第7章 三角函数 章末优化提升-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修第三阳(RJB) 章末优化提升 一网络构建 精殊角的巴 弧长写司 角的数值 扇形面 积公式 三角函数的定义 意角的熱念 度制与 角函数值 各象限的符号 求值、化简、 度制 同角三角函数 证明恒等式 任意们 基本关系式 的三价 丙数 锈导公式 三角数线 二角的数图像 三角函数性质 已知三角函戴值求角 图 巴考点聚焦 考点一任意角的三角函数的定义及三角函数线 归纳提升川 [例1](1)在平面直角坐标系中，若角α的终边 解决此类问题需掌握任意角的正弦，余弦、正切的 经过点P(s血受o智则血a 定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函 数值，利用三角函数线判断三角函数值的符号，借助三 A.-3 角函数线求三角函数的定义域 2 c 受 口跟踪训练 1.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的 (2)求函数f八)=V-2cosx+ihn(snx- 正半轴重合，终边经过点P(一2√2,1)，则 2 () 的定义域 cos(a一)的值是 A号 B22 3 c号 D.-22 3 2.sin 3π3r 77 tan 3匹按从小到大的顺序排列为 考点二 同角三角函数的关系式及诱导公式 sinl5t+a+os(2xa）-cos(ra） [例2)(1)求 n受-a+sinx+o）-sn(-o） 的值 44 第七章三角函数。 (2)已知sin acs=g,且a是第三象限角， (1)先化简a),再求f合)的值： 求1-cos。-sina+cos的值. sin a-cos a tana-1 (2)若tana=一名求fa)的值。 考点三三角函数的图象及变换 [例3]已知函数f(x)=sin(wx+p)(w>0, 1<)的部分图象如图所示。 归纳提升川 (I)率记两个基本关系式ima十cos'。=1及加g cos a tana,并能应用两个关系式进行三角函数的求值，化简， 证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数 (1)写出f(x)的最小正周期及其单调递减 学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化 区间； 归思想及函数与方程思想的应用 (2)若要得到f(x)的图象，只需要函数y= (2)诱导公式可概括为k·受士a(k∈2)的各三角 sinx的图象经过怎样的图象变换？ 函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，符号看象 展.其中的奇，偶是指艺的奇数倍或偶数倍，变与不变是 指函数名称的变化.若是奇数倍，测函数名称变为相应 的异名函数（即正余互变）：若是偶数倍，则函数名称不 变，符号看象限是指把：看成锐角时原函数值的符号作 为结果的符号. 跟踪训练 3.已知f(a)= sn(-a十cos(2x-asn(2x-a)tan(-xa） os-a+》 45 高中数学·必修第三册(RJB) 归纳提升川 考点四 三角函数的性质 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是 三角函数性质的具体体现，在平时的考查中，主要体现 工例4幻 已知函数fx)=2sin(2x-): 在三角函数图象的变换和解桥式的确定，以及通过对图 (1)求f(x)的最小正周期： 象的描绘、观黎来讨论函数的有关性质，具体要求： (I)用五点法作y=Asin(aux十p)的图象时，确定五 (2)讨论f()在区间[一平，]上的单调性， 个关键点的方法是分别令r十g等于0，受，受，2元 (3)当x∈[-，]时，不等式2-c<f(x) (2)对于y=Asin(aux十g)十b的图象变换，应注意 先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别. <c恒成立，求实数c的取值范围。 (3)由已知函数图象求函数y=Asin(ax十)(A>0, 如>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图 中的鬟大值或最小值确定A,由周期确定如，由适合解析 式的点的坐标来确定P,但由图象求得的y=Asin(aux十 p)(A>0,四>0)的解析式一般不是唯一的，只有限定9 的取值范图，才能得出唯一的解，否则的值不确定，解 析式也就不唯一 跟踪训练 4.已知函数f()=cos(2x+p(9<登， 从①②③这三个条件中选择一个作为已知条 件.