8.1.1 第2课时 向量的投影与向量数量积的几何意义（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 (2)已知向量a,b满足a=1,b=4,且a·b=2, 则a与b的夹角0= A晋 B. c晋 D音 汇思路点拨]求向量的夹角的关键是计算a·b 及ab,在此基础上结合数量积的定义或性质 计算cos0= a6,最后借助0e[0,],求出 a·b 值. 规律方法 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使 两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一 作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，a与b的夹角为0，入1a与入2b(入1，入2是 非零常数)的夹角为0。，当入12<0时，0。=180° 0;当入1入2>0时，0。=0. ◇[变式训练] 3.已知a=9,b=6√2，a·b=-54,则a与b的 夹角0为 A.45° B.135° C.120° D.150 随堂 1.若向量a与b的夹角为60°，则向量一a与一b的夹 角是 A.60° B.120° C.30 D.150° 2.已知a=2,b=2,a与b的夹角为于，则a·b= A.2√2 B.2 C√2 D.√3 3.在△ABC中，|AB=13,|BC1=5,|CA|=12,则 AB·BC的值是 第2课时 向量的投影 课程标准 1.掌握数量的定义，理解平面向量数量积的几何意义 2.理解投影的概念 课前 [情境引入] 投影是构建高维和低雏空间联系的桥梁，体现数 学本质 ·5 数学B 题型四 几何图形中数量积的计算 [例4]已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)AB·AC:(2)BC.AC 汇思路点拔]“正确区分向量的夹角与三角形内角 的异同 规律方法 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b =albl cos 0. 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹 角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过 平移使两向量符合以上条件。 ◇[变式训练] 4.在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=4,则AB· BC= BC.CA= ,CA·AB= 步步夯实 -● 4.已知a=4,b=5,当(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)a与 b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积. ©温馨提 学习至此，请完成配套训练 与向量数量积的几何意义 素养解读 通过学习平面向量数量积的几何意义及投影， 重点培养学生的数学抽象和数学运算素养 预习学案 向量在直线1上的投影还是向量吗？ 8 [知识梳理] [知识点一]投影的概念 (1)如图所示，设非零向量AB=a,过A,B分别作直 线1的垂线，垂足分别为A',B',则称 为 向量a在直线l上的投影向量或投影， B A h A B'L h A'B'I 类似地，给定平面上的一个非零向量b,设b所在 的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量 b上的投影.如图中，向量a在向量b上的投影为 A'B.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投 影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有 可能相同，也有可能相反， (2)如图①②③所示. ①当(a,b)<乏时，A'B的方向与b的方向 而且AB1= ②当(a,b)=受时，A官为零向量，即1AB1= ③当(a,b)>受时，AB的方向与b的方向 而且|A'B a 了《a,b) (a,b) (a,b) A B'b A'(B')b ① ② ③ 课堂 题型一 向量数量积的几何意义 [例1]已知a=5,|b|=4,a与b的夹角0=120°. (1)求a·b; (2)求a在b上的投影的数量. 汇思路点拨]利用投影的定义求解. ·5 第八章向量的数量积与三角恒等变换 [知识点二]数量积的几何意义 一般地，如果a,b都是非零向量，则称 为向量a在向量b上的投影的 ,投影的数 量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是 ,也可能是 因为a·b=a|bcos(a,b)= 1b,所 以两个非零向量a,b的数量积a·b,等于 与b的模的乘积，这就是两个向量数量 积的几何意义， 特别地，当e为单位向量时，因为e=1,所以a·e =alcos(a,e), 即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在 单位向量e上的投影的数量 2思考b在a方向上的投影数量一定是正数吗？ [预习自测] 1.设a·b=4,若a在b方向上的投影为2，且b在a 方向上的投影为1，则a与b的夹角等于() A君 B晋 c号 D晋或 2.已知a=5,b在a上的投影数量为6，则b·a 3.