8.1.1 向量数量积的概念-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

若选②,f (1)-co(2×1-+-,所以 x (3)由xe,]→e--,]# 所以-2<f(x)<1,所以 {1 #<,#所以p-吾,所以(x)-cos(2+#. 所以c的取值范围为(4,十o). 若选③,#(-cos(2×+)--,所以 5.解析 f(x)的定义域为R. 跟踪训练 cos(+e)--1,+2-+2ka,ke2 f(-x)=sinl-xl+|sin(-x)l-sinlxl+lsinxl f(x),故f(x)是偶函数,①正确; -2- 2hr,h z,解得-+2kar,ez或-- g(x)=sinlx|=sinx在(2,x)上单调递减,h(x) lsinxl在(2,π)上单调递减,故f(x)=sinxl+|sinx 2k r,kEz又l pl,所以-,所以(x)=cos(2x+ 在区间(2,n)上递减,②错误; ). 当x[0,x]时,f(x)-2sinx,当x=0或π时, f(x)一0,结合函数f(x)是偶函数,故x=一n时, (2)将/(x)-cos(2x+吾)的图象上的各点的横坐标 f(x)-0,故f(x)在[一,]上有3个零点,③错误; g(x)=sinlxlE[-1,1],h(x)-lsinxl[o,1],则 变为原来的(纵坐标不变)得到y-cos(4x+吾). f(x)=sinlxl+lsinx|<2,且存在x-时,f(x)-2, 再将y-co(4xc+)向右平移个单位得到y- 综上,f(x)的最大值为2,④正确. ##-cos(4(-)+-cos(4-),即g(x)- 答案 ①④ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 # os{4--),令0+2kr<4-<x+2kr,k乙,解 #得40+6 乙 8.1 向量的数量积 即画数的单调减区间为[++],e_乙. 8.1.1 向量数量积的概念 因为xé(0,n),所以数g(x)=cos(4x-)在x 第1课时 两个向量的夹角和向量数量积的定义 (0,)上的单调减区间为[]#和13-19. 【自主学习探新知】 考点四 知识点一(1)乙AOB (2)0 (3)0”分 [例4][解](1)因为f(x)-2sin(2x-),所以f(x) 零向量 的最小正周期下-2-- 微判断 (1)(×)(2)(×)(3)() (2)令--+2kx<2x-<+2kr,ke乙. 知识点二1. allblcos(a,b) lallblcos(a,b) 实数 2.(1)lallbl (2)lal a·a 0 (3)a·b-o (4)lallbl -lallbl #当-时,-1<# 微思考 [提示1] 向量的线性运算结果是向量,而向量的数量积 所以当e[一,]时,(2)单调增。 运算结果是数量: [提示2] 由两个非零向量的夹角决定. 当0{}{0~90{}时,非零向量的数量积为正数。 得+6o1n66e乙. 当8-90{}时,非零向量的数量积为零. 当90{}{0180{时,非零向量的数量积为负数. 当-1时,7#,#以当[-] 【互动探究解疑难】 探究一 时,f(z)单调递减. [例1] [解] 上述3个命题中只有(3)正确 综上,当x 一,时,(x)在一,上单调递 对于(1),两个向量的数量积是一个实数,应有a·0-0 增,在[一-]上单调递减。 对于(2),应有0·a-0; 对于(3),la=|b-1→a^}=b^-1 26 跟踪训练 【随堂巩固促应用】 1.解析 ①②③正确. 1.解析 向量一a与一b的央角和a与b的夹角相等 答案 过C 为60{。 探究二 答案 A [例2] [解] 如图所示,作OA一a, 2.解析 因为向量a,b满足|al-2,|b-③,且(a,b OB-b,且/AOB-60{ 以OA,OB为邻边作平行四边形 OACB,则OC-a+b,BA-a-b. 因为a-b-2, 答案 C 所以平行四边形OACB是菱形. 3.解析 因为a与b是相反向量,所以lal一bl,且a与b 的夫角为180{,所以a·b=|al|blcos180-2$x2$ 又 AOB-60{,所以OC与OA的夫角为30{ (-1)--4. 答案 BA与OA的夹角为60{。 一4 即a十b与a的夹角是30{},a-b与a的夹角是60 →→ 4.解析 BA·BC=|BA | |BC cos ABC=2X$2$ 跟踪训练 Xcos45*-2. 