训练1 角的推广&训练2 弧度制及其与角度制的换算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

训练一 角的推广 基础练了学爱测评 能力练 起移运用 1.(2022·北京高一期中)一690°的终边在 10.若角α是第三象限角，则角号的终边所在的 A.第一象限 B.第二象限 区域是如图所示的区域（不含边界）( ) C.第三象限 D.第四象限 y ③ 2.下列角中与36°角终边相同的是 ④ ① A.324 B.-324 /0 C.336 D.-336 ⑦ 3.已知下列各角：①-120°；②一240°；③180°； ④495°，其中第二象限角的是 A.③⑦ B.④⑧ A.①② B.①③ C.②⑤⑧ D.①③⑤⑦ C.②③ D.②④ 11.若a=2012°，则与α终边相同的角的集合 4.(多选)下列正确的是 是 它是第 象 A.终边相同的角是相等的角 限角，其中最小正角是 ,最大负角 B.锐角是小于90°的角 是 C.终边在第二象限的角是钝角 12.已知角a为钝角，角4a与角a有相同的始 D.始边相同且相等的角终边一定相同 边与终边，则角a= 5.(多选)如果角a与角y十45°的终边相同，角 13.写出如图所示阴影部分的角α的范围. .7 B与Y-45的终边相同，那么a一B的可能值 为 ( 459 A.90° B.360 45 (1) 300 0 x;(2) C.450 D.2330 6.若角a满足180°<a<360°，角5a与a有相 同的始边，且又有相同的终边，那么角α= 0 7.大于一1035°且终边与角45°重合的所有负 角是 8.若a=k·360°+45，k∈Z,则号是第 创新练了素能增优 象限角 14.已知a是第一象限的角，3是第二象限的 9.如图所示，写出终边落在 角，试确定角士的终边所在的位置。 阴影部分的角的集合。 高中数学·必修第三册(RJB) 训练二 弧度制及其与角度制的换算 5.如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧 基础练了学考测评 AB,CD的弧长分别是10x和29，且AD 1.(2022·十堰高一期末)如图，被称为“天津 之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建 10,则图中阴影部分的面积是 () 造、桥轮合一的摩天轮.假设“天津之眼”旋 转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过 5分钟，点B转过的角的弧度是( A.200x 3 B.100元 C.400x 3 D.500x 3 6.(2022·靖安高-月考)已知。=紫，日 A晋 B晋 语=1.0=55，则a0,x0按从小到大排 c D 列为 7.用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合 2.(2022·宿州高一期中)将一1845°改写成 为 2kπ十a(0≤a<2π，k∈Z)的形式是( A.-10x+7牙 B.-10x-径 8.已知弧度数为5的圆心角所对的弦长为2， 则这个圆心角所对的弧长是 C.-12x+4 D.-12x+7 9.已知一扇形的圆心角为a,半径为R,弧长 3.把-1表示成0十2x(k∈2)的形式，使 为，若a=背，R=10cm,求： 10最小的0值是 ( (1)扇形的面积； A. B-开 (2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. c D. 4.(多选)下列与要的终边相同的角的表达式 中，正确的是 A.2kπ+45(k∈Z) Bk:360+贤（∈z刀 C.k·360°-315°(k∈Z) D.2kr+T(k∈Z) 4 2 :13.已知一扇形的圆心角是a,所在圆的半径 能力练凝移运周 是R 10.