长AB至点D,使AB=BD,则AB=BD, =4,∴.b=4. ·∠DBC为向量AB与BC的夹角. 答案4 ∠DBC=120°，∴向量AB与BC的夹角为120， 8.解|AB1=5,BC1=4.AC1=3. (2),E为BC的中点，.AE⊥BC, ∴△ABC为直角三角形，且C=90 ∴.AE与EC的夹角为90. ∴osA-6-号msB=%-告 68