①（答，0）为f(x)的图象的一个对称中 心：@当x=竖时，f(x)取得最大值： ③)=-是 川归纳提升 解决此类问题应掌握y一sinx,y■cosx,y■tanx (1)求f(x)的解析式： 的定义城、值城、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在 (2)将y=f(x)的图象上的各点的横坐标变 此基础上掌提函数y=Asin(r十p),y=Acos(aux十p) 为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象 及y=Atan(aux十p)的相关性质.在研究其相关性质时， 将x十g看成一个整体，利用整体代换恩想解题是常见 向右平移个单位，得到y=g()的图象，求 的技巧。 函数y=g(x)在(0，π)上的单调递减区间. ☑跟踪训练 5.关于函数f(x)=sinlx+|sinx有下述四 个结论： ①f(x)是偶函数： ②f(x)在区间(2，π)上递增； ③f(x)在[一π，π]上有4个零点； ④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号 提示，请完成《素能提升训练》章末检测卷一 46h(r)=Asin(ot+)+B(A>0.w>0.l<). 故所求拟合模型的解析式为y=0.4sm1+1(0<1K24). 由题意得召-12，所以T=24w一是 (3)y=0.4sin若1+1≥0.8， h(1)=h(2)=A+B=14, 1 又周为h)=h(14)=-A+B=6: 第得A=4,B=10, 则-音+2x≤吾1<+2x∈， 所以h()=4sim(是+9）十10， 即12k一1≤1≤12k+7(k∈)，注意到1∈[0,24]， .0≤1≤7或11≤1≤19或23≤1≤24， 由h(2)=4sim(答+g）+10,得sim(答+g）=1, 再结合题意可知，应安捧在11时到19时训练较拾当. 所以p=2x十晋k∈乙 【随堂巩固促应用】 1.解析由题目可知最大值为5，.5=A十2，A=3, 又9<登，所以当=0时9-吾 T-0-15,则w亭-语故选A 4 所以h()=4sin(受+等)+10.1e[0,24]. 答案A 方法二：设选取的函数解析式为h(t)=Acos(mt十g) 2.解析由题意可得 +B(A>0,m>0,9<艺)：求解过程同上，可得 f(6)=a+Acos (6-6)=28. 即 1a+A=28, a-A=18, ()=4cos(-8）+10,1e[0,24]. f02)=a+Aco若12-6)=18. (2)根据题意可知，货轮安全进港的水深至少达到12.8米， 解得23所以)=23+5o[（-6]，所以演 A=5, 由h()=4sin(受+号）+10>12.8. 市8月份的年均气温为f8)=23+5c[若(8-6)] 解得4sim(+）≥2.8， 23+5c0s号=25,5℃，故选A 中(+）≥ 2 答案A 所以2x+≤+骨<2x+k∈Z 3.解析由s-6sim(100u+吾）：单摆来回据一次为一个 故21k一1≤t≤24k十5，k∈Z. 周期，由T=6元00.02 2x=1 又因为t∈[0,24门.所以0≤1≤5， 答案0.02s 所以可安排货轮在0时到5时之间进港。 货轮安全离港的水深要求至少达到12米， 解依题意，有A=2厅，T-3,即T=12, 根据表中数据可知最早在22时后水深符合要求，可安全 离港，货轮在港时间最短为17个小时. 又T-w=吾y=25m音，xe[0, 综上规划决策如下：应安排货轮最晚在5时进港，最早在 当=4时y=25n专=3∴M43 22时离港，在港时间最短为17个小时. 跟踪训练 又P(8,0), 3.解(1)散点图如图所示： MP1=√(8-4)+(0-3)=√+3=5(km). 1米 即M,P两点间的距离为5km. 1.6 1.4 ■来里里■里■■■加■■◆■如■e■=如■ 章未优化提升 1.2 0.8 【考点聚焦】 0.6 0.4 考点一 0.2 0 36912151821244时 [例1(1)[解析] 国为in受=n(2x-吾）=-号 (2)由(1)知选择y=Asin(wt十p)十b较合造. 令A>0>0,p<元. c0s要=o(2x-）=所以P(-）,所以r 结合通数图象可知A=0.4,b=1,T=12小w=经= 6】 花1=0y=1代入y=0.4im(+g）+1,得9=0， [答案]C 24 (2)[解]由题意，得自变量工应满足不等式组： (2)原式= sin'a sina十cosg= sin'a sin a-cos a 1-2c0sx≥0， sin'a1 sin a-cos a cos a 即 sin r- . cos a(sin a+cos a) sin'a cos'a sin 2 sin'a-cos a sin a-cos a sin a-cos a 如图中阴影部分所示，则所求定义城为{：2十哥≤： sin'a-cos'a=sin a+cos a. sin a-cos a <2+). .sin acos a= 8,且a是第三象限角， .sin a+cos a=-(sin a+cos a) 2 =-1+2sin acos a=- V1+2x= 2 跟踪训练 3.(1)f(a)=sin acos a(-cos a)(-tan a) sin a =sin acos a. 跟踪训练 5 1.