8.1.2 向量数量积的运算律-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修第三册(RJB) 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.已知a=5,b在a上的投影的数量为6，则： lal= b·a : 4.在△ABC中，若AB在BC方向上的投影的数 2.若a=3,b=5且(a,b)=45°，则a在b上 量为正，则△ABC的形状是 的投影的数量为 3.已知e为单位向量，a与e之间的夹角是 提示请完成《素能提升训练》训练十七 120°，而a在e方向上的投影向量为一2e,则 8.1.2 向量数量积的运算律 [学习任务] 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 自主学习探新知 课前预习双巷落实 知识点平面向量数量积的运算律 续表 1,平面向量数量积的运算律 多项式乘法 向量数量积 (a+b)(u-b)=a-b (a+b)·(a-b)= 运算律 实数乘法 向量数量积 (a+b+c)2=a2+b+c2+ (a+b+e)2=a2+b+c2+ 交换律 ub=hu a·b=b·a 2ab+2he+2ca 2a·b+2b·e+2e·a 结合律(aa)·=a·(xb)(a)·b=a·(b)=(a·b) (a十b)c=ac+r。 (a+b)·c= 赵微练习 分配律 (a-b)c=ac-be (a-b)·c L.已知向量a和b的夹角为120°，且|a=2, 1b=5,则(2a-b)·a等于 () 2.平面向量数量积的运算性质 A.12 B.8+/13 类比多项式乘法的乘法公式，写出下表 C.4 D.13 中的平面向量数量积的运算性质。 2.已知单位向量a,b的夹角为60°，ka一b与b 多项式乘法 向量数量积 垂直，则k的值为 () (a+b)2=a+2ab+6 (a+b)2= A.2 B号 (a-b)'=a'-2ab (a-b)= c号 n 互动探究解疑难 要点归纳重难突碳 探究一 数量积的运算 : (3)(2a-b)·(a+3b). [例1门已知a=2,|b|=3,向量a与b的夹 角为120°，求： (1)a·b: (2)a2-b: 52 第八章向量的数量积与三角恒等变换 I川规律方法川 。跟踪训练 求向量的数量积时，需明确两个关健点：相关向量 2.(2022·邯郸开学考试)已知非零向量a与b 的模和夹角.者相关向量是两个或两个以上向景的线性 运算，则霜先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的 满足a=3b,且a+2b1=2a-2b1,则向 相关公式进行化箭. 量a与b的夹角的余弦值是 13 ☑跟踪训练 Λ.一20 B.2o 1.已知a=2,|b=4,a与b的夹角为60 c.- n号 (1)计算a·(a+b)的值： (2)若a·(a一b)=0,求实数k的值. 3.若向量a,b满足a=1,|b=2,(2a+b)⊥ b,则a,b的夹角为 () A牙 B等 c号 D.开 探究三 求向量的模 [例3] (1)已知向量a,b的夹角为120°，a =1,b=5,则3a-b等于 () 探究二向量的夹角与垂直问题 A.7 B.6 例2](1)设a,b是非零向量，满足a-b1= C.5 D.4 1a,a·(a一b)=0,则a一b与b夹角的大小 (2)(2022·滁州高一期末)设单位向量a与 为 ( 非零向量b的夹角是红，且a-b=3a, A.45 B.60 则|a一b的最小值为 C.120° D.135 (2)(2022·九江高一月考)已知非零向量a, A号 B号 b满足4a=3b,a与b夹角的余弦值为 C.2 D.1 3,若(m十b)⊥b则实数x= ( 川规律方法川 1,求向量的模的常见思路及方法 A.-4 B.-9 4 (1)求模问题一般转化为求模的平方与向量的数量 积联系，并灵活应用a=a,勿忘记开方. C.4 n是 (2)a·a=a■a2或a■a,此性质可用来求 向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化， 川规律方法川 (3)一些常见的等式应熟记，如(a士b)=a土2a·b +b,(a+b)·(a-b)=a3-b等. 求向量夹角的基本步骤及注意事项 2.求向量棋的最值时，一般需将模平方，转化为向句 (1)步聚： 量的数量积，研究数量积在同向成反向时取最值，亦可 结合图形，直观分析取得最值的位置。 