若a=3,b=5且(a,b)=45°，则a在b上的投 影的数量为 互动学案 规律方法 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影数 量等于acos(0为向量a,b的夹角)，即该投影 数量与b的模无关，故任意的非零向量在单位向 量上的投影数量与该单位向量的模无关 ⊙[变式训练] 1.已知向量a,b满足b=2,a与b的夹角为60°，则 b在a方向上的投影数量是 题型二 与向量的模有关的问题 [例2]已知a=3,b=4,求a-b的取值范围， 汇思路点拔]a-b≤a±b≤a+b. 规律方法 运用向量不等式a一bl|≤a-b≤a+b,注 意等号成立的条件 必修第三册 数学B ◇[变式训练] 2.已知向量a,b满足|a=4,a·b≥10，则a一2b 规律方法 的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 求投影数量有两种方法 题型司 投影问题 (1)b在a方向上的投影数量为bcos0(0为a,b [例3]如图，在△ABC中，AB=AC =4,∠BAC=90,D是边BC的中 的夹角)，a在b方向上的投影数量为acos0. 点，求： D (1)AB在BD方向上的投影的数量； (2)BD的AB方向上的投影的数量. 2b在@方向上的投影数量为。，a在b方向 [思路点拨]注意a在b方向上的投影与b在a 方向上的投影的区别 上的投影数量为a:b ◇[变式训练] 3.已知a=8,b|=4,a与b的夹角为120°，则向量 b在a方向上的投影数量为 A.4 B.-4C.2 D.-2 随堂。步步夯实 1.已知a=6,b=3,a·b=一12，则向量a在向量 5.已知a=6,e为单位向量，当它们之间的夹角0分 别等于60°，90°，120时，求出a在e方向上的投影 b方向上的投影数量是 的数量 A.-4 B.4 C.-2 D.2 2.已知b=4,a在b方向上的投影数量为2，则a·b 的值为 ( A.7 B.8 C.9 D.6 3.已知a=6,b=8,且(a,b)=60°，则b在a方向 上的投影数量为 4.已知△ABC是边长为4的等边三角形，则AB在AC ©温馨提 上的投影数量为 学习至此，请完成配套训练 8.1.2 向量数量积的运算律 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 通过引人平面向量数量积的运算律，体会数学 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 抽象及数学运算素养的生成过程 ·60·必修第三册 (2):BC与AC的夹角为60°， ∴nd.Ad-AGIos60=1X1×2-合 变式训练 4.解析：由题意，得|AB=4,BC1=4,CA=4√2， 所以AB·BC=4X4Xcos90°=0，BC·CA=4X4V2× cos135°=-16，CA·AB=4√2×4×cos135°=-16. 答案：0-16-16 随堂步步夯实 1.A[向量-a与-b的夹角和a与b的夹角相等， 为60°.] 2.A[a·h=2X2Xam至=2E,故连A.] 3.解析：易知AB2=1BC2+1CA2, C=90°.cosB=3 :'.cos(AB,BC)=cos(180-B) =-cos B--13 AB.BC=1AB1·1BC1cos(180°-B)=13×5× ()-25. 答案：-25 4.解：(1)a∥b,若a与b同向，则9=0°，所以a·b=a|b ·c0s0°=4×5×1=20： 若a与b反向，则0=180°，所以a·b=a·bcos180 =4×5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时，0=90°， 所以a·b=|a|bcos90°=0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b=a bcos30°=4×5 ×9-105 第2课时向量的投影与向量数量积的几何意义 课前预习学案 情境引入 提示：是向量」 知识梳理 知识点一、(1)向量A'B(2)相同|acos(a,b)0相反 -alcos(a,b) 知识点二、acos(a,b)数量非负数负数acos(a, b》a在向量b上的投影的数量 [思考] 提示：b在a方向上的投影|b|·cos0是个实数，可以是 正值，也可以是零或负值，因为它取决于两向量夹角的 大小. 预习自测 1.B ['lal cos<a,b)=2,b|cos(a,b)=1,a.b=4=lall bcos(a,b〉， ∴.a=4,b=2, cos(a,b)=a·b 41 |ab4×22, a,b=答，故选B.] 2.解析：b·a=a·b·cos0=5×6=30. 答案：30 ·1 数学B 3.解析：由投影数量的概念知： 1a·cos(a,b)=3Xcos45°=3y2 2 答案.32 2 课堂互动学案 [例1][解](1)a·b=a|bcos9=5×4×cos120°= -10: (2)a在b上的授影数量为a·cos0=a:b=10 b 4 5 一2 变式训练 1.解析：向量a,b的夹角0=60°， 故b在a方向上的投影的数量为|bcos0=2cos60°=2X 含1 答案：1 [例2][解].|a-|b1|≤|a-b≤a+|b, .1≤a-b≤7， 即a-b的取值范围是[1,7]. 变式训练 2.A[设a,b的夹角为0， 因为a·b|=4b|cos01≥10， 所以≥R>号 由向量形式的三角不等式得， 1a-2b1≥a-21b11=121b-41≥2.