解析因为角▣的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半 轴重合，终边经过点P(一2√2,1)，所以sina= (2)因为tana= 1 言，所以 (-22)+1 言所以m。-）=(受-d） f(a)=sin acos a= sin gcos a tan a 1 sin'a+cos'a tan'a+1 ina=3,故选A. 答案A 3 10 2解析？血号x<1m号x<号，如图丰径为 考点三 的国. [例3][解] 1)根器面数的周象得-吾一音-， 解得T=x,故w=2, 由于f()=sim(若+g）=0, 由于p<受，故9=一答，所以fx)=sim(2x一） 所以函数的最小正周期为： ◆登+2kx≤2r-晋≤2x+k∈. 整理得受+<r≤x+kEZ 6 0A·AT=AT 故函数的单调递减区间为号十x,x 5r1(k∈D. 6 又：元所对的蕴长为号1=号， (2)要得到函数f(x)的图象，只需将函数y=sinx的图 13 3 六痛形OAB的面积S=2·7r1= 象向右平移骨个单位，再将通数国象的横坐标压缩为原 而Samr>S,ATD 33 7,即tan7>7元. 未的号即可 跟踪训练 答案s<5<an 4解若选①.（吾，0）为）=之s(2x+g(1p< 考点二 sin(乏+a）+cos(2x-a)-cos(x-a） 受）的对称中心，则2X看十g=受十x,k∈乙，解得g君 [例2][解] (1) sin(受-a)+sin(x+o》-snf-o 十kk∈五又p<受，所以g=吾，所以fx)=cs(2a cos a+cos a-(-cos a)3cos a3. cosa十(-sina）一(-sina）cosa +) 25 若选@(）=(2×+)=号所以2× 3南xe[-]2x-音∈[-要] 晋+p=2+2e.解得g=吾+2e么又p j2-c<-2→c>4 所以一2≤fx)≤1，所以e <受，所以9=吾，所以fx)=2os(2x+晋)月 所以心的取值范国为(4，十∞). 跟踪训练 若选@，(）=立0(2×吾+9)=一子，所以5解析fx)的定义城为R. f(-r)=sinl-+sin(-x)I=sinlr+l sin l= f(x),故f(x)是偶函数，①正确： 甲=-经+2：e乙解得g吾+2xcZ或p=-吾+ g(x)=sinx=sinx在(2.x)上单调递减，h(r) 3 |sinx在(2，π)上单调递减，故f(x)=sinx+|sinx 2e五又1p<晋，所以g看所以/)=m(2r+ 在区间(2，π)上递减，②错误； 当x∈[0，]时，f(x)=2sint,当x=0或r时， ): f(x)=0,结合函数f(x)是偶函数，故x=一π时， (2)将f(x)=2c0(2x+若)的图象上的各点的横坐标 f(x)=0,故f(x)在[一π，π]上有3个零点，③错误： g(.x)=sinx∈[-1,1]，h(x)=sinx∈[0.1]，则 变为原来的2（纵坐标不变）得到y=2c0s(4r+晋)： fx)=inlx+simr≤2，且春在r=受时，f(x)=2, 再将y=号os(r+)向右平移个单位得到y 综上，∫(x)的最大值为2，④正确， 答案①④ co(4(-)+晋）=2cos(x-晋），即g(r)= 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 2c0(4r-吾），令0+2km≤4r-吾<x+2kx,k∈Z,解 得员+<+ 8.1向量的数量积 即画数的单羽递减区间为[员十受，+]∈乙 8.1.1向量数量积的概念 因为r∈(0x,所以函藏g)=o(4红-吾）在xE 第1课时两个向量的夹角和向量数量积的定义 0)上的单调递减区间为[贡引和[票，要] 【自主学习探新知】 考点四 知识点一 (ID∠A0B(2)受0元(3)0元 [例4)[解](1)国为f(x)=2sin(2x-5),所以fx) 零向量 微判断 的最小正周期T一受- (1)(×)(2)(×)(3)(√) (2)◆-吾+2<2x-晋≤号+26x,ke乙 知识点二1.lallblcos(a,b)a|b|cos〈a,b)实数 2.(1)allb1(2)1a°a·a0(3)a·b=0 得-是+≤≤径+：eZ (4)abl-ab 当0时，<晋 微思考 [提示1]向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积 所以自[-·]时，)单拥 运算结果是数量， [提示2]由两个非零向量的夹角决定 个+2<2r-<受+2rke五 当0≤0<90时，非零向量的数量叔为正数. 得爱+<<晋+，eZ 当0=90时，非零向量的数量积为零. 当90°≤180°时，非零向量的数量积为负数. 当k=-1时，<≤所以当[-子，一是】 【互动探究解疑难】 探究一 时，f(x)单调道减。 [例1门[解]上述3个命题中只有(3)正确. 综上，当[-景]时)在[-高]上单调递 对于(1)，两个向量的数量积是一个实数，应有a·0=0: 增，在[-一】上单调递 对于(2)，应有0·a=0: 对于(3)，a=1b=1→a=b=1. 26