计算a·b及1al,l81 计第cos9= 跟踪训练 4.已知向量a,b满足a=2,b1=3,a·b= 借助0∈0，π]求出0值 -3,则1a+3b= (2)注意事项：在个别含有|a,b与a·b的等量 A.√65 B.√66 关系式中，常利用消元思想计算c0s日的值， C.67 D.217 53 高中数学·必修第三册(RJB) 5.已知平面上的两个单位向量a,b满足a·b= 川规律方法川 5,若m∈R,则a十mb的最小值为( 4 利用向量的致量积运算可以解决与长度，垂直，平 行等有关的几何问题，其解题的关键在干把其他语言转 A 化为向量语言，用向量表示问题中所沛及的儿何元素， 号 将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的数量积 求解， n号 跟踪训练 探究四利用数量积解决平面几何中的证明问题 :6.如图所示，已知四边形 [例4]在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB= ABCD是菱形，AC与BD AC,E,F分别为边AB,BC上的点，且AE- 是两条对角线.求证：AC EB,2BF=FC.求证：CE⊥AF. ⊥BD. 随堂巩固促应用 险证反馈迁移运用 1.已知a,b是单位向量，以下命题正确的是 3.已知a,b均为单位向量，若|a一2b=3,则 ( 向量a与b的夹角为 () A.a·b=1 A晋 B骨 B.a·b=a|b C.a·b=b·a c跨 D.晋 D.若a∥b,则a=b 4.已知平面向量a,b满足a=2,b=1,a,b 的夹角为120°，且(a十b)⊥(2a一b),则实数 2.已知向量a,b的夹角为60°，|a=2,b=1, A的值为 () 则a+2b1= ( A.-2 B.-3 A.2 B.32 C.2 D.3 提示请完成《素能提升训练训练十八 C.23 D.12 54“向量BA在向量BC方向上的投影的数量为 所以a=4. 答案4 BAlcos∠ABC=23Xcos吾=3. 4.解析因为AB在BC方向上的投影的数量为正，即AB与 [答案](1DC(2)C 跟踪训练 BC的夹角为锐角，所以∠ABC为纯角，所以△ABC为钝 1.解析向量a在向量b方向上的投彩的数量为aeos120° 角三角形 =2x(2）=-1 答案D 2.解析设两个向量的夹角为0，则1acos0=|bcos8,从 答案纯角三角形 而c0s0=0,因为0e[0,].故0=受，所以a-b1 8.1.2向量数量积的运算律 a+b=/10. 【自主学习探新知】 答案A 知识点1.a·c+b·ea·e-b·c2.a+2a·b十b 探究二 a-2a·b+ba2-b [例2][解析]设a,b的夹角为0，因为a·b=4b: 微练习 10s0≥0，所以b1≥可≥号，由向量形式的三1.解析 10、5 (2a-b)·a=2a-b·a=2×4-2×5× 角不等式得，a-2b1≥11a1-2b11=|21b1-4|≥ （-号)）=13，故选D 2x号-4=1 答案D 2.解析，a一b与b垂直，∴.(a一b)·b=ka·b-b=k [答案]A ×1×1×c0s60°-1=0，解得k=2. 跟踪训练 答案A 3.解|a-|b|≤a-b≤a+|b, .1≤a一b≤7，即a一b1的取值范国是[1,7门. 【互动探究解疑难】 探究三 探究一 [例3][解]由向量数量积的几何意义可得 [例1门[解](1)a·b=a|1bcos0=2×3×cos120°= -3. 10A,=0A1co0i,W=ios60=5x号-号 (2)a2-b=laP-b1=4-9=-5. (2)OB,=|OB|cos(OB,1)=5cos 120"=5(-cos 60")=5 (3)(2a-b)·(a+3b)=2a+5a·b-3b=8-15-27= -34. ×(-2)- 跟踪训练 跟踪训练 1.解(1)a·(a+b)=a+a·b=4+2×4×cos60°=8. 4.解a在e方向上的投影的数量为alcos 0. (2)a·(a-b)=0,即a2-a·b=4-k×2×4×c0s60 当0=60°时，a在e方向上的授影的数量为|a1cos60 =4一4k=0,.k=1. =3: 探究二 当0=90°时，a在e方向上的投影的数量为|al cos90°：[例2][解析](1)令c=a一b.则c=a,a·c=0.则 =0: b=a-c. 