达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻 (1)若a=45°，R=10,求扇形的弧长1及面 名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数 积S: 观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的 (2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当a 看作一个圆弧，设嘴角A,B间的圆弧长为 为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求 1,嘴角间的距离为d,圆弧所对的圆心角 最大面积； 为(0为弧度角)，则1，d和0所满足的恒 (3)若扇形的面积是一定值S(S>0),当a 等关系为 为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求 最小周长。 sin 2 d A.0 2sin 2 0 B.0 d 、 创新练了素能培优 cos 2 d c.0 14.某镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为 400m,所在的半径为r,扇形的圆心角的 2cos 2d D.0 弧度数为0,0∈(0,2x). (1)求绿化区域面积S关于r的函数关系 1.(多选)若2x<a<4x且a与-7角的终边 式，并指出r的取值范围； 垂直，则a是 (2)扇形的圆心角的弧度数0取何值时，才 A 能使绿化区域的面积S最大. C.3π 12.(多选)若角a满足a 2+君k∈D,则 3 a的终边可能在 A.第一象限 B.第二象限 C.x轴非负半轴上 D.y轴非正半轴上 3素能提升训练 训练一角的推广 :9.解设终边落在阴影部分的角为a,角a的集合由两部分 组成。 1.解析一690°=一2×360°+30°，所以-690°的终边与： ①{ak·360°+30≤a≤k·360°+105，k∈Zh. 30°角的终边相同，因为30°的终边在第一象限，所以： ②{ak·360°+210≤a≤k·360°+285°，k∈Z1. 一690°的终边在第一象限：故选A '角a的集合应当是集合①与②的并集： 答案A (ak·360°+30°≤a≤k·360°+105°，k∈Z}U{ak· 2.解析与36角终边相同的角为a=36°十k·360°，k∈7， 360°+210&≤k·360°+285，k∈Z} 令k=一1，得a=一324°，故选B. =(a2k·180°+30°≤a≤2k·180°+105°，k∈ZU{a 答案B (2k+1)180°+30°a≤(2k+1)180°+105”，k∈Z 3.解析①一120°表示由x轴非负半轴绕原点顺时针旋转 ={an·180°+30°≤a≤n·180°十105°，n∈Z. 120°，落在第三象限：②一240°表示由x轴非负半轴绕原：10.解析：a为第三象限角，.180°+k·360°<a<270°+ 点顺时针旋转240°，落在第二象限：③180°表示由x轴非 k360,k∈Z.90°+k·180<号<135+k180, 负半轴绕原点逆时针旋转180，落在x轴非正半轴。 ④495°表示由x轴非负半轴绕原，点逆时针旋转495°，且 飞∈乙.当k=2n十1n∈Z时，号位于知图所示的区战⑦ 495°=360°+135°，495的终边和135的终边相同，所以 落在第二象限 中，当=2，n∈1时，号位于如图所示的区战③中，故 答案D 选A 4.解析终边相同的角可相差360°的整数倍，不一定相等， 答案A A错：就角0°<<90°.是小于90°的角，B正确：纯角的11.解析若B与a终边相同，则B=360·k+2012,k∈Z, 终边在第二象限，但终边在第二象限的角不一定是纯角，： 令k=-5,则8=-1800°+2012°=212，所以3=360 C错：始边相同且相等的角的终边一定相同，D正确。 ·k十212，k∈7，所以与a终边相同的角的集合是 答案BD {33=360°·k+212,k∈Z:由212°为第三象限角，可 5.解析因为角a与角y+45的终边相同，故a=y十45十 得a也为第三象限角：当k=一5时，0取最小正角212°： k·360°，其中k∈Z,同理3=Y-45+k,·360°，其中 当k=-6时，3取最大负角360°×(-6)十2012°= k,∈Z,故a一B=90°+n·360°，其中n∈Z,当n=0或n -148", 1时，g一B=90或a一8=450°，故AC正确，令360°=90° 答案(B13=360°·k+212°，k∈Z三212°-148 十n·360°，此方程无整教解m:令2330°=90°+n·360°：12，解析若角4a与角a有相同的始边与终边，别4a=k· 即56=9n,此方程无整数解n:故BD错误. 