2.解析 如图,作向量AD一BC,则 答案 2 BAD是AB与BC的夹角,在△ABC 第2课时 向量的投影与向量数量积的几何意义 中,因为C-90*,BC=- #AB,所以 【自主学习探新知】 ABC-60{,所以 BAD-120{。 知识点 1.(1)向量A'B’ 答案C (2)①相同lalcos(a,b)②o ③相反 探究三 一alcos(a,b)2. lalcos(a,b)数量 非负数 [例3][解](1)因为AD/BC,且方向相同,所以AD与 微判断 负数(lalcos(a,b))a在向量b上的投影的数量 BC的央角是0*}所以AD·BC=|ADl |BClcos0*}=3$3: (1)(×)(2)()(3)() X1-9. 【互动探究解疑难】 (2)因为AB/CD,且方向相反,所以AB与CD的夹角是 :探究一 -., [例1] [解析] (1)方法一:a在b的方向上的投影向量 $8 0*}所以AB·CD=|ABl |CDlcos180*-4×4X(-1 --16. - __ (3)因为AB与AD的夹角为60{},所以AB与DA的夹角 所以a在b的方向上的投影向量的模长为lv3bl一2/3 为120”. 故选C. __ 所以AB·DA-1ABllDAlcos120*-4X3X(-)--6. __ 方法二:lalcos 30*-4×-2、3. 跟踪训练 (2)如图,设点D为边BC的中点,连接AD 3.解 因为AB-6,AC-8,BC-10,所以AB+AC^$}=$ _→__→ __ BC^{③},所得A-90{},如图所示: '.AB+AC-2AD.又AB+AC __ -2AO...0.D重合. 又△ABC的外接圈的圆心为O, 0 .△ABC为直角三角形, C _, 又lOA|-|ACl-2. - -, 所以AC.AB-0. . AOC-. 语- __ - → → - 且|OAl=|ACl=OB = $OC =2 _ AB·BC-|AB| |BC cos(180*-B)=-|AB| |BC .BA|-2/3, --36. 且乙ABC-一, 27 所以al-4. '.向量BA在向量BC方向上的投影的数量为 答案4 1BA cos ABC-2v3Xcos -3. 4.解析 因为AB在BC方向上的投影的数量为正,即AB与 [答案](1)C(2)C 跟踪训练 BC的夹角为锐角,所以 ABC为钝角,所以△ABC为钝 1.解析 向量a在向量b方向上的投影的数量为alcos120* 角三角形. -2x(-)--1. 答案 D A 2.解析 设两个向量的夹角为8,则acosθ-blcosθ,从 答案 钝角三角形 而cosθ-0,因为θ[0,],故θ-吾,所以|a-b|= 8.1.2 向量数量积的运算律 a+-10. 答案A 【自主学习探新知】 探究二 知识点 1.a·c+b·c a·c-b·c 2.a+2a·b+b a-2a·b+b}a*-b} [例2] [解析] 设a,b的夹角为θ,因为a·b-4|b 微练习 lcos01 10,所以1bl4]c0,由向量形式的三 1.解析 (2a-b)·a-2a-b·a-2x4-2x5x (-)-13.故选D. 角不等式得,la-2b| |lal-2|b||-|2|b|-4| 2x-41-1- 答案 D [答案]A 2.解析 .'ha-b与b垂直,'.(ka-b)·b-ha·b-b-hb 跟踪训练 $×1x1xcos 60*-1-0,解得 -2 3.解 'lla-|bll<la-bl<lal+|b, 答案 A ..1a-b<7,即la-b的取值范围是[1,7] 【互动探究解疑难】 探究三 探究一 [例3] [解] 由向量数量积的几何意义可得 [例1] [解] (1)a·b-lal|blcosθ-2x3xcos 120* -3. $)-b-|al-b-4-9--5. ($2) B -OBlcosOB.-5cos 120*-5(-cos 60{*})-$ ($3) (2a-b)·(a+3b)-2a{}+5a·b-3^$}-8-15-27= ##(-))--.# -34. 跟踪训练 跟踪训练 1.解 (1)a·(a+b)-a+a·b-4+2×4×cos 60*-8. a在e方向上的投影的数量为lalcos8. 4.解 ($)a·(a-hb)=0,即a'-a·b-4-x2x4×cos 60” 当8-60{时,a在e方向上的投影的数量为|alcos60{ -4-4-0...b-1. -3: 探究二 当8-90时,a在e方向上的投影的数量为lalcos90:[例2][解析](1)令c-a-b,则lcl-al,a·c-0,则 -0: b-a-c. 