号-4=1.] [例3][解]如图，连接AD,因为AB =AC=4,∠BAC=90°，所以∠ABC 是等腰直角三角形.又D是边BC的 中，点，所以AD⊥BC,∠ABD=45,所 B 以BD=22. 延长AB到E,则AB与BD的夹角为∠DBE=180°-45 =135° (1)AB在BD方向上的投影的数量为|AB|c0s135°=4× =-22 (2)BD在AB方向上的投影的数量为|BD1cos135°=2√2 ×(-2 变式训练 3.D[向量b与a方向上的投影数量为|bcos0=4Xcos 120°=-2.] 随堂步步夯实 1.A[根据投影数量的定义，设a,b的夹角为0，可得向量 a在b方向上的投影数量是acos0=a:P=一4，故 b 选A.] 2.B[设a与b的夹角为0， '.al cos 0=2, ,∴.a·b=a|bcos0=4×2=8.] 3.解析：由投影数量的定义知 b|·cos0=8×cos60°=4. 4,解析：由题意Ai1·cos(AB,AC)=4×cos60°=4X2 =2. 答案：2 5.解：a在e方向上的投影的数量为acos8. 当0=60时，a在e方向上的投影的数量为acos60°=3； 当0=90°时，a在e方向上的投影的数量为acos90=0: 当0=120时，a在e方向上的投影的数量为aos120°=-3. 8.1.2向量数量积的运算律 课前预习学案 情境引入 提示：a·b=b·a (λa)b=a·(b)=(a·b) 知识梳理 知识点一、a·c十b·ca·c-b·c 知识点二、a2+2a·b+b2a2-2a·b+b2a2-b2a2+ b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a [思考] 1.提示：不满足.因为在向量数量积的运算中，若a·b=a· c(a≠0)，则表示向量c,b在向量a方向上的投影相等，并 不能说明b=c. 2.提示：向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c 不一定等于a(b·c),这是由于(a·b)c表示一个与c共 线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a 不一定共线 预习自测 1.B[(a+b)⊥(a-b),.(a+b)·(a-b)=0,∴.a2 -1b12=0,∴.a=b1.] 2.B[.|a-4b|2=a2-8a·b+16b =22-8×2×1×c0s60°+16×12=12， .a-4b1=23.] 3.解析：(a十b)·a=a2+a·b=0,∴a·b=-a2=-1, 设a与b的夹角为0， cos0=0·b 二1 a b 1x2 2' 又9e[0,0- 答案经 课堂互动学案 [例1][解](1)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b =2a2+5a|b1cos120°-3b2=8-15-27=-34. (2A正.B航=（市+2·(Ai-A)=A市-司 A-2成.Ad=1-×4-7×2×1×7=- 3 2 变式训练 1.C[AC.AB=|AC1AB1·cos∠A Ai.A=合A2=×62=18. .选C.] B [例2][解]由已知，a+b|=4,∴.a+b|2=42, .a2+2a·b+b2=16. ① a=2,b=3, .a2=a2=4,b2=b2=9, ·1 参考答案 代入①式得4+2a·b+9=16,即2a·b=3. 又.(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10, ∴.a-b=√10. 变式训练 2.解：由已知，a·b=4×8×(2）=-16。 (1)1a+b12=a2+2a·b+b2 =16+2×(-16)+64=48, .∴.a+b=4√3. (2)|4a-2b12=16a2-16a·b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=3×162 .4a-2b|=16√5. [例3][解]由已知条件得 (a+3b)·(7a-5b)=0, {(a-4b)·(7a-2b)=0. 即7a2+16a·b-15b2=0 ① 17a2-30a·b+8b2=0 ② ②-①得23b2-46a·b=0, ∴.2a·b=b2,代入①得a2=b2,∴.|a=|b1, 1 .cos0=a6==. 0∈[0，x],.0=元 变式训练 3.解：a+b)L(a-哥)， (a+b·(口-吾b）=0. 即a2-ab-=0 a2=a2=4,b2=|b12=1, 4-3cos0-号=0.∴cos0=2 又9∈[0，π]. a与b的夹角0为号 [例4][解]由向量2te1+7e2与e1十te2的夹角9为钝 角，得cos0=②e,+7ea:e1+2)0, 2te1+7e2e+te2 .(2te1+7e2)·(e1十te2)<0. 化简得2r+151+7<0,解得-1<-是 当夹角0为π时，也有(2te1十7e2)·(e1十te2)<0,但此时 夹角不是钝角。 设2te1+7e2=a(e1+te2),a<0, 2t=入， √14， 则{7=λt,. √4故实数t的取值范围是 (a<0, 2 〔.四() 变式训练 4.解：(1)，a+b+c=0, ∴.a+b=-c,∴.|a+bl=|cl, .(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2, a…b=c2-a2-b2 2 =1c2-a2-b12=49-9-25= 2 2 2 3