360+a(k∈Z),即a=k·120(k∈Z).又角a为钝角， 答案AC 则90°<k·120°<180°，所以k=1,所以a=120°. 6.解析由于5a与a的始边和终边相同，所以这两角的差： 答案120° 应是360°的整数倍，即5a一g=4a=k·360°，k∈Z.又：13.解(1)周为与45角终边相同的角可写成 180°<a<360°，所以是=3，剥a=270 45+k·360°，k∈Z的形式， 答案270° 与一180°+30°=一150°角终边相同的角可写成 7.解析由题知，与45°终边重合的角为45°十360°k,k∈Z, -150°十k·360°，k∈7的形式. 其中大于一1035的负角有：当k=一1时，角为一315°： 所以图(1)阴影部分的角a的范国可表示为 当k=一2时，角为一675. {al-150°+k·360°<a≤45"+k·360°，k∈Z}. 答案-315°：-675 (2)因为与45角终边相同的角可写成 8解析a=表·360+45，k∈乙.号=为·180+ 45°+k·360°，k∈Z的形式， 与一60°+360°=300°角终边相同的角可写成 22.5k∈乙.当k为偶数，即k=2m,n∈1时，号=n· 300°+k·360°，k∈Z的形式： 所以图(2)中角a的范国为 360°+22.5，n∈Z,该角为第一象限角：当k为奇数，即k {a45°+k·360°≤a≤300°+k·360°，k∈Z}. =2m+1,n∈Z时，号=1·360°+202.5”，n∈Z,该角为14，解由已知得k,·360°<a<90°+k·360°，k,∈Z.① 90°+k·360°3180°+k·360°，k∈Z. ② 第三象限角.综上，号是第一或第三象限角。 ①+②，得90°+(k,+k,)·360°<a+B<270°+(k,+ 答案一或三 k)·360°，k,k∈Z, 45 所以5+他十)…180<生<135+偏十)·8解析第国的*径为，则m音=一=分可得=2， 180°，k,k∈Z. “国心角所对的孤长1=m=吾×2=受 当k,+k,=2m(m∈Z)时，45°+m·360<a十2135 2 答案 2红 十m·360,角生里的终边在第一象限或第二泉限我 抽的正半轴上： 9,解1)由扇移面积公式知，S=言R=专×号×10 当k,十k=2m十1(m∈Z)时， 50 31 cm. 225+m·360<a+8<315°+m·360, 2 (2)由扇形孤长公式知.1=aR=答×10=19 3 cm, 角“时卫的终边在第三象限我第四象限或y轴的负半 2 32 轴上 该孤所在号移的面积S=S-Rina-50x-号×10 训练二弧度制及其与角度制的换算 ×-(9-25)m 10,解析设该圆孤所对应的圆的半 1.解析由题意可知，点B转过的角的孤度是品×2= 径为r,则2rsin2 =d,0·r=l,两 =5 答案B 2加号 式相除得0 d 2.解析因为一1845°=一2160°+315°，所以一1845°转化 答案B 孤度为-12x+牙 1.解析由题意，易知=一名x十2张，k∈Z“a与-号 答案C 3.解析和-山终边相同的角的表示为2kx一山r,k∈Z, 角的终边香直心0=9肚受：中。=一号十，EZ或 5 即2红一平或2x+要∈Z:要使0最小，所以0= a=- 十2∈么，时于A,号=-号x十2：k 3n 2E乙，故A正确：对于B.警=一号x十2，可知，=号 2 4 答案A Z,-一哥+2，可知=eZ故B错误：时于 4解析AB中弧度与角度混月，不正璃：野=2x十平，所 C3元=-号x十2，可知，k=号eZ:3m= 2 3十 以要与于终边相网.-315=-360+45，所以-315也 2kπ，可知，k= eZ,长C借民：对子D,g=号+ 7 与45终边相同，即与终边相同。 2kπ，可知，k=2∈Z,故D正确. 答案AD 答案CD 5.解析设OA=R,OD=r,国心角是Q.则0=10=，R0 12解析当表=0时a=石，此时。