当0-120{时,a在e方向上的投影的数量为lalcos120{--3. □ cos(a-b,b)=cos(c.a-c)= 【随堂巩固促应用】 1.解析 ba-lallblcos θ-5x6-30. a.c一2 2,对(a-b,b)-135. 答案 30 lcl.va-2a·c+c{ 2.解析 由投影的数量的概念知alcos(a,b)一3Xcos45* (2)由4lal-3lb|可设|b|-4t(t>0),则lal-3z. 2#2 因为(xa+b)Ib,所以(xa+b)·b-xa·b+|b-xx 答3# -4. [答案](1)D 3.解析 因为a与e之间的夹角是120*,而a在e方向上的 (2)A 投影向量为-2e,所以lalcos120{e--2e. 跟踪练 所以-1a-2 :2.解析 因为a十2b-2la-2bl. 所以a+4a·b+4b-4(a-4a·b+4b), 28第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1向量的数量积 8.1.1向量数量积的概念 第1课时 两个向量的夹角和向量数量积的定义 [学习任务] 1.通过物理中功的实例，理解平面向量、数量积的概念及向量夹角的 定义 2.会求平面向量的数量积. 自主学习探新知 渠前预习双基落实 知识点一向量的夹角 赵微判断 (1)定义：给定两个非零向量a,b,在平面内 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. 任选一点O,作OA=a,OB=b,则称[0，x]内 (1)两个非零向量a,b的夹角为r时，这两个 的 为向量a与向量b的夹角，记作 向量是相反向量。 () (a,b). (2)在等边△ABC中，向量AB与向量BC夹角 为60 () (3)两个非零向量a,b满足a=b,若A>0, 则向量a,b的夹角为0. () (2)如图，向量a与c的夹角为，即(a,c) 知识点二向量的数量积及性质 ;向量a与d的夹角为0，即(a,d〉 ;向量a与e的夹角为π，即(a,e》= 1.向量的数量积 (3)根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的 定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称 夹角是唯一确定的，而且≤〈a,b》≤ 为向量a与b的数量积（也称为内 (a,b》=(b,a). 积)，记作a·b,即a·b= 当(a,b)= 时，称向量a与向量b 由定义可知，两个非零向量a与b的数 垂直，记作a⊥b.由于零向量方向是不确定 的，在讨论垂直问题时，规定 与任意 量积是一个 ,这与向量的加法、减法 向量垂直. 以及数乘向量的结果仍是一个向量不同： 47 高中数学·必修第三阳(RJB) 2.向量数量积的性质 赵微思考 设a,b是非零向量，它们的夹角是8，则 [思考1]向量的数量积运算结果和向量的 (1)a·bl≤ 线性运算的结果有什么区别？ (2)a·a= ,即a= 一般地，a·a可以简写为a2,因此上述 性质(2)也可改写为a-|a2. 为了方便起见，当a与b至少有一个是 零向量时，称它们的数量积（即内积）为0，即 a·b= [思考2]非零向量的数量积是否可为正 数、负数或零？其数量积的符号由什么来 (3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积 决定？ 为0，即a⊥b曰 (4)当a与b同向时，a·b= 当a与b反向时，a·b= 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一平面向量数量积的基本概念 跟踪训练 [例1]判断正误，并简要说明理由. 1.已知a,b,c是三个非零向量，则下列命题中 (1)a·0=0; 真命题的个数为 () (2)0·a=0; ①a·b=±|a|bl台a∥b: (3)a与b是两个单位向量，则a2=b. ②a,b反向台ab=-|a·|b1: ③a⊥b=|a+bl=|a-bl； ④|a=|bl台la·cl=|b·cl. A.1 B.2 C.3 D.4 探究二求向量的夹角 [例2]已知|a=|b|=2,且a与b的夹角为 60°，则a十b与a的夹角是多少？