当0=120时：a在e方向上的投影的数量为acos120=一3 cos a-b,b)cos c,a e)=fctac= 【随堂巩固促应用】 1.解析b·a=a|b1cos0=5×6=30. a·c-c =2 lcl·/a-2a·c+e -7,则(a-b,b=135 答案30 2.解析由投影的数量的概念知acos(a,b》=3×cos45° (2)由4a=31b|可设b=4t(>0),则a=3. =32 图为(a十b)⊥b,所以(xa十b)·b=xa·b十|b=x× 2 3×4X号+41×41=(4x+16)1=0.又>0，所以x= 3 答案3② -4. 2 3.解析因为a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的 [答案](1)D(2)A 投影向量为-2e,所以acos120e=一2e 跟踪训练 2.解析因为a十2b=2a-2b, 所以-2a=-2, 所以a+4a·b+4b=4(a-4a·b+4b). 28 所以20a·b=3a2+12b, 跟踪训练 所以cos(a,b》= 3a+12b 20×ab1 6,证明由已知可得AC=AB+AD,BD=AD-AB, 又a=3b, 所以AC·BD=(AB+AD)·(AD-AB) 39b 13 所以c0sa,b>=20×3bb20' =1AD2-1AB. 所以口与b的央角的金孩值为品。 又因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD, 即|AB1=|AD,所以AC·BD=0, 答案B 3.解析因为(2a+b)Lb,所以(2a十b)·b=0,即2a·b+ 从而AC⊥BD,故AC⊥BD 6=0.设a,b的夹角为0，则2a1bcos0+bF=0,将【随堂巩固促应用】 la=1,b=巨代入可得2√2cos0+(2)2=0,所以：1.解析因为a,b是单位向量，所以a=b1=1,a·b= a bcos(a,b)=cos〈a,b).因为向量a与向量b的夹角 cos 0=2 因为0C0,所以0=票，故选A 未知，故A,B均错误：若a∥b,则向量a=b成a=一b,故 答案A D错误：根据平面向量的运算律可知a·b=b·a,故C 探究三 正确.故选C [例3][解析](1)13a-b°=(3a-b)2=9a+b-6a· 答案C b=9aF+|b-6|a1bcos120°=9+5-6×5×2.解析a+2b=(a+2b)=a+4b+4a·b=1a2+ (一2）=9，所以13a-b=7,故选A 4b+4 c等=12，所以a+2b=25. (2)由a-b1=5a可得a-2a·b+b=3a. 答案C 且a·b=ab1cos经=一号alb1,代入上式可得a3解折由a一2b-,得a一2b=3, 即a2+4b-4a·b=3. =b|=1,所以|a-b|=√(a-b)F= 设单位向量a与b的夹角为8，则有1十4一4cos8=3, √a-2a·b+1b=T+1+1= √+)+， 解得cos0=又0长[0，，所以0=子 当且仅当1=一立时.旧-b取最小值，为受 答案B 4.解析因为a=2,b=1,a,b的夹角为120°.所以a· [答案](1)A(2)B b=2×1×cos120°=一1.又因为(a+ab)L(2a-b),所 跟踪训练 以(a+b)·(2a-b)=0,即2a+(2x-1)a·b-b2=8 4.解析因为a十3b=a十9b十6a·b=2十9×3十6 -(2入-1)-1=0，解得1=3. ×(-3)=67,所以a+3b=67. 答案D 答案C 8.1.3向量数量积的坐标运算 5.解析|a+mb1=√(a+mb)=√a+2na·b+mb =√什m+m=1(+号)+，所以m= 9 第1课时向量的坐标与向量的数量积 时，a十d取得最小值号 【自主学习探新知】 知识点一(x,y)(.x,y) 答案D 知识点二x,x十y 探究四 微练习 [制灯[证明周为正-+正-一C+号。 1.解析 因为a=（-是3）小b=（-2,号），所以a…b A正-AB+萨-A+号胶-A福+专aC-A ×(-2)+3×号-2 1 答案C 2.解析周为向量a=(3,m),b=(2,一3)，且a⊥b,于是得 由AB·AC=0且|AB=ACI, a·b=6一3m=0,解得m=2,所以实数m的值为2. 得CE,AF-(-Ac+AB)·(号AB+AC 答案C -号A:-言AC:-号A店：AC=0, 知识点三(2)√(x一)+(y一y) (3)十y 所以CE⊥AF. √，+y√x+ 29