的终边在第一象限，故 3 10x,R-T=10,解得R=15,r=5,0-2红，所以阴影部分 A正确：当=1时@=要北时。的终边在第二泉限， 3 的面积为2(10x×15-19×5)=2097 故B正确：若。的林边在x轴非复丰轴上，则+音 答案A 2,x,∈D,即=3，-g乙，故C错：若a的终边在 6解折“0=5=5×高-需9-新<0-<0 y轴非正丰轴上，则警+吾=2必，云一吾，∈2，即 -<y-. 3k。一1∈Z,故D正确. 答案ABD 答案<a<y 7解析y轴对位的角可用一吾，受表示，所以y轴右侧角1品，解)若a5,R10,则。=45×而-票， 的集合为(0-受+2km<0<受+2kr,k∈Z 所以扇形的蓝长1=R=票×10=受 答案{9-受+2kx<K受+2m,k∈Z 扇形的面教S=R-名×受×10=受 2 46 (2)扇形周长C=2R+1=2R+aR.R=2年。 C -区，解得a=-43减-寻B,故选CD -C 答案CD 4+a+16 6,解析根据三角函数的定义知，sina=义= 3 5cos a 当且仪自。=4，即。=2时，扇彩面款有最大很写 ==音所以当取r=5时=4y一3 4 (3)扇形的面款S=R,所以R= 2s 答案(4，一3) 7.解析点P(x,一12)是角0终边上一点，.c0s0 所以C=2R+l=(2+a)R=(2+a)V合 ,2S =√/2s. 5 /x+144 一3，解得x=士5.因为cos0=一3<0， -压（层+6≥2v西 ∴.x<0,即x=一5. a 2a=45, N 答案一5 当且仅当二=石，即。=2时周长取得最小值4S. 8.解(1).340°是第四象限角，265是第三象限角， sin340°<0，cos265°<0，.sin340cos265>0. 14.解(1)由题意可得 r>0,。解得0<r<200: 12r400. (2):x<4<∴4是第三象限角。 扇形的孤长为1=400-2r, ”=一6x十子一2是第一泉张角， 4 所以5=-号×(400-2rr=20r- sm4<0,am(-2经）>0snan(-2经）<0。 =一(r-100)°+10000，其中r∈(0,200). (2)当r=100时，S取得最大值，即S=10000(m). :9.解在角a的终边上任取一个不同于原点的点P(x,2x) (x≠0)， 光时1-400-2X10-20,0-1-2器-2 当x>0时，1OP=r=x+4x2=/5x, 因此，当日=2时，绿化区域的面积S最大. 所以sma=2红=2x_25 训练三三角函数的定义 L.解析设角a终边上一，点P(1,-2),OP1=√5 r 3x5 则sina=义=- 2 =-25 当x<0时，OP|=、x+4x=-5x, r /1+4 5 所以ina=2红=2x=-25 答案C -5x 5· 2.解析由题意，角a的终边上有一点P(a,a),则r OP=/2a=√2|a,当a>0时，根据三角函数的定 -√5x 号tana=-2 广V2。-之：当a<0时：根搭三角画数 义，可得sina=义=a=2 综上所迷，角。的正孩值、余孩值和正切值分别为2， 的定义，可得sina=义=a r-2a 2茶上·smc士2. 10解析设终边所在的直线方程为y=kx,由题意，知 答案C 1m=一2， (tan a<0, 阳：解得=2我2当 当m=一2时， 3.解析点P(tana,sina)在第三象限，，∴， 4=km, sin a<0, A(1,一2)，B(一2,4)在不同象限，不符合题意：则m ∴a在第四象限 2,此时c0sa= 15 答案D 1+45 4.解析因为1孤度≈57°，2弧度≈114°，所以sin2>0.因 答案B 为2<3<，所以c0s3<0.因为3<5<2，所以1an5<11.解析因为角a的终边经过点P(1,m)(m<0),所以 2 1 0,所以sin2cos3tan5>0. sin a=- /1十m <0,cos a= >0,所以sina十 √1+m 答案A cosa符号不确定，可能大于0，sina-cosa<0.sina 5.解析由三角函数的定义，可知sina= √/(-4)+a cosa<0,n2<0,故选项A正确，选项B,C,D不正 cos a 十·又ma·o紧，则产品 一4 -4a 确：故选A. c05a= 答案A 47