a一b与a 的夹角又是多少？ 川规律方法 两向景的数量积是两向量之问的一种乘法运算，它 与两数之间的乘法运算有本质的区别，这一类型题，要 求学生把握好数量积的定义、性质， 48 第八章向量的数量积与三角恒等变换 川规律方法川 (2)AB·CD: (1)求两个向量夹角的关健是利用平移的方法使两 个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的多豫求出。 (2)特别地，a与b的夹角为0，aa与A,b(a1,a是非 零常数)的夹角为日，当入d2<0时，0。=180°-0：当AA >0时，8。=8. (3)AB·DA @跟踪训练 2.在△ABC中，C=90,BC=号AB,则AB与 BC的夹角是 A.30 B.60° C.120 D.150° 探究三 数量积的计算 川规律方法川 [例3] 如图，在□ABCD中， 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b allblcos 0. |AB=4,|AD=3,∠DAB=60°.求： 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹 角，条件是两向量的始点必领重合，否则，要通过平移使 (1)AD·BC: 两向量符合以上条件 跟踪训练 3.在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,求AC ·AB,AC·BC,AB·BC的值. 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.若向量a与b的夹角为60°，则向量一a与 A.1 B.3 C.3 D.33 一b的夹角是 3.已知a与b是相反向量，且|a|=2,则a·b= A.609 B.120° C.30 D.150 4.在等腰直角三角形ABC中，若C=90°，AC= 2.已知向量a,b满足a=2,b=√3，且(a,b》 √E,则BA·BC的值等于 =否，那么a…b= ）提宗请完成《素能提升训练》训练十六 49 高中数学·必修第三阳(RJB) 第2课时 向量的投影与向量数量积的几何意义 [学习任务] 1.掌握数量的定义，理解平面向量数量积的几何意义， 2.理解投影的概念. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点投影的概念与数量积的几何意义 2.数量积的几何意义 1.投影的概念 一般地，如果a,b都是非零向量，则称 (1)如图所示，设非零向量AB=a,过A,B分别 为向量a在向量b上的投影的 作直线l的垂线，垂足分别为A',B,则称 投影的数量与投影的长度有关，但 为向量a在直线l上的投影向量或投影 是投影的数量既可能是 ,也可能是 因为a·b=allblcos(a,b》= bl, 类似地，给定平面上的一个非零向量b, 所以两个非零向量a,b的数量积a·b,等于 设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影 与b的模的乘积.这就是两个 称为a在向量b上的投影.如图中，向量a在 向量数量积的几何意义： 向量b上的投影为AB'.可以看出，一个向量 特别地，当e为单位向量时，因为|e|= 在一个非零向量上的投影，一定与这个非零 向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有 1,所以a·e=|acos(a,e〉，即任意向量与单 可能相反。 位向量的数量积，等于这个向量在单位向量 (2)如图①②③所示. e上的投影的数量 ①当(a,b)<受时，AB'的方向与b的方向 飞微判断 ,而且|AB1 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. ②当(a,b)=受时，AB'为零向量，即|A'B (1)向量a在向量b上的投影的数量一定是 = 正数. () ③当(a,b)>2时，AB'的方向与b的方向 (2)向量b在a方向上的投影的数量与向量a在 b方向上的投影的数量不一定相同.() ,而且|A'B1 (3)数量积a·b等于a的长度a与b在a (a.b 方向上的投影的数量bcos0的乘积. B'6 A(B) 50 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一 向量数量积的几何意义 跟踪训练 [例1](1)若|a=4,|b1=2,a和b的夹角为 3.已知|a=3,b=4,求|a-b的取值范围. 30°，则a在b的方向上的投影向量的模长为 A.2 B.√3 C.23 D.4 探究三 投影问题 (2)已知△ABC的外接圆的圆心为O,若AB [例3]如图，已知直线1， +AC=2AO,且|OA|=|AC1=2,则向量 (1)向量1OA=5,(OA, BA在向量BC方向上的投影的数量为( 1)=60°，求OA在l上的 120°609 A.√3 B.23 投影的数量OA1; B 0 A C.3 D.1 (2)向量|OB1=5,(OB,1)=120°，求OB在1 -规律方法 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影的 上的投影的数量OB1· 数量等于|acos(0为向量a,b的夹角)，即该投影的数 量与b的模无关，故任意的非零向量在单位向量上的投 影的数量与该单位向量的模无关 跟踪训练 1.|a=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为 120°，则向量a在向量b方向上的投影的数 量等于 A.-3 B.-2 川规律方法川 C.2 D.-1 求投影的数量有两种方法 (1)b在a方向上的投影的数量为|bcos(8为a,b 2.已知向量a,b满足|a=1,1b|=3,且a在b 的夹角)，a在b方向上的授影的数量为|acos0. 方向上的投影与b在a方向上的投影相等， (2b在a方自上的故影药数量为后的。在b方肉 则|a一b1等于 ( A./10 B./5 上的投影的数量为 C.4 D.5 ☑跟踪训练 探究二与向量的模有关的问题 4.已知a=6,e为单位向量，当它们之间的夹 [例2]已知向量a,b满足|a=4,a·b1≥ 角0分别等于60°，90°，120时，求出a在e方 10,则a一2b1的最小值是 向上的投影的数量. A.1 B.2 C.3 D.4 川规律方法川 运用向量不等式|la-lb|≤a一b1≤a+|bl, 注意等号成立的条件. 51 高中数学·必修第三阳(RJB) 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.已知a=5,b在a上的投影的数量为6，则： |a= b·a= 4.在△ABC中，若AB在BC方向上的投影的数 2.若|a=3,lb1=5且(a,b)=45°，则a在b上 量为正，则△ABC的形状是 的投影的数量为 提示，请完成《素能提升训练》训练十七 3.已知e为单位向量，a与e之间的夹角是 120°，而a在e方向上的投影向量为一2e,则 8.1.2 向量数量积的运算律 [学习任务] 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明， 自主学习探新知 课前预习双基幕实 知识点平面向量数量积的运算律 续表 1.平面向量数量积的运算律 多项式乘法 向量数量积 (a+b)(a-b)=a2-b (a十b)·(a-b)= 运算律 实数乘法 向量数量积 (a+b+c)2=a2+b+c2+ (a+b十c)2=a+b2+e2+ 交换律 ab=ba a·b=b·a 2ab+2bc+2ca 2a·b+2b·c+2e·a 结合律(aa)·b=a·(ab) (a)·b=a·(b)=A(a·b) (a十b)c=ac+bc (a+b)·c= 《微练习 分配律 (a-b)c=ac-bc (a-b)c 1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2, |b=5,则(2a-b)·a等于 () 2.平面向量数量积的运算性质 A.12 B.8+√13 类比多项式乘法的乘法公式，写出下表 C.4 D.13 中的平面向量数量积的运算性质. 2.已知单位向量a,b的夹角为60°，ka一b与b 多项式乘法 向量数量积 垂直，则k的值为 () (a+b)2=a2+2ab+b (a+b)'= A.2 号 (a-b)°=a'-2ab+b (a-b)2= c号 n 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一 数量积的运算 (3)(2a-b)·(a+3b). [例1]已知|a|=2,|b|=3,向量a与b的夹 角为120°，求： (1)a·b: (2)a2-b; 52